Metodologia do Ensino de Matemática

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APRESENTAÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a), 
 
A Matemática é uma Ciência muito ampla e dinâmica. Por estar presente em 
nosso cotidiano, é necessária a existência de excelentes profissionais para uma 
eficiente divulgação desta abrangência. 
O profissional que opta por fazer um curso de Matemática é responsável pela 
reflexão sobre a situação do ensino dessa disciplina, já que há um aspecto 
característico do ensino de Matemática: o desgosto por essa área manifestado pela 
maioria dos alunos. 
Como mostrar que a Matemática é uma Ciência o em constante construção? 
E como mostrar que esta faz parte do processo de interação social com o mundo? 
Sabemos que esta tarefa não é fácil e, por isto estamos juntos nesta etapa. Neste 
módulo veremos muitos requisitos que nos auxiliarão a refletir sobre esta questão e 
procuraremos refletir sobre as dificuldades a serem enfrentadas como um a meta do 
assunto aqui tratado. 
Sou professora há 12 anos, passando pelo ensino fundamental até Pós 
Graduação, e tenho enfrentado muitos problemas na carreira docente, sempre na 
perspectiva de resolvê-los baseada na Ética do Profissionalismo. Neste intuito, este 
módulo vem nos auxiliar no desenvolvimento de atitudes de nossa carreira. 
Estamos diante da era da informação. Quanto mais sabermos e refletirmos, 
melhor será para nossa carreira. Vamos nessa? 
 
Profª. Ms. Kátia Cristina Cota Mantovani 
 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
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SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
UNIDADE 1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO D E MATEMÁTICA 5 
UNIDADE 2: ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A EVOLU ÇÃO DO 
ENSINO DA MATEMÁTICA .............................. ....................................................... 11 
UNIDADE 3: RECURSOS METODOLÓGICOS ................. ...................................... 19 
RECURSOS METODOLÓGICOS ....................................................................................... 19 
3.1) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................................................. 19 
3.2) HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ..................................................................................... 22 
3.2.1) HISTÓRIA DA GEOMETRIA ................................................................................... 22 
3.2.2) HISTÓRIA DA ÁLGEBRA ....................................................................................... 26 
3.3) JOGOS ................................................................................................................. 30 
3.4) TECNOLOGIAS NA ÁREA EDUCACIONAL ................................................................... 36 
3.4.1) ROBÓTICA EDUCACIONAL ................................................................................... 42 
3.4.2) NOVAS TECNOLOGIAS EDUCACIONAIS ................................................................. 47 
UNIDADE 4: OS CONTEÚDOS NOS ENSINOS FUNDAMENTAL E M ÉDIO.......... 54 
4.1 NO ENSINO FUNDAMENTAL ..................................................................................... 54 
4.1.1) NÚMEROS E OPERAÇÕES ................................................................................... 55 
4.1.2) ESPAÇO E FORMA .............................................................................................. 56 
4.1.3) GRANDEZAS E MEDIDAS ..................................................................................... 56 
4.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS EM MATEMÁTICA NO ENSINO 
MÉDIO ........................................................................................................................ 57 
4.3) TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO .............................................................................. 58 
CONSIDERAÇÕES FINAIS .............................. ........................................................ 65 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 66 
 
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INTRODUÇÃO 
 
O conteúdo da Matemática é preocupante para todos. Pesquisas (Gracias, 
2000; Grinspun, 2001; entre outros) indicam a preocupação dos educadores em 
relação ao ensino e, fazer com que os professores pratiquem novas metodologias 
em suas aulas, fazendo com que os alunos não temam ao ensino de um 
determinado conteúdo, já que sabemos que algumas pessoas temem a Matemática 
desde o início de seus estudos no ensino fundamental, e desenvolvem um 
repelente por esta Ciência para a vida toda. 
Sabemos que a Matemática não deveria ser vista como uma disciplina 
temerosa, por ter muitas aplicações e se comportar um amplo campo de relações, 
regularidades e coerências que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de 
generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e 
o desenvolvimento do raciocínio lógico. A Matemática faz parte da vida de todas as 
pessoas, notada nas mais simples experiências como contar, comparar e operar 
sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e consumo, na 
organização de atividades como agricultura e pesca. A Matemática se apresenta 
como um conhecimento de muita aplicabilidade. . 
Diante dessas experiências vividas por todos, nós, educadores, temos que 
fazer a nossa parte para reverter este quadro. Mas, como? 
 A resposta não é simples. Mas é possível embasar nossas aulas em objetivos 
claros e fazer com que o aluno sinta que a disciplina é importante para a vida dele... 
De que forma, vamos fazer isto? Aprender com nossos alunos talvez seja um bom 
começo. E também, antes de entrar em sala de aula, entender os objetivos que 
estão nos levando até ali. 
 Veremos, então, como os Parâmetros Curriculares Nacionais entendem o 
ensino de Matemática e podem auxiliar os professores em suas aulas. 
Ao entender que uma das principais características da Matemática é a 
necessidade que a população apresentou desde a Antiguidade, é possível mostrar 
uma Matemática concreta, sem esquecer da importância da abstração. 
A abstração matemática revela-se no tratamento de relações quantitativas e 
de formas espaciais. 
 
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Enfim, são tantas as aplicações e funções que a Matemática exerce que não 
teriam páginas suficientes deste módulo para mostrar o que realmente esta ciência 
significa para a humanidade... 
Questões a serem refletidas: 
1) Qual o papel do professor quanto à cidadania? E a do aluno? 
2) Como desenvolver a criatividade dos alunos? 
3) O que fazer para que o aluno conheça diversas fontes de informação e saber 
criticá-las? 
 
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UNIDADE 1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS SOBRE O ENSINO 
DE MATEMÁTICA 
 
Meta: refletir sobre os objetivos gerais e específicos para a disciplina de Matemática. 
Objetivos: 
Ao final desta unidade o aluno deverá: 
- entender a finalidade do Ensino Fundamental; 
- entender os objetivos da Matemática no Ensino Fundamental, e estender tais 
objetivos para níveis posteriores; 
- refletir sobre as dificuldades que os professores têm em alcançar os objetivos 
propostos pelos PCNs. 
 
