Unidade III Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos

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Funções de Variável 
Complexa
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Alessandra Fabiana Cavalcanti
Revisão Técnica
Prof. Ms. Fabio Douglas Farias
 
Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
• Plano de Argand Gauss
• Módulo e Argumento de um Número Complexo
• Forma Trigonométrica ou Polar
• Operações com Números Complexos na Forma Trigonométrica
• Potenciação (Fórmula De Moivre)
 · Apresentar a representação geométrica dos números complexos, 
módulo, argumento, forma trigonométrica e operações: multiplicação, 
divisão, potenciação (fórmula De Moivre) e radiciação.
 · Demonstrar como são representados os números complexos no 
Plano de Argand Gauss, o cálculo do seu módulo e argumento e sua 
forma trigonométrica ou polar.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
A proposta desta aula é informá-lo (a) a respeito de como são representados 
os números complexos geometricamente e sua localização no plano de 
Argand Gauss.
Ao findar essa aula, esperamos que você seja capaz de resolver problemas 
envolvendo:
• Módulo e Argumento de Números Complexos;
• Fórmula Trigonométrica ou Polar de Números Complexos;
• Operações com Números Complexos na Forma Trigonométrica: 
Multiplicação, Divisão, Potenciação (Fórmula De Moivre) e Radiciação.
Para ajudar, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, 
acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as 
Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Não 
deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo, juntamente 
com os exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas 
propostas e o prazo de entregas.
Bons estudos!
ORIENTAÇÕES
Forma Trigonométrica ou Polar 
dos Números Complexos
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Contextualização
O Plano Complexo, segundo o autor Alex Bellos:
Em sua obra “Alex Através do Espelho”, o autor Alex Bellos destaca que o plano 
complexo foi uma invenção brilhante. Não só fornece um mapa mostrando onde 
estão os números complexos, mas também favorece nossa compreensão de como 
eles se comportam.
Exemplo: Dado o número imaginário 3 2+ i , representado no plano complexo 
a seguir:
Tomemos uma soma básica, digamos somar “ 1 ” (um) ao número 3 2+ i .
A resposta é 4 2+ i .
Ou somemos “i” ao número 3 2+ i .
A resposta é 3 3+ i .
Acrescentar “ 1 ” ao ponto 3 2+ i , faz-nos mover uma unidade para o lado, e 
somar “i” faz-nos mover uma unidade para cima.
Quanto mais números “ 1 ” (um) forem somados, mais progredimos horizontal-
mente, e quanto mais “i” são somados, mais subimos verticalmente, como ilustrado 
na figura a seguir. Com efeito, somar o número complexo a bi+ equivale a mover-
-se “a” unidades para o lado, e “b” unidades para cima. Chamamos esse tipo de 
movimento geométrico de translação.
6
7
Quadro do autor Alex Bellos (p.205)
E, agora, multiplicação. Se tomarmos nosso ponto 3 2+ i e o multiplicarmos 
por “ 1 ” (um), vamos obter o mesmo número? Claro que sim! É o que o “ 1 ” 
(um) sempre faz; no entanto, quando multiplicamos um número por “i” , algo 
interessante acontece.
( ). .( )3 2 3 2 3 2 1 2 32� � � � � � � � �i i i i i i
Veja na imagem a seguir que o ponto 3 2+ i girou 90º (noventa graus) em 
sentido anti-horário em torno de O.
Quadro do autor Alex Bellos (p.206)
Se multiplicarmos esse novo ponto, � �2 3i , por “i”, o resultado é de novo um 
giro de 90º (noventa graus) em torno de O.
7
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
De fato, quando um número complexo é multiplicado por “i”, o ponto descrito 
por esse número no plano complexo gira um quarto de volta em torno da origem. 
Se multiplicarmos por i2 1� � , o ponto gira 180º (cento e oitenta graus), se 
multiplicarmos por i i3 � � , o ponto gira 270º (duzentos e setenta graus), e se 
multiplicarmos por i4 1� � , o ponto vai girar de volta à posição de partida.
Agora tome-se um número arbitrário positivo “a” . Ele fica sobre o eixo real do 
plano complexo. Multiplique “a” por “ – 1 ” e o resultado é “- a” . Esse número 
também está sobre o eixo real, mas passou para a posição oposta, do outro lado 
de O. Multiplique de novo por “ – 1 ” e o número retorna a “a” . No entanto, se 
multiplicarmos “a” por “i” , o resultado é “a.i”. O número terá girado 90º (noventa 
graus) e agora está sobre o eixo imaginário. Multiplique por “i”, novamente, e o 
número gira para a posição “ −a ”, de volta ao eixo real. O plano complexo permite 
que compreendamos o vaivém da multiplicação dos imaginários. Esse processo 
não só nos permite uma percepção mais profunda do que são os números, mas 
também nos provê uma poderosa notação para descrever “coisas” que giram.
Na Física de partículas, na engenharia elétrica e nos radares, por exemplo, 
entre tantos outros campos científicos, tudo isso se baseia em números complexos 
para expressar rotações. De fato, a equação de onda de Schrödinger (a equação 
fundamental da mecânica quântica), contém o número imaginário “i”. A equação 
expressa a probabilidade de uma partícula subatômica ser detectada em certa 
localização. A probabilidade de algo acontecer deve estar, claro, entre 0 e 1, ou 0% 
e 100%. Mas a melhor maneira de compreender como interagem as probabilidades 
inerentes a partículas é tratá-las como números no plano complexo. Em vez de se 
somarem como números reais, as probabilidades se reforçam ou se anulam umas 
às outras, dependendo de suas posições relativas numa rotação.
Graças às equações como a de Schrödinger, os físicos usam agora números 
imaginários para expressar a natureza da própria matéria. Como consequência, 
os matemáticos não estão mais preocupados em saber se os números imaginários 
têm ou não um significado. Atualmente é tão natural pensar em, digamos 2 3+ i 
existindo no plano complexo quanto em, por exemplo, “ – 2 ” existindo na linha 
de números.
A equação de onda de Schrödinger é: ih
t
H
�
�
�
��
� 
em que i � �1 , h é a constante de Planck reduzida, 
Ψ é a função onda no sistema quântico e H
∧
 é o 
operador hamiltoniano.
Figura 1 – O físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961), 
que, por seu trabalho de 1926, no qual propôs a equação que 
ganhou seu nome para a descrição da dinâmica das partículas 
quânticas, foi agraciado, juntamente com o físico inglês Paul 
Dirac, com o Prêmio Nobel de Física de 1933.
