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Física Geral 2001 Capítulo I - Fluidos - Aula 3 (cap16 Halliday, cap 14 – Sears) (Fundamentos de Física volu 2- Hlliday, Resnik) Nesta aula: 1.4 – Fluidos em movimento Linhas de corrente 1.3 – Pressão em um fluido em repouso 1.3.2 Principio de Arquimedes 1.5 - Equação da continuidade 1.3.2 Princípio de Arquimedes Princípio de Arquimedes: Um corpo total ou parcialmente imerso num fluido recebe do fluido um empuxo igual e contrário ao peso da porção do fluido deslocada e aplicado no seu centro de gravidade. O empuxo de um objeto imerso é igual ao peso do líquido deslocado Também é uma consequência das le3is de estática de fluidos Princípio de Arquimedes - Corpo cilíndrico circular de área da base 𝐴 e altura ℎ totalmente imerso em fluido de densidade 𝜌. - Por simetria as forças sobre a superfície lateral se equilibram duas as duas (pressões (𝑝, 𝑝) ou (𝑝’, 𝑝’) na figura). Por sua vez a pressão 𝑝2 > 𝑝1 𝑝2 − 𝑝1 = 𝜌𝑔ℎ - A resultante das forças superficiais exercidas pelo fluido sobre o cilindro será uma força vertical, dirigida para cima 𝐸 = 𝑝2𝐴 − 𝑝1𝐴 = 𝜌𝑔ℎ𝐴 = 𝜌Vg = 𝑚𝑔 𝐸 = 𝐸𝑘 (1.7) (1.7) Peso da porção de fluido deslocado Empuxo e equilíbrio Empuxo e equilíbrio Exemplo: Que a fração do volume de um iceberg fica fora d’água? Dados: 𝜌𝑔 = 0,92𝑔/𝑐𝑚 3 𝜌𝐻2𝑜 = 1,03𝑔/𝑐𝑚 3 𝑉𝑖 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑖𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟𝑔 O peso do iceberg é dado por: 𝑊𝑖 = 𝜌𝑔𝑉𝑖𝑔 (1) Por sua vez, o peso da água do mar deslocada de volume 𝑉𝐻2𝑜 é igual ao empuxo, logo 𝑊𝐻2𝑜 = 𝜌𝐻2𝑜𝑉𝐻2𝑜𝑔 (2) Como o iceberg está em equilíbrio na água: 𝑊𝑖 = 𝑊𝐻2𝑂 (3) Substituindo (1) e (2) em (3): 𝜌𝑔𝑉𝑖𝑔 = 𝜌𝐻2𝑜𝑉𝐻2𝑜𝑔 𝑉𝐻2𝑜 𝑉𝑖 = 𝜌𝑔 𝜌𝐻2𝑜 = 0,92𝑔/𝑐𝑚3 1,03𝑔/𝑐𝑚3 = 0,89 = 89% O volume de água deslocado é o volume da parte submersa do icberg 𝑉𝐻2𝑜 𝑉𝑖 = 0,89 → 𝑉𝐻2𝑜 = 0,89𝑉𝑖 Ou seja 11% do iceberg se encontra fora d’água!! Exemplo Um balão de chumbo de raio 𝑅 = 0,1 𝑚 está totalmente submerso em um tanque. Qual é a espessura 𝑡 da parede do balão se esse não emerge nem afunda? 𝜌𝑃𝑏 = 11,3 × 10 3𝑘𝑔𝑚−3 𝑃á𝑔𝑢𝑎 = 𝜌𝑎𝑉𝑏𝑎𝑙ã𝑜𝑔 = 4 3 𝜋𝑅3𝜌𝑎𝑔 𝑃𝑃𝑏 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑃𝑏𝑉𝑃𝑏𝑔 = 4𝜋𝑅 2𝑡𝜌𝑃𝑏𝑔 𝑃𝑃𝑏 = 𝑃á𝑔𝑢𝑎 𝑡 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝜌𝑃𝑏 𝑅 3 𝑡 = 3 𝑚𝑚 𝑡 ≪ 𝑅 Esboço de Leonardo da Vinci: hidrodinâmica entre vários de seus interesses 1.4 – Fluidos em movimento - Linhas de corrente O Escoamento de um fluido pode ser classificado como: a) - Escoamento Estacionário: a velocidade de escoamento em fluido não varia e nem muda de direção e sentido, no decorrer do tempo b) - Escoamento Incompressível: a densidade não varia c) - Escoamento Ideal: escoamento sem viscosidade (É o equivalente ao atrito em dinâmica dos fluidos. Desprezando a viscosidade não há dissipação e podemos invocar a conservação de energia na descrição da dinâmica. d) – Escoamento Irrotacional: um fluido será irrotacional quando o momento angular das partículas do fluido forem iguais a zero A velocidade de nucleação de gotas de um