Considerações iniciais sobre o ensino de Matemática 
O ensino da Matemática no Brasil, que nos seus primórdios se restringia ao 
contar, passou por diversas mudanças, na tentativa de suprir uma demanda social, 
como no caso da massificação do ensino primário no processo de industrialização; e 
na busca de modernização junto aos avanços advindos das diversas áreas de 
conhecimento, como a psicologia e a filosofia, o que resultou em alterações no 
direcionamento das ações, passando do enciclopedismo ao tecnicismo, da 
matemática moderna a um misto de formalismo e tecnicismo. 
Deste modo, o Ministério da Educação e Cultura lançou em 1997 os 
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e os Parâmetros Curriculares nacionais 
do Ensino Médio (PCNEm). Estes documentos auxiliam no ensino de diversas 
disciplinas no Ensino Fundamental, funcionando como um norteador em nossas 
disciplinas. 
Encontramos a disciplina de Matemática no volume 3 dos PCNs, em que 
inicia mostrando os objetivos gerais deste grau, com a finalidade que o aluno 
consiga no Ensino Fundamental: 
• Compreender a cidadania diante da participação social e política, assim como 
exercício dos direitos e deveres políticos, civil e social, adotando no dia-a-dia, 
atitudes de solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro 
e exigindo para si o mesmo respeito; 
 
 
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Um comentário que aqui se faz necessário é sobre a importância de debates 
em sala de aula, que devem existir para estimular os alunos. A confecção de 
cartazes sobre o tema na própria sala de aula, que é uma atividade lúdica e com 
garantia de sucesso e, o assunto deve se estender a todas as disciplinas. 
Outros objetivos: 
• Posicionar-se de maneira crítica, responsável e construtiva nas diferentes 
situações sociais, utilizando o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar 
decisões coletivas; 
• Conhecer características fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, 
materiais e culturais como meio para construir progressivamente a noção de 
identidade nacional e pessoal, além de um sentimento de pertinência ao País; 
• Conhecer e valorizar a pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem 
como aspectos socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra 
qualquer discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de 
crenças, de sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais; 
• Perceber-se integrante, dependente e agente transformador do ambiente, 
identificando seus elementos e as interações entre eles, contribuindo ativamente 
para a melhoria do meio ambiente; 
• Desenvolver o conhecimento ajustado de si, e o sentimento de confiança em 
suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação 
pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de 
conhecimento e no exercício da cidadania; 
• Conhecer e cuidar do próprio corpo, valorizando e adotando hábitos saudáveis 
como um dos aspectos básicos da qualidade de vida e agindo com 
responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva; 
• Utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e 
corporal — como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, 
interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, 
atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; 
• Saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para 
adquirir e construir conhecimentos; 
 
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• Questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de resolvê-los, 
utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade 
de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação. 
 
 Mesmo diante dos objetivos a serem alcançados no Ensino Fundamental, e a 
vontade de fazer os alunos se entusiasmarem com a disciplina e, querendo vencer 
em cada desafio da sala de aula, ainda nos deparamos com situações difíceis de 
resolver. 
Existem alunos que dificultam nossa maneira de lecionar, devido à 
indisciplina, e sabemos que precisamos cumprir o conteúdo, e para piorar, estes só 
prestam atenção quando não é para fazer alguma tarefa relativa ao conteúdo. Ao 
oferecer jogos de Matemática em sala, jogam mecanicamente, mas no momento de 
formalizar o conteúdo não correspondem ao que pedimos. 
 Estamos diante de um quadro enfrentado pela autora, e por muitos 
professores de Matemática. E, para isso, é importante refletirmos sobre a ação de 
cada dia, e como podemos melhorar nossa didática no ensino de Matemática. 
 Um dos aspectos que os PCNs aborda é que “A Matemática precisa estar ao 
alcance de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do 
trabalho docente”. E, ao seguir este enfoque é que os professores se decepcionam 
por querer ensinar e não conseguir devido ao desinteresse dos alunos. 
O interesse destes alunos pode estar ligado a algum dos conteúdos da Matemática. 
Nem os professores de Matemática gostaram de todas as disciplinas de suas 
graduações como Álgebra Linear, Análise e Equações Diferenciais Aplicadas; 
portanto os alunos podem não diferir muito dessa situação. 
 A questão é fazê-los gostar de pelo menos algum dos conteúdos para que 
fique mais fácil para sua aprendizagem e, seguindo outro aspecto do PCNs: “A 
atividade matemática escolar não é olhar para coisas prontas e definitivas, mas a 
construção e a apropriação de um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele 
para compreender e transformar sua realidade”. Tendo em vista a experiência de 
uma aluna que fazia Licenciatura em Matemática, e já era professora em uma sala 
de filhos de agricultores que gostavam somente de assuntos ligados ao plantio. Ela 
propôs aos alunos fazer um planejamento através de tabelas e, através disso 
 
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analisar o índice de vendas, prejuízos e ganhos no mês. Os alunos fizeram isso e 
ensinaram aos pais, com a finalidade de aplicarem em seus rendimentos. 
Há muitos conteúdos da Matemática que podem interessar aos alunos, a 
questão é conhecer o que interessa ao estudante. A impressão que temos que a 
resposta é NADA. Mas, espero que a nossa impressão esteja equivocada, pois eles 
não conhecem todos os conteúdos para saber que não gostam de Matemática. É a 
mesma coisaque posso perguntar ao leitor: “Gosta de badmint?” Se você ainda não 
conhece este jogo que é uma modalidade dos Jogos Panamericanos, você nem tem 
a ideia de como é. É só experimentando para saber... e Matemática também. 
Observe outro aspecto do PCNs: 
 
“No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste 
em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, 
tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com 
princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem 
grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a 
“escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, 
desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados”. 
 
O que este aspecto está abordando é a importância da Estatística no ensino 
de Matemática e as várias aplicações que ela desenvolve. 
Algumas experiências frustrantes na docência é escutarmos dos alunos a 
famosa frase “Quem inventou a Matemática?” ou “Eu vou matar quem inventou a 
Matemática” somos abordados por questões que mostram a indignação sobre o 
assunto, e percebe-se que eles não estão vendo significado naquele conteúdo, 
como se a Matemática tenha sido inventada e hoje só estamos vendo o que foi 
criado, sem que seja avisado que ainda continuam as pesquisas na área e novos 
conhecimentos continuam a ser desenvolvidos. 
E mais uma vez os PCNs podem nos nortear sobre esta situação: 
 
“O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como 
historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico 
possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e 
contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo”. 
 
 
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Nessas situações, voltamos a refletir sobre nossas ações, e a recorrer a 
recursos didáticos para que, voltando ao objetivo principal deste capítulo, fazer o 
aluno a interessar-se por algum dos conteúdos, e tentamos os... 
 
“Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores 
e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e 
aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que 
levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base da 
atividade matemática”. (BRASIL, 1998) 
 
Existem muitas atividades lúdicas e os jogos despertam muito interesse nos 
alunos, dedicaremos uma parte da unidade para mostrar alguns tipos de jogos em 
diversos níveis. 
 
OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais há alguns objetivos gerais que 
orientam o ensino fundamental. Aqui veremos que alguns destes objetivos 
continuam no ensino médio e superior, como: 
• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e 
transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter de jogo intelectual, 
característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a 
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade 
para resolver problemas; 
• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos, do 
ponto de vista do conhecimento, e estabelecer o maior número possível de 
relações entre eles, utilizando para isso o conhecimento matemático 
(aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, 
probabilístico); selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para 
interpretá-las e avaliá-las criticamente; 
• Resolver “situações-problema”, sabendo validar estratégias e resultados, 
desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, 
intuição, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos 
matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; 
• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar 
resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso 
 
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da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes 
representações matemáticas; 
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre 
esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; 
• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos 
matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de 
soluções. 
 
Atividade de Aprofundamento 
 
1) Em um dos objetivos gerais dos PCNs encontramos: 
 
“Desenvolver o conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de 
confiança em suas capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de 
inter-relação pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na 
busca de conhecimento e no exercício da cidadania”; 
 
Desenvolva um roteiro de aula de uma semana para que algum conteúdo de 
Matemática atenda a este objetivo. Discuta as prováveis dificuldades a serem 
enfrentadas, e como enfrentá-las. 
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UNIDADE 2: ALGUNS PERÍODOS IMPORTANTES PARA A 
EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
Meta: Conhecer alguns períodos importantes do ensino de Matemática, 
fazendo uma ligação das dificuldades anteriores com as atuais. 
Objetivo: 
• Conhecer o movimento da Matemática Moderna; 
• Entender as preocupações com o ensino de Matemática em outras épocas; 
• Refletir sobre a evolução do ensino de Matemática; 
• Reflexão sobre a implantação dos temas transversais na prática docente. 
 
Alguns períodos importantes na evolução do ensino d e Matemática 
Entender o que acontece no ensino de Matemática atualmente é 
importantíssimo para os profissionais da área para o entendimento da real situação 
atual do ensino. 
De acordo com Schubring, 1999, (apud Lorenzato & Fiorentini, 2001): 
 
“a Matemática foi a primeira das disciplinas escolares a deflagrar um 
movimento internacional de reformulação curricular no final do século XIX o 
desenvolvimento da formação de professores secundários atribuído à 
iniciativa das universidades européias”. 
 
No início do século XX, ocorreu movimento supracitado na Alemanha sob a 
liderança do matemático Felix Klein. Outro fator importante foi o envolvimento de 
psicólogos americanos e europeus ao realizarem pesquisas sobre o modo como as 
crianças aprendiam a Matemática. Mas, as pesquisas voltadas para o ensino de 
Matemática deram um salto significativo a partir do “Movimento da Matemática 
Moderna”, ocorrido em meados da década de 60. Este movimento surgiu de um lado 
motivado pela Guerra Fria, entre Rússia e Estados Unidos e, de outro, como 
resposta à constatação após a 2º Guerra Mundial, de uma considerável defasagem 
entreo progresso científico-tecnológico e o currículo escolar, então vigente. 
Em 1958, a Sociedade norte-americana de Matemática, por exemplo, optou 
por direcionar suas pesquisas ao desenvolvimento de um novo currículo escolar 
para a disciplina. Surgiram então vários grupos de pesquisa envolvendo 
 
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matemáticos, educadores e psicólogos, como o School Mathematics Study Group, 
que se notabilizou pela publicação de livros didáticos e pela disseminação do ideário 
modernista para além das fronteiras norte-americanas, atingindo também o Brasil 
(Lorenzato & Fiorentini, 2001). 
A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito 
numa política de modernização econômica, e foi posta na linha de frente por se 
considerar que, juntamente com a área de Ciências Naturais, constituía-se uma via 
de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. 
Dessa forma, o conteúdo a ser ensinado era aquele concebido como lógico, 
compreendido a partir das estruturas, e conferia um papel fundamental à linguagem 
matemática. Os formuladores dos currículos dessa época insistiam na necessidade 
de uma reforma pedagógica, incluindo a pesquisa de materiais novos e métodos de 
ensino renovados, fato que desencadeou a preocupação com a Didática da 
Matemática, intensificando a pesquisa nessa área. 
Ao olhar sob este aspecto, é importante refletir que apesar das reformas 
iniciadas desde a década de 60 ainda temos um ensino marcado pela técnica de 
mostrar como se faz o problema, os alunos, então, memorizam a forma, e repetem o 
procedimento nas futuras tarefas. Atualmente, ainda encontramos aulas baseadas 
na memorização de fórmulas e repetição de formas de fazer o problema. E como 
modificar isso? 
No Brasil, a Matemática Moderna foi veiculada principalmente pelos livros 
didáticos que teve, e ainda tem grande influência na prática docente. O movimento 
Matemática Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de 
alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na sua implantação. O 
movimento continuou durante algumas décadas e a partir de 1980, o documento 
apresentado pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), dos Estados 
Unidos, apresentou recomendações para o ensino de Matemática “Agenda para 
Ação”, o qual enfocava a resolução de problemas como metodologia do ensino da 
Matemática nos anos 80. Também a compreensão da relevância de aspectos 
sociais, antropológicos, linguísticos, na aprendizagem da Matemática, imprimiu 
novos rumos às discussões curriculares. Essas ideias influenciaram as reformas que 
 
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ocorreram mundialmente, a partir de então foram desenvolvidos os seguintes focos 
no ensino de Matemática: 
• Direcionamento do ensino fundamental para a aquisição de competências 
básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de 
estudos posteriores; 
• Importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu 
conhecimento; 
• Ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos 
problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas; 
• Importância de se trabalhar com um amplo espectro de conteúdos, incluindo-
se, já no ensino fundamental, elementos de estatística, probabilidade e 
combinatória, para atender à demanda social que indica a necessidade de 
abordar tais assuntos; 
• Necessidade de levar os alunos a compreenderem a importância do uso da 
tecnologia e a acompanharem sua permanente renovação. 
 
 Porém, mesmo com ideias para fortalecer a prática docente, ainda temos 
muitos problemas em sala de aula. Tais problemas podem ocorrer devido à 
formação dos professores, no tocante ao direcionamento de suas aulas baseadas 
somente em livros didáticos e não acreditem que os conteúdos são veículo para o 
desenvolvimento de ideias fundamentais (como as de proporcionalidade, 
equivalência, etc.) e devam ser selecionados levando em conta sua potencialidade 
quer para instrumentação para a vida, quer para o desenvolvimento do raciocínio. 
Nos PCNs, encontramos o seguinte alerta: 
 
“Quanto à organização dos conteúdos, é possível observar uma forma 
excessivamente hierarquizada de fazê-lo. É uma organização, dominada 
pela ideia de pré-requisito, cujo único critério é a definição da estrutura 
lógica da Matemática, que desconsidera em parte as possibilidades de 
aprendizagem dos alunos. Nessa visão, a aprendizagem ocorre como se os 
conteúdos se articulassem como elos de uma corrente, encarada cada um 
como pré-requisito para o que vai sucedê-lo”. 
 
