Circunferência e Círculo: Conceitos e Posições Relativas

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 
Circunferência 
É o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto 
dado desse plano é igual a uma 
distância, não nula, dada. O 
ponto dado é o centro da cir-
cunferência e a distância o raio 
da circunferência. 
O segmente que une dois pon-
tos distintos de uma circunfe-
rência é denominado corda da 
circunferência. 
O diâmetro é a maior corda de 
uma circunferência e mede o dobro do raio. 
Arco de uma circunferência 
Consideremos uma circunferência λ de centro O e sejam A e B dois 
pontos de λ que não sejam extremidades de um diâmetro. 
a) arco menor é a reunião 
dos conjuntos dos pontos A, B 
e de todos os pontos de λ que 
estão no interior do ângulo 
 ; 
b) arco maior é a reunião 
dos conjuntos dos pontos A, B 
e de todos os pontos de λ que 
estão no exterior do ângulo 
 . 
 
Salvo aviso contrário, a indicação arco estará se referindo ao 
arco menor . 
Semicircunferência é a 
reunião é a reunião dos con-
juntos dos pontos A, B e de 
todos os pontos da circunfe-
rência que estão num mesmo 
semiplano determinados pela 
reta , sendo um diâme-
tro da circunferência. 
 
CÍRCULO 
Círculo é o conjunto dos pontos de um 
plano cuja distância a um ponto dado 
desse plano é menor ou igual a uma 
distância (não nula) dada. 
 
 
 
Setor circular 
Setor circular AOB é a reunião dos 
pontos dos raios AO e OB e de todos 
os pontos do círculo e que estão no 
interior do ângulo. 
 
 
 
Segmento circular 
Segmento circular menor AB é a inter-
seção do círculo λ com o semiplano 
de origem na reta e que não 
contém o centro de λ. 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E CIRCUNFERÊNCIA 
1) secante: Uma reta secante a uma circunferência é uma reta 
que intercepta a circunferência em dois pontos distintos. 
 
 
Toda reta secante a uma circunfe-
rência nos pontos A e B é perpendicu-
lar ao raio no ponto médio do seg-
mento AB. 
 
 
2) Tangente: é a reta que toca a circunferência em um único 
ponto (P). Esse ponto é conhecido como ponto de tangência. 
 
 
Toda reta tangente a uma circun-
ferência é perpendicular ao raio no 
ponto de tangência. 
 
 
 
3) Exterior: É a reta que não tem nenhum ponto em comum 
com a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
1) interna: Uma circunferência é interna a outra se todos os 
seus pontos são pontos internos da outra. 
2) Tangente interna: Uma circunferência é tangente interna a 
outra se têm um único ponto comum e os demais pontos da pri-
meira são pontos internos da segunda. 
3) secantes: Duas circunferências são secantes se têm em co-
mum somente dois pontos distintos. 
4) tangentes externas: Duas circunferências são tangentes ex-
ternas se têm um único ponto comum e os demais pontos de uma 
são externos a outra. 
 
 
5) externas: Duas circunferências são externas se os pontos de 
uma delas são externos à outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os seg-
mentos PA e PB, tangentes a circunferência nos pontos A e B, então 
os segmentos PA e PB são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a 
soma de dois lados opostos é igual à 
soma dos outros dois. 
 
 
 
 
 
ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
Ângulo central 
Ângulo central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o 
vértice no centro da circunferência. 
 
A medida do ângulo central de uma circunferência é igual ao arco 
menor correspondente. 
 
 
 
 
 
Ângulo inscrito 
Ângulo inscrito relativo a uma circunfe-
rência é um ângulo que tem o vértice na 
circunferência e os lados são secantes a 
ela. 
Um ângulo inscrito é igual a metade 
do ângulo central correspondente. 
 
