PPGSEPAE14 Componentes Simétricas

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PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
COMPONENTES SIMÉTRICAS
Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Objetivo da Aula
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 Apresentar o uso do teorema das componentes
simétricas para determinar os valores de
corrente de curto-circuito monofásico e bifásico
em sistemas elétricos de potência.
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Conteúdo Programático
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 Componentes Simétricas
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Construção de Conhecimento 
Esperado
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 Desenvolver proficiência na aplicação do
teorema das componentes simétricas para
determinar os valores de corrente de curto-
circuito monofásico e bifásico em sistemas
elétricos de potência.
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Curto-Circuito Monofásico
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MonofásicoMonofásico
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Curto-Circuito Bifásico
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Bifásico Bifásico
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Premissas
 Sistema trifásico equilibrado
– Tensões e correntes em simetria → cada grandeza é
composta por três fasores de módulos iguais e
defasados entre si de 120°;
– Matrizes de impedância dos componentes da rede
elétrica equilibrada são diagonais com todos os
elementos iguais → representa o desacoplamento
entre fases;
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PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Premissas
 Sistema trifásico equilibrado
– Portanto, todas as análises de um sistema trifásico
equilibrado podem ser feitas baseando-se em
apenas uma fase desse;
– O conhecimento da corrente ou da tensão nesta
fase possibilita a determinação das variáveis
correspondentes nas outras duas fases.
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Premissas
 Porém, para um sistema desequilibrado não é
possível tratar de forma independente cada
uma de suas fases;
– Devido aos desequilíbrios as fases do sistema
elétrico continuam acopladas.
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PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Como Calcular um Curto-Circuito 
Desequilibrado ?
 Fortescue, C. L., Method of Symmetrical Co-
Ordinates Applied to the Solution of Polyphase
Networks, American Institute of Electrical
Engineers, Transactions of the , vol.XXXVII, no.2,
pp.1027-1140, July 1918 doi: 10.1109/T-
AIEE.1918.4765570.
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PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Enunciado do Teorema de 
Fortescue
 “Um sistema desequilibrado de n fasores
correlacionados pode ser decomposto em n
sistemas de fasores equilibrados. Os n fasores
de cada conjunto de componentes são iguais
em comprimento e os ângulos entre os fasores
adjascentes do conjunto são iguais.”
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PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Exemplificando para Sistema 3Ø
 VA, VB e VC – Tensões do SEP
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VA
VB
VC
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Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 Sequencia positiva
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Va1
Vc1
Vb1
W
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎⌊0°
�̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 = 1 �240° × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 = 1 �120° × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎⌊0°
�̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 = �̇�𝑎2 × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 = 𝑎𝑎 × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
Em módulo �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎= �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎= �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎
�̇�𝑎 = 1⌊120°; �̇�𝑎2 = 1⌊240°
Possui a mesma sequencia de fase do
sistema original desbalanceado.
Operador rotacional
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 Sequencia negativa
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Vb2 Vc2
Va2
W
�̇�𝑉𝑎𝑎2 = �̇�𝑉𝑎𝑎2⌊0°
�̇�𝑉𝑏𝑏2 = �̇�𝑎 × �̇�𝑉𝑎𝑎2
�̇�𝑉𝑐𝑐2 = �̇�𝑎2 × �̇�𝑉𝑎𝑎2
Para possibilitar as operações algébricas com
fasores, os de sequencia negativa deverão girar no
mesmo sentido da sequencia positiva logo W2=W1.
Para fazer isso, troca-se a denominação dos
fasores b e c.
�̇�𝑉𝑎𝑎2 = �̇�𝑉𝑎𝑎2⌊0°
�̇�𝑉𝑏𝑏2 = 1 �120° × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑐𝑐2 = 1 �240° × �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
Em módulo �̇�𝑉𝑎𝑎2= �̇�𝑉𝑏𝑏2= �̇�𝑉𝑐𝑐2
�̇�𝑎 = 1⌊120°; �̇�𝑎2 = 1⌊240°
Operador rotacional
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 Sequencia zero
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�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 = �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎
Os fasores estão em fase, por isso apenas um foi representado.