Sabemos, no entanto, que temos uma lista de conteúdos a cumprir, e que o 
tempo é curto, além de existir uma apostila obrigatória. Por tudo isso, a mudança de 
 
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ordem de conteúdos se torna complicado E, também lembrando que, o tempo é 
restrito e que irá atrasar a apostila. Mas, temos a autonomia de poder despertar o 
interesse dos alunos sobre outros temas que permeiam a apostila. E, se a situação é 
esta, podemos trabalhar entre o despertar do interesse dos alunos em outros 
assuntos, independente do conteúdo imposto pela apostila. 
Então, que tal dar uma “escapadinha” da ementa com uma finalidade séria de 
despertar outros interesses nos alunos? 
O “conhecimento prévio” deveria ser uma das maiores preocupações 
docentes, porém, na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos 
no decorrer da atividade prática do aluno, de suas interações sociais imediatas, e 
parte-se para o tratamento escolar, de forma esquemática, privando os alunos da 
riqueza de conteúdo proveniente da experiência pessoal. E trazer o cotidiano do 
aluno em sala não é tarefa fácil, deve-se pesquisar para entender o mundo em que 
ele está vivendo. 
Notamos, então, que existem problemas antigos e também novos, a serem 
enfrentados em sala de aula são antigos e novos, tarefa que requer 
operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares dos 
anos 80 e início dos 90, e a inclusão de novos elementos à pauta de discussões. 
Não é apenas o currículo que aflige a nossa prática, nem apenas a nossa 
formação. As preocupações atuais atingem um patamar inesgotável de questões 
sobre ensino, por exemplo, a pluralidade de etnias existente no Brasil, que dá 
origem a diferentes modos de vida, valores, crenças e conhecimentos, e que se 
apresenta à nossa carreira como um desafio interessante. 
O papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão 
brasileiro deveria ser um dos principais focos em nossa aula. Falar em formação 
básica para a cidadania significa falar da inserção das pessoas no mundo do 
trabalho, das relações sociais e da cultura, no âmbito da sociedade brasileira. 
Uma maneira interessante de fazê-los pensar sobre a cidadania, é a atividade 
de recortar as figuras que envolvem uma realidade ruim e uma realidade boa em 
revistase jornais. Neste instante conheceremos o que é ruim para o aluno, e assim, 
podemos trabalhar os direitos e deveres dos alunos, mostrando novas perspectiva a 
 
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ele no intuito de melhorar sua vida, falando do trabalho que se pode exercer para 
modificar sua realidade. 
Novas competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho 
requer pessoas preparadas para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que 
vão além da comunicação oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de 
assimilação rápida de informações, resolvendo e propondo problemas em equipe. 
Para tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que 
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a 
comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a 
criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do 
desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar 
desafios. 
É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um 
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento de seu raciocínio, de sua 
capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. 
Diante das reformulações vistas no ensino de Matemática, chegamos à época 
atual. Época de difícil (mas não impossível) alcance dos objetivos do ensino desta 
disciplina. Época também que podemos fazer nossas aulas baseadas em projetos 
que envolvam temas atuais, como sugere os PCNs. 
Os projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a 
possibilidade de organizar os conteúdos, de forma a lhes conferir significado. É 
importante identificar que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem 
pressupõe a intervenção da Matemática. 
Os temas a serem tratados são: 
• Ética – trabalhar a atitude dos alunos em determinados temas como política, 
preconceito, vida solidária, etc.. 
• Orientação Sexual - mostrar num mesmo patamar os papéis desempenhados 
por homens e mulheres na construção da sociedade contemporânea, onde 
ainda encontra barreiras ancoradas em expectativas Ao ensino de Matemática 
cabe fornecer os mesmos instrumentos de aprendizagem e de 
desenvolvimento de aptidões a todos, valorizando a igualdade de 
oportunidades sociais para homens e mulheres. 
 
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• Meio Ambiente - é possível trabalhar interdisciplinarmente o quanto a 
quantificação de aspectos envolvidos em problemas ambientais favorece uma 
visão mais clara sobre eles, auxiliando em decisões, como a utilização de 
recursos naturais, desperdício (médias, áreas, volumes, proporcionalidade, 
etc.) e procedimentos matemáticos (formulação de hipóteses, realização de 
cálculos, coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática da 
argumentação, etc.). 
• Saúde - os dados estatísticos, permitem o estabelecimento de comparações e 
previsões, que contribuem para o auto-conhecimento. Possibilitam, também o 
auto-cuidado e ajudam a compreender aspectos sociais relacionados a 
problemas de saúde. 
• Pluralidade Cultural - a construção e a utilização do conhecimento matemático 
não são feitas apenas por matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de 
formas diferenciadas, por todos os grupos socioculturais, que desenvolvem e 
utilizam habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar 
e explicar, em função de suas necessidades e interesses. É aqui que a 
Etnomatemática pode auxiliar a entender a construção do conhecimento 
matemático por todos os grupos. 
O Programa Etnomatemática contrapõe-se às orientações que 
desconsideram qualquer relacionamento mais íntimo da Matemática com aspectos 
socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por fatores outros, a não ser 
sua própria dinâmica interna. Do ponto de vista educacional, procura-se entender os 
processos de pensamento, os modos de explicar, de entender e de atuar na 
realidade, dentro do contexto cultural do próprio indivíduo. A Etnomatemática 
procura partir da realidade e chegar à ação pedagógica de maneira natural, 
mediante um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural. 
 Assim, se o intuito do pesquisador é conhecer a Matemática indígena, ele 
conhece e propõe a troca de conhecimento com a Matemática ocidental, e se há 
este interesse, então as duas culturas ficam em contato com os conhecimentos 
novos. Há um respeito ao que o grupo quer aprender. 
 Segundo Monteiro (in Ribeiro, 2004) a Etnomatemática é uma “proposta 
educacional e filosófica comprometida com grupos menos favorecidos...”. Mas, há 
 
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uma preocupação com todos os grupos, como por exemplo, o conhecimento 
matemático que os médicos cardiovasculares trazem consigo durante uma cirurgia 
(Shockey, 2002) 
Notamos, então, que é possível enriquecer as aulas, despertando o interesse 
de como é a Matemática de diversas e diferentes etnias, como por exemplo, a 
Matemática indígena. 
A Etnomatemática é uma nova forma de enxergar a Matemática, podendo 
tornar-se uma metodologia alternativa se, o professor junto aos alunos pesquisarem 
o conhecimento matemático de diferentes grupos. 
E, percebemos então, a evolução do ensino de Matemática em alguns 
períodos citados. É lógico que o assunto não esgota neste momento, há outros 
períodos tão importantes quanto estes a serem discutidos. Mas, os citados já nos 
levam a refletir como o ensino de Matemática é atualmente e como fazer para 
melhorá-lo. Talvez o novo foco etnomatemático seja uma boa opção e/ou a adoção 
de outros recursos metodológicos como mostra a unidade seguinte. 
 
