Prova UnB MICRO jun2009

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Solução da Primeira Prova - Microeconomia 1 
Departamento de Economia, Universidade de Brasília 
Brasília, Junho de 2009 
Questão 1 (20 pontos): Prove os seguintes resultados. 
a) Sejam J uma função de produção homotétiÇ.lLe-X., :i;s duas combinações de insumos que produzem a 
mesma quantidade de bem final. Mostre que as combinações de insumos tx e tx' produzem a mesma 
quantidade de bem final. 
R: Temos que f = g o h, onde g é crescente e h homogênea de grau 1. Observe que: 
J(x) g(h(x)) = y => h(x) = g-1(y), e 
J(x') = g(h(x')) = y => h(x') = g- 1(y) 
ou seja, h(x) = h(x1) . Multiplicando essa igualdade por t O resulta em th(x) = th(x1). Aplicando a 
função g e usando a homogeneidade de h, obtemos o resultado desejado, J(tx) = g(h(tx)) = g(h(tx1)) = 
J(tx'). 
b) Considere uma função de produção CES definida por J(x1,x2) = (a 1xf + a2x~) 1/P _ Mostre que 
podemos representar essa mesma tecnologia pela função J(x1, x2 ) = A(p)(bxf + (1- b)x~)1IP, onde A(p) 
é uma constante que depende de p. 
R: Observe que: 
onde A(p) = (a1 + a2) 1IP, b = ••+•, . 
c) Suponha que as preferências são homotéticas. Mostre que 
8x,(p, y) = 8xí(P, y) i f j 
apj ap, ' 
R: Usando a equação de Slutsky, basta mostrar que: 
ou seja, que as elasticidades-rendas dos bens são iguais. Se as preferências são homotéticas, eotãa todas 
as . elasticidades-renda são unitárias. Para · mostrar isso, basta provar que as demandas são da forma 
x,(p, y) = yf,(p), pois, nesse caso, temos que: - - __ ) 
_y_ax,(p,y) = _Y_f( )- l 
x,(p, y) ay yf,(p) \ p -
Adaptando o resultado do teorem~ 3j/para o caso da função dispêndio, e representando a preferência 
por uma função homogênea linear, temos que e(p,u) = uê(p) . Usando a relação e(p,v{p,y)) = y, 
obtemos que v(p) = yê(pt 1• Encontramos a demanda pelo bem i usando a identidade de R~ 
a·( J-1 
x;{p, y) = - avi,11) = yê(p) e a~. = yf,(p) , 
onde f;(p) = ê(p) 8;~r. 
d) Sejam (p, y) o vetor de preços e renda. Defina os preços p como P = tP- Mostre que 
( . ) 8f,, X; p = '-'" ~•-
L...,k;I 8f,; P; 
R: A função utilidade indireta é homogênea de grau zero nos preços e na renda, v(tp, ty) = v(p, y), para 
todo t > O. Derivando essa igualdade com relação ate igualando t a 1, obtemos: 
t âv(p, y) p + âv(p, Y\ = O 
j;I Ôpj J Ôy 
Fazendo a normalização pedida, obtemos: 
âv(p, 1) = _ âv(p, l)p • . 
â â . J y j;I P; 
Usando a identidade de Roy, obtemos o resultado desejado: 
Podemos também provar esse resultado de modo análogo à demonstração do teorema de Hotelling-Wald 
(teorema 2.4, p. 79). Nesse caso, note que 
v(p, 1) = max u(x) s.a. px = 1 xeRn 
O Lagrangeano do problema acima é .C(x, À) = u(x) + À(l - px) . Usando o teorema do envelope, temos 
que: 
âv(p, 1) = â.C(x' ,>-*) = -Àx' 
âp; Ôp; • 
Multiplicando a expressão acima por p; e somando para todo i, obtemos o multiplicador de Lagrange 
que é: 
âv(p, l)p = -À ~p--x~ = -À a . l ~ll l 
j;J p, j;J 
onde a última igualdade da expressão acima é conseqüência da propriedade de "adding-up". Logo, 
substituindo o valor do multiplicador de Lagrange na expressão obtida pelo teorema do envelope obtemos 
o resultado desejado: 
( .) 8f,; X; p = °"n ~• . 
