Roteiro 4 - Determinação da permissividade elétrica do papelão

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Roteiro 4 - Determinação da permissividade elétrica do papelão
Objetivo: Determinar experimentalmente a permissividade elétrica do papelão a
partir da curva C x d em capacitor de placas paralelas.
Análise de dados
Realizou-se nesse experimento a determinação da permissividade elétrica do
papelão, para isso foi utilizado um capacitor de placas paralelas e circulares no qual
a distância entre as placas pode ser alterada com separação máxima igual a 10 cm,
figura 1. Depois usou-se um multímetro da marca Minipa modelo ET 2040 e com os
capacitores conectados aos multímetros através de dois cabos banana-banana.
Foi utilizado como meio dielétrico ( material isolante) separando as placas do
capacitor, as placas de papelão de mesmo diâmetro das placas do capacitor. O
diâmetro da placa foi medido cinco vezes, depois foi calculada sua média aritmética,
o desvio padrão e por fim calculou-se sua área:
Medidas do diâmetro da placa: 25,9 - 25,6 - 25,8 - 25,7 - 25,6
Média Aritmética: 25,75 cm
Desvio padrão: 0,13 cm
Área da placa: A = π r^2 , como o diâmetro é 2 vezes o raio, logo o raio é 12,87 e
calculando a área obtemos:
A = 520,76 cm^2
Depois mediu-se a capacitância e a distância entre as placas do capacitor
com uma folha de papelão inserida no capacitor, depois com uma segunda folha e
assim sucessivamente. Obtendo os seguintes resultados experimentais :
No de placas distância (mm) capacitância (nF)
1 0.2 1.079
2 0.4 0.876
3 0.59 0.559
4 0.72 0.485
5 0.9 0.398
6 1.09 0.355
7 1.28 0.305
8 1.47 0.261
9 1.63 0.242
10 1.8 0.219
Utilizando-se o programa gráfico SciDAvis criou-se uma tabela, no qual x é a
distância obtida e y a capacitância , depois foi usado no programa o “statistics on
rolls”, para determinar o valor médio e o desvio padrão de ambos.
Média Desvio Padrão incerteza instrumental
Distância 1.008 0.5375 0.005
Capacitância 0.477 0.288 0.01
Para determinar a incerteza combinada, primeiramente precisamos determinar a
incerteza aleatória, no qual será obtida utilizando a distribuição t de Student.
(equação 1) e considerando o fator de confiança em 0,99:
σ
𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
= 𝑡α(𝑓) σ
𝑁
𝑡α(𝑓) : 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒çã𝑜 
𝑓 − 𝑛𝑜𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 (𝑁 − 1)
α − 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛ç𝑎
σ − 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜
Depois de analisar os dados, para determinar o fator de correção consultamos a
tabela abaixo de valores de para diferentes graus de liberdade e fatores de𝑡α(𝑓) 
confiança.
Determinou-se que é 3,25, depois utilizando o SciDavis calculou-se a𝑡α(𝑓)
incerteza aleatória, da distância e da capacitância, utilizando a seguinte expressão:
3.25*col("1")/sqrt(10)
Obtendo os seguintes resultados:
Desvio Padrão incerteza
instrumental
incerteza aleatória
Distância 0.5375 0.005 0.552
Capacitância 0.288 0.01 0.296
Depois foi calculada a incerteza combinada, seguido a equação 2:
σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
= σ
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
2 + σ
𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
2
Todavia, para determinar a incerteza combinada utilizamos as seguintes expressões
no Scidavis:
Para a distancia : sqrt (0.005^2 + col (2)^2)
Para a Capacitância : sqrt (0.01^2 + col (2)^2)
Portanto:
incerteza
instrumental
incerteza aleatória incerteza
combinada
Distância 0.005 0.55241 0.55243
Capacitância 0.01 0.2961 0.2964
Após calcular as incertezas combinadas, no Scidavis foi criada uma nova tabela,
com 4 colunas , sendo:
Coluna 1 : Distância
Coluna 2: Capacitância
Coluna 3: Incertezas da distância
Coluna 4: incertezas da capacitância
distância (mm) capacitância (nF) Incerteza da
distância
Incerteza da
capacitância
0.2 1.079 0.7574 1.3851
0.4 0.876 0.9574 1.1821
0.59 0.559 1.14741 0.8651
0.72 0.485 1.27741 0.7911
0.9 0.398 1.45741 0.7041
1.09 0.355 1.64741 0.6611
1.28 0.305 1.83741 0.6111
1.47 0.261 2.02741 0.5671
1.63 0.242 2.18741 0.5481
1.8 0.219 2.35741 0.5251
[26/11/2022 20:35 Gráfico: ''Gráfico1'']
Não linear ; ajuste do conjunto de dados: Tabela1_2, utilizando a função: a/x+b
Erros padrão em Y: Conjunto de dados associado (Tabela1_4)
Nelder-Mead Simplex algoritmo com tolerância = 0.0001
De x = 0.2 a x = 1.8
a = 0.226284922542837 +/- 0.339433549611691
b = 0.126905579745739 +/- 0.578547281812207
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2 = 0.0559900131626092
R^2 = 0.919732915669662