líquido depende da viscosidade deste líquido Fluxo rotacional: linhas de fluxo se fecham Fluidos reais Fluxo laminar com VISCOSIDADE Fluido entre duas placas: superior movendo e inferior parada: Gradiente de velocidades: Ԧ𝑣 𝑦 = 𝑣0 𝑑 𝑦ො𝑥 = 𝑣 𝑦 ො𝑥 Lei de Newton da Viscosidade Ԧ𝐹 = 𝜂𝐴 𝑣0 𝑑 ො𝑥 Coeficiente de Viscosidade 𝜂: 1𝑐𝑝 = 10−2 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒 = 10−3 𝑁𝑠/𝑚2 Inicialmente iremos considerar um fluido ideal: • O fluido é incompressível • A temperatura é constante • O fluxo é estacionário: velocidade e pressão não dependem do tempo • O fluxo é laminar e não turbulento • O fluxo é irrotacional, portanto não há vórtices • Não existe viscosidade http://demonstrations.wolfram.com/VenturiEffectOnBloodFlowCausedByCholesterolPlaqueInArteries/ Linhas de fluxo A trajetória de movimento de um pequeno elemento do fluido, que mantém sua integridade, é chamada de linha de fluxo. Fluxo laminar: Linhas de fluxo não se cruzam Fluxo turbulento: Cruzamento de linhas de fluxo 1.5 - Equação da continuidade Na medida em que um fluido se desloca, sua velocidade pode mudar em modulo, direção e sentido Tomando de escoamento, cujo contorno é limitado pelas linhas de corrente, durante um intervalo de tempo ∆𝑡 o fluido percorre uma distância ∆𝑙 = 𝑣∆𝑡 ∆𝑙1 = 𝑣1∆𝑡 ∆𝑙2 = 𝑣2∆𝑡 (1.8) (1.9) Considerando que a massa de fluido que entra no tubo deve ser igual a massa que sai do tubo: ∆𝑚 = 𝜌∆𝑉 = 𝜌𝐴∆𝑙 = 𝜌𝐴𝑣∆𝑡 (1.10) ∴ ∆𝑚 ∆𝑡 = 𝜌𝐴𝑣 (1.11) Seja 𝑅 = 𝐴𝑣 a vazão, que pode ser volumétrica ( 𝑚3 𝑠 ), ou mássica ( 𝑘𝑔 𝑠 ). Logo a eq 1.11 pode ser reescrita como: ∆𝑚 ∆𝑡 = 𝜌𝑅 (1.12) Em regime estacionário ∆𝑚1 = ∆𝑚2 para a massa total. Desta forma a eq 1.10 pode ser escrita como: ∆𝑚1 = 𝜌1𝐴1𝑣1∆𝑡 (1.13) ∆𝑚2 = 𝜌2𝐴2𝑣2∆𝑡 (1.14) Como devemos ter ∆𝑚1 = ∆𝑚2 𝜌1𝐴1𝑣1∆𝑡 = 𝜌2𝐴2𝑣2∆𝑡 = 𝑐𝑡𝑒 (1.15) Esta é a equação da continuidade: mostra que nas partes mais estreitas de um tubo, onde as linhas de corrente são necessariamente mais densas, o deslocamento deve se tornar mais veloz Fluxo sanguíneo Suponha que o sangue flui através da aorta com velocidade de 0,35 𝑚/𝑠. A área da seção reta da aorta é de 2,4 × 10−4 𝑚2. Encontre o fluxo de sangue (ou a vazão de sangue). Os ramos da aorta se dividem em dezenas de milhares de vasos capilares com área da seção reta total de 0,28 𝑚2. 𝐴𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎𝑣𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎 𝐴𝑐𝑎𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 0,35 × 2,4 × 10−4 0,28 = 3,0 × 10−4 𝑚/𝑠 Equação da continuidade: Exemplo A figura mostra que o jato de água que sai de uma torneira fica progressivamente mais fino durante a queda. Essa variação da seção reta horizontal é característica de todos os jatos de água laminares (não turbulentos) descendentes porque a força gravitacional aumenta a velocidade da água. As áreas das seções retas indicadas são 𝐴0 = 1,2 𝑐𝑚 2 e 𝐴 = 0,35 𝑐𝑚2. Os dois níveis estão separados por uma distância vertical ℎ = 45 𝑚𝑚. Qual é a vazão da torneira
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