8
9
Importante!
Se possível, complementando seus estudos, não deixe de ler o livro “Alex Através do 
Espelho: Como a Vida Refl ete os Números e como os Números Refl etem a Vida”, do autor 
Alex Bellos: tradução Paulo Geiger, Editora Companhia das Letras, 2015.
Importante!
Plano de Argand Gauss
O “plano complexo” ou “plano de Argand Gauss” consiste numa linha horizontal 
para os números reais, e numa linha vertical para os números imaginários, análogos 
aos eixos de x e de y no gráfico de coordenadas (plano cartesiano). O número 
complexo z a b i� � . representa o ponto no plano complexo com coordenadas 
(a, b), ou seja, estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos do 
campo dos complexos e os pontos do plano xy . Na ilustração veja que marcamos 
o ponto z i1 4 3� � . , que é o ponto (4, 3).
1
-1i
0
Por exemplo, vamos representar geometricamente os números complexos:
z i1 2� � , z i2 3� � , z i3 1 4� � � , z i4 2 3� � � , z5 4� � e z i6 3� � .
Temos:
• O afixo de z i1 2� � é A ( 2, 1 ).
• O afixo de z i2 3� � é B ( 3, –1 ).
• O afixo de z i3 1 4� � � é C ( –1, 4 ).
O “afixo” de um número 
complexo z = a + bi (sendo: 
i é a unidade imaginária; 
a e b números reais) é o 
ponto de coordenadas (a, b) 
no plano de Argand Gauss.
9
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
• O afixo de z i4 2 3� � � é D ( –2, –3 ).
• O afixo de z5 4� � é E ( –4, 0 ).
• O afixo de z i6 3� � é F ( 0, 3 ).
Obs.:
• Todo número complexo da forma z a= ou ( , )a 0 , a�� , é um número real e 
sua imagem é um ponto localizadosobre o eixo Ox ;
• Todo número complexo da forma z bi= ou ( , )0 b , b�� , é imaginário puro 
e sua imagem é um ponto localizado sobre o eixo Oy ;
• Se z a bi� � ou z a b= ( , ) tem imagem no ponto P, seu conjugado z a bi� � 
ou z a b� �( , ) tem imagem P´, simétrico de P em relação ao eixo horizontal;
• Não é definida para o campo dos números complexos a relação de ordem, isto 
é, não existe um complexo maior ou menor do que o outro.
Módulo e Argumento de um 
Número Complexo
Módulo
Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância da origem 
do sistema de coordenadas O ao ponto P (a, b).
10
11
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo destacado, temos:
A medida obtida é chamada “Módulo” de um número complexo e a indicamos 
por z ou ρ (letra grega “rô”). Observe que o módulo de um número complexo 
z z �� �0 é sempre um número real positivo, que expressa a distância entre a 
origem e o ponto z .
z a b z a b ou a b� � � � � � � � �2 2 2 2 2 2 2�
Argumento
Considere agora θ o ângulo formado por OP
� ���
 com o eixo real positivo Ox , 
medido no sentido anti-horário, conforme mostra a figura anterior.
� � arg( )z é chamado argumento principal ou argumento de z.
Este ângulo θ deve satisfazer a condição 0 2� �� � .
Então, pelas razões trigonométricas, temos:
cos
.
.
�
�
�
�
�
�
��
�
cat adjacente
hipotenusa
sen
cat oposto
hipotenusa
��
�
� 
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
 ou 
cos�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
a
sen
b
p
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Calcular o módulo, o argumento e fazer a representação geométrica 
do complexo z i� �1 .
11
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Resolução:
• Cálculo do Módulo: z i� �1 �
�
�
�
�
�
a
b
1
1
z a b
z
z
� �
� �
�
2 2
2 21 1
2
• Cálculo do Argumento: 
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
 �
�
�
�
�
��
�
�
�
cos�
�
1
2
1
2
sen
cos . cos
.
� �
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
sen sen
� � ��
�
�
4
45ou º
Observando a tabela trigonométrica, 
concluímos que � � �arg( ) ºz 45
Racionalização
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
• Representação Geométrica:
12
13
Exemplo 2: Ache o módulo dos números complexos:
a) 1 4� �i
i
b) ( ).( )
.
4 3 12 5
2
� �
�
i i
i
Resolução:
a) 1 4� �i
i
Primeiro passo: cálculo da divisão de complexos:
�
�� � �
�
�
� �
�
�
� �
�
� � �
1 4 4 4
1
4
2
2
i
i
i
i
i i
i
i
i.
( )
( )
Segundo passo: cálculo do módulo: z i� �4 �
�
� �
�
�
�
a
b
4
1
z a b z z z� � � � � � � � � � �2 2 2 24 1 16 1 17( )
b) ( ).( )
.
4 3 12 5
2
� �
�
i i
i
Primeiro passo: cálculo da multiplicação e divisão de complexos:
48 20 36 15
2
48 15 56
2
33 56
2
33 56
2
2
2� � �
�
� �
�
�
�
�
� �
�
i i i
i
i
i
i
i
i
i
i( )
.
( )
( 22
33 2 56 2
2
56 2 33 2
2 1
56 2 33 2
2
5
2
2 2i
i i
i
i
i
)
. .
( ) . .( )
�
� �
�
�
� �
� �
�
�
� �
� �
66 2
2
33 2
2
28 2
33 2
2
� � �i ou i
Segundo passo: cálculo do módulo: z i� � �28 2
33 2
2
�
� �
� �
�
�
�
�
�
a
b
28 2
33 2
2
z a b
z z
z
� �
� � �� � � ��
�
��
�
�
�� � � � �
� � �
2 2
2
2
28 2
33 2
2
784 2
1089 2
4
1568
2
.
.
1178
4
6272 2178
4
8450
4
2 5 13
2
5 13 2
2
65 2
2
2 2
2
� �
�
� � �
� � � � � �
z z
z z z
. . .
Decomposição em fatores primos.
Exemplo 3: Qual é o argumento de z i� �3 ?
Resolução:
13
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Primeiro passo: Cálculo do Módulo: z i� �3 �
�
� �
�
�
�
��
a
b
3
1
z a b z z z z� � � � � � � � � � � � �2 2 2 23 1 3 1 4 2( ) ( )
Segundo passo: Cálculo do Argumento:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
cos�
�
a
z
sen
b
z
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
3
2
1
2
sen
Representação 
Geométrica de 
z i� �3
Observando essa representação geométrica, vamos encontrar inicialmente o 
ângulo α para determinar o argumento de z i� �3 que é θ .