---------------------------------------------------------------------------------------
Interações = 36
Status = success
---------------------------------------------------------------------------------------
Foi realizado a transferência de incertezas do eixo x para o eixo y , no Scidavis
utilizando a seguinte expressão :
sqrt ((A^2*col(3)^2 + col (4)^2))
Depois foi feito novamente o ajuste da equação obtendo os seguintes resultados:
[26/11/2022 21:52 Gráfico: ''Gráfico1'']
Não linear ; ajuste do conjunto de dados: Tabela1_2, utilizando a função: a/x+b
Erros padrão em Y: Conjunto de dados associado (Tabela1_4)
Nelder-Mead Simplex algoritmo com tolerância = 0.0001
De x = 0.2 a x = 1.8
a = 0.226161017154845 +/- 0.339433547362469
b = 0.127040090434168 +/- 0.578547280742424
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2 = 0.0559900776355836
R^2 = 0.919732823241435
---------------------------------------------------------------------------------------
Interações = 34
Status = success
---------------------------------------------------------------------------------------
Com os dados obtidos, realizou-se o ajuste da seguinte equação, comparando a
função com a fórmula da capacitância , ao isolar a permissividade :
(3)𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
(4)𝐶 = ε 𝐴𝑑 → ε = 
𝐶𝑑
𝐴
Comparando as equações (3) e (4) :
e b = 0𝑦 = ε 𝑎 = 𝐶𝑑 𝑋 = 𝐴
Com os dados obtidos no ajuste, o coeficiente linear a é ( 0.2263+/- 0.339), logo a
permissividade é:
ε = 0,226520,76 = 4, 346 × 10
−4
Exercícios:
1. Considerando a experiência do capacitor de placas paralelas a tabela II
mostra os resultados das medidas da capacitância em função da distância,
calcule a incerteza total, que é o resultado da transferência da incerteza do
eixo x para o eixo y somada com a incerteza de y, sabendo que a função
ajustada é y = a/x + b onde a = (0,495 ± 0,045) nFmm e b = (0,039 ± 0,045)
nF. Mostre os cálculos detalhadamente.
Considerando que a incerteza total é a soma da incerteza combinada da
capacitância e da distância, precisamos calcular a média e o desvio padrão de
ambos resultados, sendo que o desvio é o erro aleatório.
Para a distância
média : 𝑋 = 
Σ
𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛 = 4, 6
Desvio padrão : = 2,87𝑆 =
Σ
𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖−𝑥)
2
𝑛−1
Para a capacitância:
média : 𝑋 = 
Σ
𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
𝑛 = 0, 1844
Desvio padrão : = 0,137𝑆 =
Σ
𝑖=1
𝑛 (𝑥𝑖−𝑥)
2
𝑛−1
Sabe-se que a média do erro instrumental da capacitância é 0,0244 e que a da
distância é 0,1 mm, calcula-se a incerteza combinada de cada um:
σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
= σ
𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
2 + σ
𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑎
2
Distância
σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
= 0, 12 + 2, 87 2 = 0, 01 + 8, 24 = 2, 87
Capacitância
σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
= 0, 02442 + 0, 137 2 = 5. 95 × 10−4 + 0, 0188 = 0, 139
Logo a incerteza total é :
σ
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
2 = σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
2 + σ
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 
2 = 2, 872 + 0, 1392 = 8, 256
σ
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 = 8, 256 = 2, 87
2. Utilizando os dados da tabela II refaça o procedimento de análise de dados e
obtenha a permissividade elétrica do material
Refazendo os procedimentos de análise, obtemos os seguintes resultados de ajuste:
[26/11/2022 22:16 Gráfico: ''Gráfico2'']
Não linear ; ajuste do conjunto de dados: Tabela1_2, utilizando a função: a/x+b
Erros padrão em Y: Conjunto de dados associado (Tabela1_4)
Nelder-Mead Simplex algoritmo com tolerância = 0.0001
De x = 1 a x = 10
a = 0.569617001841436 +/- 0.80909399887134
b = 0.00830447925099309 +/- 0.201616846702674
--------------------------------------------------------------------------------------Chi^2 = 0.111825988015494
R^2 = 0.88741044881442
---------------------------------------------------------------------------------------
Interações = 34
Status = success
---------------------------------------------------------------------------------------
Com os dados obtidos, realizou-se o ajuste da seguinte equação, comparando a
função com a fórmula da capacitância , ao isolar a permissividade :
(3)𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
(4)𝐶 = ε 𝐴𝑑 → ε = 
𝐶𝑑
𝐴
Comparando as equações (3) e (4) :
e b = 0𝑦 = ε 𝑎 = 𝐶𝑑 𝑋 = 𝐴
Com os dados obtidos no ajuste, o coeficiente linear a é (0.57+/- 0.81), logo a
permissividade é:
ε = 0,571 = 0, 57