Deflexão e rotação de viga biapoiada com carregamento triangular, e dimensionamento de pilar mediante análise de compressão e análise de flambagem

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a) Determinar a equação da linha elástica e a equação da declividade. 
Viga c) 
Passo 1: Cálculo das reações de apoio: 
∑𝑀𝐴 = 0 
𝑞0𝐿
2
⋅
2𝐿
3
− 𝑉𝐵𝐿 = 0 
𝑉𝐵 =
𝑞0𝐿
3
 
∑𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 −
𝑞0𝐿
2
= 0 
𝑉𝐴 +
𝑞0𝐿
3
−
𝑞0𝐿
2
= 0 
𝑉𝐴 =
𝑞0𝐿
6
 
Passo 2: Cálculo da equação do momento fletor: 
∑𝑀𝑥 = 0 
𝑞𝑥 ⋅ 𝑥 − 𝑉𝐴 ⋅ 𝑥 + 𝑀(𝑥) = 0 
𝑥 (
𝑞0
𝐿 𝑥)
2
⋅
𝑥
3
− 𝑉𝐴 ⋅ 𝑥 + 𝑀(𝑥) = 0 
𝑥 (
𝑞0
𝐿 𝑥)
2
⋅
𝑥
3
−
𝑞0𝐿
6
⋅ 𝑥 + 𝑀(𝑥) = 0 
𝑀(𝑥) = (−
𝑞0
6 ⋅ 𝐿
) 𝑥3 + (
𝑞0𝐿
6
) 𝑥 
 
Passo 3: Aplicação da equação diferencial da linha elástica: 
𝑣′′(𝑥) =
1
𝐸𝐼
𝑀(𝑥) 
Integrando uma vez: 
∫ 𝑣′′(𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫ 𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 
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𝑣′(𝑥) =
1
𝐸𝐼
∫ ((−
𝑞0
6 ⋅ 𝐿
) 𝑥3 + (
𝑞0𝐿
6
) 𝑥) 𝑑𝑥 
𝑣′(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(
𝐿𝑞0𝑥
2
12
−
𝑞0𝑥
4
24𝐿
+ 𝐶1) 
Integrando novamente: 
∫ 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝐸𝐼
∫ (
𝐿𝑞0𝑥
2
12
−
𝑞0𝑥
4
24𝐿
+ 𝐶1) 𝑑𝑥 
𝑣(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(−
𝑞0
120 ⋅ 𝐿
𝑥5 +
𝑞0𝐿
36
𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2) 
Passo 4: Aplicando as condições de contorno: 
Como há um apoio de primeiro gênero em A (𝑥 = 0), então 𝑣(0) = 0, logo: 
𝑣(0) = 0 
0 =
1
𝐸𝐼
(−
𝑞0
120 ⋅ 𝐿
(0)5 +
𝑞0𝐿
36
(0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2) 
∴ 𝐶2 = 0 
Como há um apoio de segundo gênero em B (𝑥 = 𝐿), então 𝑣(𝐿) = 0, logo: 
𝑣(𝐿) = 0 
0 =
1
𝐸𝐼
(−
𝑞0
120 ⋅ 𝐿
(𝐿)5 +
𝑞0𝐿
36
(𝐿)3 + 𝐶1(𝐿) + 𝐶2) 
∴ 𝐶1 = −
7𝑞0𝐿
3
360
 
