cálculo combinatório

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ESCOLA BÁSICA E SECUNDÁRIA DE BARROSELAS 
FICHA FORMATIVA DE MATEMÁTICA A 
12º ano 
Cálculo Combinatório 
 
1. Um novo país quer escolher a sua bandeira: ela terá cinco riscas horizontais (duas riscas contíguas não 
podem ter cores iguais). Estão disponíveis seis cores diferentes. Entre quantas bandeiras diferentes vai ter 
de escolher o povo daquele país? 
 (A) 
465 (B) 23456  (C) 56 (D) 456 
 
 
 
2. Numa caixa tenho 11 lápis, 4 vermelhos e 7 de outras cores, todas diferentes. Quantas maneiras existem 
de extrair simultaneamente 4 lápis sem haver repetição de cor ? 
 (A) 4
11C (B) 
3
7
4
7 CC + (C) 3
7
4
7 4 CC + (D) 1
4
3
7 CC  
 
 
 
3. A professora de Português do 12º A levou 20 dos seus alunos ao teatro; como o teatro tem filas com 
exatamente 20 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes pelos alunos, ao acaso. 
 Se a Ana, a Mariana e a Raquel quiserem ficar as três juntas, o número de maneiras diferentes dos 20 
alunos se sentarem é: 
 (A) !202 (B) !17!32  (C) !18!3 (D) !17!33
6 C 
 
 
 
4. Num armazém há três caixas iguais azuis e oito caixas iguais vermelhas. 
 Um funcionário esteve a numerá-las e, de seguida, vai empilhar as 11 caixas de modo que as três caixas 
azuis fiquem juntas. O número de maneiras de o fazer é : 
 (A) 1
9 C (B) !9!3 (C) 
3
11C (D) 3
11 A 
 
 
 
5. Considera os vértices de um hexágono regular e os pontos médios de cada um dos lados. 
 Quantos triângulos se podem desenhar com os vértices em três desses pontos ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (A) 
3
12C (B) 63
12 −C (C) 3
66 C (D) 
3
26
 
 
 
 
6. O Luís e a Cristina vão a um concerto com mais seis amigos e ocupam uma fila de oito lugares. De quantas 
maneiras podem sentar-se sabendo que o Luís e a Cristina não ficam juntos? 
 (A) 15 120 (B) 30 240 (C) 20 160 (D) 40 320 
 
 
 2 
7. Um treinador de berlinde tem 18 jogadores à sua disposição. De quantas maneiras pode escolher 10 
jogadores, se os dois mais baixos têm sempre que fazer parte dos escolhidos? 
 (A) 
8
16
2
18 CC  (B) 8
16C (C) 2
18
10
18 CC − (D) 10
16C 
 
 
 
8. Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de literatura 
contemporânea. Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse curso. Quantas escolhas 
pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas disciplinas de literatura contemporânea? 
 (A) CCC 3
7
4
7
2
3 + (B) CCC 3
7
4
7
2
3 ++ 
 (C) CCC 3
7
4
7
2
3  (D) CCC 3
7
4
7
2
3 + 
 
 
 
9. Antes do começo de uma partida de basquetebol, é habitual os 12 intervenientes (os 5 jogadores de cada 
equipa e os 2 elementos da equipa de arbitragem) disporem-se uns ao lado dos outros para uma fotografia. 
De quantas maneiras diferentes se podem dispor os 12 intervenientes, se os 2 elementos da equipa de 
arbitragem ficarem ao meio e os jogadores de cada equipa ficarem todos juntos? 
 (A) 480 (B) 57 600 (C) 28 800 (D) 7 257 600 
 
 
 
10. Dez pessoas, seis homens e quatro mulheres, sentam-se lado a lado em fila. De quantas maneiras se 
podem sentar de forma a que as mulheres fiquem juntas ? 
 
(A) CC 6
10
4
10
. (B) 2!4!6  (C) !4!7 (D) AA 6
10
4
10
. 
 
 
 
11. Quantos números de cinco algarismos iguais ou diferentes é possível formar se o algarismo das dezenas 
é ímpar e o das unidades é divisor de 4 ? 
 
 (A) 13 500 (B) 15 000 (C) 10 800 (D) 12 150 
 
 
 
12. Na primeira liga de futebol profissional portuguesa existem 18 clubes. Cada clube realiza 2 jogos com 
cada um dos outros clubes. Quantos jogos tem a liga portuguesa? 
 
