Teoria da Incerteza Microeconomia Curso Cec lia Menon

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Notas de Aula 4 - Teoria da Incerteza
Microeconomia
Curso Cećılia Menon
1 A Utilidade de Von Neumann e Morgenstern
1.1 Introdução
1.1.1 Paradoxo de São Petersburgo
Considere o seguinte jogo. Uma moeda é lançada. Se o resultado for cara, você ganha R$ 2.
Se o resultado for coroa, a moeda é lançada novamente. Se o resultado for cara, você ganha
R$ 22 = R$ 4. Se o resultado for coroa, a moeda é lançada novamente. Continuamos dessa forma
ad infinitum, ou até que o jogo termine com um lançamento da moeda que resulte em cara. Nesse
caso, o participante recebe R$ 2n, onde n é o número de lançamentos feitos até cara sair.
Quanto você estaria disposto a pagar para participar deste jogo? Se você decidir pagar o valor
esperado do jogo, você pagaria qualquer valor para participar do jogo (o valor esperado do jogo
diverge para infinito). Introspecção sugere que nenhum indiv́ıduo estaria disposto a pagar por esse
jogo um valor infinitamente alto.
Daniel Bernoulli, em 1738, apresentou uma solução do paradoxo, baseada na idéia de utilidade
marginal decrescente do dinheiro. Bernoulli afirmou que o valor de algo depende da utilidade
gerada, e que o ganho de utilidade do dinheiro cai quanto mais dinheiro a pessoa tem.
Por exemplo, se a utilidade da renda é u(w) = ln(w), onde w representa o ńıvel de renda, temos
que a utilidade média do jogo, representada por UM(J), é:
UM(J) =
∞∑
i=1
1
2i
ln(2i) = ln(2)
∞∑
i=1
i
2i
= 2 ln(2)
Portanto, um indiv́ıduo com utilidade u(w) = ln(w) da renda estaria disposto a pagar menos de
R$ 2,00 pelo jogo descrito.
A idéia de Bernoulli foi incorporada em economia, na teoria de incerteza, que vamos analisar
agora. A incerteza no problema do consumidor significa que este não saberá exatamente qual vai
ser o seu consumo.
6
-
u
riqueza (w)
u(w)
1
1.2 Redefinindo o Espaço de Consumo
1.2.1 Loterias
Vamos analisar a teoria do comportamento do consumidor sob incerteza. A incerteza no problema
do consumidor significa que este não saberá exatamente qual vai ser o seu consumo.
O espaço de consumo X é composto de loterias. Suponha que A = {a1, . . . , an} é um conjunto
finito de resultados. Uma loteria (p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an) assinala a probabilidade pi ao resultado ai,
para todo i = 1, 2, . . . , n, onde pi ≥ 0 e
∑n
i=1 pi = 1.
Note que A é um subconjunto do conjunto de loterias (pois a loteria degenerada (p1◦a1, . . . , pn◦an),
com pj = 0, para todo j 6= i, pertence a GS, para todo i, onde GS representa o espaço de
loterias). Vamos denotar esta loteria degenerada por 1 ◦ ai ou, de modo mais compacto, por ai,
para simplificar a notação.
1.2.2 Conjunto de Escolha
O consumidor decidirá entre loterias - loterias são as cestas de consumo agora.
Note a mudança na estrutura da teoria: não consideramos mais cestas de bens, mas loterias. Isso
exige um grau diferente de capacidade de escolha do indiv́ıduo.
Vamos supor que o consumidor possui preferências � sobre o conjunto G de loterias, onde essas
preferências satisfazem certos axiomas.
1.2.3 Conjunto de Axiomas
Axioma 1 - Completeza e Transitividade. � é completa e transitiva.
Axioma 2 - Continuidade. Para quaisquer loterias g, h, k ∈ G, os conjuntos
{α ∈ [0, 1]; αg + (1− α)h � k} ⊂ [0, 1]
{α ∈ [0, 1]; k � αg + (1− α)h} ⊂ [0, 1]
são fechados.