W
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Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 O sistema desequilibrado é representado pela
combinação linear de V1, V2 e V0.
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Va1
Vc1
Vb1
W
Vb2 Vc2
Va2
W
SEQUENCIA + SEQUENCIA –
Va0=Vb0=Vc0
W
SEQÜÊNCIA 0
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 O sistema desequilibrado é representado pela combinação
linear de V1, V2 e V0.
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Va1
Va2 Vb1
Vb2
Va0
Vb0
Vc1
Vc2
Vc0
VA
VB
VC
Va1
Vc1
Vb1
W
Vb2 Vc2
Va2
W
SEQUENCIA + SEQUENCIA –
Va0=Vb0=Vc0
W
SEQÜÊNCIA 0
PPGSEPAE14 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE CURTO-CIRCUITO EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Exemplificando para Sistema 
Trifásico
 Portanto:
– “Um sistema trifásico de três fasores
desbalanceados pode ser decomposto em
três sistemas trifásicos de três fasores
balanceados chamados de componentes
simétricas de sequencia positiva, negativa e
zero”.
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Componentes Simétricas
 Expressão analítica do teorema de Fortescue:
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�̇�𝑉𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎2
�̇�𝑉𝑏𝑏 = �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 + �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 + �̇�𝑉𝑏𝑏2
�̇�𝑉𝑐𝑐 = �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 + �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 + �̇�𝑉𝑐𝑐2
A B C D
A - Sistema trifásico desequilibrado;
B – Sistema trifásico equilibrado de sequencia zero;
C - Sistema trifásico equilibrado de sequencia positiva;
D - Sistema trifásico equilibrado de sequencia negativa.
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Componentes Simétricas
 Expressão analítica do teorema de Fortescue:
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�̇�𝑉𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎2
�̇�𝑉𝑏𝑏 = �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 + �̇�𝑉𝑏𝑏𝑎 + �̇�𝑉𝑏𝑏2
�̇�𝑉𝑐𝑐 = �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 + �̇�𝑉𝑐𝑐𝑎 + �̇�𝑉𝑐𝑐2
�̇�𝑉𝑎𝑎 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑉𝑎𝑎2
�̇�𝑉𝑏𝑏 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑎2�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑎�̇�𝑉𝑎𝑎2
�̇�𝑉𝑐𝑐 = �̇�𝑉𝑎𝑎𝑎 + ̇�̇�𝑎𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎 + �̇�𝑎2�̇�𝑉𝑎𝑎2
Exprimindo os componentes
Vb e Vc em função de a e Va: �̇�𝑉𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑏𝑏
�̇�𝑉𝑐𝑐
=
1 1 1
1 �̇�𝑎2 �̇�𝑎
1 �̇�𝑎 �̇�𝑎2
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎2
Em forma matricial
A=matriz de transformação
(1)
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Componentes Simétricas
 Expressão analítica do teorema de Fortescue
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Invertendo [A] e multiplicando (1)
em ambos os lados por [A]-1 :
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎2
=
1
3
1 1 1
1 �̇�𝑎 �̇�𝑎2
1 �̇�𝑎2 �̇�𝑎
�̇�𝑉𝑎𝑎
�̇�𝑉𝑏𝑏
�̇�𝑉𝑐𝑐
�̇�𝑉𝐴𝐴𝑎 =
1
3
�̇�𝑉𝐴𝐴 + �̇�𝑉𝐵𝐵 + �̇�𝑉𝐶𝐶
�̇�𝑉𝐴𝐴𝑎 =
1
3
(�̇�𝑉𝐴𝐴 + �̇�𝑎�̇�𝑉𝐵𝐵 + �̇�𝑎2�̇�𝑉𝐶𝐶)
�̇�𝑉𝐴𝐴2 =
1
3
(�̇�𝑉𝐴𝐴 + �̇�𝑎2�̇�𝑉𝐵𝐵 + �̇�𝑎�̇�𝑉𝐶𝐶)
Em forma algébrica:
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Componentes Simétricas
 Expressão analítica do teorema de Fortescue
– Para corrente
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̇𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑎𝑎2
=
1
3
1 1 1
