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RLM E MATEMÁTICA FINANCEIRA Proposição lógica é uma oração declarativa que admite um valor lógico: ● É uma oração ● Esta oração é declarativa ● Esta oração pode ser classificada como Verdadeira ou Falsa Não são proposições: perguntas, exclamações e ordens; ● Paradoxos são ideias contraditórias em si mesmas (ex.: “esta frase é uma mentira”). ● Princípio da não-contradição: uma mesma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa. ● Princípio da exclusão do terceiro termo: só existem os dois valores lógicos V e F, não existe um “meio termo”. ● Princípio da identidade: se uma proposição é V, então ela sempre será V e se uma proposição é F, então ela sempre será F. ● Proposição simples: apresenta uma ÚNICA ideia. Normalmente formada por uma única oração (há exceções) ● Proposição composta: apresenta mais de uma ideia. Formada pela junção de proposições simples por meio de um conectivo ou operador lógico. Operadores Lógicos Fundamentais ● Negação (¬p) ● Operador E (Conjunção ou P ^ Q) ● Operador OU (Disjunção ou P v Q) Leis de De Morgan: A negação do operador “E” é feita com o operador “OU”, e vice-versa. ● ~(p^q) = (~p) v (~q) ~(p v q) = (~p)^(~q) Operador Condicional (“se…, então…”) ● Se estou com calor, então quero sorvete Esta proposição tem o conectivo lógico “se..., então...”. Trata-se da famosa proposição condicional, também conhecida como implicação. Chamando “estou com calor” de p e “quero sorvete” de q, podemos representar esta proposição assim: ● se p, então q ou p q→ Na proposição condicional nós temos uma condição (estar com calor) que, se confirmada, leva à ocorrência de um resultado obrigatório (querer sorvete). Portanto, o sentido passado pela condicional é este de CONDIÇÃO --> RESULTADO. Para montar a tabela-verdade da condicional, é importante você saber que só existe UM CASO em que a condicional é falsa: V F→ ● se o antecedente (primeira parte) é FALSO, então a condicional certamente é VERDADEIRA ● se o consequente (segunda parte) é VERDADEIRO, então a condicional certamente é VERDADEIRA Deduções Lógicas: Vai afirmando (modus ponens) Volta negando (modus tollens) Operador bicondicional (“se e somente se”) ● Estou com calor se, e somente se, quero sorvete O conectivo “se e somente se” presente nesta proposição é conhecido como bicondicional, ou dupla condicional, ou dupla implicação. Chamando a primeira parte de p e a segunda de q, podemos sintetizar esta proposição na forma: ● p se e somente se q ou p q↔ A bicondicional nos passa a ideia de SIMULTANEIDADE. Isto é, ela nos indica que as duas proposições terão valores lógicos iguais ao mesmo tempo. Se uma é V, a outra também será V. Se uma é F, a outra também será F. ● Será falsa apenas quando as proposições têm valores lógicos distintos. Operação de disjunção exclusiva (“ou… ou…”) (XOR)⇒ ● Ou estou com calor ou quero sorvete Ao contrário da disjunção simples (ou inclusiva) que estudamos anteriormente, aqui temos a presença de dois “ou”. A ideia passada é a de EXCLUSÃO, ou seja, se uma proposição for V ela EXCLUI a possibilidade de a outra ser V também. Portanto, se uma proposição é V, a outra deve ser F. As proposições devem ter valores lógicos OPOSTOS para deixar a disjunção exclusiva Verdadeira. ● ou p ou q ou p v q Formas alternativas das proposições ● o “mas” tem sentido de conjunção (“e”) ● “...ou..., mas não ambos” tem sentido de disjunção exclusiva ● bicondicional utilizando o “assim como” Comutatividade: a ordem dos termos não afeta o resultado da operação. ● Exceção: Proposição condicional Negação de proposições simples: possuem sempre valores lógicos opostos. Para negar uma proposição, pergunte-se: ● O que é o MÍNIMO que preciso fazer para DESMENTIR o autor da frase? Negação de proposições compostas: Em síntese, se temos uma conjunção “p e q”, a sua negação é obtida negando-se as duas proposições e trocando o “e” pelo “ou”, ficando: ~p ou ~q Se temos uma condicional p q, a sua negação é obtida mantendo-se a primeira e→ negando-se a segunda, ficando: p e ~q ● regra do MANÉ, de MAntém a primeira e NEga a segunda. ● A negação do OU EXCLUSIVO é o BICONDICIONAL, e vice-versa. ● Proposições equivalentes: p q ~q ~p~p ou q→ → Equivalência da bicondicional: ● Estudo se e somente se trabalho equivale a “Se estudo, então trabalho e, se trabalho, então estudo” (p q)^(q p)→ → Equivalência da disjunção exclusiva: ● Ou estudo