(A) 34 (B) 306 (C) 612 (D) 11 016 
 
 
 
 13. Admita que tem à sua frente um tabuleiro de xadrez, no qual pretende colocar os dois cavalos brancos, 
de tal modo que fiquem na mesma fila horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
De quantas maneiras diferentes pode colocar os dois cavalos no tabuleiro, respeitando a condição 
indicada ? 
(A) C 2
88  (B) C 2
64
 (C) 
8
2
64
C
 (D) A2
8
 
 
 
 
14. Considere seis pontos marcados sobre uma circunferência. 
O número de triângulos que é possível desenhar com vértices sobre esses pontos é : 
(A) 20 (B) 120 (C) 18 (D) 17 
 
 
 
15. Um cantor preparou nove temas para um espetáculo. Quatro dos temas são cantados em inglês e os 
restantes em português. 
O número de ordens diferentes pelas quais pode apresentar os 9 temas quando pretende iniciar e terminar 
o espetáculo em português é: 
 
(A) 403 200 (B) 2 880 (C) 60 (D) 100 800 
 
 
 
16. De quantas maneiras diferentes se pode escolher uma equipa de 5 elementos, entre 10 jogadores de 
basquetebol, de modo que 3, pelo menos, tenham mais de 1, 80 m de altura, havendo no grupo inicial 4 
nessas condições. 
 
 
 
17. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5, 7 e 8 formam-se todos os números possíveis menores que 800, com 
algarismos diferentes: 
 
17.1. Quantos números se podem formar ? 
17.2. Quantos números estão compreendido entre 29 e 500. 
 
 
18. Um número telefónico é constituído por cinco dígitos. Quantos números telefónicos contém: 
 18.1. Um ou mais dígitos repetidos? 
 18.2. Exactamente dois dígitos iguais a 3? 
 
 
19. Quantas palavras com 3 letras diferentes, com ou sem sentido, podemos formar com as letras da palavra 
“sporting”, que comecem por uma vogal e que tenham pelo menos uma consoante? 
 
 
 
20. Um canal televisivo tem sete filmes para exibir durante uma semana, um por cada dia. Três dos filmes 
são de comédia, dois infantis e dois de ficção. Indique o número de maneiras de apresentar os filmes: 
 
 20.1. durante a semana, sabendo que os filmes infantis são exibidos no fim-de-semana; 
 20.2. de modo a que a semana comece e termine com um filme de comédia; 
 20.3. sabendo que os filmes de ficção são uma série de dois episódios ( 1º e 2º) e devem ser exibidos em 
dias consecutivos. 
 4 
21. Os números inteiros e positivos como 1991, que se lêem da mesma maneira da direita para a esquerda, 
chamam-se capicuas. 
 
21.1. Quantas capicuas com 3 algarismos se podem escrever com os algarismos de 1 a 9 ? 
21.2. De quantas maneiras se pode completar o número seguinte 
 4 2 
 
 
com os algarismos de 1 a 9, sabendo que é capicua? 
 
 
 
22. Dos anagramas (anagrama: palavra formada pela alteração da ordem das letras de outra palavra) da 
palavra BARCO, 
 
22.1. quantos começam por B ? 
22.2. quantos têm juntas as letras BAR (não necessariamente por esta ordem) ? 
22.3. quantos possuem a sílaba “CA” ?23. Houve um atropelamento e o motorista fugiu. 
 Ouvidas as testemunhas, chegou-se às seguintes conclusões : 
• a parte literal da matrícula é formada por uma vogal seguida de uma consoante (considere que o 
alfabeto tem 23 letras). 
• a parte numérica consta de quatro algarismos diferentes, é um número ímpar e o 3º algarismo é zero. 
 
Quantas são as matrículas suspeitas? 
 
 
 
24. Numa turma, há seis alunos que são jogadores de ténis e outros cinco que jogam xadrez. 
 Para participarem numa competição, devem ser escolhidos três tenistas e dois jogadores de xadrez. 
24.1. De quantos modos diferentes pode ser feita a seleção dos cinco alunos? 
24.2. Verifique que, se um dos jogadores de ténis adoecer, o número de escolhas reduz-se a metade. 
 
 
25. Num teste de Matemática com 20 perguntas, cada aluno tem de responder a 15. Quantas hipóteses há 
de as escolher, se : 
 
25.1. não houver qualquer restrição ? 
25.2. as cinco primeiras perguntas são obrigatórias ? 
25.3. não podem responder simultaneamente às duas primeiras? 
 