Axioma 3 - Independência. Para quaisquer loterias g, h, k ∈ G e α ∈ (0, 1), temos
f � g ⇔ αf + (1− α)h � αg + (1− α)h
1.3 Utilidade Esperada
1.3.1 Utilidade Esperada
A utilidade U : G → R possui a propriedade de utilidade esperada se, para todo g ∈ G, g =
(p1 ◦ a1, . . . , pn ◦ an), temos que
U(g) =
n∑
i=1
piu(ai),
Portanto, U é linear nas probabilidades, e determinada pelos valores que assume no conjunto dos
resultados.
Cada realização i é chamado um “estado da natureza.” Por exemplo, em um problema de seguro
contra roubos para carros, dois estados da natureza são relevantes: “carro é roubado” e “carro
não é roubado”.
2
1.3.2 Existência de Utilidade Esperada
Teorema: Existência de Utilidade Esperada. Se as preferências � definidas sobre o espaço
de loterias G satisfazem os axiomas acima, então existe U : G → R que representa � e satisfaz a
propriedade de utilidade esperada (é linear nas probabilidades).
A utilidade U é chamada de utilidade esperada ou utilidade de Von Neumann e Morgenstern. A
utilidade u é chamada, por alguns autores, de utilidade de Bernoulli. Observe que u(ai) = U(1◦ai).
O axioma de independência é fundamental para obtermos o formato linear nas probabilidades que
a utilidade esperada apresenta.
1.3.3 Unicidade de U
Teorema: Unicidade da Utilidade Esperada. Suponha que a utilidade esperada U representa
�. Então a utilidade esperada V representa as mesmas preferências � se, e somente se, existe
α, β ∈ R, β > 0, tais que
V (g) = α + βU(g),
para toda loteria g ∈ G.
A utilidade esperada que representa um sistema de preferências que satisfaça os axiomas acima é
única a menos de transformações afins positivas.
1.3.4 Unicidade de U
O teorema anterior tem como consequência o fato que diferenças de utilidades têm significado, no
caso de utilidades esperadas.
Exemplo: Suponha 4 resultados. A afirmação “a diferença de utilidade entre os resultados 1 e 2
é maior do que a diferença de utilidade entre os resultados 3 e 4”, u(a1)− u(a2) > u(a3)− u(a4),
é equivalente à (1/2)u(a1) − (1/2)u(a2) > (1/2)u(a3) − (1/2)u(a4). Logo, a afirmação resulta na
loteria g = ((1/2)◦a1, 0◦a2, 0◦a3, (1/2)◦a4) ser prefeŕıvel à h = (0◦a1, (1/2)◦a2, (1/2)◦a3, 0◦a4).
Esta ordenação de preferências é preservada por qualquer transformação afim positiva da utilidade
esperada.
1.3.5 Jogo Justo
Um jogo justo é um jogo com valor esperado zero.
Por exemplo, considere o lançamento de uma moeda. Se sair cara, o jogador ganha R$ 10,00. Se
sair coroa, o jogador perde R$ 10,00. O valor esperado desse jogo é:
V E =
1
2
× 10 + 1
2
× (−10) = 0,
logo esse é um jogo justo.
Um comportamento frequentemente observado é que as pessoas preferem não participar de um
jogo justo. Isso é uma evidência de que as pessoas são, em geral, avessas ao risco.
3
1.3.6 Exemplo: Seguros
Todo indiv́ıduo avesso ao risco (que não gosta de risco) escolherá assegurar totalmente os seus
ativos, se o preço do seguro for atuarialmente justo, isto é, tal que o seu preço seja igual à perda
esperada.
Sejam:
• w0: riqueza inicial;
• π ∈ (0, 1): probabilidade do indiv́ıduo sofrer uma perda de X reais;
• c: quantidade de seguro comprada;
• p = π: preço atuarialmente justo de cada real assegurado.
O problema do indiv́ıduo é:
max
c
[πu(w0 − πc−X + c) + (1− π)u(w0 − πc)]
A CPO resulta em:
u′(w0 − πc−X + c) = u′(w0 − πc),
o que resulta em c∗ = X se u′′ < 0 (garante a CSO e garante que c∗ > 0), ou seja, no caso de um
seguro atuarialmente justo, o indiv́ıduo se assegura totalmente contra uma perda.