ou trabalho equivale a “Estudo se e somente se NÃO trabalho” e também a “NÃO estudo se e somente se trabalho” p ~q ou então ~p q↔ ↔ Uma sentença aberta difere de uma proposição comum pelo fato de conter pelo menos uma variável, ou incógnita, que é um termo sobre o qual não sabemos a priori o seu valor. Lógica de afirmação - Proposições Especiais ● Tautologia: é sempre verdadeira, independentemente do valor lógico das proposições atômicas que a constituem. “Marcos é japonês ou Marcos não é japonês.” ● Contradição: sempre falsa, independentemente do valor lógico das proposições atômicas que a constituem. “Marcos é japonês e Marcos não é japonês.” ● Contingência: pode ser verdadeira ou falsa. “Marcos é japonês e Isabela é paulista.” ● Argumento: A validade de um argumento não depende do valor lógico das premissas. ○ Sofismas: são argumentos inválidos feitos com o propósito de enganar o interlocutor. ○ Falácias: são argumentos inválidos feitos equivocadamente. ● Redução ao Absurdo: Suponha que a tese está errada. Faça deduções lógicas e chegue a uma contradição. Ao chegar a uma contradição, provamos que a tese inicial está correta. ● Paradoxo do Mentiroso: Uma pessoa sincera não pode dizer “eu sou mentiroso”, porque estaria mentindo. Um mentiroso não pode dizer “eu sou mentiroso”, porque ele estaria falando a verdade, e o mentiroso jamais fala a verdade. Logo, “eu sou mentiroso” não é uma proposição, mas, sim, um paradoxo. ● Verdades e Mentiras: São as questões que dão várias afirmações e dizem que “somente um está falando a verdade” ou “somente um está mentindo”. Procure por duas pessoas que se contradizem. O caso mais comum é quando A diz que B está mentindo. Em uma condicional p q, podemos sempre afirmar que:→ ● p é uma condição suficiente para q; ● q é uma condição necessária para p. Numa bicondicional p q, podemos dizer que:↔ ● p é condição necessária e suficiente para q; ● q é condição necessária e suficiente para p. Argumentos Lógicos: duas informações (primeira e segunda frases) que, se analisadas em conjunto, permitem chegar à terceira informação (terceira frase). Palavras-Chave nos Diagramas Lógicos ● Proposições Subalternas e Superalternas: para que a superalterna seja verdadeira, é necessário que a subalterna seja verdadeira. ○ “Todo auditor é engenheiro” (superalterna) ○ “Algum auditor é engenheiro” (subalterna) ● Proposições Contraditórias: uma é a negação da outra. ○ “Todo auditor é engenheiro” (universal afirmativa) ○ “Algum auditor não é engenheiro” (particular negativa) ● Proposições Contrárias: podem ser ambas falsas, mas nunca ambas verdadeiras. ○ “Todo auditor é engenheiro” (universal afirmativa) ○ “Nenhum auditor é engenheiro” (universal negativa) ● Proposições Subcontrárias: podem ser ambas verdadeiras, mas nunca ambas falsas. ○ “Algum auditor é engenheiro” (particular afirmativa) ○ “Algum auditor não é engenheiro” (particular negativa) Operações entre dois Conjuntos ● Intersecção (A Ո B): são os elementos comuns aos dois conjuntos ● União (A Ս B): são os elementos que pertencem a qualquer um dos dois conjuntos ● Diferença (A\B): são os elementos de A que não estão em B. Número de Elementos da União ● Dois Conjuntos: devemos somar o número de elementos de ambos os conjuntos e subtrair a intersecção, porque esses elementos foram considerados duas vezes: ● Três Conjuntos: subtrair a intersecção, porque esses elementos foram considerados duas vezes: ○ Total de elementos da união = soma dos conjuntos – interseções dois a dois + interseção dos três ● Quatro ou mais conjuntos: Quando a questão envolve QUATROconjuntos, não vale a pena se preocupar com fórmulas. O ideal é resolver por meio de diagramas. Não desenhe todos os conjuntos entrelaçados. Leia todas as informações para verificar quais conjuntos podem ser desenhados SEPARADOS de outros (por não terem interseção). Pertinência: Relação entre um elemento e um conjunto. Um ELEMENTO pertence ou não pertence a um CONJUNTO; ϵ Inclusão: Relação entre dois conjuntos. Um CONJUNTO está contido ou não está contido em outro CONJUNTO; Símbolos (contém) e (está contido). MATEMÁTICA FINANCEIRA Juros Simples: ● J = cit ● M = C + J = C*(1+it) Taxas proporcionais e equivalentes: 1% ao mês, 6% ao semestre ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo montante M após o mesmo período de tempo. Com juros simples, taxas proporcionais = taxas equivalentes. Taxa média proporcional: Prazo