Atividade de Aprofundamento 
1) Quais as principais preocupações que permearam o ensino de Matemática 
durante os períodos citados? 
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________ 
 
2) Observem a história que envolve duas alunas e a professora, simbolizemos 
os nomes como sendo Lili e Lulu e a professora como Lalá. 
_ Lalá, quero te contar que amassei o carro do ex-namorado de Lulu, bem-feito 
para ele, ninguém mandou que ele fique saindo com a Fifi.- falou Lili 
A professora não gostando daquela situação, argumentou: 
 
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_ Não pode, Lili, vocês não podem se rebaixar a esse nível. Devemos ter um 
comportamento acima dessa situação. Imagineo que o garoto poderia fazer com 
você, se ele descesse do carro? 
_ Amassei mesmo, bem-feito... 
 
Como a professora poderia trabalhar esse assunto utilizando os temas 
transversais e envolvendo a sua disciplina, a Matemática? 
_________________________________________________________________
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_________________________________________________________________
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UNIDADE 3: RECURSOS METODOLÓGICOS 
 
Meta: Conhecer caminhos para “fazer Matemática” na escola. 
Objetivos: Investigas algumas alternativas metodológicas. Como: 
• Resolução de problemas; 
• História da Matemática; 
• Tecnologias na área Educacional; 
• Jogos. 
 
Recursos Metodológicos 
Nesta unidade, estudaremos alguns recursos metodológicos encontrados na 
literatura da área. Também podemos encontrar sugestões de recursos para o “fazer 
Matemática em sala de aula” nos Parâmetros Curriculares Nacionais. 
Estudaremos, então, alguns recursos como: Resolução de Problemas, 
História da Matemática, Tecnologias Educacionais e Jogos, sem colocar em questão 
se um jogo é uma tecnologia educacional, ou mesmo se alguns jogos são problemas 
que despertam no aluno o interesse em sua resolução Como tudo é relativo, não nos 
ateremos a esse mérito: se o jogo é uma tecnologia, pois a questão é mais 
complexa: conseguiremos melhorar o ensino de Matemática. De qual forma?? Os 
jogos despertam interesses nos alunos? Até que ponto este interesse faz com que 
os alunos aprendam algebricamente o conteúdo? 
Questões como essas, fazem-nos estudar tais recursos para que nas 
aplicações em sala de aula, possamos alcançar nossas metas. 
 
3.1) Resolução de problemas 
 Tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro 
papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma 
de aplicação de conhecimentos, adquiridos anteriormente pelos alunos. 
 A prática mais frequente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou 
técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de 
empregar o que lhes foi ensinado, o que mais parece uma receita de bolo. Será que 
não podemos levar o aluno até a quadra de esportes da escola para visualizarem as 
 
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formas geométricas? Ou fazer uma roda no pátio da escola e discutir os problemas 
financeiros que afetam o país? São habilidades que a matemática pode desenvolver 
também, apesar de saber que em algum momento teremos que ensinar a Fórmula 
de Bhaskara na resolução de equação do segundo grau. 
 O saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de 
conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um 
interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. 
Ao colocar em foco a resolução de problemas, o que se defende é uma 
proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: 
• Situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para 
resolvê-las; 
• Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que 
lhe é posta e, a estruturar a situação que lhe é apresentada; 
• Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo 
tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para 
resolver outros problemas, o que exige transferências; 
• O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um 
campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; 
• A resolução de problemas é uma orientação para a aprendizagem, pois 
proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e 
atitudes matemáticas. 
 
Diante dos itens indicados nos PCNs, há uma importante reflexão: será fácil aplicar a 
resolução de problemas em nossas aulas, sem confundir com aqueles problemas 
que vem no final do capítulo e que os alunos têm repugnação? 
 Não é tão fácil, mas é possível se tivermos um entendimento sobre tal 
metodologia. O problema é: 
 
“Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de 
uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a 
solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la” 
(BRASIL, 1997, p. 44). 
 
 
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O aluno tem que se sentir desafiado e, como tudo é relativo, pode ser que o que é 
desafiante para um, não é para outro, de acordo com o nível intelectual de 
conhecimento. 
Resolver um problema pressupõe que o aluno: 
• Elabore um ou vários procedimentos de resolução; 
• Compare seus resultados com os de outros alunos; 
• Valide seus procedimentos. 
 Certa vez, houve uma gincana em um colégio e, os alunos tinham que 
descobrir o motivo da formação da seguinte sequência: 
 
1,2,3,4,11,13,15,19,80,90,91,104,800 
 
Percebemos as crianças tentando resolver esta sequência e descobrir como 
foi formada. Aproveitamos então, para ensinar Progressão Aritmética e Geométrica 
para os alunos do ensino fundamental. Mas, de nada adiantava resolver o enigma, 
até que alguns alunos observaram como se escreve os numerais: 
Um 
Dois 
Três 
Quatro 
Onze 
Treze 
Quinze 
Dezenove 
Oitenta 
Noventa 
Noventa e um 
Cento e quatro 
Oitocentos 
 
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 A primeira letra de cada palavra está em negrito para o leitor visualizar que o 
número um começa com uma Vogal e as três palavras seguintes começam com 
consoante e, a próxima com vogal, então a sequência é: 
V C C C V C C C V C C C V 
Os alunos se entusiasmaram por montarem suas próprias sequências e seus 
amigos descobrirem. 
Percebemos, então, o quanto é necessário desenvolver habilidades que 
permitam pôr em prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes 
caminhos, para obter a solução. 
 