L...,k;I 8f,, P; 
Questão 2 (15 pontos): Seja x(p, y) uma função de demanda de uma cesta de n bens que satisfaz as 
propriedades de homogeneidade e "adding-up". Além disso, suponha que essa função é homogênea de 
grau 1 em y e que ax~~~,u) = O, sempre que j f, i. 
a) Mostre que podemos escrever a demanda de cada bem como uma função separável em preços e na 
renda, ou seja, x;(p,y) = cp(y)v,;(p), onde a função cp não depende do bem i. Descreva as funções cp e 
v,; (ou seja, descreva o domínio, o contradomínio e a regra de associação dessas funções). 
2 
R: Se x(p, y) é homogênea de grau 1 na renda, temos 
x(p,y) = yx(p, 1) 
Então, para todo o bem i, temos 
x.(p,y) = yx;(p, l) = </>(y)'lj;;(p), 
onde </> : R -+ Ré a função identidade </>(y) = y e 'lj;; : Rn -+ R é a função real definida por 'lj;;(p) = 
X;(p, 1). 
b) Mostre que a função 1Pi depende apenas de Pi· 
R: Como 8"'~,y) = O, então ~:) = O, para todo j f i. Portanto, 1Pi é uma função de Pi apenas. Logo 
podemos escrever 1Pi = 'lj;;(Pi)-
c) Use o teorema de Euler para mostrar que 1Pi = ~, onde °'i é uma constante que não depende dos 
preços ou da renda. Mostre que Z:::~=l a, = l. Qual o formato das demandas xi(P, y)? 
R: Como x(p, y) é homogênea de grau O e xi(P, y) = Y1Pi(Pi), temos que para todo bem i vale 
8xi(P, y) = 'lj;;(p;) 
8y 
Logo, pelo teorema de Euler, 1Pi homogênea de grau -1 em p; . Nesse caso, existe °'i > O tal que 
°'i 1Pi(P;) = -
Pi 
Logo, as demandas são °'i Xi(p,y) = -y 
P, 
Usando a propriedade de "adding-up" das demandas, temos 
o que termina a caracterização das demandas. 
n 
L°'•=l, 
i=l 
Questão 3 (15 pontos): Suponha uma economia com um único consumidor e vários bens. O governo 
resolve taxar o bem i em t por unidade consumida e devolver o dinheiro arrecadado com o imposto ao 
consumidor ( o consumidor não leva em conta que o valor do seu consumo no bem afeta o montante de 
dinheiro que ele recebe do governo). Suponha que a t + ~xi < O para todo vetor de preços e renda 
(suponha que as preferências são estritamente convexas) . Mostre que o valor da taxa que maximiza o 
bem-estar do consumidor é zero. 
R: Para cada t, seja p(t) = p + te, o novo vetor de preços, onde ei é o vetor com 1 na i-ésima coordenada 
e zero nas outras coordenadas. A renda do consumidor agora é y(t) = y + txi(p(t), y(t)). Observe que 
px(p(t), y(t)) = (p(t) - te;)x(p(t), y(t)) = y(t) - txi(p(t), y(t)) = y 
Portanto, x(p(t), y(t)) poderia ser adquirido quando x(p, y) foi comprado. Pela definição de função 
demanda, x(p, y) é tão bom quanto x(p(t), y(t)). 
Para provarmos que x(p, y) é estritamente melhor do que x(p(t), y(t)), basta mostramos que os dois 
são diferentes para todo t > O, pois as preferências são estritamente convexas (a função de demanda é 
realmente uma função e não uma correspondência). 
3 
Por absurdo, suponha que exista algum [>O tal que x(p(t), y(t)) = x(p, y) e seja u = v(p, y) . Então 
temos xh(p(t), u) = xh(p, u) e, em particular, x?(p(t), u) = x?(P, u). Como a função de demanda 
Hicksiana de i é não-crescente no preço de i, temos que x?(p(t), u) = x?(P, u), para todo t E [O,~-
Logo, 
fü?(~~t), u) = O, para todo t E (O,~ 
Como vale 
Bx?(p(t),u) fü?(p(s),u) 
at api 
Então obtemos 
ax~(p(s),u) = o 
api ' 
o que contradiz a hipótese + ~x- < O &p. y • 
Questão 4 (10 pontos): A função de utilidade de Cobb-Douglas para o caso de n bens é dada por 
onde A > O e E~=l ai = 1. Encontre: 
(a) As funções de demanda Marshallianas. 