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
Observando a tabela trigonométrica, concluímos que α equivale 
a 30º no I quadrante, mas θ pertence ao IV quadrante.
Como � �� � 360º , temos a seguinte equação:
Para transformar graus em radianos, 
utilizamos a seguinte regra de três.
� �
�
�
� �
� �
�
360
360 30
330
º
º º
º
 ou 
180
330
º
º
�
�
�
x
 
180 330
330
180
11
6
. .
.
.
x
x
x
�
� �
�
�
�
�
Conclusão: � � �� � �arg( ) º .z ou330
11
6
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
14
15
Ao final deste conteúdo temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
1. Calcule o módulo de cada um dos números complexos:
a) z i� �1
2
1
3
 Resp.: z =
13
6
b) z i� � �4 3 Resp.: z = 5
c) z i� �7 Resp.: z = 7
d) z � �3 Resp.: z = 3
2. Qual é o módulo dos números complexos a seguir:
a) z i i� � �2 1 2.( ) Resp.: z = 2 5
b) z i
i
�
�
3
1
 Resp.: z = 3 2
2
c) z i= 8 19. Resp.: z = 8
d) z i i� � �( ).( )3 2 Resp.: z = 5 2
3. Estabeleça o módulo, o argumento e dê a representação gráfica dos seguintes 
números complexos:
a) z i� �1 3 Resp.: z e� �2
3
�
�
b) z i� � �2 2 3. Resp.: z e� �4 2
3
�
�
4. Observe o seguinte plano de Argand-Gauss e a representação gráfica dos 
números complexos: z1 , z2 e z3 .
Calcule o módulo de:
a) z z z1 2 3+ + Resp.: z = 5
b) z z z1 2 3− − Resp.: z = 73
c) z z z1 2 3. . Resp.: z = 4 65
d) 
z
z
1
2
 Resp.: z =
13
10
15
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Forma Trigonométrica ou Polar
Vamos observar novamente o plano de Argand-Gauss, no qual temos o número 
complexo z a bi� � , representado pelo ponto P (a , b).
Então, temos pelas razões trigonométricas:
cos .cos
.
� �
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
a
z
a z
sen
b
z
b z sen
 ou 
cos .cos
.
�
�
� �
� � �
� � �
� � �
�
�
��
�
�
�
a
a
sen
b
p
b sen
Agora vamos substituir os valores encontrados na forma algébrica z a bi� � :
z a bi
z z z sen i
z z i sen
� �
� �
� �
.cos . .
.(cos . )
� �
� �
 ou 
z a bi
z sen i
z i sen
� �
� �
� �
� � � �
� � �
.cos . .
.(cos . )
Colocando em “evidência” o módulo, 
obtemos a Forma Trigonométrica ou 
Polar de um Número Complexo.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1: Determinar a forma trigonométrica ou polar do número com-
plexo z i� �1 .
Resolução:
• Cálculo do Módulo: z i� �1 �
�
�
�
�
�
a
b
1
1
z a b z z� � � � � � �2 2 2 21 1 2
16
17
• Cálculo do Argumento:
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
�
�
�
�
�
��
�
�
�
cos�
�
1
2
1
2
sen
cos . cos
.
� �
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
sen sen
 
� � ��
�
�
4
45ou º
• Representação Geométrica:
• Forma Trigonométrica ou Polar:
Apenas substituímos os valores 
calculados na fórmula da Forma 
Trigonométrica ou Polar de um 
número complexo.
z z i sen
z i sen
� �
� ��
�
�
�
�
�
.(cos . )
. cos .
� �
� �
2
4 4
Exemplo 2: Determinar a forma algébrica do número complexo 
z i sen� ��
�
�
�
�
�2 4 4
. cos .
� � .
Resolução:
Calculando seno e cosseno: 
cos cos º
º
�
�
4
45
2
2
4
45
2
2
ou
sen ou sen
�
�
�
�
��
�
�
�
Trocando na forma trigonométrica do número complexo:
z i sen
z i
z i
� ��
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
� �
�
� �
�
2
4 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
. cos .
. .
.
� �
zz i z i� � � � �
2
2
2
2
1.
17
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
5. Dê a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
a) z i� � �2 2. Resp.: z i sen� �2 225 225.(cos º . º )
b) z i� � �4 3 4. Resp.: z i sen� ��
�
�
�
�
�8
7
6
7
6
. cos .
� �
c) z i= 8. Resp.: z i sen� �
�
�
�
�
�
�8 2 2
. cos .
� �
d) z i� �� �1 2 Resp.: z i sen� �� �2270 270. cos º . º
6. Expresse os números complexos a seguir na forma algébrica:
a) z i sen� ��
�
�
�
�
�2 6 6
. cos .
� �
 Resp.: z i� �3
b) z i sen� �� �4 180 180. cos º . º Resp.: z � �4
c) z i sen� �cos .5
3
5
3
� � Resp.: z i� �1
2
3
2
.
d) z i sen� �� �2 135 135. cos º . º Resp.: z i� � �1
7. Dado o número complexo z
i
i
�
�
�
1
1
7
, passar para forma trigonométrica 
ou polar.
Resp.: z i sen� �cos .
3
2
3
2
� �
Operações com Números Complexos 
na Forma Trigonométrica
Multiplicação
Sejam dois números complexos abaixo em sua forma trigonométrica:
z z i sen ou z i sen1 1 1 1 1 1 1 1� �� � � �� �. cos . . cos .� � � � �
z z i sen ou z i sen2 2 2 2 2 2 2 2� �� � � �� �. cos . . cos .� � � � �
Vamos calcular o produto z z1 2. :
z z z i sen z i sen1 2 1 1 1 2 2 2. . cos . . . cos .� �� � �� �� � � �
18
19
z z z z i sen i sen1 2 1 2 1 1 2 2. . . cos . . cos .� �� � �� �� � � �
z z z z i sen i sen i sen1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2. . . cos .cos .cos . . .cos .� � � �� � � � � � �� �1 2.sen� �
z z z z sen sen i sen sen1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. . .[(cos .cos . ) .(cos .� � � �� � � � � � �11 2.cos )]�
Aplicando as Fórmulas da Adição de Arcos das “Transformações 
Trigonométricas”, chegamos a essa fórmula. Observe que o 
número complexo obtido é tal que:
- seu módulo é o resultado do produto dos módulos de z e z1 2 ;
- seu argumento é o resultado da soma dos argumentos de z e z1 2.