Passo 5: Conclusão: 
Logo, a equação da linha deflexão é: 
𝑣(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(−
𝑞0
120 ⋅ 𝐿
𝑥5 +
𝑞0𝐿
36
𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2) 
𝑣(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(−
𝑞0
120 ⋅ 𝐿
𝑥5 +
𝑞0𝐿
36
𝑥3 −
7𝑞0𝐿
3
360
𝑥) 
𝑣(𝑥) = −
𝑞0𝑥
360𝐿𝐸𝐼
(7𝐿4 − 10𝐿2𝑥2 + 3𝑥4) 
E a equação da rotação: 
𝑣′(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(
𝐿𝑞0𝑥
2
12
−
𝑞0𝑥
4
24𝐿
+ 𝐶1) 
𝑣′(𝑥) =
1
𝐸𝐼
(
𝐿𝑞0𝑥
2
12
−
𝑞0𝑥
4
24𝐿
−
7𝑞0𝐿
3
360
) 
𝑣′(𝑥) = −
𝑞0
360𝐿𝐸𝐼
(7𝐿4 − 30𝐿2𝑥2 + 15𝑥4) 
b) Calcular a deflexão para 𝑥 =
2
3
𝐿: 
Basta substituir 𝑥 =
2
3
𝐿 na equação encontrada no passo 5 do item a) anterior. 
𝑣(𝑥) = −
𝑞0𝑥
360𝐿𝐸𝐼
(7𝐿4 − 10𝐿2𝑥2 + 3𝑥4) 
𝑣 (
2
3
𝐿 ) = −
𝑞0 (
2
3 𝐿 )
360𝐿𝐸𝐼
(7𝐿4 − 10𝐿2 (
2
3
𝐿 )
2
+ 3 (
2
3
𝐿 )
4
) 
𝑣 (
2
3
𝐿) = −
17𝑞0𝐿
4
2916𝐸𝐼
 
 
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a) Dimensionar a seção transversal para 𝑃 = 148 𝑘𝑁: 
Passo 1: Dimensionando para falha por compressão: 
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑓𝑠
=
𝐹
𝐴
 
Como a área é circular, 𝐴 =
𝜋𝑑2
4
, logo: 
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑓𝑠
=
𝐹
𝜋𝑑2
4
 
Substituindo os dados: 
42 ⋅ 106
3
=
148 ⋅ 103
𝜋𝑑2
4
 
𝑑 ≈ 0.116 𝑚 
Passo 2: Dimensionando para falha por flambagem: 
𝑃𝐶𝑟 ⋅ 𝑓𝑠 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿𝑓
2 
 
Como o pilar é biarticulado, 𝐿𝑓 = 𝐿. Considerando 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎, e 𝐼 =
𝜋𝑑4
64
, já que 
temos uma seção circular, temos: 
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148 ⋅ 103 ⋅ 3 =
𝜋2 ⋅ 70 ⋅ 109 ⋅
𝜋 ⋅ 𝑑4
64
32
 
𝑑 = 0.1042 𝑚 
Passo 3: Conclusão: 
Como o diâmetro obtido no passo 1 é maior que o diâmetro obtido no passo 2, então o 
pilar sofre primeiro com a compressão e depois com flambagem, logo o menor 
diâmetro possível é: 
𝑑 = 0.116𝑚 
b) Dimensionar a seção transversal para 𝑃 = 324 𝑘𝑁: 
Passo 1: Dimensionando para falha por compressão: 
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑓𝑠
=
𝐹
𝐴
 
Como a área é circular, 𝐴 =
𝜋𝑑2
4
, logo: 
𝜎𝑎𝑑𝑚
𝑓𝑠
=
𝐹
𝜋𝑑2
4
 
Substituindo os dados: 
42 ⋅ 106
3
=
324 ⋅ 103
𝜋𝑑2
4
 
𝑑 ≈ 0.17166 𝑚 
Passo 2: Dimensionando para falha por flambagem: 
𝑃𝐶𝑟 ⋅ 𝑓𝑠 =
𝜋2𝐸𝐼
𝐿𝑓
2 
 
Como o pilar é biarticulado, 𝐿𝑓 = 𝐿. Considerando 𝐸 = 70𝐺𝑃𝑎, e 𝐼 =
𝜋𝑑4
64
, já que 
temos uma seção circular, temos: 
324 ⋅ 103 ⋅ 3 =
𝜋2 ⋅ 70 ⋅ 109 ⋅
𝜋 ⋅ 𝑑4
64
32
 
𝑑 = 0.1267 𝑚 
Passo 3: Conclusão: 
Como o diâmetro obtido no passo 2 é maior que o diâmetro obtido no passo 1, então o 
pilar sofre primeiro com a flambagem e depois com compressão, logo o menor 
diâmetro possível é: 
𝑑 = 0.1267𝑚 
 
 
 
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