Lista-de-Semelhança-de-Triângulos

Prévia do material em texto

www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
2
 
1. (G1 - cftmg 2016) Na figura a seguir, o segmento AC representa uma parede cuja altura é 
2,9 m. A medida do segmento AB é 1,3 m o segmento CD representa o beiral da casa. Os 
raios de sol 1r e 2r passam ao mesmo tempo pela casa e pelo prédio, respectivamente. 
 
 
 
Se 1r é paralelo com 2r , então, o comprimento do beiral, em metros, é 
a) 0,60. 
b) 0,65. 
c) 0,70. 
d) 0,75. 
 
2. (G1 - cp2 2016) Observe a imagem (Figura 1) produzida pelo Observatσrio Astronτmico de 
Lisboa (OAL) do eclipse total ocorrido no mκs de setembro de 2015. Nela percebe-se a existκncia 
de um cone de sombra. 
 
 
 
A partir desta imagem, foi construνdo o esquema matemαtico apresentado na Figura 2: 
 
 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
3
Com base no esquema da Figura 2, e sabendo que os raios da Terra (RT) e do Sol (RS) medem, 
aproximadamente, 6.000 km e 690.000 km, respectivamente, e que a distβncia entre Terra e Sol 
(DTS) ι de 150.000.000 km, entγo o comprimento aproximado da altura x desse cone de sombra ι 
de 
a) 570.000 km. 
b) 800.000 km. 
c) 1.300.000 km. 
d) 1.500.000 km. 
 
3. (Eear 2017) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, 
respectivamente, de AB e AC, de forma que AD 4, DB 8, DE x, BC y, e se DE BC, 
então 
 
 
a) y x 8  
b) y x 4  
c) y 3x 
d) y 2x 
 
4. (Unesp 2017) Na figura, o losango FGCE possui dois lados sobrepostos aos do losango 
ABCD e sua área é igual à área indicada em verde. 
 
 
 
Se o lado do losango ABCD mede 6 cm, o lado do losango FGCE mede 
a) 2 5 cm. 
b) 2 6 cm. 
c) 4 2 cm. 
d) 3 3 cm. 
e) 3 2 cm. 
 
5. (G1 - cp2 2017) Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em A e D, 
respectivamente. Sabe-se que AC 15 cm, AD 16 cm e BD 12 cm. 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
4
 
 
A área do triângulo ABE é de 
a) 2100 cm . 
b) 296 cm . 
c) 275 cm . 
d) 260 cm . 
 
6. (Epcar (Afa) 2017) Considere, no triângulo ABC abaixo, os pontos P AB, Q BC, 
R AC e os segmentos PQ e QR paralelos, respectivamente, a AC e AB. 
 
 
 
Sabendo que BQ 3 cm, QC 1cm e que a área do triângulo ABC é 28 cm , então a área do 
paralelogramo hachurado, em 2cm , é igual a 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
7. (G1 - cftmg 2016) No triângulo ABC da figura a seguir, MN / /BC e a medida de AC é igual 
a 30 cm. Sabe-se que o ponto M dista 8 cm do vértice B, que AB mede 2
3
 da medida de 
AC e que a medida de BC vale a metade da medida de AC. 
 
 
 
O perímetro do triângulo AMN da figura, mede, em cm, 
a) 15. 
b) 21. 
c) 27. 
d) 39. 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
5
 
8. (Fgv 2017) O quadrado PQRS está inscrito em um círculo de centro C. A corda intersecta 
a diagonal do quadrado em A, sendo que QA 6 cm e AB 4 cm. 
 
 
 
Nas condições descritas, a medida do lado do quadrado PQRS, em cm, é igual a 
a) 2 10. 
b) 5 2. 
c) 2 15. 
d) 6 2. 
e) 7 2. 
 
9. (Fmp 2017) Os lados de um triângulo medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, e sua área mede 
284 cm . Considere um segundo triângulo, semelhante ao primeiro, cuja área mede 2336 cm . 
 
