HIDRÁULICA Aplicada em condutos forçados

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
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Campus Avançado de Poços de Caldas 
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HIDRÁULICA 
Aplicada em condutos 
forçados 
 
 
 
Prof. Dr. Alexandre Silveira 
 
 
 
Apostila elaborada com base no livro: 
 
Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto, Escola de Engenharia da São Carlos – USP 
 
 
 
 
 
 
 
Poços de Caldas, 2014 
 
 
1. Estática dos fluidos 
Pressão 
A pressão é originada por uma força normal aplicada sobre uma superfície de um 
fluido com uma área A, se Fn representa a força normal que age numa superfície de área 
A, e dFn a força normal que age num infinitésimo de área dA, podemos constatar que a 
pressão num ponto será: 
 
ndFp
dA
=
 
 Tendo-se um fluido com características homogêneas, e aplicando-se uma força de 
intensidade média sobre toda sua superfície pode ser obtida a pressão pela seguinte 
fórmula: 
 
nFp = 
A 
Pressão em torno de um ponto de um fluido em repouso 
Se um fluido está em repouso, todos os seus pontos também deverão estar. Caso 
apareça uma pressão diferente em alguma direção, isso resulta em um desequilíbrio no 
ponto, provocando um deslocamento na direção onde a pressão for maior. Logo, se um 
fluido está em repouso, todas as pressões atuantes no entorno de um ponto são iguais. 
 
Teorema de Stevin 
A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao 
produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos. O que de 
acordo com a figura apresenta a seguinte equação: 
( )b c b cp p h hγ− = − 
 
Esse teorema apresenta algumas características importantes na resolução de 
problemas de pressão: 
a) na diferença de pressão entre dois pontos não interessa a distância horizontal 
entre eles, mas sim a diferença de cota entre os pontos; 
b) a pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma; 
c) o formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em algum 
ponto, por exemplo, na figura abaixo a pressão é a mesma em qualquer ponto do 
nível A, obtendo-se a pressão pa, e em qualquer ponto do nível B, tendo-se a 
pressão pb, desde que o fluido seja o mesmo em todas a ramificações; 
 
d) se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a 
pressão num ponto à profundidade h dentro do liquido será dada por: p hγ= ; 
 
e) nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cota entre dois 
pontos não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles. 
 
 Lei de Pascal 
A lei de Pascal diz que a pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso 
transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido. 
Supondo que um reservatório receba em sua superfície uma força F (como 
mostrada na figura abaixo), gerando uma pressão p. Considerando que a força aplicada 
(na figura b) tem intensidade de F = 100 N e que a área superficial do reservatório seja de 
A = 5 cm2. De acordo com a fórmula np F A= a pressão gerada por essa força na 
superfície do reservatório será de 20 N/cm2, considerando hipoteticamente a pressão seja 
de pA=3 N/cm
2 no ponto A da figura (a), de acordo com a lei de Pascal, a pressão no ponto 
A da figura (b) será de pA=23 N/cm
2, pois a pressão é transferida integralmente para todos 
os pontos do fluido, a mesma coisa acontece para os pontos B e C também. 
 
Carga de Pressão 
Pela formula de Stevin foi observado que a altura e a pressão mantêm uma relação 
constante para fluidos do mesmo tipo. Podendo expressar, então, a pressão num certo 
fluido em unidade de comprimento lembrando que: 
p
h
γ
= 
Essa altura é chamada de carga de pressão. A figura abaixo apresenta um 
reservatório marcado com dois pontos, o ponto A e B, a pressão no ponto A pode ser 
obtida pela formula 
ap hγ= ⋅ , no entanto a carga de pressão no mesmo ponto será igual 
à ha, a mesma coisa acontece no ponto B. 
 
No caso de tubo por onde escoa um determinado fluido de peso específico γ e à 
pressão p. Supondo o diâmetro do tubo pequeno, a pressão do fluido em todos os pontos 
da seção transversal será aproximadamente a mesa. Nota-se que nesse caso existe uma 
pressão p, mas não há nenhuma altura h. Abrindo-se um orifício no conduto, verifica-se 
que, se a pressão interna for maior que a externa, um jato de líquido será lançado para 
cima, canalizando-se esse jato por meio de um tubo de vidro, verifica-se que o líquido 
sobe até alcançar uma altura h. Essa coluna de líquido deverá, para ficar em repouso, 
equilibrar exatamente a pressão p do conduto, dessa forma, nota-se então que o h da 
coluna é exatamente a carga de pressão de p. 
 
Escalas de Pressão 
Se a pressão for medida em relação ao vácuo ou zero absoluto, é chama “pressão 
absoluta”; quando for medida adotando-se a pressão atmosférica como referência, é 
chamada “pressão relativa” ou “pressão efetiva”. A maioria dos aparelhos usados para 
medir pressão (manômetros) usa a escala de pressão relativa, ou seja, tomando a pressão 
atmosférica o zero. 
Como a escala relativa toma a pressão atmosférica como ponto inicial, os valores 
abaixo da pressão atmosférica são registrados com valores negativos (conhecido como 
vácuo parcial ou depressão). Já na escala absoluta todos os valores são positivos, pois, 
como dito anteriormente ela toma como ponto de partida o vácuo perfeito ou total. 
Sistema de unidades (SI) 
Pressão = Pa = N/m2 
 
 
A partir da figura acima pode ser afirmado que: 
abs atm relP P P= + 
A pressão atmosférica é também chamada pressão barométrica e varia com a 
altitude, Mesmo num certo local, ela varia com o tempo, dependendo das condições 
meteorológicas. 
 