1 𝑎𝑎 �̇�𝑎2
1 �̇�𝑎2 𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑏𝑏
̇𝐼𝐼𝑐𝑐
Em forma matricial:
̇𝐼𝐼𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑏𝑏
̇𝐼𝐼𝑐𝑐
=
1 1 1
1 �̇�𝑎2 𝑎𝑎
1 �̇�𝑎 �̇�𝑎2
̇𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑎𝑎𝑎
̇𝐼𝐼𝑎𝑎2
Em forma algébrica:
̇𝐼𝐼𝐴𝐴𝑎 =
1
3
̇𝐼𝐼𝐴𝐴 + ̇𝐼𝐼𝐵𝐵 + ̇𝐼𝐼𝐶𝐶
̇𝐼𝐼𝐴𝐴𝑎 =
1
3
( ̇𝐼𝐼𝐴𝐴+ �̇�𝑎 ̇𝐼𝐼𝐵𝐵 + �̇�𝑎2 ̇𝐼𝐼𝐶𝐶)
̇𝐼𝐼𝐴𝐴2 =
1
3
( ̇𝐼𝐼𝐴𝐴 + �̇�𝑎2 ̇𝐼𝐼𝐵𝐵 + �̇�𝑎 ̇𝐼𝐼𝐶𝐶)
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Componentes Simétricas
 Resumindo:
– Componente de sequencia positiva: constituída por três
fasores de módulos iguais e defasados entre si de 120°,
tendo a mesma sequencia de fases do sistema original (abc);
– Componente de sequencia negativa: constituída por três
fasores de módulos iguais e defasados entre si de 120°,
tendo a sequencia de fases inversa do sistema original (acb);
– Componente de sequencia zero: constituída por três fasores
de módulos iguais e em fase.
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Componentes Simétricas
 Observações:
– A sequência Zero só existe em sistemas aterrados ou
com neutro;
– Num sistema trifásico com condutor neutro ̇𝐼𝐼𝑛𝑛 = ̇𝐼𝐼𝑎𝑎 +̇𝐼𝐼𝑏𝑏 + ̇𝐼𝐼𝑐𝑐  ̇𝐼𝐼𝑎𝑎0 ̇= ⁄1 3 𝐼𝐼𝑛𝑛 ̇𝐼𝐼𝑛𝑛 = 3 ̇𝐼𝐼𝑎𝑎0
– Quando não há retorno → ̇𝐼𝐼𝑛𝑛 = 0 → correntes de
seqüência 0 são nulas (carga ligada em ∆ não tem
corrente de seqüência nula).
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Componentes Simétricas
 Observações:
– A sequência Negativa só existe se houver um
desbalanço nas tensões ou correntes;
– A sequência Positiva sempre está presente no
sistema elétrico.
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Componentes Simétricas
26
 A potência em termos de componentes
simétricas:
(2)
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27
 A potência em termos de componentes
simétricas:
– Lembrando que:
(3)
(4)
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28
 A potência em termos de componentes
simétricas:
– Substituindo (3) e (4) em (2):
(5)
(6)
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Componentes Simétricas
29
 A potência em termos de componentes
simétricas:
– Porém:
– Logo, substituindo (7) em (6):
(7)𝐴𝐴 𝑇𝑇 𝐴𝐴 ∗ = 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(8)
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Componentes Simétricas
30
 A potência em termos de componentes
simétricas:
– Lembrando que:
– Por fim,
(9)
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Componentes Simétricas -
Impedância
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 Em termos de componentes simétricas:
(10)
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Impedância
32
 Em termos de componentes simétricas:
– Lembrando que e reordenando
(10)
(11)
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Componentes Simétricas -
Impedância
33
 Em termos de componentes simétricas:
– Colocando (11) em forma matricial
(12)
(12a)
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Impedância
34
 Em termos de componentes simétricas:
– Matriz original do sistema
Objetivo: Determinar as componentes de sequencia para (12a)
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Impedância
35
 Substituindo (3) em (12a)
Tem-se:
(3)
(13)
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Impedância
36
 Multiplicando (13) por
(14)
(15)
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Componentes Simétricas -
Impedância
37
 Substituindo [A], [A]-1 e [Zabc] em (15)
(16)
O sistema está desacoplado!