 
 
 
 Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. 
 Se um quadrilátero convexo é inscrito em uma circunferência, 
então os ângulos opostos são suplementares. 
 Ângulo excêntrico interior 
Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior da circun-
ferência. 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo excêntrico exterior 
É o ângulo com vértice no exterior de uma circunferência formado 
por duas semirretas secantes ou tangentes a circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo de segmento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Determine o valor do ângulo x nos casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sendo d a distância de uma reta ao centro de uma circunferência 
de raio r, determine as posições relativas nos casos a seguir: 
a) r = 1cm e d = 2cm b) r = 5cm e d = 2cm 
c) r = 2cm e d = 2cm 
3. A maior distância de um ponto exterior a uma circunferência é 
18cm e a menor é 2cm. Calcular o raio desse círculo. 
4. Dois círculos de centro B e C são tangentes exteriormente e ambos 
tangentes interiormente de um círculo de centro A. Sabendo que 
 , achar os raios dos três círcu-
los de centros A, B e C. 
5. De um ponto exterior a um círculo traça-se as tangentes , 
tais que . Calcular o perímetro do triângulo APB, sendo 
 . 
6. Duas circunferências concêntricas têm raios 8dm e 12dm, res-
pectivamente. Determinar os raios dos círculos tangentes às duas 
ao mesmo tempo. 
7. Na figura abaixo, . Determine o perímetro do triângu-
lo ABC. 
 
 
 
 
8. Calcule o valor de x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Na figura, o arco é igual a 100° e o arco mede 30°. 
Calcule o valor de x. 
 
 
 
10. Na figura, sendo = 260°, calcule o valor de α. 
 
 
 
 
 
 
11. ( FUVEST) A medida do ângulo inscrito na circunferência de 
centro O é, em graus: 
A) 100 
B) 110 
C) 120 
D) 125 
 12. (UEBA) Observe a figura. Ela mostra dois círculos de mesmo 
raio com centros em A e B. Pode-se afirmar que o ângulo x vale: 
A) 20º 
B) 15º 
C) 25º 
D) 30º 
 
13. (UFMG) – Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
A medida do ângulo , em graus, é: 
A) 38 B) 63 C) 79 D) 87 
 
14. (UFMG) – Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao 
triângulo ABC, e os ângulos medem, respectivamente, 
200 e 850. Assim sendo o ângulo mede: 
A) 250 C) 300 
B) 350 D) 400 
15. (U.C. Salvador) Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles e 
BD é bissetriz do ângulo de vértice B. A medida θ, do ângulo assina-
lado, é: 
A) 55º 
B) 50º 
C) 45º 
D) 40º 
 
16. A distância entre os centros de duas circunferências tangentes 
internamente é 5cm. Se a soma dos raios é 11cm, determine os 
raios. 
17. Na figura, determine a medida do segmento , sabendo que a 
circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC e que os 
lados medem, respectivamente, 6 cm, 8 cm e 10 cm. 
 
 
 
 
 
 
18. Determine o valor de x nos casos: 
a) s é perpendicular a AB. AP = 3x – 5 e PB = x + 7 
 
 
 
 
 
b) PA e PB são tangentes à circunferência. 
 
 
 
 
 
* 2x + 20 no lugar de 2x - 20 
 
19. Observe a figura. Nela AB = OD e  = 250. Sabendo que O é o 
centro da circunferência, a medida de , em graus, é: 
A) 300 
B) 370 30´ 
C) 450 
D) 600 
 
 
20. (FUVEST) – Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC. 
Seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BÂC mede: 
A) 150 C) 360 
B) 300 D) 450 
 
21. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à cir-
cunferência. Se então, a medida do ângu-
lo DÂE, em graus, é: 
A) 100 
B) 200 
C) 300 
D) 400 
 
 
GABARITO 
1. a) 350 ; b) 1000 ; c) 600 ; d) 250 ; e) 500 ; f) 200 // 2. a) exterior ; 
b) secante; c) tangente. // 3. R = 8 cm // 4. 6; 8 e 16 // 5. 36 cm 
// 6. 2 dm e 10 dm. // 7. 40 cm // 8. a) 800 ; b) 900 ; c) 520// 
9. 350 // 10. 800 // 11. D // 12. A // 13. C // 14. A // 15. D 
// 16. 3 e 8 // 17. BD = 2 // 18. a) x = 6; b) x = 9 // 19. B // 
20. B // 21. A