2. Propriedades dos Fluidos 
Massa específica 
( )3 água /1000 mkg
V
m
== ρρ 
Peso específico 
( )3 água /9810 mNg =⋅= γργ 
Viscosidade dinâmica 
µ = 1,007.10-3 kg/(m.s) 
Número de Reynolds 
Re= µ
⋅⋅ρ DV
 
Vazão 
AVQ ⋅= 
Equação da energia para fluidos ideais 
2
2
22
1
2
11 Z
g2
VP
Z
g2
VP
++
γ
=++
γ 
Exercício 1.2 pg. 23 (Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto) 
 
Cada termo tem como unidade o metro (é denominado carga) e admite interpretação 
geométrica de importância prática 
γ
P
= carga de pressão (m) 
z = carga de posição (m) 
g
V
2
2
= carga cinética (m) 
H∆ = perda de carga (m) 
 
Equação da energia para fluidos reais (Equação de Bernoulli) 
212
2
22
1
2
11 HZ
g2
VP
Z
g2
VP
−∆+++
γ
=++
γ 
Linha piezométrica = lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por z
P
+
γ
. 
Cada valor z
P
+
γ
 é chamado de cota ou carga piezométrica. 
Linha de energia = lugar geométrico dos pontos cujas cotas são dadas por 
g
V
z
P
2
2
++
γ
. 
No caso de fluidos reais em escoamento permanente, a carga total, 
g
V
z
P
2
2
++
γ
, diminui 
ao longo da trajetória no sentido do escoamento. 
OBSERVAÇÕES 
a) geralmente a escala de pressão adotada é relativa (também chamada efetiva) ou 
seja, em relação à pressão atmosférica (Patm=0). A linha piezométrica pode 
coincidir com a trajetória em escoamentos livres ou mesmo passar abaixo desta 
indicando pressões relativas negativas 
b) Em cada seção da tubulação a carga de pressão disponível é γ
P
, podendo ser 
positiva, negativa ou nula. 
c) A linha de energia sempre desce no sentido do escoamento a menos que seja 
introduzida uma energia externa, pela instalação de uma bomba 
d) A perda de carga entre dois pontos da trajetória é a perda de energia total e não 
de perda de carga piezométrica. 
 
 
3. Escoamento uniforme em tubulações - perda de carga distribuída 
 
Fórmula Universal da perda de carga distribuída ou Equação de Darcy-Weisbach 
 
g2
V
D
L
fH
2
⋅⋅=∆ ; substituindo Q = V.A 
2
5
Q
D
L
f0827,0H ⋅⋅⋅=∆ 
f = fator de atrito 
 
Perdade carga unitária – J 
L
H
J
∆
= 
5
2
D
Q
f0827,0J ⋅⋅= 
Fator de atrito f – Experiência de Nikuradse 
Ensaios realizados para determinar o fator de atrito em tubulações circulares. Foram 
realizados com tubos lisos cuja parede interna foi revestida com grãos de areia, de 
granulometria controlada criando rugosidade absoluta artificial de valor ε. 
Rugosidade absoluta – ε 
 
Rugosidade relativa = ε/D 
Desta forma pode-se levantar para os escoamentos turbulentos as relações entre f, Re e a 
rugosidade relativa. 
 
 
Região I – Reynolds < 2300m escoamento laminar, o fator de atrito independe da 
rugosidade e vale f=64/Rey 
Região II – 2300 < Rey < 4000, região de transição onde o valor de f não fica caracterizado 
Região III – curva dos tubos hidraulicamente lisos, o fator de atrito só depende do número 
de Reynolds. Escoamento turbulento hidraulicamente liso 
Região IV – transição entre o escoamento hidraulicamente liso e rugoso, f depende 
simultaneamente da rugosidade relativa e do número de Reynolds 
Região V – turbulência completa escoamento hidraulicamente rugoso, o fator de atrito 
depende somente da rugosidade relativa e independe do número de Reynolds 
 
Escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais 
A partir da experiência de Nikuradse, diversos pesquisadores apresentaram equações para 
determinar o coeficiente de atrito: Colebrook e White (1939), Moody (1944), Swamee-Jain 
(1976) 






+
⋅
ε
−=
fRe
51,2
D71,3
log2
f
1
 Colebrook e White (1939) 
2
9,0Re
74,5
D7,3
log
25,0
f












+
⋅
ε
= Swamee-Jain (1976), 
válida para: 
5000 ≤ Re ≤ 108 
10-6 ≤ ε/D ≤ 10-2 
Recentemente Swamee (1993) apresentou uma equação geral para o cálculo do fator de 
atrito válida para os escoamentos, laminar, turbulento liso, de transição e turbulento 
rugoso: 
125,0166
9,0
8
Re
2500
Re
74,5
D7,3
ln5,9
Re
64
f






















−





+
⋅
ε
+





=
−
Swamee (1993) 
Moody (1944) estendeu os resultados experimentais para determinação do fator de atrito 
para tubos comerciais e os apresentou na forma de um diagrama, o diagrama de Moody. 
 
 
DIAGRAMA DE MOODY 
Os valores da rugosidade absoluta para diversos materiais são apresentados na tabela a 
seguir. 
 
Exemplo 1: Calcule a perda de carga em um tubo de aço galvanizado com costura com 
25mm de diâmetro e 160m de comprimento que transporta água a uma vazão de 30 litros 
por minuto. ( m8,11H =∆ ) 
Exemplo 2 - 2.6, pg 51 
Exemplo 3 - 2.7, pg 52 – Solução da equação complexa – calculadora 
Exemplo 4 – Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15m 
alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado 
com costura de 40mm de diâmetro e 120m de comprimento. Calcule a vazão que pode ser 
drenada por essa tubulação (chuta-se V, calcula Reynolds, obtém-se f do diagrama de 
moody, calcula-se V. Repete-se até que V=Vn+1) – Q= 2,3L/s 
Exemplo 5 – Tem-se um reservatório elevado com altura de água disponível de 15m 
alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado 
com costura de 120m de comprimento. Sendo necessária uma vazão de 5 L/s, determine o 
diâmetro dessa tubulação para realizar esta tarefa. (chuta-se V, calcula o diâmetro, calcula 
Reynolds, obtém-se f do diagrama de moody, calcula-se V. Repete-se até que V=Vn+1) – 
D=0,055m 
Fórmulas empíricas para cálculo da perda de carga em escoamento 
turbulento 
Existem várias fórmulas empíricas aplicáveis às tubulações de seção circular que podem, 
de maneira geral, ser expressas na forma: 
m
n
D
Q
KJ = 
Comparando com a fórmula universal, K=0,0827 . f, n=2 e m=5 para o escoamento 
turbulento. Como K depende de f, e f depende do material e do grau de turbulência, as 
fórmulas práticas têm limitações de uso. 
Fórmula de Hazen-Williams 
 