Logo: z z z z i sen1 2 1 2 1 2 1 2. . .[cos( ) . ( )]� � � �� � � �
Exemplo: Vamos calcular o produto de z e z1 2 , onde z i sen1 2 4 4
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
 e 
z i sen2 3 3 3
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
Resolução:
Temos que:
z z1 2 2 3 6. .� �
� �
� � � � �
1 2 4 3
3 4
12
7
12
� � � �
�
�
Assim:
z z z z i sen1 2 1 2 1 2 1 2. . .[cos( ) . ( )]� � � �� � � �
z z i sen1 2 6
7
12
7
12
. . cos .� ��
�
�
�
�
�
� �
Divisão
Sejam dois números complexos abaixo em sua forma trigonométrica:
z z i sen ou z i sen1 1 1 1 1 1 1 1� �� � � �� �. cos . . cos .� � � � �
z z i sen ou z i sen2 2 2 2 2 2 2 2� �� � � �� �. cos . . cos .� � � � �
Vamos calcular o quociente z
z
1
2
:
19
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
z
z
z
z
i sen
i sen
1
2
1
2
1 1
2 2
�
�� �
�� �
.
cos .
cos .
� �
� �
z
z
z
z
i sen
i sen
i sen
1
2
1
2
1 1
2 2
2 2�
�� �
�� �
�� �
.
cos .
cos .
.
cos .
co
� �
� �
� �
ss .� �2 2�� �i sen
z
z
z
z
i sen i sen i sen1
2
1
2
1 2 1 2 1 2
2
�
� � �
.
(cos .cos .cos . . .cos .� � � � � � �11 2
2 2 2
. )
cos .
sen
i sen
�
� ��
z
z
z
z
sen sen i sen1
2
1
2
1 2 1 2 1 2 1�
� � �
.
[(cos .cos . ) .( .cos cos .� � � � � � � ssen
sen
�
� �
2
2 2
)]
cos �
Aplicando as Fórmulas da Adição de Arcos das “Transformações Trigonométricas”, 
chegamos a essa fórmula. Observe que o número complexo obtido é tal que:
- seu módulo é o resultado do quociente dos módulos de z e z1 2 ;
- seu argumento é o resultado da diferença dos argumentos de z e z1 2 .
Logo: 
z
z
z
z
i sen1
2
1
2
1 2 1 2� � � �.[cos( ) . ( )]� � � �
Exemplo: Vamos calcular o quociente de z e z1 2 , onde z i sen1 8 2 2
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
 e
z i sen2 2 5 5
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
Resolução:
Temos que:
z
z
1
2
8
2
4� �
� �
� � � � �
1 2 2 5
5 2
10
3
10
� � � �
�
�
Assim:
z
z
z
z
i sen1
2
1
2
1 2 1 2� � � �.[cos( ) . ( )]� � � �
z
z
i sen1
2
4
3
10
3
10
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
Identidade Trigonométrica 
Fundamental:
sen 2 2 1� �� �cos
20
21
Potenciação (Fórmula De Moivre)
Seja o número complexo em sua forma trigonométrica z z i sen� �� �. cos .� � ou 
z i sen� �� �� � �. cos . e um número natural “n” não nulo, temos:
z z z z z z z i senn
n
� � � � � � �. ... . ... .[cos( ... ) . (
'' '' fatores

� � � � � �� �... )]�
Logo: z z n i sen n
n n� �.[cos( ) . ( )]� �
Essa expressão é chamada fórmula “De Moivre” (Abraham de 
Moivre, 1667-1754, matemático francês). 
Observe que o número complexo obtido é tal que:
- seu módulo é elevado à mesma potência “n”;
- seu argumento é multiplicado pelo mesmo expoente “n”.
Podemos calcular essa potência de algumas maneiras diferentes:
1ª escrever esse número complexo na 
forma trigonométrica e usar a fórmula 
“De Moivre”;
2ª multiplicar ( 1 + i ) por ele mesmo 
10 (dez) vezes;
3ª desenvolver a expressão usando 
binômio de Newton;
4ª aplicar a propriedade de potência: 
( an ) m = a n.m .
Exemplo: Vamos calcular a potência 1
10
�� �i .
Resolução:
Vamos então, escrever esse número complexo na forma trigonométrica e utilizar 
a fórmula de “De Moivre”.
z i
n
z i
� � �
�
� �
�
�
�
( )
( )
1
10
1
10
• Cálculo do Módulo: z i� �1 �
�
�
�
�
�
a
b
1
1
z a b z z� � � � � � �2 2 2 21 1 2
• Cálculo do Argumento:
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
cos�
�
1
2
2
2
1
2
2
2
sen
21
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o argumento equivale a
�
�
� �arg( ) ºz ou45
4
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Radianos 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
p
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6
π
2π
seno 
(sen) 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
cosseno 
(cos) 1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tangente 
(tg) 0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i se
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º .
� �
� �
2
4 4
2 45 nn45º )
• Fórmula de “De Moivre”:
z z n i sen n
z i sen
n n� �
� �
�
�
�
�
� �
.[cos( ) . ( )]
( ) . cos . . .
� �
�10 102 10
4
10
��
� �
�
4
2
5
2
5
2
32
5
2
10 5
10
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
� �
z isen
z is
. cos
. cos een
5
2
��
�
�
�
�
�
5
2
π equivale a 
5 180
2
450
x º
º= , 
assim temos que 
450 360 90º º º� � ou π
2
.
Assim, na forma algébrica temos:
z isen
z i
z i
z
10
10
10
10
32
2 2
32 0 1
32 0
32
� ��
�
�
�
�
�
� �� �
� �
�
. cos
. .
.( )
.
� �
ii
Outra Resolução, aplicando a Propriedade de Potência: ( a n ) m = a n.m .
22
23
z i� �( )1 10
z i
z i i
z i
z i
z
10 2 5
10 2 5
10 5
10 5
10
1
1 2
1 2 1
2
� ��� �� �
� � � �
� � � �
� �
( )
( )
( )
( )
�� �
� �
�
2
32
32
5 5
10 1
10
.
.