A medida do perímetro do segundo triângulo, em centímetros, é 
a) 42 
b) 84 
c) 126 
d) 168 
e) 336 
 
10. (Fuvest 2017) Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB 4 e BC 2. 
Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio do lado CD. Os segmentos AM e 
AC interceptam o segmento BN nos pontos E e F, respectivamente. 
 
 
 
A área do triângulo AEF é igual a 
a) 24
25
 
b) 29
30
 
c) 61
60
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
6
d) 16
15
 
e) 23
20
 
 
11. (Pucsp 2017) Considere uma circunferência tangente aos eixos ortogonais cartesianos nos 
pontos A e B, com 10 cm de raio, conforme mostra a figura. 
 
 
 
Sabendo que os pontos E, F, C, D (k, 4) estão alinhados, a medida do segmento EF é 
a) 1,0 cm 
b) 1,5 cm 
c) 2,0 cm 
d) 2,5 cm 
 
12. (Cefet MG 2015) Na figura abaixo, temos um retângulo ABCD com medidas AB 10 m e 
BC 5 m. Suponha que AE AF 2 m,  que os segmentos EC e FG sejam paralelos e que a 
circunferência tangencie os segmentos EC e FG. 
 
 
 
O diâmetro da circunferência, em metros, mede 
a) 2. 
b) 5 .
2
 
c) 26 109 .
109
 
d) 13 109 .
50
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
7
e) 27 109 .
110
 
 
13. (G1 - cftmg 2015) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de 
largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola 
branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como 
a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a 
mesma possa rebater e colidir com a preta. 
 
 
 
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento 
são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente 
a) 67 
b) 70 
c) 74 
d) 81 
 
14. (Ime 2017) Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado 
AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os 
segmentos formados AE, BF, CG, e DH tenham comprimento igual a 3a .
4
 
 
A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH , e DE 
mede: 
a) 
2a
25
 
b) 
2a
18
 
c) 
2a
16
 
d) 
2a
9
 
e) 
22a
9
 
 
15. (Ime 2015) Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais perpendiculares. 
Determine a área do trapézio. 
a) ab
2
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
8
e) 27 109 .
110
 
 
13. (G1 - cftmg 2015) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de 
largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola 
branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como 
a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a 
mesma possa rebater e colidir com a preta. 
 
 
 
Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento 
são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente 
a) 67 
b) 70 
c) 74 
d) 81 
 
14. (Ime 2017) Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado 
AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os 
segmentos formados AE, BF, CG, e DH tenham comprimento igual a 3a .
4
 
 
A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH , e DE 
mede: 
a) 
2a
25
 
b) 
2a
18
 
c) 
2a
16
 
d) 
2a
9
 
e) 
22a
9
 
 
15. (Ime 2015) Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais perpendiculares. 
Determine a área do trapézio. 
a) ab
2
 
b) 
2a b
2
 
 
 
 
c) a b ab
2
 
 
 
 
d) 2a b ab
2
 
 
 
 
e) 2a b a b
2
 
 
 
 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
9
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Sendo os triângulos retângulos semelhantes por AA e BC 1,6 m, temos 
 
CD 1,6 CD 0,6 m.
3 8
   
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
 
 
Considerando os triângulos PAB e PCS semelhantes na figura, podemos escrever: 
km4,1315789x150000000x114
150000000xx115
115
1
150000000x
x
690000
6000
150000000x
x




 
 
Ou seja, aproximadamente1.300.000 km. 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Sendo DE BC, tem-se que os triângulos ABC e ADE são semelhantes por AA. Portanto, 
segue que 
 
AD DE 4 x y 3x.
12 yAB BC
     
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Desde que os losangos FGCE e ABCD são semelhantes, temos 
 
2(FGCE) 1 k ,
(ABCD) 2
  com k sendo a razão de semelhança. 
 