87,485,1
85,1
DC
Q
65,10J
⋅
⋅= em que 
J = perda de carga unitária (m/m) 
Q = vazão (m3/s) 
D = Diâmetro (m) 
C = coeficiente de rugosidade que depende da natureza e do estado das paredes do tubo. 
É valida para: 
a) escoamento turbulento de transição 
b) água a 20ºC 
c) diâmetro maior ou igual a 4” 
d) origem: experimental com tratamento estatístico 
e) aplicação: redes de distribuição de água, adutoras, sistemas de recalque 
 
Os valores do coeficiente C são apresentados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
A fórmula de Hazen-Williams, a despeito da popularidade entre projetistas, deve ser vista 
com reservas em problemas de condução de água [...] diante da incerteza sobre o tipo de 
escoamento turbulento, deve-se utilizar a fórmula, com f determinado pela equação de 
Colebrook e White ou Swamee-Jain 
 
Fórmula de Fair-Whipple-Hsiao 
 
 
D < 4”(100 mm ou 0,1m); 
•Trechos curtos; 
•Presença de grande número de conexões 
 
Projetos de instalações prediais de água fria, recomendada pela ABNT para PVC e aço 
galvanizado, em instalações prediais hidráulico sanitárias. 
 
J(m/m), D(m) e Q(m3/s) 
 
Aço galvanizado novo conduzindo água fria 
 
88,4
88,1
002021,0
D
Q
J = 
 
 PVC rígido conduzindo água fria 
 
75,4
75,1
0008695,0
D
Q
J = 
 
4. Perda de Carga Localizada 
Ocorre nos acessórios de uma instalação: válvulas, curvas, derivações, registros ou 
conexões de qualquer tipo. 
Método da carga cinética 
De uma maneira geral as perdas de carga, em cada acessório, podem ser expressas por 
uma equação do tipo: 
)m(
g2
V
Kh
2
⋅=∆ 
Em que k é um coeficiente adimensional que dependa da geometria da conexão, do 
número de Reynolds e da rugosidade da parede. É determinado experimentalmente para 
Reynolds suficientemente altos, maiores que 105, tornando-se independente do número 
de Reynolds assumindo em situações práticas um valor constante apresentado em 
tabelas. 
 
 
 
 
 
 
Método dos Comprimentos Equivalentes 
 
A perda de carga de uma singularidade pode ser equivalente a uma perda de carga 
distribuída de uma tubulação com mesmo diâmetro e determinado comprimento Le. 
 
 
2
5
0827,0 Q
D
L
fH e ⋅⋅⋅=∆ 
Basta somar os valores de Le das diversas singularidades ao comprimento real da 
tubulação e resolver o problema de perda de carga distribuída. 
Os valores de Le são obtidos analítica e experimentalmente para cada peça e variam 
conforme o material e o diâmetro. 
Os tubos roscáveis de PVC têm como referência de medida o seu diâmetro interno, por 
exemplo: 
O tubo roscável de ¾” (três quarto de polegada) tem a sua medida externa no valor de 
aproximadamente 25,4mm, ou seja, uma polegada, porém apresenta a medida do seu 
diâmetro interno de 19,05 mm, que na verdade convertendo para polegada é equivalente 
a ¾”. 
Por isso afirma-se que este tubo tem diâmetro ¾” (três quarto de polegada). 
 
Os tubos soldáveis de PVC têm como referência de medida o seu diâmetro externo, por 
exemplo: 
O tubo soldável de 25 mm (vinte e cinco milímetros) tem a sua medida interna no valor de 
aproximadamente 21 mm, ou seja, valor menor do que o mencionado pelo fabricante 
como referência, porém ele apresenta a medida do seu diâmetro externo no valor de 25 
mm. 
 
Análise de Tubulações 
O cálculo da vazão transportada em uma linha de tubulações com diâmetros diferentes e 
diversos acessórios e sob pressão é um dos principais problemas da Hidráulica. 
Obviamente esta vazão depende da energia disponível pelo sistema. È necessário calcular 
as perdas distribuídas e as perdas localizadas produzidas pelos acessórios. Estas perdas 
devem ser somadas e comparadas com a energia que o sistema dispõe. 
Considerando o sistema abaixo e conhecido todos os elementos é possível traçar a linha 
da energia (tracejada) e a linha piezométrica (contínua) 
 
• Linha de energia corresponde às perdas de carga distribuídas e apresenta 
descontinuidade provocada pelas perdas localizadas. 
• Linha piezométrica, V2/2g abaixo da linha de energia 
• As superfícies livres dos reservatórios apresentam pressão atmosférica e 
representam condições energéticas limites.A diferença de cota entre as 
superfícies representa a energia total que o sistema dispõe, para dependendo das 
condições da linha veicular uma certa vazão (por gravidade) 
• A, B, C, D, E, F, perdas localizadas 
• Trecho retilineo a perda é distribuída e vale JiLi e cada singularidade a perda é 
dada por K.V2/2g 
• Possibilidade de haver elementos para fornecer ou retirar energia do sistema. 
∑∑ ⋅+
⋅
⋅⋅
=∆=∆
j
2
j
ji
i
2
iii
g2
V
K
g2D
VLf
ZH 
Influência relativa das perdas localizadas 
Principais problemas de escoamento por gravidade: 
Incógnitas Dados 
1. Perda de carga, 
pressão 
Vazão e as características da tubulação 
2. Vazão Características da tubulação, energia disponível 
3. Diâmetro Vazão, energia disponível 
 
O tratamento destes problemas é o mesmo visto anteriormente, equação de Bernoulli e 
equações de resistência (formula universal, Swamme-Jain), agora neste caso 
acrescentando a perda de carga localizada. É importante conhecer a instalação hidráulica 
para saber se é possível desprezar as perdas localizadas sem prejuízo de cálculo. Em 
tubulações curtas como no caso de sucção de bombas, ou sistemas hidro-sanitários em 
edifícios a perda de carga localizada não pode ser desprezada (existem muitas conexões e 
os trechos são curtos). Por outro lado em casos de adutoras (tubulações de grande 
diâmetro e sem conexões) em que o comprimento é grande, e em redes de distribuição de 
água, as perdas localizadas costumam ser desprezadas. Geralmente quando as perdas 
localizadas são menores que 5% das distribuídas, podem ser desprezadas as perdas 
localizadas. 
 