.
i
z i
z i
Propriedade da Potenciação: 
( ) .a an m m n= ( ) .a a a2 5 2 5 10= =
Produto Notável “quadrado 
da soma de dois termos”:
(A + B)² = A² + 2.A.B + B²
Radiciação
Seja o número complexo em sua forma trigonométrica z z i sen� �� �. cos .� � ou 
z i sen� �� �� � �. cos . e as raízes de índice “n” de “z” que são dadas pela “segunda” 
fórmula de “De Moivre”:
“k” representa a quantidade de raízes (soluções) 
de acordo com o índice “n” da raiz enunciada. Por 
exemplo, se temos uma raiz quadrada (n=2), k ∈
{ 0 , 1 } , assim obteremos duas raízes distintas.
z z z
n
k
n
i sen
n
k
n
kn k n� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �. cos . ; , ,
� � � �2 2
0 1 2,, ,... }3 1n �
Exemplo: Calcule a raiz quadrada de z i= 2. e faça sua representação geométrica.
Resolução:
Vamos então, escrever esse número complexo na forma trigonométrica e utilizar 
a “segunda” fórmula de “De Moivre”.
z i
n raiz quadrada
k
z i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
0 1
2
( )
{ , }
• Cálculo do Módulo: z i= 2 �
�
�
�
�
�
a
b
0
2
z a b z z z� � � � � � � � �2 2 2 20 2 4 2
• Cálculo do Argumento:
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
�
� �
� �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
0
2
0
2
2
1sen
23
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o argumento equivale a
�
�
� �arg( ) ºz ou90
2
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Radianos 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
p
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6π
2π
seno 
(sen) 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
cosseno 
(cos) 1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tangente 
(tg) 0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i se
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º .
� �
� �
2
2 2
2 90 nn90º )
• “Segunda” Fórmula de “De Moivre”:
z z z
n
k
n
i sen
n
k
n
kn k n� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �. cos . ; , ,
� � � �2 2
0 1 2,, ,... }
. cos .
3 1
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
z
k
i sen
k
k
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
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�
� ��
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�
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�
� � �
�
�
�
�
�
�
; { , }
. cos .
k
z
k
i sen
k
k
0 1
2
4
2
2 4
2
2
� � � ���
�
�
�
�
�
Como k∈{ , }0 1 , obtemos duas raízes diferentes z e z0 1 , assim:
1ª solução, para k=0, temos:
Na forma trigonométrica: Na forma algébrica:
z
k
i sen
k
z
k � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
4
2
2 4
2
2
2
4
2
0
. cos .
. cos
� � � �
� .. .
.
. .
. cos .
0
2 4
2 0
2
2
4 40
� � �
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
i sen
z i sen
��
�
�
�
�
 ou 
z i sen
z i
z
0
0
0
2 2
2
4 4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
� ��
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
� �
. cos .
. .
( ) ( )
� �
..i
z i0 1� �
24
25
2ª solução, para k=1, temos:
Na forma trigonométrica: Na forma algébrica:
z
k
i sen
k
z
k � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
4
2
2 4
2
2
2
4
2
1
. cos .
. cos
� � � �
� .. .
.
. .
. cos
1
2 4
2 1
2
2
41
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� �
i sen
z ii sen
z i sen
.
. cos .
�
�
� �
4
2
5
4
5
41
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
 ou 
z i sen
z i
z
1
1
1
2
2
5
4
5
4
2
2
2
2
2
2
2
� ��
�
�
�
�
�
� � �
�
�
��
�
�
��
� � �
. cos .
. .
( ) (
� �
22
2
1
2
1
)
.i
z i� � �
• Representação Geométrica:
Para representarmos z i0 1� � e 
z i1 1� � � no plano complexo, 
utilizamos os seguintes pontos 
P0 1 1( , ) e P1 1 1( , )− − .
Observando o gráfico ao lado P0
e P1 são pontos diametralmente 
opostos de uma circunferência 
de centro na origem e raio 2 .
0
Agora é a sua vez!
Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados.
Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok!
Atividades Práticas
8. Sendo z i sen1 5� �.(cos . )� � e z i sen2 3 3 3
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
, calcule:
a) z z1 2. Resp.: z i sen� �
�
�
�
�
�
�15
4
3
4
3
. cos .
� �
b) z
z
1
2
 Resp.: z i sen� ��
�
�
�
�
�
5
3
2
3
2
3
. cos .
� �
9. Sabendo que z i sen� �
�
�
�
�
�
�2 3 3
. cos .
� �
, calcule as seguintes potências:
a) z2 Resp.: z i2 2 2 3� � � .
b) z3 Resp.: z3 8� �
c) z9 Resp.: z9 512� �
25
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
10. Determine as raízes cúbicas de z i sen� �cos .� � em sua forma trigonométrica.
Resp.: z i sen0 3 3
� �cos .
� �
, z i sen1 � �cos .� � e z i sen3
5
3
5
3
� �cos .
� �
.
Resoluções de Atividades Práticas
1. Calcule o módulo de cada um dos números complexos:
a) z i� �
1
2
1
3
 �
�
�
�
�
��
�
�
�
a
b
1
2
1
3
z a b z z
z z z
� � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
� �
�
� � � �
2 2
2 2
1
2
1
3
1
4
1
9
9 4
36
13
36
13
66
b) z i� � �4 3 �
� �
�
�
�
�
a
b
4
3
z a b z z z z� � � � � � � � � � � � �2 2 2 24 3 16 9 25 5( ) ( )
c) z i� �7 �
�
� �
�
�
�
a
b
0
7
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 20 7 49 7( ) ( )
d) z � �3 �
� �
�
�
�
�
a
b
3
0
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 23 0 9 3( ) ( )
2. Qual é o módulo dos números complexos a seguir:
a) z i i� � �2 1 2.( )
z i i z i
a
b
� � � � � � � �
� �
� �
�
�
�
2 4 4 2
4
2
2
z a b z z
z z z
� � � � � � � � � � �
� � � � � �
2 2 2 2
2
4 2 16 4
20 2 5 2 5
( ) ( )
.
b) z i
i
�
�
3
1
z
i
i
i
i
z
i i
i
z
i
ou z i
a
�
�
�
�
� �
�
�
� �
� �
� � �
�
3
1
1
1
3 3
1
3 3
2
3
2
3
2
3
22
2 2( )
.
( )
( )
bb �
�
�
��
�
�
�
3
2
26
27
z a b z z
z z z
� � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
� � � � � �
2 2
2 2
2
2
3
2
3
2
9
4
9
4
18
4
3 2
2
3 2.
22
c) z i= 8 19
19 4
3 4
z i z i z i
a
b
� � � � � � � �
�
� �
�
�
�
8 8 8
0
8
3 .( )
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 20 8 64 8( ) ( )
d) z i i� � �( ).( )3 2
z i i i z i z i
a
b
� � � � � � � � � � � �
�
�
�
�
�
6 3 2 6 1 7
7
1
2
z a b z z
z z z
� � � � � � � � �
� � � � � �
2 2 2 2
2
7 1 49 1
50 5 2 5 2.