Por conseguinte, dado que AB 6cm, vem FG 1 FG 3 2 cm.
AB 2
   
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
2 2 2 2AB 12 16 AB 144 256 AB 20       
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
10
 
 
 
AEH ~ ABD
h x 4hx
12 16 3
Δ Δ
  
 
 
EHB ~ CAB
h y 4hy
15 20 3
Δ Δ
  
 
 
Como x y 20,  podemos escrever: 
4h 4h 20 h 7,5 cm
3 3
    
 
Portanto, a área do triângulo ABE será dada por: 
220 7,5A 75 cm
2

  
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
Calculando: 
2
RQC RQC
RQC
ABC
2
PBQ PBQ
PBQ
RQC
hachurado ABC PBQ RQC hachurado
S SCQ 1 1 1 1 1S 2CB 4 S 4 16 16 8
S S3 9 9 9S 21S 1 1 1 2
9 1S S S S 8 S 32 2
         
 
       
 
       
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Os triângulos ABC e AMN são semelhantes por AA. Em consequência, sabendo que 
AM 12cm e ABC2p 30 20 15 65cm,    temos: 
 
AMN
AMN
ABC
AMN
2p AM 122p 65
2p 20AB
2p 39cm.
   
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Considere a figura, em que é a medida do lado do quadrado PQRS. 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
11
 
 
 
É fácil ver que os triângulos BQS e CQS são semelhantes por AA. Ademais, como 
QS 2 cm e C é ponto médio de QS, temos 
2
2
QC QA 62
10QB QS 2
60
2 15 cm.
  
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Seja 2p o perímetro desejado. Como os triângulos são semelhantes e o perímetro do primeiro 
triângulo é igual a 13 14 15 42cm,   temos 
 
2 22p 336 2p 4
42 84 42
2p 84cm.
        
   
 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
De acordo com o enunciado: 
 
 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
12
NFC AFB
2 x y 2x
4 y
2x 3x y 2 x 2x 2
4y 3
MEN MAN
1 a b 4a
4 b
1a 5a b 1 a 4a 1
4b 5
 
  
       

 
  
       

 
 
Assim, a área do triângulo AEF será: 
AEF ABF ABE
AEF AEF
S S S
4 44 44y 4b 8 8 163 5S S
2 2 2 2 3 5 15
  
 
 
 
       
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Como a circunferência é tangente aos eixos coordenados e está no primeiro quadrante, as 
coordenadas do seu centro são  C 10,10 . Logo: 
 
 
 
Analisando o triângulo destacado em vermelho, percebe-se que ele tem catetos 6 e 8 (por 
Pitágoras). Assim, a coordenada do ponto D será (18, 4). Ainda: o triângulo em vermelho é 
semelhante ao triângulo EBC (em azul). Logo, pode-se escrever: 
EC 10 EC 12,5
10 8
EF EC 10 EF 2,5
  
   
 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
13
 
 
Os triângulos CDE, FBG e GHC são semelhantes por AA. Logo, temos 
 
CD DE 10 3
8FB BG BG
12BG m.
5
  
 
 
 
Donde vem 13GC m.
5
 Além disso, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, 
encontramos CE 109 m. 
 
Finalmente, da semelhança dos triângulos CDE e GHC, segue que 
 
13
GH GC GH 5
10CD CE 109
26 109GH m.
109
  
 
 
 
Resposta da questão 13: 
 [A] 
 
 
 
 PQ 0,8PQL ~ BCL PQ 0.666666... m
1 1,,2
Δ Δ     
 
Ou seja, aproximadamente 67cm. 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
semelhança de triângulos
14
Pode-se desenhar, segundo o enunciado: 
 
 
 
2
2
2
2
3aAE BF CG DH
4
aEB FC GD AH
4
AED BFA CGB DHC
Quadrilátero amarelo quadrado de lado x
PE AD x a a ax Área xa 5 25DG DE 3a4 a
4
   
   
      

       
   
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Desenhando o trapézio com os dados do enunciado, tem-se: 
 
 
 
Por semelhança de triângulos, pode-se escrever: 
2
trapézio trapézio
ABC ABD
h a h ab h ab
b h
a b a bS h S ab
2 2
Δ Δ
    
           
   
 
http://desempenhomax.com.br
www.desempenhomax.com.br
Endereço: Rua Itapeva, 378, 1º andar, Bela Vista
São Paulo, SP, 01332-000 (ao lado da FGV)
Contato: (11) 996-612-344
http://desempenhomac.com.br