 
CAPÍTULO 4 – SISTEMAS HIDRÁULICOS DE TUBULAÇÕES 
 
1. Influência entre o traçado da tubulação e a linha piezométrica 
• Dois reservatórios com níveis constantes 
• Adutora suficientemente longa para que as perdas localizadas sejam 
desprezadas 
• Material e diâmetro único 
• Velocidades típicas de 1 a 2 m/s – cargas cinéticas 0,05 a 0,2m 
 
 
 
• Linha piezométrica = linha de energia (carga cinética desprezada) = Linha de 
carga 
 
 
 
Traçado 1 
 
� Situação ideal nos projetos: tubulação abaixo da linha piezométrica (cargas de 
pressão positiva) 
� Perda de carga = desnível topográfico 
� LCE=linha de carga efetiva 
� PCE=plano de carga efetivo 
� LCA=Linha de carga absoluta 
� PCA=plano de carga absoluto 
� LCA=LCE+P/γ 
Em P, a carga de pressão dinâmica efetiva é PX, a carga de pressão dinâmica 
absoluta PZ e a carga de pressão estática PY. 
OBS: se o registro na entrada do reservatório inferior for fechado a linha fica 
submetida às pressões estáticas PY > que PX a especificação dos tubos deve 
ser feita a partir de PY. 
Eventualmente os tubos podem ser especificados levando-se em conta o golpe de 
aríete, que é a variação da pressão que ocorre em uma tubulação como 
conseqüência de mudança na velocidade média devido a uma manobra brusca nos 
registros. 
EFETIVO = RELATIVO 
Traçado 2 
 
A canalização passa acima da LCE, mas abaixo da LCA e do PCE. 
� Em P, no trecho APB, a água estará sob pressão negativa (relativa) 
� Escoamento irregular – ar despreendido e tendência de entrada de ar pelas 
juntas. 
� Não é possível instalar ventosas P<Patm – utiliza-se bombas especiais para 
retirar o ar 
� Caso entre muito ar na tubulação tal que a pressão em P seja igual a 
atmosférica , a linha piezométrica no trecho NP deixará de ser CO e será CP. 
Depois de P, a água não encherá completamente o conduto, escoará como 
um canal, e só entrará em pressão, enchendo novamente toda a seção a 
partir de X, sendo XD paralela a CP, por que para a vazão no trecho NP, a 
linha piezométrica interrompida no trecho PX, readquire a sua declividade. 
� Quando a linha piezométrica passar em NP passar a ser CP, a nova vazão 
Q1 será menor que a vazão projetada Q. Problemas: 
� Vazão real menor que a projetada. 
� Trecho PX fica mal aproveitado – escoamento pulsante 
Caso seja impossível mudar o traçado, para garantir o fornecimento de Q: 
� Divide-se a adutora em 2 trechos de diâmetros diferentes 
� Instala-se no ponto P um pequeno reservatório aberto para a atmosfera 
chamado caixa de passagem. Dimensiona-se para a vazão de projeto Q, o 
diâmetro D1 do trecho NP sob carga H1 e o diâmetro D2<D1 do trecho PL 
sob a carga restante H-H1. 
� A caixa de passagem deve ser provida de registros, na entrada e na saída, 
para compatibilizar a vazão nos dois trechos com as cargas disponíveis, pois 
os diâmetros calculados devem ser necessariamente comerciais. 
Traçado 3 
 
A canalização corta a LCE e o PCE, mas fica abaixo da LCA 
� A água vai até o ponto G. 
� Escorvando-se (retirando-se o ar acumulado) o trecho GEF por meio de 
uma bomba, o sistema funcionará como um sifão. 
� Condições piores que o traçado 2 pois caso entre ar no trecho GEF o 
escoamento cessará completamente e será necessário escorvar novamente 
 
Traçado 4 
 
A canalização corta a LCA, mas fica abaixo do PCE. 
� Haverá escoamento, mas a vazão Q2 fornecida será inferior a vazão Q1 do 
traçado 2. 
� A linha piezométrica torna-se CP no trecho NP e XD no trecho PL, com CP 
paralela a XD. 
� No trecho PX – conduto livre – só adquirindo pressão no ponto X 
� Solução semelhante à do traçado 2, caixa de passagem no ponto mais alto 
e dimensionamento da adutora com 2 trechos com diâmetros diferentes. 
 
2. Distribuição de vazão em marcha 
 
A vazão vai diminuindo ao longo do percurso. Ocorre em sistemas de abastecimento de 
água. Impossível determinar as perdas de carga e vazões. Hipótese: vazão é consumida 
uniformemente ao longo da linha. 
 
 
Em que: LqQQ jm ⋅+= 
 
Vazão Fictícia: vazão constante que produz a mesma perda de carga verificada na vazão 
em marcha 
2
QQ
Q jmf
+
= 
Caso Qj=0, ponta seca ou extremidade morta 
3
Q
Q mf = 
5
2
f
D
Qf0827,0
J
⋅⋅
= 
Exemplo 4.1 
3. Condutos Equivalentes 
Um conduto é equivalente à outro ou a um sistema de condutos se a perda de carga total 
em ambos é a mesma, para uma mesma vazão transportada. Substituir um sistema 
complexo de tubulações por outro mais simples ou mesmo por um único conduto 
a. Conduto equivalente a outro 
Dois condutos de comprimentos, diâmetros e rugosidades diferentes. Para que 
21 HH ∆=∆ e 21 QQ = : 
 