3. Estabeleça o módulo, o argumento e dê a representação gráfica dos seguintes 
números complexos:
a) z i� �1 3
• Cálculo do Módulo: z i� �1 3 �
�
�
�
�
�
��
a
b
1
3
z a b z z z z� � � � � � � � � � � �2 2 2 21 3 1 3 4 2( )
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
Observando a tabela trigonométrica, concluímos que � � �arg( ) ºz 60 .
• Cálculo do Argumento:�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
cos�
�
a
z
sen
b
z
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � �
cos
º
�
�
� �
�
1
2
3
2
60
3
sen
ou
27
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
• Representação Geométrica:
b) z i� � �2 2 3.
• Cálculo do Módulo: z i� � �2 2 3 �
� �
�
�
�
�
��
a
b
2
2 3
z a b z z z z z� � � � � � � � � � � � � � � �2 2 2 22 2 3 4 4 3 4 12 16 4( ) ( ) .
• Cálculo do Argumento: �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
cos�
�
a
z
sen
b
z
Observando a tabela trigonomé-
trica, concluímos que θ equivale 
a 60° no I quadrante, mas como 
o número complexo pertence ao 
II quadrante, seu correspondente 
equivale a 120°.
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
cos�
�
2
4
2 3
4
sen
�
� �
�
�
�
��
�
�
�
� � �
cos
º
�
�
� �
�
1
2
3
2
120
2
3
sen
ou
• Representação Geométrica:
28
29
4. Observe o plano de Argand-Gauss com a representação gráfica dos números 
complexos: z1 , z2 e z3 .
Resolução:
Antes de tudo, vamos determinar os números complexos, observando o plano de 
Argand-Gauss e seus conjugados: z i1 3 2� � � e z i1 3 2� � �
z i2 3� � e z i2 3� �
z i3 2 2� � e z i3 2 2� �
Calcule o módulo de:
a) z z z1 2 3+ +
� � � � � � � � � �3 2 3 2 2 2i i i i �
�
�
�
�
�
a
b
2
1
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 22 1 4 1 5( ) ( )
b) z z z1 2 3− −
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
3 2 3 2 2
3 2 3 2 2 8 3
i i i
i i i i
( ) ( )
�
� �
� �
�
�
�
a
b
8
3
z a b z z z� � � � � � � � � � � �2 2 2 28 3 64 9 73( ) ( )
c) z z z1 2 3. .
� � � � � � � �
� � � � � � � �
� � �
[( ).( )].( )
( ).( )
(
3 2 3 2 2
9 3 6 2 2 2
11 3
2
i i i
i i i i
i)).( )� � � � � � � � � �2 2 22 22 6 6 16 282i i i i i
�
� �
� �
�
�
�
a
b
16
28
z a b z z z
z z
� � � � � � � � � � � �
� � �
2 2 2 2
2
16 28 256 784 1040
4 5 13 4 65
( ) ( )
. .
29
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
d) 
z
z
1
2
�
� �
� �
�
�
�
� � � �
�
�
� �
�
( )
( )
.
( )
( )
3 2
3
3
3
9 3 6 2
3
7 9
10
7
10
92
2 2
i
i
i
i
i i i
i
i
ou
110
i
 
�
�
�
�
�
��
�
�
�
a
b
7
10
9
10
z a b z z
z z
� � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� � � � �
� � � �
2 2
2 2
7
10
9
10
49
100
81
100
130
100
113
10
130
10
ou z �
5. Dê a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:
Resolução:
a) z i� � �2 2.
• Cálculo do Módulo: z i� � �2 2. �
� �
� �
�
�
�
��
a
b
2
2
z a b z z z� � � � � � � � � � � �2 2 2 22 2 2 2 2( ) ( )
• Cálculo do Argumento: 
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
 �
� �
� �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
2
2
2
2
sen
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o ângulo 
procurado que está no III (terceiro) Quadrante, corresponde ao 
ângulo de 45º no I (primeiro) quadrante, portanto o argumento 
equivale à � � �arg( ) ºz 225
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
Para transformar 
graus em radianos,utilizamos a seguinte 
regra de três.
180
225
º
º
�
�
�
x 
180 225
225
180
5
4
. .
.
.
x
x
x
�
� �
�
�
�
�
Conclusão: � � �� � �arg( ) º .z ou225
5
4
30
31
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º
� �
� �
2
5
4
5
4
2 225 .. º )sen225
b) z i� � �4 3 4.
• Cálculo do Módulo: z i� � �4 3 4. �
� �
� �
�
�
�
��
a
b
4 3
4
z a b z z z� � � � � � � � � � � �2 2 2 24 3 4 48 16 8( ) ( )
• Cálculo do Argumento:
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
�
� � � �
� � � �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
4 3
8
3
2
4
8
1
2
sen
Observando a tabela trigonométri-
ca, verificamos que o ângulo pro-
curado que está no III (terceiro) 
Quadrante, corresponde ao ângulo 
de 30º no I (primeiro) quadrante, 
portanto o argumento equivale à 
� � �arg( ) ºz 210
30° 45° 60°
seno
1
2
2
2
3
2
cosseno
3
2
2
2
1
2
tangente
3
3
1 3
Para transformar 
graus em radianos, 
utilizamos a seguinte 
regra de três.
180
210
º
º
�
�
�
x
180 210
210
180
7
6
. .
.
.
x
x
x
�
� �
�
�
�
�
Conclusão: � � �� � �arg( ) º .z ou210
7
6
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º
� �
� �
8
7
6
7
6
8 210 .. º )sen210
c) z i= 8.
• Cálculo do Módulo: z i= 8. �
�
�
�
�
�
a
b
0
8
z a b z z z� � � � � � � � �2 2 2 20 8 64 8
31
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
• Cálculo do Argumento: 
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
 �
� �
� �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
0
8
0
8
8
1sen
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o argumento equivale a
�
�
� �arg( ) ºz ou90
2
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Radianos 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
p
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6
π
2π
seno 
(sen) 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
cosseno 
(cos) 1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tangente 
(tg) 0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i se
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º .
� �
� �
8
2 2
8 90 nn90º )
d) z i� �� �1 2
z i i
z i
z i
� � �
� � �
� �
1 2
1 2 1
2
2
.
