Questão resolvida - Seja k 10, se x^4_(x-kx)dx x_A Bx_2 Cx Dln_x-k_ R, em que R é uma constante - Cálculo I - UFBA

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• Seja , se , em que é uma k = 10 dx = + + Cx + Dln|x - k| + R∫ x
x² - kx
4 x³
A
Bx²
2
R
constante. Calcule o valor de .A + B + C + D
 
Resolução:
 
, substituindo na integral, fica;K = 10
 
dx = dx ∫ x
x² - kx
4
∫ x
x² - 10x
4
 
Colocando o da expressão do denominador em evidência e simplificando, temos;x
 
 
Agora, vamos efetuar a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador;
A divisão dos polinômios deixou resto e como resultado da divisão o polinômio -1000
; com essas informações podemos reescrever a integral como:x - 10x - 1002
 
dx = x - 10x - 100 - dx∫ x
x - 10
3
∫ 3 2 1000
x - 10
 
 
 
dx = dx = dx ∫ x
x² - 10x
4
∫ x
x x - 10
4
( )
∫ x
x - 10
3
3
x
3 x - 10
x - 10x - 1002-x - 10x3 2
-10x2
10x - 100x2
-1000
100x - 1000
-100x
3
Agora, usando propriedades integerais, fazemos a separação;
x - 10x - 100 - dx = x dx - 10xdx - 100dx - dx∫ 3 2 1000
x - 10
∫ 2 ∫ ∫ ∫ 1000
x - 10
 
Resolvendo cada integral separadamente;
 
1)
x dx =∫ 2 x
3
3
 
2)
 
10xdx = 10 xdx = 10 =∫ ∫ x
2
2 10x
2
2
3)
 
100dx = 100x∫
4)
 
dx = 1000 dx; u = x - 10 du = dx∫ 
x - 10
∫ 1
x - 10
→
 
1000 dx = 1000 du = 1000ln|u| = 1000ln|x - 10|∫ 1
x - 10
∫1
u
 
Com isso, a solução da integral é;
 
x - 10x - 100 - dx = - - 100x - 1000ln|x - 10| + R∫ 3 2 1000
x - 10
x
3
3 10x
2
2
 
x - 10x - 100 - dx = + + -100 x - 1000ln|x - 10| + R∫ 3 2 1000
x - 10
x
3
3 -10 x
2
( ) 2
( )
Dessa forma, temos que;
 
A = 3, B = -10, C = -100 e D = -1000
 
 
Então;
 
A + B + C + = 3 - 10 - 100 + = - 107 - 10D -1000
 
A + B + C + = - 117D
 
 
3 3
3 (Resposta )