5
1
2
2
1
12 D
D
f
f
LL 





⋅⋅= ---------------------------Fórmula universal 
 
87,4
1
2
85,1
1
2
12 D
D
C
C
LL 





⋅





⋅= ------------------Hazen-Willians 
b. Conduto equivalente a um sistema 
� Tubulações em série 
� Tubulações em paralelo 
� Tubulações ramificadas 
� Redes de tubulações 
Analogia formal entre sistemas hidráulicos e os sistemas elétricos de corrente contínua. 
Q=corrente, Perda de carga=DDP, e resistência hidráulica = resistência ôhmica. 
Sistema em série 
Para o conduto percorrido pela mesma vazão a perda de carga total entre as 
extremidades é a soma das perdas de carga. Fixando um certo D, o comprimento L de 
uma tubulação pode ser determinado transformando-se cada trecho da associação em 
conduto equivalente de diâmetro D utilizando: 
∑
=
⋅
=
⋅ n
1i
5
i
ii
5 D
Lf
D
Lf
 Fórmula Universal 
 
∑
=
=
⋅
n
1i
87,4
i
85,1
i
87,485,1 DC
L
DC
L
 Hazen-Willians 
Sistema em paralelo 
A vazão se distribui pelos trechos inversamente proporcional às resistências 
hidráulicas. A perda de carga é a diferença entre as cotas piezométricas na 
entrada e na saída do sistema, a perda de carga é a mesma em todos os 
trechos e a vazão de entrada é igual à soma das vazões nos trechos. 
 
Lf0827,0
DH
Q
D
QLf0827,0
H
5
5
2
⋅⋅
⋅∆
=⇒
⋅⋅⋅
=∆ 
33
5
33
22
5
22
11
5
11
5
321 Lf0827,0
DH
Lf0827,0
DH
Lf0827,0
DH
Lf0827,0
DH
QQQQ
⋅⋅
⋅∆
+
⋅⋅
⋅∆
+
⋅⋅
⋅∆
=
⋅⋅
⋅∆
→++=
Desenvolvendo: 
5,0
3
5,0
3
5,2
3
5,0
2
5,0
2
5,2
2
5,0
1
5,0
1
5,2
1
5,05,0
5,2
Lf
D
Lf
D
Lf
D
Lf
D
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
 
Caso utilize Hazen-Williams 
54,0
3
63,2
33
54,0
2
63,2
22
54,0
1
63,2
11
54,0
63,2
L
DC
L
DC
L
DC
L
DC ⋅+
⋅
+
⋅
=
⋅
 
É mais fácil adotar um diâmetro D (comercial) e calcular o correspondente comprimento L. 
Exemplo 4.2 
 
4. Sistemas ramificados 
Um sistema é dito ramificado quando em uma ou mais seções de um conduto ocorre 
variação da vazão por derivação de água para um reservatório ou para consumo direto 
em uma rede de distribuição 
a. Tomada de água entre dois reservatórios 
O reservatório superior será sempre abastecedor enquanto o reservatório 
inferior (de compensação) pode funcionar como abastecedor ou não. 
Na figura, R1 e R2 com níveis constantes, ABC é a tubulação e B é a tomada de 
água. 
 
Situação 1 
Se a vazão em B for nula, a vazão que sai de R1 chega a R2 e linha piezométrica 
é dada por LB1M. Os trechos funcionam como condutos em série sujeitos a 
uma perda de carga total igual a Z1-Z2. 
21 ZZH −=∆ 







 ⋅
+
⋅
⋅⋅=∆+∆=∆
5
2
22
5
1
112
21
D
Lf
D
Lf
Q0827,0HHH 







 ⋅
+
⋅
⋅
∆
=
5
2
22
5
1
11
D
Lf
D
Lf
0827,0
H
Q 
Situação 2 
Se a vazão em B aumenta, a linha piezométrica cai (diminui a cota piezométrica 
em B) e a vazão que chega a R2 diminui, até que a cota piezométrica em B se 
torne igual a Z2. neste ponto a LP é B3M e a vazão no trecho 2 é nula e 







 ⋅
⋅
∆
=
5
1
11
B
D
Lf
0827,0
H
Q 
Situação 3 
Aumentando-se a retirada em B a cota piezométrica em B cai para B4, R2 passa 
a funcionar como abastecedor e QB é a soma das vazões nos dois trechos 
( ) ( )







 ⋅
⋅
−
+







 ⋅
⋅
−
=
5
2
22
42
5
1
11
41
B
D
Lf
0827,0
BZ
D
Lf
0827,0
BZ
Q 
 
 
 
 
CAP. 5 – SISTEMAS ELEVATÓRIOS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Um sistema elevatório ou de recalque é o conjunto de tubulações, acessórios, 
bombas e motores necessário para transportar uma certa vazão de água (ou qualquer 
outro líquido) de um reservatório inferior R1, na cota Z1, para outro superior R2, na cota Z2 
(Z2>Z1). 
Um sistema elevatório, geralmente, é composto de: 
a) Tubulação de Sucção – canalização que liga R1 à bomba, incluindo 
acessórios. 
b) Conjunto elevatório – conjunto moto-bomba – constituído por uma ou mais 
bombas e respectivos motores (elétricos ou a combustão elétrica) 
c) Tubulação de recalque – canalização que liga a bomba ao reservatório R2, 
incluindo acessórios. 
A instalação da bomba no sistema de recalque pode ser feita de duas formas: 
a) Bomba afogada – cota do eixo da bomba abaixo da cota nível do 
reservatório inferior 
b) Bomba não afogada - cota do eixo da bomba acima da cota nível do 
reservatório inferior 
Lembre-se que: 
 
 
 
A altura de elevação da bomba ou altura manométrica (medida como a diferença entre 
a energia na saída e na entrada da bomba), expressa em metros de coluna do líquido, é 
igual ao desnível topográfico entre os reservatórios (Hg), acrescida de todas as perdas 
de cargas, distribuídas e localizadas, nas canalizações e acessórios de sucção ( sH∆ ) e 
recalque ( rH∆ ). 
rsg HHHH ∆+∆+= 
A potência recebida pela bomba é fornecida pelo motor que aciona a bomba, daí o 
nome conjunto moto-bomba. A potência é calculada pela expressão: 
HQP ⋅⋅= γ 
Como a transformação de energia no processo não se dá em condições ideiais (sem 
perdas de rendimento), a potência cedida por uma bomba é superior à que o 
escoamento recebe. Definindo η como o rendimento da transformação (conjunto), a 
potência é calculada pela expressão: 
η
γ HQ
P
⋅⋅
= 
Em que: 
P = Potência (W) 
Q = Vazão (m3/s) 
H = Altura manométrica (m) 
γ = Peso específico do líquido (N/m3) 
A unidade de potência normalmente utilizada é o cavalo-vapor (cv). A equivalência 
entre Watt e cv é a seguinte: 
1000 W = 1,36 cv 
A expressão para o cálculo da potência em cv fica: 
η
γ
⋅
⋅⋅
=
735
HQ
P 
 