• Cálculo do Módulo: z i� �2. �
�
� �
�
�
�
a
b
0
2
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 20 2 4 2( )
• Cálculo do Argumento: 
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
 �
� �
� � � �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
0
2
0
2
2
1sen
32
33
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o argumento equivale a
�
�
� �arg( ) ºz ou270
3
2
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Radianos 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
p
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6
π
2π
seno 
(sen) 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
cosseno 
(cos) 1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tangente 
(tg) 0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º
� �
� �
2
3
2
3
2
2 270 .. º )sen270
6. Expresse os números complexos a seguir na forma algébrica:
Resolução:
a) z i sen� ��
�
�
�
�
�2 6 6
. cos .
� �
Calculando seno e cosseno: 
cos cos º
º
�
�
6
30
3
2
6
30
1
2
ou
sen ou sen
�
�
�
�
��
�
�
�
Trocando na forma trigonométrica do número complexo:
z i sen
z i
z i z i
� ��
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
� � � � �
2
6 6
2
3
2
1
2
2 3
2
2
2
3
. cos .
. .
.
� �
b) z i sen� �� �4 180 180. cos º . º
Calculando seno e cosseno: 
cos cos º
º
�
�
ou
sen ou sen
180 1
180 0
� �
�
�
�
�
33
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Trocando na forma trigonométrica do número complexo:
z i sen
z i
z
� �� �
� � �� �
� �
4 180 180
4 1 0
4
. cos º . º
. .
c) z i sen� �cos .
5
3
5
3
� �
Calculando seno e cosseno: 
cos cos º
º
5
3
300
1
2
5
3
300
3
2
�
�
ou
sen ou sen
�
� �
�
�
��
�
�
�
Trocando na forma trigonométrica do número complexo:
z i sen
z i
� �
� �
cos .
.
5
3
5
3
1
2
3
2
� �
d) z i sen� �� �2 135 135. cos º . º
Calculando seno e cosseno: 
cos cos º
º
3
4
135
2
2
3
4
135
2
2
�
�
ou
sen ou sen
� �
�
�
�
��
�
�
�
Trocando na forma trigonométrica do número complexo:
z i sen
z i
z
� �� �
� � �
�
�
��
�
�
��
� �
� �
�
� �
2 135 135
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
. cos º . º
. .
.ii z i z i� � � � � � � �
2
2
2
2
1.
7. Dado o número complexo z
i
i
�
�
�
1
1
7
, passar para forma trigonométrica 
ou polar.
Resolução:
z
i
i
�
�
�
1
1
7 7 4
3 1
Potencias de “i” (vide Unidade II):
Dividimos o expoente “7” por 4.
z
i
i
z
i
i
i
i
z
i i
i
z
i
z�
�
�
� �
�� �
�� �
�� �
�� �
� �
� �
�
� �
�
� �
1
1
1
1
1
1
1 2
1
2
2
3 2
2 2. ��i
• Cálculo do Módulo: z i� � �
�
� �
�
�
�
a
b
0
1
z a b z z z� � � � � � � � � �2 2 2 20 1 1 1( )
34
35
• Cálculo do Argumento:
cos�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a
z
sen
b
z
�
� �
� � � �
�
�
��
�
�
�
cos�
�
0
1
0
1
1
1sen
Observando a tabela trigonométrica, verificamos que o argumento equivale a
�
�
� �arg( ) ºz ou270
3
2
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Radianos 0
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π
p
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6
π
2π
seno 
(sen) 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
cosseno 
(cos) 1
3
2
2
2
1
2
0 −
1
2
−
2
2
−
3
2
– 1 −
3
2
−
2
2
−
1
2
0
1
2
2
2
3
2
1
tangente 
(tg) 0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
3
3
1 3 ∃ − 3 – 1 −
3
3
0
• Forma Trigonométrica ou Polar:
z z i sen
z i sen ou z i
� �
� ��
�
�
�
�
� � �
.(cos . )
. cos . .(cos º
� �
� �
1
3
2
3
2
1 270 .. º )
cos . cos º . º
sen
z i sen ou z i sen
270
3
2
3
3
270 270� � � �
� �
8. Sendo z i sen1 5� �.(cos . )� � e z i sen2 3 3 3
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
, calcule:
Resolução:
a) z z1 2.
Temos que:
z z1 2 5 3 15. .� �
� � �
� � � �
1 2 3
3
3
4
3
� � � �
�
�
Assim:
z z z z i sen1 2 1 2 1 2 1 2. . .[cos( ) . ( )]� � � �� � � �
z z i sen1 2 15
4
3
4
3
. . cos .� ��
�
�
�
�
�
� �
35
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
b) 
z
z
1
2
Temos que:
z
z
1
2
5
3
=
� � �
� � � �
1 2 3
3
3
2
3
� � � �
�
�
Assim:
z
z
z
z
i sen1
2
1
2
1 2 1 2� � � �.[cos( ) . ( )]� � � �
z
z
i sen1
2
5
3
2
3
2
3
� ��
�
�
�
�
�. cos .
� �
9. Sabendo que z i sen� ��
�
�
�
�
�2 3 3
. cos .
� �
, calcule as seguintes potências:
Resolução:
a) z2
Fórmula de “De Moivre”:
z z n i sen n
z i sen
n n� �
� �
�
�
�
�
� �
�
�
.[cos( ) . ( )]
( ) . cos . . .
� �
� �2 22 2
3
2
3��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�z i sen
2 4
2
3
2
3
. cos .
� �
Assim, na forma algébrica temos:
z isen
z i
z i
z
2
2
2
4
2
3
2
3
4
1
2
3
2
4
2
4 3
2
� ��
�
�
�
�
�
� � �
�
�
��
�
�
��
� � �
. cos
.
.
� �
22 2 2 3� � � .i
2
3
π equivale a 2 180
3
120
x º
º= .
b) z3
Fórmula de “De Moivre”:
36
37
z z n i sen n
z i sen
n n� �
� �
�
�
�
�
� �
�
�
.[cos( ) . ( )]
( ) . cos . . .
� �
� �3 32 3
3
3
3��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �z i sen3 8. cos .� �
Assim, na forma algébrica temos:
z i sen
z i
z
3
3
3
8
8 1 0
8
� �� �
� � �� �
� �
. cos .
. .
� �
c) z9
Fórmula de “De Moivre”:
z z n i sen n
z i sen
n n� �
� �
�
�
�
�
� �
�
�
.[cos( ) . ( )]
( ) . cos . . .