A condição u′′ < 0 significa que o indiv́ıduo é avesso ao risco, conceito que analisaremos a seguir.
1.3.7 QUESTÕES DA ANPEC
RESOLVER: Questão 4 - Exame 2010; Questão 15 - Exame 2007; Questão 12 - Exame 2006;
Questão 3 - Exame 2000; Questão 10 - Exame 1998.
Questões mais antigas: Questão 2 - Exame 1997; Questão 5 - Exame 1996; Questão 4 - Exame
1995; Questão 5 - Exame 1995; Questão 4 - Exame 1994; Questão 5 - Exame 1994; Questão 15 -
Exame 1993.
4
2 Aversão ao Risco
2.1 Aversão ao Risco
2.1.1 Loterias na Riqueza
Seja U : G → R uma função de utilidade esperada, onde o conjunto de resultados A = {w1, . . . , wn}
é dado por valores não-negativos de riqueza (wi ≥ 0, para todo i).
Nota: Se A = R+, uma loteria será representada por uma função de distribuição acumulada
F : R→ [0, 1] (F (x) = P (g ≤ x)). A utilidade de uma loteria será:
U(F ) =
∫ ∞
−∞
u(x)dF (x)
2.1.2 Aversão ao Risco
Definição: Comportamento em Relação ao Risco. Considere a loteria g não-degenerada.
Dizemos que o indiv́ıduo é:
1. Avesso ao risco em g se U(E(g)) > U(g),
2. Neutro aorisco em g se U(E(g)) = U(g),
3. Amante do risco em g se U(E(g)) < U(g).
Se o indiv́ıduo for avesso (neutro, amante) ao risco para toda loteria não-degenerada g, então
dizemos que esse indiv́ıduo é avesso (neutro, amante) ao risco.
6
-
u
w
u(w)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
t
w1
R
t
w2
S
E(g)
t
T
tU(g)
u(E(g))
EC
5
2.2 Equivalente de Certeza e Prêmio ao Risco
2.2.1 Equivalente de Certeza e Prêmio ao Risco
Definição: Equivalente de Certeza e Prêmio ao Risco. O equivalente de certeza (ECg)
da loteria g é o montante de dinheiro ECg dado com certeza, tal que u(g) = u(ECg). O prêmio
ao risco associado à loteria g é o montante de dinheiro Pg tal que u(g) = u(E(g) − Pg) (logo,
Pg = E(g)− ECg).
Teorema: Aversão ao Risco, EC e Prêmio ao Risco. As seguintes afirmativas são equiva-
lentes:
1. O indiv́ıduo é avesso ao risco;
2. u(·) é côncava;
3. ECg ≤ E(g), para toda loteria g;
4. Pg ≥ 0, para toda loteria g.
De modo similar, temos os seguintes resultados:
Teorema: Neutralidade ao Risco, EC e Prêmio ao Risco. As seguintes afirmativas são
equivalentes:
1. O indiv́ıduo é neutro ao risco;
2. u(·) é linear;
3. ECg = E(g), para toda loteria g;
4. Pg = 0, para toda loteria g.
Teorema: Propensão ao Risco, EC e Prêmio ao Risco. As seguintes afirmativas são
equivalentes:
1. O indiv́ıduo é propenso ao risco;
2. u(·) é convexa;
3. ECg ≥ E(g), para toda loteria g;
4. Pg ≤ 0, para toda loteria g.
6
2.3 Medidas de Arrow-Pratt
2.3.1 Medidas de Arrow-Pratt
Os coeficientes de Arrow-Pratt medem o grau de aversão ao risco de um consumidor.
O grau de aversão ao risco de um indiv́ıduo está relacionado com a convexidade da utilidade u.
Essas medidas são locais, ou seja, em um ponto do ńıvel de renda.