Exemplo: 
m 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO DA LINHA DE RECALQUE 
 
Em um projeto hidráulico de uma adutora (por gravidade ou bombeamento) deve 
haver uma relação entre os requisitos técnicos de desempenho e segurança e o custo 
global do sistema. 
O custo da tubulação depende basicamente do seu peso, que é função do diâmetro 
interno e da espessura da parede e de outros custos indiretos como transporte, mão de 
obra, assentamento. O diâmetro interno é um parâmetro que está relacionado às 
condições hidráulicas para garantir o transporte de uma certa vazão enquanto a 
espessura da parede depende da pressão interna e da solicitação às cargas externas. 
No projeto de um sistema elevatório devem ser considerados dois aspectos: o 
diâmetro da tubulação de recalque e a potência do conjunto moto-bomba. Têm-se 
então dois casos possíveis: 
1) Caso seja adotado um diâmetro relativamente grande, o custo total 
da tubulação será grande. Em compensação a potência do conjunto 
será pequena devido às pequenas perdas de carga impostas pelo 
diâmetro maior 
2) Caso se adote um diâmetro relativamente pequeno, o custo total da 
tubulação será menor, porém resultará em perdas de carga mais 
elevadas. No entanto, a potência do conjunto será mais alta para 
“vencer” as maiores perdas de carga 
Trata-se de um problema típico de otimização, em que os parâmetros devem ser 
otimizados a fim de minimizarem os custos. 
 
Como a vazão e a altura geométrica são fixas, os custos totais da linha adutora e do 
conjunto elevatório, incluindo o custo anual de energia elétrica, dependem do 
diâmetro escolhido. 
Um tratamento simples e aproximado do problema de dimensionamento econômico 
da tubulação de recalque é utilizar a FÓRMULA DE BRESSE. 
)/()( 3 smQKmD ⋅= 
Em que K depende, entre outros, dos custos de material, mão de obra, operação, e 
manutenção do sistema. Em geral K assume valores na faixa de 0,7 a 1,3. 
 
Exemplo: 
 
 
PLANILHA PARA O CÁLCULO DO DIÂMETRO ECONÔMICO DE UM SISTEMA ELVATÓRIO
Q (l/s) Hg (m) L (m) e (mm) T (h) N (dias) A (R$/ h (%) hm (%) t (%)
kW*h)
80 48 880 0,4 16 365 0,031 0,7 0,85 0,12
Diâmetro Reynolds J H=Hg+JL Custo bom Custo tubu Custo anu Custo total
(mm) (m/m) (m) beamento lação tubulação anual
150 6,79E+05 0,1790 205,50 49022,232 41139,568 4936,75 53959
200 5,09E+05 0,0396 82,84 19761,825 61542,333 7385,08 27147
250 4,07E+05 0,0124 58,87 14042,806 84110,066 10093,21 24136
300 3,40E+05 0,0048 52,21 12455,111 108567,97 13028,16 25483
350 2,91E+05 0,0022 49,90 11902,686 134718,5 16166,22 28069
400 2,55E+05 0,0011 48,95 11677,557 162411,19 19489,34 31167
450 2,26E+05 0,0006 48,52 11574,416 191526,77 22983,21 34558
500 2,04E+05 0,0003 48,30 11522,696 221967,8 26636,14 38159 
 
 
 
 
 
 
CURVAS CARACTERÍSTICAS 
Curva característica de uma bomba 
Os fabricantes de bombas apresentam nos catálogos, as curvas de uma bomba por 
meio de um gráficos que relacionam: a altura manométrica com a vazão, H=f(Q) 
indicando também as linhas de igual rendimento, da potência necessária em função da 
vazão, Pot=f(Q) e do rendimento em função da vazão η =f(Q). As curvas características 
são obtidas experimentalmente em um banco de ensaio. Para a escolha da bomba 
adequada, os fabricantes também apresentam o gráfico da variável NPSH requerido 
(discutidas mais aditante). 
Exemplos: 
 
 
 
 
Curva característica de uma instalação 
 
A energia necessária (E) para promover o escoamento é aquela correspondente ao 
conjunto de perdas de carga que o sistema impõe para transportar a vazão Q, acrescida 
da energia equivalente ao trabalho realizado para vencer o desnível topográfico. 
2.QKHE g += 
Esta equação é chamada de característica do sistema. 
Quando uma bomba opera em conjunto com um sistema de tubulações, a energia 
fornecida pela bomba é igual à energia requerida pelo sistema, para a vazão 
bombeada. Portanto nas condições de equilíbrio, H=E, fornece o ponto de valores H e 
Q. 
Normalmente a solução é obtida por via gráfica sobrepondo-se a curva característica 
do sistema à curva característica da bomba. O ponto de cruzamento das curvas, que é 
chamado de ponto de funcionamento ou ponto de operação, é a solução do problema. 
O ponto de operação deve,na medida do possível corresponder ao ponto de ótimo 
rendimento da bomba, e no que diz respeito á tubulação, ao seu custo mínimo. 
 