médio: A taxa efetiva é aquela que o período de formação e incorporação dos juros ao capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Ex: taxa de 5% a.m. com capitalização mensal. A taxa real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período. Existe uma relação entre a taxa efetiva, a taxa real e o índice de inflação no período. Vejamos: 1+ief=(1+ir )(1+iinf ) Juros Compostos: ● M = C*(1+i)^t ● Taxa de juros real e aparente: A taxa real de juros leva em consideração os descontos como a inflação e o imposto de renda. A maneira correta para o cálculo da taxa de juros aparente é através da fórmula: ○ ● Cálculo do prazo: log AB = B x log A ● Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é igual da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização anual). ● Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é diferente da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização bimestral). ● Duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo. ● Nos juros compostos, as taxas proporcionais não são equivalentes. ● Tendo uma taxa de juros compostos “j”, é possível obter uma equivalente “jeq” através da fórmula: (1 + j)t = (1 + jeq) teq ● CONVENÇÃO LINEAR DE JUROS COMPOSTOS: ○ 1. Calcular, com a fórmula de juros compostos, o montante produzido após a parte inteira do prazo de aplicação. ○ 2. Considerando o montante calculado no passo 1 como sendo o capital inicial C, calcular, com a fórmula de juros simples, o montante final gerado pela parte fracionária do prazo. ● A taxa líquida é aquela obtida a partir da taxa bruta, após a dedução dos encargos aos quais o capital é submetido. Descontos: ● Valor futuro, nominal ou valor de face: corresponde ao valor total da nota, sem desconto; Valor do título na data do seu vencimento ● Valor atual ou valor presente: é o montante a ser pago após o desconto. ● Desconto: é o abatimento sobre o valor nominal ocorrido para que a obrigação seja paga antecipadamente. D = VN - VP ● Desconto simples: ● Desconto racional simples (por dentro): Basta substituir (juros simples) o montante pelo valor nominal (N), o capital pelo valor atual (A), e a taxa de juros pela taxa de desconto (d). ● Desconto comercial simples (por fora): não sendo mencionado que o desconto a ser aplicado é o racional, você deve usar o desconto comercial / bancário / por fora. ○ Inverte o sinal da taxa de juros, na fórmula de juros simples. ● Desconto composto: ○ A diferença do desconto simples para o desconto composto é a capitalização. Enquanto o primeiro utiliza a capitalização por juros simples, o segundo utiliza a capitalização por juros compostos. ○ Comercial / por fora: É calculado diretamente sobre o valor nominal com uma taxa de juros negativa: Af = N(1-d)^t ○ Racional / por dentro: calculado de modo que o valor atual é aquele que deveria ser investido hoje para resultar no valor nominal desejado no futuro. ■ ○ Relação entre taxas de desconto composto por fora e por dentro: A relação entre taxas para as diferentes categorias de desconto composto é semelhante àquela encontrada para desconto simples: ■ Como o valor atual é sempre inferior ao nominal, podemos imaginar que aquele está contido no interior deste. O desconto racional “por dentro” é aquele que parte de dentro para fora. Isto é, parte-se de um valor atual A que, se multiplicado pelo fator de acumulação de capital (1+dxt) ou (1+d)t, conforme o caso, leva ao valor nominal N após o período “t”, à taxa “j”. É por isto que: ● N = A x (1 + dxt), no desconto simples “por dentro” ● N = A x (1 + d)t, no desconto composto “por dentro” Já o desconto comercial “por fora” é aquele que parte de fora para dentro. Assim, parte-se de um valor nominal N que, se multiplicado pelo fator de redução (1 – d x t) ou (1 – d)t, conforme o caso, leva ao valor atual A após o período “t”, à taxa “d”. É por isto que: ● A = N x (1 – dx t), no desconto simples “por fora” ● A = N x (1 – d)t, no desconto composto “por fora” ● a taxa efetiva é MAIOR que a taxa de desconto. Sistemas de Amortização Sistema de Amortização Francês (Tabela Price): ● As parcelas são constantes e amortização é sempre crescente ● O saldo devedor e os juros incidentes nas parcelas são decrescentes. ● Calculamos o valor de cada parcela P da seguinte forma: ○ ○ Chamando essa parte da fórmula de fator de recuperação de capital (FRC), podemos dizer que: P = VP x FRC ● O fator de amortização é utilizado para o