Questão resolvida - Resolva a integral x(1x)dx - Cálculo - UFBA

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• Resolva a integral
 
x dx∫ 3 1 + x2
 
Resolução:
 
Vamos resolver a integral usando a técnica de integração por substituição, primeiro, fazemos;
 
x dx = x xdx∫ 3 1 + x2 ∫ 2 1 + x2
 
Agora, fazemos as seguintes correlações;
 
u = 1 + x 1 + x = u x = u - 1 2xdx = du xdx =2 → 2 → 2 → →
du
2
 
Substituindo, a integral fica;
 
x dx = x xdx = u - 1∫ 3 1 + x2 ∫ 2 1 + x2 ∫( ) udu
2
 
Vamos distribuir os termos e usar as propriedades de integral dividir a integral em 2; 
 
u - 1 = ⋅ u - = u ⋅ u - u∫( ) udu
2
∫ u du
2
∫ udu
2
∫
1
2 1
du
2
∫
1
2
du
2
 
= u du - u du = u du - u du = u du - u du
1
2
∫
+1
1
2 1
2
∫
1
2
1
2
∫
1 + 2
2 1
2
∫
1
2
1
2
∫
3
2
1
2
∫
1
2
 
Resolvendo as integrais separadamente;
 
 
1)
 
2)
 
Com isso, a integral fica;
 
u du - u du = u - u
1
2
∫
3
2
1
2
∫
1
2
1
5
5
2
1
3
3
2
 
Como , a solução da integral é;u = 1 + x2
 
x dx = 1 + x - 1 + x∫ 3 1 + x2 1
5
2
5
2 1
3
2
3
2
Podemos manipular e simplificar o resultado, como feito na sequência;
 
x dx = 1 + x - 1 + x = 1 + x - 1 + x∫ 3 1 + x2 1
5
2
5
2 1
3
2
3
2 1
5
2
5
1
2 1
3
2
3
2
x dx = 1 + x ⋅ 1 + x - 1 + x∫ 3 1 + x2 1
5
2 3 2 2
1
2 1
3
2
3
2
 
x dx = 1 + x ⋅ 1 + x - 1 + x∫ 3 1 + x2 1
5
2
3
2 2
2
2 1
3
2
3
2
x dx = 1 + x ⋅ 1 + x - 1 + x∫ 3 1 + x2 1
5
2
3
2 2
1
3
2
3
2
 
 
u du = = = = u = u
1
2
∫
3
2
1
2
u
+ 1
+1
3
2
3
2
1
2
u
3 + 2
2
3+2
2
1
2
u
5
2
5
2
1
2
2
5
5
2
1
5
5
2
u du = = = = u = u
1
2
∫
1
2
1
2
u
+ 1
+1
1
2
1
2
1
2
u
1 + 2
2
1+2
2
1
2
u
3
2
3
2
1
2
2
3
5
2
1
3
3
2
x dx = =∫ 3 1 + x2
3 1 + x ⋅ 1 + x - 5 1 + x
15
2
3
2 2 2
3
2
1 + x ⋅ 3 1 + x - 5
15
2
3
2 2
x dx =∫ 3 1 + x2
1 + x ⋅ 3 + 3x - 5
15
2
3
2 2
 
x dx = 1+ x ⋅ 3x - 2 + c∫ 3 1 + x2 1
15
2
3
2 2
 
 
(Resposta )