 
 
 
Sistemas de tubulações em série e paralelo 
 
No sistema em série, a vazão é a mesma e a perda de carga total é a soma das perdas 
em cada trecho, de modo que a curva característica do sistema pode ser determinada 
pela expressão: 
∑
=
⋅+=
N
i
ig QKHE
1
2 
Em que N é o número de trechos de características diferentes, em série. Para cada 
valor de Q, o valor de E é calculado e levado ao gráfico da curva característica da 
bomba. 
No sistema de tubulações em paralelo é conveniente utilizar um procedimento gráfico 
baseado na propriedade fundamental de tubulações em paralelo, ou seja, a perda de 
carga no sistema é a mesma e as vazões se dividem de forma inversamente 
proporcional às resistências das tubulações. Traça-se a curva característica de cada 
tubulação e leva-se ao gráfico da bomba. Como a vazão bombeada é igual à soma das 
vazões nas tubulações, e a perda de carga é a mesma, para determinar a curva 
característica do sistema resultante basta somar graficamente, para cada valor de H, as 
vazões nas tubulações. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
Uma bomba centrífuga, com rotação igual a 1750rpm e curva característica dada pela 
tabela a seguir, está conectada a um sistema de elevação que consta de duas 
tubulações em paralelo, dois reservatórios superiores e um reservatório inferior. Uma 
tubulação de 0,10m de diâmetro, comprimento de 360m e f=0,015 está ligada ao 
reservatório com nível de água na cota 800,00m. A outra de 0,15m de diâmetro, 
comprimento de 900m e f=0,030, está ligada ao reservatório com nível de água na cota 
810,00m. O reservatório inferior tem nível de água na cota 780,00m. Determine: 
 
 
 
 
Associação de bombas em série e em paralelo 
 
Nos projetos hidráulicos de estações elevatórios, geralmente, há uma grande 
variabilidade da vazão e da altura manométrica para ser abrangida pelas possibilidades 
de uma única bomba. Nestes casos recorre-se à associação de duas ou mais bombas 
em série ou em paralelo. A situação mais comum é aquela em que todas as bombas da 
associação são iguais, o que permite obter curva final do sistema mais estável e facilita 
a manutenção. Esta situação é tratada daqui para frente. 
Associação em série: a entrada da segunda bomba é conectada à saída da primeira 
bomba, de modo que a mesma vazão passa através de cada bomba, mas as alturas 
manométricas de cada bomba são somadas para produzir a altura manométrica total 
do sistema. 
Associação em paralelo: cada bomba recalca a mesma parte da vazão total do sistema, 
mas a altura manométrica total é a mesma de cada uma das bombas. 
Duas ou mais bombas funcionando em série, a curva característica do sistema é dada 
pela soma das ordenadas das curvas de cada bomba, para uma mesma vazão. 
Duas ou mais bombas funcionando em paralelo, a curva característica do sistema é 
dada pela soma das abscissas das curvas de cada bomba, para uma mesma altura 
manométrica. 
 
Na associação em série, a curva da tubulação T-1, corta a resultante em D, ponto de 
funcionamento do sistema em série, e cada bomba da associação funciona no ponto E, 
recalcando a mesma vazão QE e fornecendo uma altura manométrica igual à metade da 
altura manométrica do sistema. 
Na associação em paralelo, a curva da tubulação T-2, corta a resultante em A, ponto de 
funcionamento do sistema em paralelo, e cada bomba da associação funciona no ponto 
B, recalcando a mesma vazão QB= 0,5.QA sob a mesma altura total de elevação. É 
importante observar nas associações de bombas em paralelo que: 
a) o ponto C representa o ponto de funcionamento de uma única bomba 
operando isoladamente no sistema T-2. 
b) O ponto B representa o ponto de funcionamento de cada bomba 
operando conjuntamente no sistema T-2 
c) Associando-se duas bombas iguais em paralelo não se consegue dobrar a 
vazão, QA<2QC. 
d) Se uma das bombas parar de funcionar o sistema que fica em operação 
tem seu ponto de funcionamento deslocado de B para C. 
EXEMPLO 
As características de uma bomba centrífuga são dadas na tabela abaixo. 
 
A bomba é usada para elevar água a uma altura geométrica de 6,5, por meio de 
uma tubulação de 0,10m de diâmetro, 65m de comprimento e f=0,020. 
a) Determine a vazão recalcada e a potência consumida pela bomba 
b) Sendo necessária aumentar a vazão pela adição de uma segunda bomba 
idêntica, investigue se nova bomba deve ser instalada em série ou em paralelo 
com a bomba original. 
 
 
 
Escolha do conjunto motor-bomba. 
 
Geralmente são utilizados catálogos dos fabricantes para especificar um bomba a 
partir de uma “família” de bombas de um determinado modelo. Fixada uma 
determinada rotação, os catálogos apresentam os mosaicos de utilização, que são 
gráficos da altura manométrica em função da vazão para uma faixa de utilização (H e 
Q). 
Conhecida a vazão e a altura manométrica, escolhe-se uma velocidade de rotação e o 
mosaico das bombas permite a pré-seleção da bomba pelo código. A escolha definitiva, 
com a determinação do diâmetro do rotor, rendimento no ponto de funcionamento, 
potência necessária e demais dados é feita pela consulta as curvas da bomba. 
 
 
Instalação, utilização e manutenção 
Ver páginas149 a 151 do livro Hidráulica Básica 
 
Exemplo para seleção do conjunto moto-bomba 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cavitação 
 
 
Um líquido pode mudar para a fase gasosa em função da temperatura e da pressão em 
que se encontra. Por exemplo a água pode mudar de fase a 100º C em condições de 
pressão atmosférica. Porém a água também muda de fase em temperaturas menores 
se a pressão for menor. Desse modo a pressão de vapor é aquela na qual o líquido 
passa para a fase gasosa, em função da temperatura. A tabela a seguir apresenta a 
Pressão de Vapor da água, em função da temperatura. 
Temperatura (oC) 
Pressão de Vaporabsoluta 
(kPa) 
5 0,883 
10 1,275 
15 1,668 
20 2,354 
25 3,139 
30 4,218 
35 5,592 
40 7,358 
45 9,614 
50 12,263 
55 15,794 
60 19,914 
65 25,114 
70 31,392 
75 38,848 
80 47,677 
85 58,173 
90 70,436 
95 84,562 
100 101,337 
 
Quando um líquido em escoamento passa por uma região de baixa pressão, chegando 
a atingir a sua pressão de vapor, naquela temperatura, formam-se bolhas de vapor do 
líquido. Estas bolhas são arrastadas pelo escoamento e podem atingir regiões em que a 
pressão é maior do que àquela na região em que as bolhas se formaram. Esta brusca 
variação de pressão provoca o colapso das bolhas por um processo de implosão. Este 
processo de criação e colapso das bolhas é chamado cavitação. 
A cavitação que pode ocorrer nas paredes da tubulação e nos rotores das bombas 
provoca a destruição gradativa do material. 
No caso dos sistemas de bombeamento, o ponto mais crítico, em termos de baixa 
pressão, ocorre na tubulação de sucção. A queda de pressão que ocorre desde a 
superfície livre do líquido até a entrada do flange de sucção, depende da vazão, do 
diâmetro, do comprimento da tubulação, da rugosidade do material e principalmente 
da altura estática de sucção que é a distância vertical do eixo da bomba até o nível de 
água da onde se está bombeando. 
 