 
26. Na linguagem binária de computadores, um “byte” é constituído por 8 algarismos, apenas escolhidos entre 
o zero e o um. Quantos “bytes” diferentes é possível obter ? 
 
 
 5 
27. Seis alunos de uma turma, juntamente com o professor M., vão apresentar um trabalho aos restantes 
colegas. De quantas maneiras se podem dispor no estrado, sabendo que: 
 
27.1. o professor fica numa ponta e os alunos a seguir? 
27.2. o professor fica no meio? 
 
 
28. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, quantos números maiores que 200, sem repetição de algarismos, é possível 
escrever? 
 
 
29. Quatro rapazes e uma rapariga pretendem utilizar um banco de quatro lugares. De quantas maneiras 
diferentes podem sentar-se, nunca ficando de pé a rapariga? 
 
 
 
30. Como é sabido os números de telemóveis da operadora TMN têm 9 algarismos começando sempre por 
96. Quantos desses números são múltiplos de dez e têm todos os algarismos diferentes? 
 
 
 
31. Todos os médicos que estão de serviço na Urgência se cumprimentaram apertando a mão. 
 Sabendo que foram dados 45 apertos de mão, quantos médicos estão de serviço? 
 
 
 
32. Do conjunto de todos os números de três algarismos constituídos com os algarismos de um a nove, alguns 
deles satisfazem as condições: 
 A – têm os algarismos todos diferentes e são pares; 
 B – têm exatamente dois algarismos iguais; 
 C – a soma dos três algarismos é impar. 
 
 Quantos são os números que satisfazem: 
 
 32.1. a condição A ? 32.2. a condição B ? 32.3. a condição C ? 
 
 
 
33. Quantos números pares entre 3000 e 8000 se podem escrever utilizando os algarismos 0 , 2 , 3 , 4 , 7 e 
sem algarismos repetidos? 
 
 
 
34. Numa turma há 29 alunos, dos quais 12 são raparigas. De quantas formas se pode escolher um grupo de 
10 alunos desta turma, de modo que: 
 34.1. haja tantos rapazes como raparigas? 
 34.2. o João, que é um aluno da turma, pertença à comissão? 
 
 
35. A Inês tem 5 livros de Matemática e 5 livros de Física. De quantas formas diferentes os pode colocar numa 
prateleira se: 
 35.1. os livros da mesma disciplina ficam juntos? 
 35.2. os livros de Matemática e Física ficam colocados alternadamente? 
 6 
36. Para uma telenovela vão ser selecionados três rapazes e duas raparigas para representar papéis 
diferentes. Para os papéis masculinos há 10 candidatos e para os lugares femininos há 7 candidatas. 
 De quantas formas diferentes é possível fazer a seleção? 
 
 
 
37. No balcão de uma geladaria existe um recipiente com dez compartimentos, cinco à frente e cinco atrás, 
para colocar gelado. Em cada compartimento só é colocado um sabor, e nunca existem dois compartimentos 
com o mesmo sabor. 
 Num certo dia, a geladaria tem sete sabores disponíveis: cinco são de fruta (morango, ananás, pêssego, 
manga e framboesa) e os outros dois são baunilha e chocolate. 
 37.1. De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente? 
 37.2. De quantas maneiras distintas se podem colocar os sete sabores no recipiente, de tal forma que os 
cinco de fruta preencham a fila da frente? 
 
 
38.Considere o seguinte problema: 
 Utilizando os cinco algarismos do número 41 123, quantos números podem ser formados? 
 !32
5 C e 
3
5 A são duas respostas corretas. 
 Explique o raciocínio que conduziu a cada umas dessas respostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas : 1)D 2)C 3)C 4)B 5)B 6)B 7)B 8)D 9)B 10)C 11)A 12)B 13)A 14)A 15)D 16)66 17.1)193 17.2)114 
18.1)69 760 18.2)7290 19)84 20.1)240 20.2)720 20.3)720 21.1)81 21.2)81 22.1)24 22.2)36 22.3)24 
23)25 200 24.1)200 25.1)15 504 25.2)3 003 25.3)6 936 26)256 27.1)1 440 27.2)720 28)42 29)96 
30)5040 31)10 32.1)224 32.2)216 32.3)525 33)48 34.1)4 900 896 34.2)6 906 900 35.1)28 800 35.2)28 
800 36)30 240 37.1)604 800 37.2)2 400 
 
 
 
 
 
 
 BOM TRABALHO!