Definição: Coeficiente de Aversão ao Risco Absoluto (CARA). O coeficiente de aversão
ao risco absoluto (CARA) de Arrow-Pratt da utilidade U no ńıvel de riqueza w é dada por:
Ra(w) = −
u′′(w)
u′(w)
Definição: Coeficiente de Aversão ao Risco Relativo. O coeficiente de aversão ao risco
relativo (CARR) de Arrow-Pratt da utilidade U no ńıvel de riqueza w é dada por:
Rr(w) = −
wu′′(w)
u′(w)
Exemplo: CARA constante. Considere a utilidade u(w) = −e−αw. Para essa utilidade,
Ra(w) = α, para todo w.
Exemplo: CARR constante. Considere a utilidade u(w) = w
1−ρ
1−ρ . Para essa utilidade, Rr(w) =
ρ, para todo w.
2.3.2 Alguns Resultados
Resultado: Aversão ao Risco. O coeficiente de aversão absoluta ao risco de u é maior do que
o de v, para todo ńıvel de renda, se e somente se, a função u é mais côncava do que a função v
(no seguinte sentido: u = h ◦ v, onde h é uma função crescente e côncava).
Resultado: CARA e Prêmio ao Risco. Quanto maior o coeficiente de aversão ao risco
absoluto, maior (menor) o prêmio ao risco (equivalente de certeza) associado a alguma loteria
qualquer.
Resultado: CARR e Prêmio ao Risco. Se o CARA é crescente, então CARR é crescente.
2.3.3 QUESTÕES DA ANPEC
RESOLVER: Questão 5 - Exame 2011; Questão 8 - Exame 2009; Questão 3 - Exame 2008;
Questão 9 - Exame 2004; Questão 2 - Exame 2002; Questão 9 - Exame 1999.
Questões mais antigas: Questão 4 - Exame 1996; Questão 4 - Exame 1992.
7
3 Finanças
3.1 Escolha de Carteira e Resultado de Arrow
3.1.1 Diversificação
Considere duas ações, A e B, onde a ação A tem maior retorno esperado, no entanto, a ação B
tem menor risco. Saber qual ação uma pessoa deveria possuir depende de uma situação pessoal.
Certamente, alguns investidores irão optar pela ação A e outros, pela ação B. As opções citadas
foram expostas como se o investidor fosse obrigado a escolher um único ativo.
Mas, geralmente, ao invés de investir em somente um ativo, os investidores escolhem investir
em ambos os ativos. Um t́ıpico investidor terá uma carteira de t́ıtulos (ou portfólio), uma
combinação de ativos que ele guarda - t́ıtulos, ações ou qualquer outro ativo.
O prinćıpio da diversificação tem como premissa o fato de que, ao dispersar sua carteira em
diferentes ativos, o risco (quase sempre) será reduzido.
O ponto principal é que os ativos devem ser diferentes e isso significa que os ativos não devem ser
perfeitamente correlacionados (correlação 1) entre si.
Exemplo: Presuma que alguém esteja pensando em investir em duas firmas: A Casa do Suco
Silvaine (S) e a Cia da Capa de Chuva Rodin (R). Os lucros de S e R dependerão do clima, se
vai chover e esfriar ou fazer sol. Os retornos são:
Estado Prob. Capa de Chuva (R) Suco (S)
Chuva 50% 40% −20%
Sol 50% −20% 40%
E(r) 10% 10%
σ2 900% 900%
σ 30% 30%
Se investir metade do dinheiro em capa de chuva e a outra metade em suco, o que acontecerá?
O retorno esperado da carteira será:
E(rp) = (1/2× 10%) + (1/2× 10%) = 10%
A covariância dos retornos será:
cov(rR, rS) = [0, 5× (40− 10)(−20− 10)] + [0, 5× (−20− 10)(40− 10)] = −900
A variância da carteira será:
σ2p = (1/2)
2 × 900 + (1/2)2 × 900 + 2× (1/2)× (1/2)× (−900) = 0
Observações:
1. O risco da carteira - desvio padrão ou variância - resulta dos riscos - desvio-padrão ou
variância - dos ativos individuais e das covariâncias entre os retornos dos ativos da carteira
e dos pesos com que cada ativo entra na composição da carteira.
8
2. O risco da carteira decresce com decrescente correlação entre os ativos. Quando os ativos são
perfeita e negativamente correlacionados, é posśıvel formar uma carteira sem risco, mesmo
que todos os ativos sejam arriscados.