3.2) História da Matemática 
A História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e, 
juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma 
importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem de Matemática. 
 Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer 
ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar 
respostas a alguns questionamentos e, desse modo, contribuir para a constituição 
de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento. 
Sabemos quais atividades os alunos gostamde desenvolver, podemos, 
então, fazê-los procurar o site mais bonito e o mais feio sobre História da 
Matemática, e, daí falarem sobre o assunto do site. Uma experiência como esta fez 
com que os alunos dessem risada de suas explorações na web. 
Seminários também são utilizados para falar sobre História da Matemática, 
confecção de cartazes na sala de aula é outra ideia que a autora sempre defende 
para entusiasmar o aluno a estudar Matemática enquanto desenvolve seu senso 
artístico. 
Abaixo veremos as Histórias de alguns ramos da Matemática: 
 
3.2.1) História da Geometria 
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as 
necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir 
casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas 
 
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atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. 
Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons 
conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, encontramos 
grandes matemáticos: Arquimedes, Apolônio, Euclides, e algumas obras importantes 
como o resumo feito por Proclo, que comenta os "Elementos" de Euclides, obra que 
data do século V a.C., e refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria 
na Grécia, por importação do Egito. 
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, 
que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas, enquanto a 
escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de “seita filosófica”, que 
envolvia sob mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam 
a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para 
o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e 
proposições admitidos sem demonstração (postulados ou axiomas) para construir de 
maneira lógica todo o restante. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta 
e o círculo - e cinco postulados a eles servem de base para toda Geometria 
chamada “euclidiana”, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-
euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. 
As primeiras unidades de medida referiam-se, direta ou indiretamente, ao 
corpo humano: palmo, pé, passo, braça entre outros. Mas, sabemos que tais 
medidas são relativas, então por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no 
Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram 
de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes 
do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram 
réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas 
oficiais de comprimento. 
 Tanto entre os sumérios, como entre os egípcios, os campos primitivos tinham 
forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava 
os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora com bagagem 
intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista 
de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de 
reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam como compassos: 
 
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dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, 
secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos. 
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, 
uma reta perpendicular à outra. O processo anterior não resolve este problema, em 
que o vértice do ângulo reto já está pré-determinado. Os antigos geômetras, o 
solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um 
triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 
unidades, respectivamente. O teorema de Pitágoras explica em todo triângulo-
retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa 
(lado oposto ao ângulo reto). Qualquer trio de números, inteiros ou não, que 
respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram 
padronizados na forma de esquadros. 
A respeito de medida de superfícies, encontramos na História a 
responsabilidade dos sacerdotes, encarregados de arrecadar os impostos sobre a 
terra e calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. 
Provavelmente através da observação de trabalhadores pavimentando com 
mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado 
que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir 
esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim, nasceu a fórmula da 
área do retângulo: multiplicar a base pela altura. 
E na descoberta da área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um 
raciocínio extremamente geométrico. Era preciso tomar um quadrado ou um 
retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 
"casas" e o retângulo 12, esses números exprimem então a área dessas figuras. 
Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem 
dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado. 
Quando se deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, 
nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício 
conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer. Traçavam linhas a 
todos os demais ângulos visíveis do campo e, assim, este ficava completamente 
dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Este 
 
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método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era 
plano ou possuía bordos curvos. 
Sabemos que, desde então, muitos terrenos passaram a seguir o contorno de 
um morro, ou o curso de um rio e algumas construções requerem uma parede curva. 
Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma 
circunferência e a área de um círculo. 
Circunferência é a linha periférica do círculo, sendo este uma superfície. 
Porém, os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou 
pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um 
ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento 
dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da 
circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência, 
para ver “quantas vezes” cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais 
de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era 
o mesmo. Assim, tiraram algumas conclusões: 
a) o comprimento de uma circunferência é sempre “cerca” de 6,28 vezes maior que o 
de seu raio; 
b) para conhecer o comprimento de umacircunferência, basta averiguar o 
comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28. 
 
A história da Geometria explica a área do círculo em aproximadamente 2000 
anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes refletia diante do desenho de um 
círculo, no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área 
da figura. Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, 
pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área 
caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável 
tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que 
o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou 
aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). 
Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de 
um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14. 
 
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Figura 1 
 
 
 
 
O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-
no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo π ("pi") representa esse 
número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de 
casas decimais. Seu nome possui cerca de duzentos anos, e foi tirado da primeira 
sílaba da palavra peripheria, significando circunferência. 
Por volta de 500 a.C., eram fundadas na Grécia as primeiras universidades. 
Tales e seu discípulo Pitágoras reuniram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, 
da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à Matemática, 
navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito 
procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e 
o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do 
Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra 
era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e 
perímetros eram agora fáceis de calcular. 
Uma dessas figuras foi denominada polígono, do grego polygon, que significa 
"muitos ângulos". 
Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de 
avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros 
aparelhos. Percebemos, portanto, que desde os tempos da antiga Grécia, a 
Geometria sempre foi uma ciência aplicada. Dos problemas que os gregos 
conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um 
objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção. 
 
3.2.2) História da Álgebra 
A palavra Álgebra é uma variante latina da palavra de origem árabe al-jabr (às 
vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, 
 
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escrito em Bagdá por volta do ano 825, pelo matemático árabe Mohammed ibn-
Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de 
Álgebra é com frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. 
 Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou 
reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e 
cancelamento"-ou, conforme Boher, "a transposição de termos subtraídos para o 
outro membro da equação" e "o cancelamento de termos semelhantes (iguais) em 
membros opostos da equação". Assim, dada a equação: 
x
2
 + 5x + 4 = 4 - 2x + 5 * 3 
x
2
+ 7x + 4 = 4 + 5 *3 
x
2
+ 7x = 5*3 
 Pode ser que a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das 
equações". Ainda que originalmente a palavra "álgebra" refira-se a equações, ela 
possui um significado muito mais amplo. Uma definição satisfatória requer um 
enfoque em duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual: 
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. 
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como 
grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. 
A fase antiga (elementar), que abrange, aproximadamente, o período de 1700 
a.C. a 1700 d.C., caracterizou-se pela invenção gradual do simbolismo e pela 
resolução de equações (em geral coeficientes numéricos) por vários métodos, 
apresentando progressos pouco importantes até a resolução "geral" das equações 
cúbicas e quárticas e o inspirado tratamento das equações polinomiais, em geral 
feito por François Viète, também conhecido por Vieta (1540-1603). 
 O desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o 
retórico (ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o 
simbólico. No último estágio, a notação passou por várias modificações e mudanças, 
até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton. É importante 
perceber que, mesmo hoje, não há total uniformidade no uso de símbolos. Como a 
álgebra provavelmente se originou na Babilônia, parece apropriado ilustrar o estilo 
retórico com um exemplo daquela região. 
 
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 A álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo que na Babilônia; mas 
faltavam à álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilônica, bem como 
a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo Papiro Moscou e o Papiro Rhind - 
documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., 
respectivamente, mas refletem métodos matemáticos de um período anterior. Para 
equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução que consistia em 
uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método ao qual os 
europeus posteriormente deram o nome de "regra da falsa posição". 
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com 
o dos babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os 
matemáticos europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábica de 
número, antes de poderem avançar significativamente além dos resultados 
babilônios de resolução de equações. 
A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides, era 
geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como: 
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era 
curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4: 
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha 
toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo 
que as partes contém: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 
É bem provável que, para os gregos da época de Euclides, o símbolo a 2 
representava realmente um quadrado e não há dúvidas de que os pitagóricos 
conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão 
babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrado esses resultados 
pitagóricos. Para ilustrá-lo, observe o teorema correspondente ao problema babilônioconsiderado acima. 
 