S: O Lagrangeano desse problema é: 
As CPOs resultam em: 
n 
u(x) = A II xf', 
i=l 
{ 
~A ti xf' = Àpk, 
i=l 
para k = 1, .. . , n; e 
Fixe o bem k. Dividindo a CPO desse bem pela CPO do bem j, para todo j =/- k, obtemos:.,,/ [}., J _;Z?, 
o · * n 
PjXj = a:PkXk, j = 1, .. . ,n; j =1- k _](\_) 1 6 .,j. 
Substituindo as n - 1 igualdades acima j 1, ... , n, j =/- k, na restrição orçamentária, obtemos: 
y = PkXk + L -2.pkXk = -pkXk Clk + L Clj = -pkXk, 
( 
n Q · 1 ( n ) 1 
· ' . j=l,j# Clk I Clk j=l,j# Clk ' 
pois E;'.,.1 ai= 1. Portanto, a demanda do bem k, k = 1, ... , n, é: 
y 
Xk(P, y) = Clk-
T>k 
(b) A função de utilidade indireta. 
I 
S: Substituindo as demandas ótimas encontradas no item a) acima na utilidade direta, obtemos a 
utilidade indireta: 
v(p, y) = u(x(p, y)) = A II oill = A II of'p;º' Y, n ( )º' ( n ) 
~l A -1 
4 
l.., ~\\;.1;~{\•~· •, ,,-t-, '-11/ · c1v 
,r.::.1e:1~ .'/:. \, 
!:,"\~i:'i\ t;i,,.,~.-
~- - f"!, '"'-\:) 
---~ f. t ...... -·.,w· 
;~~~L--. 
. .t:::,..'1'-•!\) 
':iUr' 
.,,;iiz.;i • "n ,;iJ' p01s Wi:l Q; = 1. 
t ( c) A função dispêndio. 
S: Vamos usar a relação de dualidade entre a função de utilidade indireta e a função dispêndio, dada 
por v(p, e(p, u)) = u, para encontrar a função dispêndio: 
-ai O:í 1 ( n ) e(p,u)) = A g a; P; u. 
(d) As funções de demanda Hicksianas. 
S: Usamos o lema de Shephard para encontrar asdemandas Hicksianas, para todo k = 1, ... , n: 
h( ) _ 8e(p, u) _ Ok (rrn -o; º') U xkp,u ------ a; Pi - . 
apk A i:l Pk 
Questão 5 ( 15 pontos): Suponha que um indivíduo avesso a.o risco com riqueza inicial w0 possa sofrer 
uma perda de L reais com probabilidade 1r. Ele pode comprar a quantidade x de seguro por um preço 
p (ou seja, se ele compra uma unidade de seguro, ele paga p e, se a perda ocorrer, ele recebe um real), 
com x E (O, L]. 
a) Mostre que todo indivíduo avesso ao risco escolherá assegurar totalmente, se o preço do seguro for 
atuarialmente justo. 
R: Se o preço do seguro é atuarialmente justo, então p = 1r . O problema do indivíduo nesse caso é: 
max [1ru(wo - px - L + x) + (1 - 1r)u(wo - px)] 
:r 
A CPO para esse problema é: 
1r(l - p)u'(wo - px - L + x) - (1 - 1r)pu1(wo - px) = O, (1) 
Se p = 1r, a CPO resulta em: 
u'(wo - 1rx - L + x) = u'(wo - 1rx), 
o que, por sua vez, resulta em x = L pois u" < O (garante a CSO e garante que x• > O), ou seja, no 
caso de um seguro atuarialmente justo, o indivíduo se assegura totalmente contra uma perda. 
b) Mostre que se o preço do seguro for maior do que o preço atuarialmente justo, o indivíduo não 
escolherá se assegurar totalmente. 
R: Se x = L, o lado esquerdo da CPO (1) acima se torna: 
1r(l - p)u'(wo - pL) - (1 - 1r)pu'(wo - pL) = u'(wo - pL)(1r(l - p) - (1 - pi)p) = u'(w0 - pL)(1r - p) 
Como p > 1r, então o lado esquerdo da CPO é negativo. Como o indivíduo é avesso ao risco (u" < O, ou 
seja u' é decrescente), a CPO será satisfeita se x• < L, ou seja, no ótimo o indivíduo não se assegura 
completamente. 
c) Mostre o resultado do item a) sem usar o fato de que a utilidade do indivíduo é diferenciável. 