cálculo das parcelas. Para saber a expressão que você vai utilizar, verifique se a questão fornece a aproximação (1+i)n ou (1+i)–n: ● é o inverso do FRC ● Carência: Atualiza o saldo inicial com os juros incidentes (n-1). Sistema de Amortização Constante (SAC): ● A amortização é constante e pode ser obtida pela relação: Am=C / N ● O saldo devedor decresce por meio de uma progressão aritmética ● Exemplo: considere uma dívida de R$1.000 a ser paga em 4 anos por meio de um sistema de amortização constante com juros de 1% ao mês. Qual o comportamento do saldo devedor? ● ● Cálculo da soma dos juros: ○ Utilize a fórmula da soma de uma progressão aritmética: (J1+Jn)*n/2; ● O saldo devedor imediatamente antes da última parcela é sempre igual à cota de amortização. Sistema Misto de Amortização: calcular o valor da parcela em cada um dos outros sistemas e obter a média. Valor atual: se conhecemos certo valor monetário numa data futura (VF), podemos saber qual é o seu valor equivalente na data atual, presente (VP). ● para deslocar um valor financeiro para o futuro (direita), multiplique-o por (1+j)t; ● para deslocar um valor financeiro para o passado (esquerda), divida-o por (1+j)t. Fator de valor atual: VP = an¬j x P (achar an¬j na tabela) ● Pagamentos postecipados: efetuados em um momento posterior, t=1 ● Pagamentos antecipados: primeira prestação é paga no momento inicial (t = 0) ● Pagamento diferido: t>1, traz o valor presente da série postecipada da data. Fluxo de caixa descontado: é dado pela soma do valor presente de todas as parcelas no período estudado. Abaixo está um exemplo de como isso ocorre. Aplicações de renda física: Um título é chamado de renda física se sua lei de formação de valores futuros é conhecida. ● Títulos pós-fixados: não possuem um valor futuro fixo. Eles são remunerados todos os dias, e há a garantia de que eles vão render sempre positivo, desde que a taxa de juros seja positiva. Seus rendimentos são atrelados a um indicador, como o CDB e a taxa SELIC. ● Títulos prefixados: possuem um valor futuro fixo. Seu valor atual é calculado pela expressão do composto. ● Títulos Mistos: seus rendimentos são atrelados tanto a um valor prefixado como a um indicador. Valor Presente Líquido (VPL) = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos Taxa Interna de Retorno: Torna o VPL zero. ● A taxa interna de retorno modificada (MTIR) é um cálculo diferenciado da taxainterna de retorno que leva em consideração justamente esse aspecto: assume-se que os ganhos provenientes do projeto serão reaplicados a uma taxa de rentabilidade inferior. Isso faz com que a MTIR fique menor que o cálculo original da TIR que aprendemos. Análise de investimentos A taxa mínima de atratividade é o retorno mínimo exigido pelo investidor para considerar um investimento atrativo. É importante entender que a TMA é subjetiva. Ou seja, cada investidor possui a sua própria TMA em relação a cada projeto. Não é possível calcular uma TMA geral que vale para todas as pessoas. Payback - método de avaliação de investimentos mais popular e busca responder a seguinte pergunta: “Em quanto tempo esse investimento vai se pagar?” ● Payback simples - corresponde ao período de tempo necessário para que a soma dos retornos futuros seja igual ao desembolso inicial. Em outras palavras, corresponde ao tempo necessário para que a soma do fluxo de caixa do projeto seja igual a zero. ● Payback descontado - O payback descontado busca considerar o efeito do tempo. Sua técnica é muito semelhante ao payback simples, porém, os retornos sofrem o efeito de uma taxa de desconto – normalmente, racional composto. Valor Presente Líquido - Corresponde à soma dos valores atuais de todos os fluxos de caixa associados ao projeto. Ao avaliar projetos com durações diferentes, é mais adequado compararmos a realização sucessiva dos projetos por um mesmo período. Trata-se do MÉTODO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. Como o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 anos é igual a 6 anos, devemos comparar projetos que duram 2 e 3 anos num horizonte de 6 anos. A taxa interna de retorno (TIR) é a taxa que anula o VPL. ● quando a taxa de desconto é inferior à TIR, o VPL é positivo; ● quando a taxa de desconto é igual à TIR, o VPL se anula – é a definição da TIR; ● quando a taxa de desconto é superior à TIR, o VPL será negativo.
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