� �
� �9 92 9
3
9
3��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �� �z i sen9 512 3 3. cos .� �
Assim, na forma algébrica temos:
z i sen
z i
z
9
9
9
512 3 3
512 1 0
512
� �� �
� � �� �
� �
. cos .
. .
� � 3p equivale a 3x180° = 540°, 
assim temos que 540° – 360° ou p.
10. Determine as raízes cúbicasde z i sen� �cos .� � em sua forma trigonométrica.
Resolução:
z i sen
n raiz cúbica
k
z
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
cos .
( )
{ , , }� �
3
0 1 2
1
• “Segunda” Fórmula de “De Moivre”:
z z z
n
k
n
i sen
n
k
n
kn k n� � �
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �. cos . ; , ,
� � � �2 2
0 1 2,, ,... }
. cos .
3 1
1
3
2
3 3
2
3
3
n
z
k
i sen
k
k
�
� ��
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
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��
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��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; { , , }
. cos .
k
z
k
i sen
k
z
k
k
0 1 2
1
2
3
2
3
� � � �
��
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�cos .
� � � �2
3
2
3
k
i sen
k
37
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Como k∈{ , , }0 1 2 , obtemos três raízes diferentes z z e z0 2 2, , assim:
1ª solução, para k=0, temos:
ou
Na forma algébrica:
z i sen
z i
0
0
3 3
1
2
3
2
� �
� �
cos .
.
� �
Na forma trigonométrica:
z
k
i sen
k
z i
k �
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
cos .
cos
. .
� � � �
� �
2
3
2
3
2 0
30
..
. .
cos .
sen
z i sen
� �
� �
��
�
�
�
�
�
� �
2 0
3
3 30
2ª solução, para k=1, temos:
Na forma trigonométrica:
z
k
i sen
k
z i
k �
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
cos .
cos
. .
� � � �
� �
2
3
2
3
2 1
31
..
. .
cos .
cos .
sen
z i sen
z i sen
� �
� �
� �
��
�
�
�
�
�
� �
� �
2 1
3
3
3
3
31
1
ou
Na forma algébrica:
z i sen
z i
z
1
1
1
1 0
1
� �
� � �
� �
cos .
.
� �
3ª solução, para k=2, temos:
Na forma trigonométrica:
z
k
i sen
k
z i
k �
��
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
� �
cos .
cos
. .
� � � �
� �
2
3
2
3
2 2
32
..
. .
cos .
sen
z i sen
� �
� �
��
�
�
�
�
�
� �
2 2
3
5
3
5
32
ou
Na forma algébrica:
z i sen
z i
2
2
5
3
5
3
1
2
3
2
� �
� �
cos .
.
� �
38
39
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Me Salva! CPX05 – Números Complexos – Plano de Argand Gauss
https://goo.gl/fl4DSz
“Módulo e Argumento” – Matemática Show com Prof. Abraão Lincoln
https://goo.gl/k7h5MM
Me Salva! CPX07 – Forma trigonométrica dos números complexos
https://goo.gl/BahH6A
Números Complexos na Forma Trigonométrica – Matemática com Prof. Gui
https://goo.gl/H6WPCw
Me Salva! CPX06 – Números Complexos – Coordenadas Polares – Módulo e Argumento
http://goo.gl/7Ie4Gu
“Forma trigonométrica ou polar” – Matemática Show com Prof. Abraão Lincoln
https://goo.gl/IzDdlp
“Operações na forma trigonométrica” – Matemática Show com Prof. Abraão Lincoln
https://goo.gl/5lBT6O
Operações com Números Complexos na forma Trigonométrica – Prof. Abimael Teixeira
https://goo.gl/qg9OI3
Potenciação de números complexos na forma trigonométrica
https://goo.gl/gvS73o
Radiciação de números complexos na forma trigonométrica
https://goo.gl/Qk2nuK
Sites
Plano de Argand-Gauss.
http://goo.gl/6Lsk29
Forma Trigonométrica de um Número Complexo.
http://goo.gl/DSzrZX
Operações de Números Complexos na Forma Trigonométrica.
http://goo.gl/bmNGGX
Operações com números complexos na forma polar ou trigonométrica.
http://goo.gl/3D0quJ
Operações na forma trigonométrica.
http://goo.gl/njWpNM
39
UNIDADE Forma Trigonométrica ou Polar dos Números Complexos
Referências
ÁVILA, G.S.S. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
BELLOS, A. Alex através do espelho: como a vida reflete os números e como os 
números refletem a vida. São Paulo: Companhia das Letras, 2015.
CAON, F. Números Complexos: inter-relações entre conteúdo e aplicações. 
(Dissertação)-Universidade Estadual de Ponta Grossa. Ponta Grossa. 2013. 74. 
f. Disponível em: <http://bicen-tede.uepg.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo 
=926>. Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C. MONTEIRO, M. S. História dos Números Complexos. CAEM - 
Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (Instituto de Matemática 
e Estatística da USP). Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~martha/caem/
complexos.pdf>. Acesso em 03 de agosto de 2015.
CERRI, C. Desvendando os Números Reais. São Paulo: IME-USP. Novembro 
de 2006. Disponível em: <www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf>. 
Acesso em 03 de agosto de 2015.
CHURCHILL, R.V. Variáveis complexas e suas aplicações; tradução: Tadao 
Yoshioka; revisão técnica: Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do 
Brasil e Editora da Universidade de São Paulo, 1975.
DANTE, L. R. Matemática, volume único, São Paulo: Ática, 2005.
DIAS, N. L. Pequena introdução aos números. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
(e-book)
GIOVANNI, J.R. Matemática Fundamental, 2º Grau: volume único. São Paulo: 
FTD, 1994.
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D; PÉRIGO, R.; ALENDA, N. Matemática: 
ciência e aplicações, 4 ed.São Paulo: Atual, 2006.
LEITE, Á. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos conjuntos. 
Curitiba: InterSaberes, 2014. (e-book)
SHOKRANIAN, S. Uma introdução à variável complexa – 476 exercícios 
resolvidos. São Paulo: Ciência Moderna, 2011.
SILVA, M. A. Da teoria à prática: uma análise histórica do desenvolvimento 
conceitual dos números complexos e suas aplicações. Revista Brasileira de História 
da Ciência, Rio de Janeiro, v. 4, n. 1, p. 79-91, jan-jun 2011. Disponível em: 
<http:www.sbhc.org.br/arquivo/download?ID_ARQUIVO=23>. Acesso em 03 
de agosto de 2015.
SOARES, M. G. Cálculo em uma variável complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
40