R: Se o indivíduo se assegura totalmente, o seu consumo em cada um dos dois estados da natureza 
possíveis se torna w0 - 1r L, ou seja, se torna igual. Como o indivíduo é avesso ao risco e o preço do 
seguro é o preço atuarialmente justo, ele sempre prefirirá esse caso a qualquer outra situação onde 
há variação na sua renda entre os dois estados da natureza, isto é, qualquer situação onde ele não se 
assegura totalmente. A tabela abaixo resume os caso possíveis. 
5 
Casos 
Seguro total (x = L) 
Nenhum seguro (x = O) 
Seguro parcial (O< x < L) 
Riqu~za..Esperada Riqueza se acidente Riqueza se não-Acidente 
, 1Y.o-= .7IL_ -----1!!0 - 1rL _ .'!Qo . .=- 7!~ 
w0 -rr,L w0 -L wo 
wo+1rL wo-1rx+(x-L) wo-1rx 
Logo, todas os casos dão o mesmo retorno esperado, já que o preço do seguro é o atuarialmente justo, e o 
único caso em que não há variação da renda entre estados é quando o indivíduo se assegura totalmente. 
Portanto, pela definição de aversão ao risco, podemos concluir que a opção de seguro total é a melhor 
para o indivíduo. 
Questão 6 (15 pontos): Suponha que uma firma representativa de uma indústria produz um bem 
usando apenas dois insumos: trabalho qualificado (h) e trabalho não qualificado (!) . A tecnologia da 
firma é representada por 
y = J(h, l) = ho,1510,25 
(a) Monte o problema de maximização de lucros da firma (normalize o preço do bem produzido para 
firma em 1). Derive as CPOs para cada insumo. 
R: o problema de maximização de lucros da firma é 
As CPO são: 
max ho.1510.25 - whh - wil 
h,l 
0_75 . h-0.25/-25 
0_25 . ho.151-0.15 
(2) 
(3) 
No lado esquerdo de cada equação temos o produto marginal do trabalho. Em um mercado competitivo, 
uma firma que maximiza lucros contrata cada tipo de trabalhador de modo que o seu salário se iguale 
ao valor da sua produtividade marginal. Note que a....fu:muossui retornos constantes de escala, Jogo 
seu lucro de eguih'brio no longo prazo deve ser zero. Porém, nesse caso, temos que os dois insumos são 
limitados. 
Suponha que a oferta dos dois tipos de trabalhadores é perfeitamente inelástica e que existem 100 
trabalhadores qualificados e 100 trabalhadores não qualificados. 
(b) Calcule os salários de equilíbrio para os dois tipos de trabalhadores ( denote esses salários por wh e 
Wt)-
R: O equilibrio em cada um dos dois mercados de trabalho ocorre quando a demanda é igual à oferta. 
Como a oferta de trabalho é inelástica (ou seja, os indivíduos vão trabalhar qualquer que seja o salário), 
podemos inferir que em equilibrio h• = 100 e t• = 100. Substituindo essas quantidades de equilíbrio nas 
equações (2) e (3), achamos os salários de equilíbrio: wh = 0.75 e Wt = 0.25. 
Suponha que o governo impõe um salário mínimo igual a O, 3. 
(c) Calcule os novos salários agora. De que modo os salários se alteram? Qual a intuição para essa 
alteração? 
R: O salário mínimo de 0.3 não afetará em um primeiro momento o salário do trabalhador qualificado, já 
que o salário de equilíbrio desse trabalhador é maior do que o salário mínimo (0.75 > 0.3) . Entretanto, 
o salário mínimo é maior do que o salário de equilíbrio do trabalhador não qualificado (0.25 < 0.3), e 
portanto agora devemos ter que wrº"º = 0.3. 
Nesse caso, a CPO para l pode ser escrita como: 
0.25hº 751-0 75 = 0.3 => (~l) o.15 = _0._3 => 0.25 
6 
( ~) = (1.2)rA. 1':J 1.275 
i 
1 
•' 
Substituindo esse valor para h/l · - (2) , · ac~ma na equaçao , obtemos o novo salano do trabalhador qualificado: 
-' Í ' :' ..:io.2s 
novo Q 75•(h) \ 0.25 1 wh = · l ) = 0.75 · (1.2to,o = 0.75(1.2p· 0.706 < 0.75. 
