calculo numerico - AVA2 -

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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
 
 
 
XXXXXXXXXX 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA INDIVIDUAL 2 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
2021 
Integração Numérica 
 
A integração aparece com frequência nas soluções de problemas e no cálculo nas 
mais diversas áreas da Engenharias e Ciências. Entretanto há integrais, que o 
processo de resolução possa ser extremamente difícil, ou, até mesmo a não exista 
solução. 
Para esses casos e integração é de grande importância, pois com esta 
ferramenta pode-se estimar o valor da integral, o que é de grande valia para 
projetos, principalmente na área de Engenharia. 
A partir da integral abaixo: 
 
Determine: 
1. O valor da integral, utilizando para isso a Regra do Trapézio Simples; 
2. O erro apresentado, quando foi utilizado a Regra do Trapézio simples; 
3. O valor da integral, utilizando para isso, a Regra do Trapézio Repetido, com 5 
subdivisões. 
Procedimentos para elaboração do TD 
Em ambos os Métodos, devem ser considerados os seguintes passos: 
1. Utilização da Regra do Trapézio Simples; 
2. Montagem da Tabela para encontrar a máx |f′′(x)||f″(x)|; 
3. Utilização da Regra do Trapézio Repetida, com o número de subdivisões 
solicitado. 
 
 
 
Questão 01: O valor da integral, utilizando para isso a Regra do Trapézio Simples; 
𝐼 = ∫ √𝑥
4
1
𝑑𝑥 
𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑥1 = 4 𝑒 𝑥0 = 1 
𝑓(𝑥0) = √1 = 1 
𝑓(𝑥1) = √4 = 2 
ℎ = 𝑥1 − 𝑥0 = 4 − 1 = 3 
𝐼 =
ℎ
2
× [𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)] =
3
2
× 3 =
9
2
= 4,5 
 
Questão 02: O erro apresentado, quando foi utilizado a Regra do Trapézio simples; 
𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2 
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑
=
1
2
× 𝑥
1
2 →
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑥
1
2
2
=
1
2√𝑥
 
𝑓′′(𝑥) =
𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑
=
1
2
× (−
1
2
) × 𝑥
1
2 →
𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2
=
𝑥
4
−
2
3
=
−1
4√𝑥
 
|𝑒𝑟𝑟𝑜| ≤
ℎ3
12
max |𝑓′′(𝑥) 
𝑥 𝑓′′(𝑥) |𝑓′′(𝑥) 
1 −0,25 0,25 
2 −0,88 0,88 
3 −0,048 0,048 
4 −0,031 0,031 
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 ≤
33
12
× 0,25 → 𝑒𝑟𝑟𝑜 = 0,5625 
Questão 03: O valor da integral, utilizando para isso, a Regra do Trapézio Repetido, 
com 5 subdivisões. 
ℎ =
𝑥1 − 𝑥0
ℎ
=
4 − 1
5
=
3
5
= 0,6 
Valores de 𝑥′ 
𝑥0 = 1 
𝑥1 = 1 + 0,6 = 1,6 
𝑥2 = 1,6 + 0,6 = 2,2 
𝑥3 = 2,2 + 0,6 = 2,8 
𝑥4 = 2,8 + 0,6 = 3,4 
𝑥5 = 3,4 + 0,6 = 4 
Logo: 
𝐼 =
ℎ
2
× [𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 2𝑓(𝑥3) + 2𝑓(𝑥4) + 2𝑓(𝑥5)] 
𝐼 =
0,6
2
× [√1 + 2√1,6 + 2√2,2 + 2√2,8 + 2√3,4 + √4] 
𝐼 =
0,6
2
× 15,54 = 4,662