Questão resolvida - Resolva a integral cos^4(x)dx - Cálculo - Integral trigonométrica

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva a integral
 
cos x dx∫ 4( )
Resolução:
 
Reescrevendo a expressão, fica;
 
cos x dx = cos x dx∫ 4( ) ∫ 2( ) 2
 
 Usando a substituição: 
 
cos x =2( )
1 + cos 2x
2
( )
Fica;
 
cos x dx = dx = dx = dx∫ 2( ) 2 ∫ 1 + cos 2x
2
( )
2
∫ 1 + cos 2x
2
( ( ))2
2
∫1 + 2cos 2x + cos 2x
4
( ) ( ( ))2
 
= dx = dx + dx + dx∫1 + 2cos 2x + cos 2x
4
( ) 2( ) ∫1
4
∫2cos 2x
4
( ) ∫cos 2x
4
2( )
 
= + dx + dx = + cos 2x dx + cos 2x dx
x
4
∫cos 2x
2
( ) ∫cos 2x
4
2( ) x
4
1
2
∫ ( ) 1
4
∫ 2( )
 
Vamos resolver as integrais que apareceram separadamente;
 
cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx
1
2
∫ ( ) → → du
2
Substituindo : cos 2x dx = cos u dx = sen 2x = sen 2x
1
2
∫ ( ) 1
2
∫ ( ) du
2
1
4
( )
1
4
( )
 
 
cos 2x dx usando a substituição : cos 2x = , fica;
1
4
∫ 2( ) → 2( ) 1 + cos 4x
2
( )
 
cos 2x dx = dx = dx + dx = + dx
1
4
∫ 2( ) 1
4
∫1 + cos 4x
2
( ) ∫1
8
∫cos 4x
8
( ) x
8
∫cos 4x
8
( )
 
 
 
Vamos resolver dx separadamente;∫cos 4x
8
( )
 
u = 4x du = 4dx = dx, substituindo : dx = = cos u du = sen u→ →
du
4
∫cos 4x
8
( ) ∫cos u
8
( ) du
4
1
32
∫ ( ) 1
32
( )
 
dx = sen 4x∫cos 4x
8
( ) 1
32
( )
 
Com isso, somando as soluções encontradas, a solução da integral é:
 
cos x dx = - sen 2x + + sen 4x + c = + + sen 2x + sen 4x + c∫ 4( ) x
4
1
4
( )
x
8
1
32
( )
x
4
x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
cos x dx = + sen 2x + sen 4x + c∫ 4( ) x + 2x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
cos x dx = + sen 2x + sen 4x + c∫ 4( ) 3x
8
1
4
( )
1
32
( )
 
 
(Resposta )