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Figura 2 
 
Do livro VI. dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada): 
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um 
retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em 
AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 
2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer 
quadrado]. 
Figura 3 
 
Segundo se sabe, os gregos tinham uma certa dificuldade conceitual com 
frações e números irracionais. Mesmo sendo, os matemáticos gregos capazes de 
contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades 
insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o 
"escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um 
quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diagonal/lado é diferente 
da razão de dois inteiros). 
Desse modo, o estrito rigor matemático os forçou a usar um conjunto de 
segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz 
quadrada de 2 não possa ser expressa em termos de inteiros, ou suas razões, pode-
se representá-la como um segmento de reta que é, precisamente, a diagonal do 
quadrado unitário. 
 
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 É importante mencionar Apolônio (225 a.C.), que aplicou métodos 
geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado “Secções 
cônicas” contém geometria analítica das cônicas. 
A Matemática grega teve uma parada notável em sua produção, devido a um 
dos motivos como a ocupação romana que tinha começado, e não encorajava a 
erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. 
Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver 
somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo oral. Era 
possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse para diagramas e 
explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram. 
 Na Europa, a renascença e o rápido florescimento da álgebra foram devidos 
aos seguintes fatores: 
- facilidade de manipular trabalhos numéricos através do sistema de 
numeração indo-arábico, muito superior aos sistemas (tais como o romano) que 
requeriam o uso do ábaco; 
-invenção da imprensa com tipos móveis, que acelerou a padronização do 
simbolismo mediante a melhoria das comunicações, baseada em ampla distribuição; 
-ressurgimento da economia, sustentando a atividade intelectual; e a 
retomada do comércio e viagens, facilitando o intercâmbio de ideias tanto quanto de 
bens. 
Cidades fortes no âmbito comercial surgiram primeiro na Itália, e foi lá que o 
renascimento algébrico na Europa efetivamente teve início. 
 
3.3) Jogos 
Uma metodologia sempre favorável ao ensino de qualquer disciplina é a 
inserção de jogos em aula, porém sempre com um objetivo real e inserido ao 
conteúdo adequado resulta em uma competição saudável e despertadora de 
interesses. 
Nos PCNs, encontramos a definição: “o jogo é uma atividade natural no 
desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um “fazer sem 
obrigação externa e imposta”, embora demande exigências, normas e controle” 
 
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Provavelmente, a situação mais produtiva do meio acadêmico é a que 
envolve o jogo, quer na aprendizagem de noções, quer como meios de favorecer os 
processos que intervêm no ato de aprender e não se ignora o aspecto afetivo que, 
por sua vez, se encontra implícito no próprio ato de jogar. Uma vez que o elemento 
mais importante é o envolvimento do indivíduo que brinca. 
Pode-se dizer, com base nas características que definem os jogos de regra, 
que o aspecto afetivo manifesta-se na liberdade da sua prática. Prática esta, inserida 
num sistema que a define por meio de regras, o que é, no entanto, aceito 
espontaneamente. Impõem-se um desafio, uma tarefa, uma dúvida, entretanto é o 
próprio sujeito quem propõe a si mesmo resolvê-los (Silva & Kodoma, 2004). 
Para Miranda (2001): 
 
“Prazer e alegria não se dissociam jamais. O “brincar” é incontestavelmente 
uma fonte inesgotável desses dois elementos. O jogo, o brinquedo e a 
brincadeira sempre estiveram presentes na vida do homem, dos mais 
remotos tempos até os dias de hoje, nas mais variadas manifestações 
(bélicas, filosóficas, educacionais). O jogo pressupõe uma regra, o 
brinquedo é o objeto manipulável e a brincadeira, nada mais é que o ato de 
brincar com o brinquedo ou mesmo com o jogo. Jogar também é brincar 
com o jogo. O jogo pode existir por meio do brinquedo, se os brincantes lhe 
impuserem regras. Percebe-se, pois, que jogo, brinquedo e brincadeira têm 
conceitos distintos, todavia estão imbricados; e o lúdico abarca todos eles” . 
 
Percebemos a participação ativa do sujeito sobre o seu saber é valorizado por no 
mínimo dois motivos: 
• Fato de oferecer uma oportunidade para os estudantes estabelecerem uma 
relação positiva com a aquisição de conhecimento, pois o conhecer passa a ser 
percebido como real possibilidade. 
• Valorizar a participação do sujeito na construção do seu próprio saber é a 
possibilidade de desenvolver seu raciocínio. Os jogos são instrumentos para 
exercitar e estimular um agir-pensar com lógica e critério, condições para 
jogar bem e ter um bom desempenho escolar. 
 
Um exemplo a ser mostrado é o jogo “STOP”, em que toda criança trabalha 
com conceitos de: NOME, CIDADE, COMIDA, COR, entre outros, podendo variar 
entre várias opções, mas aqui podemos utilizar o “STOP” ao nosso favor, com o 
chamado “STOP MATEMÁTICO”. 
 
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De acordo com a série é possível utilizar mais conteúdos. 
As regras são: 
• Trabalhar em duplas, previamente escolhidas pelo professor; 
• As duplas têm que mostrar dois números que de acordo com cada 
operação resulta no número escolhido pelo professor ou por uma dupla; 
• A pontuação é a mesma do “STOP TRADICIONAL”, Dez pontos para 
quem coloca os números inéditos, Cinco pontos para empate e nenhum 
ponto para quem não fez. 
• O professor ou outra dupla escolhe um número e as duplas fazem as 
operações. 
Exemplo: 
O “STOP” a seguir foi aplicado em uma 8ª série: 
O número: 25 
 
Tabela 1: Exemplo do “STOP MATEMÁTICO” 
Adição Subtração Multiplicação Divisão Potenciação Radiciação 
2+23 28-3 5*5 125/5 5^ 2 225 
 
 
 Para crianças menores, os jogos podem ser ações que elas repetem 
sistematicamente, mas que possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto 
é, são fontes designificados e, portanto, possibilitam compreensão, geram 
satisfação, formam hábitos que se estruturam num sistema. Esta repetição funcional 
também deve estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de 
ajudar a criança a perceber regularidades. 
Os jogos são também, instrumentos de entretenimento para os adultos, 
mesmo em bancos de universidades, vemos alunos jogando “truco”. Percebemos, 
então, que apesar de toda a formalidade do ensino superior existe um passatempo, 
obtido através de um jogo. E por que não aplicar na metodologia de uma aula no 
ensino superior? 
 
