Prova 1 Calculo II UFMG

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Cálculo II
Prova 1
Problema 1.
1) Como lim
n→∞
n2
n2 + 2n+ 1
= 1 então lim
n→∞
(−1)nn2
n2 + 2n+ 1
não existe pois fica oscilando
entre os valores 1 e −1.
2) Como |sen 2n| ≤ 1 então |an| ≤
1
3n
, mas lim
n→∞
1
3n
= 0, segue que lim
n→∞
sen 2n
3n
= 0.
3) Dado que lim
n→∞
1
n
= 0 segue que lim
n→∞
e
1
n = e0 = 1
Problema 2.
1) (Falso) Por exemplo an =
1
n
é uma sequência que o termo n-ésimo vai para zero mas
∞∑
n=1
1
n
diverge.
2) (Verdadeiro) Para uma serie alternante com termos em modulo decrescentes a única
condição necessária e suficiente para convergir é que o termo n-ésimo convirja para
zero, e isso acontece com an =
1
np
para todo valor positivo de p.
3) (Falso) Considere an =
(−1)n
n
, neste caso
∞∑
n=1
an converge (ver item anterior), mas
∞∑
n=1
|an| =
∞∑
n=1
1
n
diverge
Problema 3.
1) Observemos que
∞∑
n=1
n−1,4 + n−1,2 =
∞∑
n=1
1
n1,4
+
∞∑
n=1
1
n1,2
são soma de duas p-séries
convergentes pois em cada caso p > 1, logo a soma é convergente
2) Aplicando o critério da raiz para an =
(2n+ 1)n
n2n
temos que
lim
n→∞
n
√
|an| = lim
n→∞
2n+ 1
n2
= 0.
Como 0 < 1 temos que a serie converge absolutamente.
3) Aplicando o critério da razão para an = (−1)n−1
5n
n!
temos que an+1 = (−1)n
5n+1
(n+ 1)!
e
lim
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = limn→∞ 5n+ 1 = 0.
Como 0 < 1 temos que a serie converge absolutamente.
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