N.P.S.H. Disponível – (Net Positive Suction Head) - NPSHd 
É uma característica da instalação, definida como a energia que o líquido possui em um 
ponto imediatamente antes do flange de sucção da bomba, acima de sua pressão de 
vapor. 
 
 
 
γ
−+
γ
= v
2
22
d
P
g.2
VP
NPSH 
Em que Pv é a pressão de vapor da água em uma dada temperatura. 
Aplicando-se Bernoulli entre a superfície livre do reservatório e a entrada da bomba (1 
e 2), têm-se: 
S2
2
22
1
2
11 HZ
g2
VP
Z
g2
VP
∆++
⋅
+
γ
=+
⋅
+
γ
 
S
2
22atm HZ
g2
VPP
∆++
⋅
+
γ
=
γ
 
g2
VP
HZ
P 222
S
atm
⋅
+
γ
=∆−−
γ
 
Comparando as equações em destaque, têm-se: 
S
atmv
d HZ
PP
NPSH ∆−−
γ
=γ
+ 
S
vatm
d HZ
PP
NPSH ∆−−
γ
−
γ
= 
Para bomba afogada, ou seja, se o eixo da bomba estive abaixo da linha de água, o 
mesmo raciocínio leva a: 
S
vatm
d HZ
PP
NPSH ∆−+
γ
−
γ
= 
N.P.S.H. Requerido – (Net Positive Suction Head) – NPSHr 
É uma característica da bomba, definida como a energia requerida pelo líquido para 
chegar, a partir do flange de sucção e vencendo as perdas de carga dentro da bomba, 
ao ponto onde ganhará energia e será recalcado. 
O NPSHr é fornecido pelo fabricante através de uma curva em função da vazão, uma 
das curvas características da bomba. 
 
Observa-se que o NPSHr aumenta com a vazão, enquanto o NPSHd diminui com a 
vazão. Para um bom funcionamento do sistema elevatório é necessário que, para a 
vazão recalcada: 
NPSHd > NPSHr 
Colocando estes duas funções em um mesmo gráfico pode-se observar a faixa de 
segurança, em termos da vazão recalcada, em que o fenômeno da cavitação não 
ocorre. 
 
O ponto A representa o limite em que o NPSH disponível pela instalação é igual ao 
NPSH requerido pela bomba e esta condição deve ser evitada. A esquerda do ponto A 
tem-se uma região segura em que há folga na disponibilidade energética da instalação 
que supera a necessidade da bomba. Na prática, devemos ter uma folga entre o NPSHd 
e o NPSHr, de no mínimo 0,5m para a vazão recalcada. 
 
Determinação da máxima altura estática de sucção 
 
As possibilidades de aumentar o NPSHd de uma instalação são a altura estática de 
sucção (definida como a diferença entre a cota de assentamento do conjunto moto-
bomba em relação ao nível de água do reservatório inferior) e a perda de carga total. A 
variável mais sensível é a altura estática de sucção, assumindo pra propósitos práticos, 
um valor não maior que 4 a 5m. Conhecendo-se a curva do NPSHr fornecida pelo 
fabricante, a altura de sucção máxima pode ser determinada igualando-se os NPSH 
disponível e requerido. 
rd NPSHNPSH = 
Para bombas não afogadas: 
rS
vatm NPSHHZ
PP
=∆−−
γ
−
γ
 






γ
−
γ
+∆−−= vatmSrMAX
PP
HNPSHZ 
Para bombas afogadas: 
rS
vatm NPSHHZ
PP
=∆−+
γ
−
γ
 






γ
−
γ
−∆+= vatmSrMAX
PP
HNPSHZ 
 
Determinação da pressão atmosférica 
 
A pressão atmosférica varia com a altitude e com as condições climáticas. Para locais 
acima do nível do mar e até 2000m de altitude pode-se estimar a pressão atmosférica 
pela expressão (em que h é a altitude local expressa em metros): 
(m.c.a.) em 
1000
h081,0760
6,13
Patm 




 ⋅−
=
γ
 
Exemplo: 
A bomba da figura deve recalcar uma vazão de 30m3/h e para esta vazão o NPSH 
requerido é de 2,5m. A temperatura média da água é de 20ºC. Determinar o valor de X 
pra que a folga entre o NPSH disponível e requerido seja de 3,8m. Diâmetro da 
tubulação de 3”, Coeficiente de Hazen Willians C=150, existe uma válvula de pé com 
crivo e um joelho de 90º. 
 
O problema requer NPSHd-NPSHr=3,8m, o que resulta em NPSHd=6,3m. 
A pressão atmosférica local é: 
9,42mca 
1000
5,834081,0760
6,13
Patm =




 ⋅−
=
γ
 
A pressão de vapor a 20ºC é Pv=2,354 kPa e Pv/γ=0,24mca. 
A altura de sucção é de 1,4m 
S
vatm
d HZ
PP
NPSH ∆−−
γ
−
γ
= 
SH4,124,042,93,6 ∆−−−= 
m48,1HS =∆ 
O comprimento equivalente da válvula de pé com crivo e o joelho vale 30,7m. 
O comprimento virtual vale então X+30,7+0,5 
Utilizando Hazen-Willians 
87,485,1
85,1
DC
QL65,10
H
⋅
⋅⋅
=∆ 
( )
87,485,1
85,1
075,0150
00833,0X5,07,3065,10
48,1
⋅
⋅++⋅
= 
 
X=3,2m 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
Hidráulica Básica – Rodrigo de Melo Porto, São Carlos, EESC/USP, 1998. 
Manual de Hidráulica – Azevedo Netto, Ed. Edgard Blucher, 1998.