3. A redução do risco devida à diversificação depende de os ativos mantidos não serem perfeita
e positivamente correlacionados (caso vendas a descoberto não sejam permitidas).
3.1.2 Exemplo: Escolha Ótima de Carteira
Todo investidor avesso ao risco sempre investirá algum valor positivo em um ativo arriscado cujo
retorno médio seja maior do que o retorno do ativo sem risco, independentemente do grau risco
do ativo arriscado (Arrow, 1967). Sejam:
• w0: riqueza inicial;
• r1, . . . , rn: retornos posśıveis de um ativo arriscado, onde a probabilidade do retorno ri
ocorrer é denotada por pi;
• β: valor investido no ativo arriscado;
• wiF = (w0 − β) + (1 + ri)β = w0 + βri: riqueza final, caso o estado i ocorra.
O problema de um investidor é maximizar sua utilidade esperada da riqueza final:
max
0≤β≤w0
n∑
i=1
piu(w0 + βri) (1)
Vamos analisar primeiro o caso em que β = 0, ou seja, nada é investido no ativo arriscado. A
derivada da função objetivo calculada em β̂ = 0 é:
fCPO(β̂) =
n∑
i=1
piu
′(w0 + β̂ri)ri = u
′(w0)
n∑
i=1
piri = u
′(w0)Eri
Para que a solução seja β = 0, a derivada acima tem que ser não-positiva, ou seja, Eri ≤ 0, pois
u′ é positivo. Logo, obtivemos o resultado de Arrow: todo indiv́ıduo, independentemente do
seu grau de aversão ao risco, sempre investirá no ativo com risco, desde que ele tenha um retorno
esperado superior ao retorno do ativo sem risco rf (neste exemplo, rf = 0). Ou seja, se Eri > 0,
o β escolhido pelo investidor será positivo. Observe que a CPO do problema (1) acima é:
n∑
i=1
piu
′(w0 + β
∗ri)ri = 0
A CSO é satisfeita pois o investidor é avesso ao risco:
n∑
i=1
piu
′′(w0 + β
∗ri)r
2
i < 0
3.1.3 QUESTÕES DA ANPEC
RESOLVER: Questão 2 - Exame 2005.
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3.2 Modelo de Média e Variância
O modelo de média e variância supõe que os investidores levam em conta apenas o retorno e o
risco quando decidem o que investir. A utilidade nesse modelo é dada por:
U = U(µw, σw),
onde µw é a média da riqueza e σw é o desvio padrão da riqueza.
Sob certas condições, pode se mostrar que o modelo de utilidade esperada se resume a um modelo
de média e variância.
Suponha dois ativos, um sem risco, cujo retorno é denotado por rf , e um com risco, cujo retorno
esperado é denotado por Erm e cuja variância é denotada por σ
2
m.
Seja x a parcela da renda investida no ativo com risco. Nesse caso, temos que o retorno esperado
e o risco da carteira de investimentos desse indiv́ıduo, denotadospor Erx e σ
2
x, são:
Erx = xErm + (1− x)rf
σ2x = x
2σ2m
Se o indiv́ıduo investe apenas no ativo sem risco, ou seja, x = 0, temos que (Erx, σx) = (rf , 0). Se
o indiv́ıduo investe apenas no ativo com risco, ou seja, x = 1, temos que (Erx, σx) = (Erm, 0).
Supondo que Erm > rf , ao ilustrar a escolha do indiv́ıduo em um gráfico com retorno esperado e
desvio-padrão nos eixos, obtemos a figura abaixo.
A inclinação da reta orçamentária é
Erm−rf
σm
, chamada “Sharpe ratio”, mede o custo de se conseguir
um maior retorno em termos do aumento do risco desse retorno. Ela também é chamada “preço
do risco”, uma vez que mede como o retorno e risco podem ser substitúıdos no portfolio de
investimento.