'-._, ' 
Po~t~to,, c_om essa nova política, o salário do trabalhador não qualificado aumenta, igualando-se ao 
salano mm1mo. O salário do trabalhador qualificado diminui quando o salário mínimo é introduzido. 
A intuição para esse resultado é que, antes do salário mínimo existir, a proporção de trabalhadores 
qualificados e não qualificados, ~. é = 1, ou seja, um trabalhador qualificado trabalha com um 
trabalhador não qualificado. Com o novo salário mínimo, a proporção de trabalhadores qualificados e 
não qualificados, ~. é aproximadamente 1.275 > 1, ou seja, um trabalhador qualificado trabalha com 
menos do que um trabalhador não qualificado. Isso faz com que a produtividade do trabalho qualificado 
se reduza, e com ela o salário de equilíbrio do trabalho qualificado. 
(d) Com o salário mínimo, existe algum trabalhador não qualificado desempregado? Existe algum 
trabalhador qualificado desempregado? 
R: Como > 1, parte dos trabalhadores não qualificados vão estar desempregados enquanto os tra-
balhadores qualificados vão estar todos empregados. A taxa de desemprego do trabalho qualificado é 
portanto zero. 
Se substituirmos h = 100 em = 1.275, achamos o nível de emprego dos trabalhadores qualificados: 
inovo = /~5 = 78.431. Ou seja, a taxa de desemprego do trabalho não qualificado é 
10º~:·431 = 21.57%. 
Questão 7 (10 pontos): Considere uma firma que usa quatro insumos pra produzir um bem, cuja 
função de produção é descrita por: 
( a) Quais são as demandas por insumos condicionais para se produzir y unidades do bem final quando 
os preços dos insumos são (w1,w2,w3,w4) = (1,2,3,4)? 
R: A função de produção é uma combinação de uma função de produção linear e de proporções fixas. 
Como w1 e w2 são mais baratos do que W3 e W4, a firma usa apenas os insumos 1 e 2 para produzir. Nesse 
caso, xj(w1, W2, W3 , W4, y) = x:i(w1, w2, W3, W4, y) = y e x;(w1, W2, W3, W4, y) = X4(W1, W2, W3, W4, y) = o. 
(b) Qual é a função custo dessa firma? 
R: A função custo é dada por: 
(c) Que tipo de retornos de escala essa tecnologia apresenta? 
R: Retornos constantes de escala, pois 
J(tx1, tx2, tx3, tx4) = min{tx1, tx2} + min{tx3, tx4} 
= tmin{x1,x2} + tmin{x3,x4} = tf(x1,x2,x3,x4) 
Considere agora uma outra firma que também usa quatro insumos para produzir um bem e cuja tec-
nologia é descrita pela seguinte função de produção: 
J(x,, X2, X3, X4) = min{x, + X2, X3 + X4} 
(d) Quais são as demandas condicionais para se produzir y unidades do bem final quando os preços dos 
insumos são (w1,w2,w3,w4) = (1,2,3,4)? 
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--
R: A função de produção é uma combinação de uma função de produção de proporções fixas e uma função 
de produção linear. Como w1 < w2 e w3 < w4, a firma usa apenas os insumo 1 e 3 para produzir. Nessecaso, xi(w1,W2,wa,w4,y) = x:i(w1,w2,w3,w4,y) = y e x2(w1,w2,w3,W4,y) = x4(w1,w2,w3,W4,y) = O. 
(e) Qual é a função custo dessa firma? 
R: A função custo é dada por: 
(f) Que tipo de retornos de escala essa tecnologia apresenta? 
R: Retornos constantes de escala, pois 
min{ tx1 + tx2, txa + tx4} 
min{t(x1 + x2), t(x3 + x4)} = t min{x1 + x2, X3 + X4} = tf(x,, x2, xa, x4) 
(g) Descreva e compare suncitarnente a lógica de produção dessas duas tecnologias. 
R: As duas funções de produção são uma combinação entre tecnologias de proporções fixas e de substi-
tutos perfeitos. 
No primeiro caso, o conjunto de insumos 1 e 2 é substituto perfeito do conjunto dos insumos 3 e 4, com 
os insumos 1 e 2 (e 3 e 4) complementares entre si. No segundo caso, o inverso ocorre, o conjunto de 
insumos 1 e 2 é complementar perfeito do conjunto dos insumos 3 e 4, com os insumos 1 e 2 (e 3 e 4) 
substitutos perfeitos entre si . 
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