Simulado 1 Prova de Álgebra Linear 2 sem 2019

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Simulado 1a Prova de Álgebra Linear
Engenharia Elétrica
Nome:
Questão 1.
Núcleo de Uma Matriz
Definição 1. Definimos Núcleo de uma matriz An×n com entradas reais, como sendo o espaço
solução de um sistema AX = 0 onde X =

x1
x2
...
xn

a) Determine o valor de k para que o núcleo da matriz
 1 −1 −11 −2 −2
2 k 1
 tenha um elemento não
nulo.
b) Obtenha o núcleo da matriz para k = 1
Questão 2. Em determinada indústria há um condutor retiĺıneo que é eventualmente utilizado
para alimentar um equipamento. Um sensor magnético externo é utilizado para acionar um
software, necessário ao funcionamento do equipamento, o qual será desenvolvido pela equipe de
programação. Ajude a equipe de programação respondendo os itens abaixo levando em conta
aspectos algébricos do problema.
a) O que é necessário saber, isto é, qual a estrutura algébrica necessária?
b) Determine a equação do condutor retiĺıneo sabendo que ele passa pelos pontos A(2, 3, 5) e
B(2, 6, 5).
c) Determine a distancia do condutor retiĺıneo ao sensor sabendo que o sensor esta no ponto
S(5, 8, 5).
d) Considerando a equação de um novo condutor retiĺıneo
(U)
x− 1
2
=
y
1
=
z − 2
−2
.
Determine a equação do plano que passa por ele e pelo sensor.
Simulado 1a Prova de Álgebra Linear
Engenharia Elétrica
Questão 3. Considere a matriz
A =
 3 0 0−2 7 0
4 8 1

(a) Determine todos os posśıveis valores de λ ∈ R tais que o sistema homogênio AX = λX possua
solução não trivial.
(b) Seja λ0 o menor dos λ encontrados no item anterior. Obtenha a solução geral do sistema
AX = λ0X.
OBS: considere X =
 xy
z

Questão 4. Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multiplicação por matrizes.
Vamos associar as letrsa do alfabeto ao números, segundo a correspondência abaixo:
Suponhamos que a nossa mensagem seja pão de queijo, para abreviar e caber em uma matriz 3×3
vamos colocar PAOQUEIJO tudo junto assim: P A OQ U E
I J O

que em correspondência numérica é
M =
 16 1 1517 21 5
9 10 15
 .
Agora seja C uma matriz qualquer 3× 3 inverśıvel, por exemplo:
C =
 1 0 1−1 3 1
0 1 1

Simulado 1a Prova de Álgebra Linear
Engenharia Elétrica
Multiplicamos nossa matriz da mensagem M , por C obtendo M · C. 16 1 1517 21 5
9 10 15
 1 0 1−1 3 1
0 1 1
 =
 15 18 32−4 68 43
−1 45 15

Transmitimos está nova matriz que na prática, envia-se a cadeia de números(
15 18 32 −4 68 43 −1 45 34
)
.
Quem recebe a mensagem decodifica-a através da multiplicação pela inversa
((M · C) · C−1 = M)
e posterior transcrição dos números pelas letras. A matriz C é chamada matriz
chave para o código. Usaremos C para trancar e C−1 para destrancar.
Com base no texto acima responda os ı́tens abaixo:
a) Codifique a palavra ENOBRECER através da chave C exibindo como resposta a cadeia
numérica
b) Decodifique a mensagem (
2 59 43 11 7 16 −4 72 49
)
.
usando a chave C
c) Marcelo e Bianca são estudandes de engenharia de uma mesma turma e além disso são vizinhos.
Marcelo pediu para Bianca se ela poderia enviar a senha do wi-fi. Ela disse que sim sem a
menor resistência, mas mandaria como mensagem codificada. Então codificou a senha que
era PARADIGMA, através da chave
C1 =
 1 1 −11 1 0
0 0 2
 .
Acontece que Marcelo não conseguiu decodificar a mensagem. Qual foi a artimanha ado-
tada por Bianca para que ele não conseguisse decifrar a mensagem? Prove seus argumentos
matematicamente.