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O ensino de Probabilidade pode ser iniciado através do baralho. E, através 
disto, entender qual a probabilidade de sair um rei dentre as cartas de um único jogo 
de baralho. 
Algumas pesquisas estão sendo realizadas com intuito de obter mais jogos 
que visem a melhoria do ensino de Matemática (Silva & Kodoma, 2004; Fanti &Silva, 
2004).e aqui destacaremos alguns jogos interessantes: 
 
TRAVERSE 
O jogo Traverse, cujos direitos autorais pertencem a Glacier Games Company 
(EUA,1991) é comercializado no Brasil, pela UNICEF. Como podemos notar 
Traverse parece com a palavra atravessar, que, de acordo com o Dicionário Aurélio 
(1986, p.197), atravessar significa: “(...) passar para o outro lado, transpor”. Essa 
ação corresponde ao movimento das peças no tabuleiro. 
Questões como: “Para onde vou?”, “Para onde devo olhar?”, “Qual a direção 
dos carros?”, “Preciso andar rápido?” são fundamentais para garantir o sucesso do 
objetivo. Uma análise detalhada e coordenada também deve ser feita para jogar o 
Traverse. Nesse jogo, as ações futuras devem ser avaliadas a cada momento, uma 
vez que a relação entre as peças modifica-se, depois que ocorre uma jogada. Assim 
sendo, realizar uma travessia exige muita atenção para coordenar as partes que 
compõem o todo (Silva & Kodoma, 2004). 
 
Descrição: 
O jogo é constituído de um tabuleiro quadriculado de 10x10 cm e de 8 peças 
de cada cor (azuis,amarelas, vermelhas e verdes), sendo: 2 triângulos, 2 losangos, 2 
círculos e 2 quadrados. Jogam de dois a quatro parceiros. 
Objetivo: 
Mover todas as peças de sua fileira inicial para o lado oposto do tabuleiro (fileira de 
destino). 
Regras: 
1) Cada jogador escolhe uma cor e coloca suas peças de um lado do tabuleiro 
(fileira inicial), na ordem que considerar conveniente, sem incluir os cantos. 
 
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2) As peças devem ser movidas de acordo com seu formato (losangos e triângulos 
devem apontar sempre para frente, o que facilita visualizar seus movimentos): 
• quadrados: movem-se vertical e horizontalmente; 
• losangos: têm movimentos diagonais para frente e para trás; 
• triângulos: movem-se nas diagonais somente para frente e na vertical para 
trás; 
• círculos: podem fazer movimentos em todas as direções. 
3) As peças podem ser movidas em um espaço de cada vez, em direção a um 
espaço vazio; ou com passes curtos ou longos (vide regras 4 e 5). 
4) Passes curtos: O jogador pode “pular” por cima de qualquer peça, desde que 
esta seja vizinha à sua, e a próxima casa, na direção da jogada, possa ser ocupada. 
As peças “puladas ” não são capturadas nem voltam ao início do tabuleiro, servindo 
apenas como “trampolim ” para o salto (exceção feita ao círculo – vide regra 7). 
5) Passes longos: O passe pode ter longa distância, passando por cima de uma 
peça que não esteja adjacente à sua, desde que haja simetria entre os espaços 
vazios, antes e depois da peça pulada. Mais uma casa que a peça do jogador 
ocupará ao final do passe. 
6) Séries de pulos: O jogador poderá fazer uma série de pulos consecutivos, 
contanto que cada passe esteja de acordo com as regras do jogo. 
7) O círculo : se o jogador passar por cima do círculo de um adversário, deverá 
colocá-lo na fileira inicial, para que recomece sua travessia. Quando o jogador usar 
seu próprio círculo como trampolim, o círculo deve permanecer onde estava (antes 
da jogada). 
8) Ao chegar à fileira de destino, as peças não podem mais voltar ao tabuleiro nem 
serem movidas na própria fileira de chegada. 
9) O jogo termina quando um jogador conseguir chegar com suas oito peças no lado 
oposto do tabuleiro. 
 A questão do “jogar” Traverse, não deve simplesmente ficar entre os 
jogadores, mas o professor deve ser questionador das ações dos jogadores. 
 
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Para os autores, uma estratégia para a introdução do jogo é: quatro jogadores 
que conhecem as regras jogarão em local que permita o acompanhamento da 
partida por todos. Quem o apresenta, coloca-se diante do grupo de modo que todos 
possam ver o tabuleiro. A colocação das peças e o desenrolar da partida. É 
conveniente anunciar a proposta, no sentido de localizar o que é para ser 
observado: material, ações realizadas e o objetivo do jogo. Deve-se sugerir aos 
observadores que tenham lápis e papel em mãos para registrar tudo o que forem 
percebendo. Joga-se uma partida até o final, e depois, então, podem ser feitos 
alguns questionamentos, como por exemplo: 
1. Como é o material que você observou? Descreva-o e desenhe-o. 
2. Qual é o objetivo do jogo? 
3. Faça uma lista das palavras importantes para jogar o “Traverse”. 
4. Fale sobre a importância de cada uma das peças e seus movimentos. 
 
DOMINÓ DAS QUATRO CORES 
De acordo com Guzmán (1991), (apud Silva & Kodoma, 2004) o problema 
que levou à criação do Jogo de Quatro Cores data de 1852, quando Francis Guthrie, 
recém formado pela Universidade de Londres, percebeu que a maioria dos mapas 
encontrados em Atlas eram pintados com quatro cores, respeitando-se o critério de 
não utilizar a mesma cor em territórios adjacentes. Escreveu, então, para o irmão 
Frederick, ainda aluno da mesma universidade, pedindo uma demonstração matemática 
deste teorema: quatro cores bastam para colorir qualquer mapa sem que as regiões 
vizinhas tenham a mesma cor. Frederick encaminhou o problema para o matemático 
Augustus de Morgan, seu professor, que tentou, em vão, demonstrar o teorema. Por 
mais de um século, matemáticos e outros estudiosos buscaram, sem sucesso, soluções 
para o desafio proposto por Guthrie. Algumas teorias tiveram aceitação por muitos anos, 
mas foram superadas por outras mais abrangentes, não sendo nenhuma delas 
suficiente para resolver o problema. A solução, em princípio satisfatória, foi dada por 
Keneth Apple e Wolfgan Haken, professores da Universidade de Illinois, em 1976, 
depois de seis anos de intensas pesquisas utilizando computador. Mas, como essa 
solução ainda é questionada, as investigações continuam. 
Descrição: Seis peças retangulares com lados medindo 3 cm e 9 cm, sendo duas 
amarelas, duas azuis e duas verdes; seis peças retangulares de lados 3 cm e 6 cm, 
 
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