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Componentes Simétricas -
Impedância
38
 Substituindo (16) em (14):
(17)
Tensões de uma sequencia
produzirão correntes apenas dessa
sequencia → circuitos de sequencia
desacoplados.
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Modelos de sequencia
39
 Gerador Síncrono
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Modelos de sequencia
40
 Gerador Síncrono
– Sequencia zero para o gerador aterrado
Os potenciais são
tomados em relação
a Terra.
�̇�𝑉𝑁𝑁𝑎𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑎𝑎 = −3�̇�𝑍𝑁𝑁 ̇𝐼𝐼𝑎
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Modelos de sequencia
41
 Gerador Síncrono
– Sequencia zero para o gerador aterrado
• Analisando por fase, com a fase “a” como referência
Para manter a mesma queda de
potencial entre o neutro e a terra.
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Modelos de sequencia
42
 Exemplo Transformador de dois enrolamentos
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Modelos de sequencia
43
 Exemplo Transformador com três enrolamentos
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Referências bibliográficas
44
 STEVENSON, W. D.. Elementos de análise de sistemas de potencia. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil,
1978. 347 p.
 OLIVEIRA, C.C.B.; SCHMIDT, H.P.; KAGAN, N.; ROBBA, E.J. - Introdução a Sistemas Elétricos de Potência
- Componentes Simétricos – 2ª ed. - Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 2000.
 KINDERMANN, G. Curto-circuito. 4. ed. Florianópolis, SC: UFSC, 2007. 233 p.
 KOTHARI, D. P.; NAGRATH, I. J. Modern Power System Analysis. [s.l.] Tata McGraw-Hill Publishing
Company, 2003. 353p.
 SATO, F.; FREITAS, W.. Análise de Curto-Circuito em Princípios de Proteção em Sistemas de Energia
Elétrica – Fundamentos e Prática. Rio de Janeiro: Elsevier Editora Ltda., 2015. 447p.
 CASTRO, C. A. IT 720 – Sistemas de Energia Elétrica I. Notas de aula. Unicamp, 2017, Campinas.
 BENEDITO, R. A. S. ET77J – Sistemas de Potência 1. Notas de aula. UTFPR, 2015, Curitiba.
 ALMEIDA, Álvaro A. W.; Notas de Aula em Sistemas Elétricos de Potência. UTFPR, 2017, Curitiba.
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Obrigado pela Atenção!
Prof. Dr. Ulisses Chemin Netto – ucnetto@utfpr.edu.br
Departamento Acadêmico de Eletrotécnica – DAELT – (41)3310-4626 
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Curitiba - PR - Brasil
	COMPONENTES SIMÉTRICAS
	Objetivo da Aula
	Conteúdo Programático
	Construção de Conhecimento Esperado
	Curto-Circuito Monofásico
	Curto-Circuito Bifásico
	Premissas
	Premissas
	Premissas
	Como Calcular um Curto-Circuito Desequilibrado ?
	Enunciado do Teorema de Fortescue
	Exemplificando para Sistema 3Ø
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Exemplificando para Sistema Trifásico
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas
	Componentes Simétricas - Impedância
	Componentes Simétricas - Impedância
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	Modelos de sequencia
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	Referências bibliográficas
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