6
-
Er
σ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
rf
Reta Orçamentária
Inclinação:
Erm−rf
σm
EtErx
σx
tErm
σm
10
Na escolha ótima, a curva de indiferença do investidor tangencia a reta orçamentária, ou seja, a
taxa marginal de substituição entre risco e retorno é igual ao preço do risco:
TMS = −
∂U(µ,σ)
∂σ
∂U(µ,σ)
∂µ
=
Erm − rf
σm
Note que a parcela da renda que o indiv́ıduo investirá no ativo com risco depende de suas pre-
ferências, mais especificamente, de sua aversão ao risco. Porém, qualquer que seja a sua escolha
ótima de carteira de investimentos, temos que nessa escolha a relação acima de igualdade entre
TMS e preço do risco será válida.
3.3 CAPM
3.3.1 Modelo do CAPM
O CAPM (“Capital Asset Pricing Model” é um modelo de equiĺıbrio, que relaciona o retorno
esperado de um ativo financeiro com o seu risco.
O risco do ativo que é precificado é o risco não diversificável, também chamado de risco sistemático.
Logo, a quantidade de risco relevante para determinar o retorno esperado (ou o preço) de um ativo
não é determinado pelo desvio-padrão do retorno do ativo, mas sim pelo beta do ativo.
O modelo CAPM parte da suposição de que os investidores se comportam de uma maneira deter-
minada e analisa como é o equiĺıbrio de uma economia com investidores assim.
Sem formalizar a derivação do CAPM, temos que todos os investidores vão aplicar na mesma
carteira de ativos arriscados. Como todos investem na mesma carteira de ativos arriscados, ela
deve ser igual à carteira de mercado (na prática, uma carteira bastante diversificada).
A expressão final do CAPM é:
Eri = rf + βi(ErM − rf ),
onde ri é o retorno do ativo sob análise, rM é o retorno do mercado, rf é o retorno do ativo sem
risco e βi =
cov(ri,rM )
var(rM )
=
σi,M
σ2M
.
3.3.2 Interpretando o CAPM
Essa relação tem uma interessante interpretação econômica. Como o ativo livre de risco não tem
risco, seu retorno é associado somente ao custo de perda de liquidez ou custo de preterir o consumo
para uma data futura. Esse retorno é chamado “preço do tempo”.
A razão
ErM−rf
σm
é o “preço do risco”, como visto acima. O valor cov(ri,rM )
σM
representa o risco
relevante do ativo i - mede a quantidade de risco do ativo i. Então, o CAPM exprime:
Ret. Esp. = Preço do Tempo + Preço do Risco × Quant. de Risco
11
3.3.3 Risco Sistemático
O risco espećıfico (não-sistemático) pode ser reduzido para um grau arbitrariamente baixo por
meio de diversificações.
Logo, os investidores não exigem um prêmio de risco como indenização por guardarem esse tipo
de risco.
Esses investidores são compensados somente por manterem o risco sistemático, o qual não pode
ser diversificado. A contribuição de um só t́ıtulo para o risco de uma carteira grande depende
apenas do risco sistemático desse t́ıtulo, medido pelo seu beta (β).
3.3.4 Preço Esperado do Ativo
Denote por rM o retorno do mercado, rf o retorno do ativo sem risco, pA o preço de um ativo
financeiro qualquer, e βA o beta desse ativo financeiro.
O retorno esperado desse ativo é calculado usando a fórmula do CAPM, ErA = rf +βA(ErM−rf ).
Logo, o valor esperado do ativo será EpA = (1 + ErA)pA.
Exemplo. Suponha que rM = 18%, rf = 8%, pA = R$ 500 e βA = 2. Então, usando o CAPM,
sabemos que o retorno esperado do ativo A é:
ErA = rf + βA(ErM − rf ) = 28%
Portanto, o preço esperado do ativo A é:
EpA = (1 + 0, 28)× 500 = 640
3.3.5 QUESTÕES DA ANPEC
RESOLVER: Questão 5 - 2010; Questão 4 - Exame 2008.
3.3.6 Leitura sugerida:
• Varian, caṕıtulos 11 (Mercado de Ativos), 12 (Incerteza) e 13 (Ativos de Risco)
• Nicholson e Snyder: Caṕıtulo 7 (Uncertainty and Information)
12