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ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ “A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à geração, sistematização e disseminação do conhecimento, para formar profissionais empreendedores que promovam a transformação e o desenvolvimento social, econômico e cultural da comunidade em que está inserida. Missão da Faculdade Católica Paulista Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo. www.uca.edu.br Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos. Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF. ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ SUMÁRIO AULA 01 AULA 02 AULA 03 AULA 04 AULA 05 AULA 06 AULA 07 AULA 08 AULA 09 AULA 10 AULA 11 AULA 12 AULA 13 AULA 14 AULA 15 AULA 16 PRÉ-REQUISITOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS ESTÁTICA PARA PARTÍCULAS ESTUDO DE CASO DETALHADO MOMENTO VINCULAÇÕES REAÇÕES NAS VINCULAÇÕES EXERCÍCIOS DE REAÇÕES TRELIÇAS VIGAS ISOSTÁTICAS PÓRTICOS ISOSTÁTICOS TENSÃO X DEFORMAÇÃO FLAMBAGEM FLEXÃO DE VIGAS I FLEXÃO DE VIGAS II TORÇÃO EM EIXO CIRCULAR 05 12 17 24 31 37 44 50 58 66 75 86 94 102 108 114 ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 4 INTRODUÇÃO Olá alunos, neste curso será apresentado a vocês os conceitos básicos de estática e mecânica dos sólidos. Vamos começar relembrando algumas questões básicas da matemática e da física e logo em seguida começaremos de fato o curso. Este livro foi escrito por mim com o intuito de tornar fácil a compreensão dos temas a respeito da resistência dos materiais. Para isto acontecer de forma satisfatória conto com sua ajuda. Cada aula usará os conceitos da aula anterior e, portanto, o faça um bom acompanhamento. Eu considero que cada aula dada te dará a capacidade de ler textos mais complexos a respeito do tema e por causa disso deixarei no final de cada aula uma indicação de leitura para aprofundamento. O domínio de algo se conquista assim, com muito esforço. O roteiro que indico de estudo a você é: assista ao vídeo, leia o texto da aula, refaça os exercícios e finalmente faça a leitura de outra fonte a respeito do tema (pode ser a indicada por mim ou outra). No final do curso terá entendido como funcionam as vigas, as treliças os pórticos e o que acontece internamente nesses elementos estruturais, portanto faça bom proveito de tudo! ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 5 AULA 1 PRÉ-REQUISITOS 1.1 Como estudar? Olá aluno(a), iremos começar aqui a nossa compreensão a respeito dos temas ligados a estática e a resistência dos materiais. Já digo a vocês de cara que esta não é uma disciplina difícil se você seguir algumas instruções. A primeira delas é: leia com muita calma o capítulo e use sua imaginação à medida que formos desenvolvendo as aulas. Como assim, professor? Nesta disciplina trabalharemos com situações reais e, portanto, exercite a sua capacidade de imaginar as ações ocorrendo na sua frente. Se você seguir a primeira, perceberá que não irá precisar decorar muita coisa, pois muitas das fórmulas utilizadas aqui são conceituais. A segunda dica é: faça tudo! Portanto, leia este texto, assista o vídeo e refaça os exercícios. Com isso garanto que conseguirá absorver os conteúdos de forma simples e intuitiva. A terceira dica é: não se limite ao que está apresentado aqui, se gosta desta disciplina procure mais! Professor, procurar mais aonde? Em qualquer livro de resistência dos materiais e estática. Sim, a didática em cada um deles muda, porém todos chegam às mesmas conclusões. Nesta disciplina não existe polêmica, pois ela é uma disciplina básica. Então, fique a vontade para procurar por qualquer fonte séria, como em livros e artigos científicos. Assim como no google existe o google maps, lá também existe o google acadêmico (google scholar). Vou deixar aqui para vocês uma listas de livros que eu particularmente gosto, mas se quiserem buscar outros fique a vontade. Muito do que escrevi aqui neste livro inteiro foi adaptado por mim das fontes abaixo. - ESTÁTICA MECÂNICA PARA ENGENHARIA - HIBBELER, R.C - MECÂNICA PARA ENGENHARIA ESTÁTICA - MERIAN,J.L e KRAIGE,L.G - CURSO DE ANÁLISE ESTRUTURAL - JOSÉ CARLOS SUSSEKIND - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - BEER, F.P e JOHNSTON JR, E.R - MECÂNICA TÉCNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - MELCONIAN, S. - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - HIBBELER, R.C ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 6 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - WILLIAM, A. e MERLE, C. - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - ALOISIO ERNESTO ASSAN 1.2 Trigonometria básica A primeira coisa que convém nós falarmos neste curso é a respeito do círculo trigonométrico. Este tópico será utilizado durante todas as aulas a seguir, portanto, prestem muita atenção. O círculo trigonométrico nada mais é que uma representação gráfica na qual podemos estabelecer algumas relações importantes nas figuras formadas. Vejamos a Figura 1. Nela temos uma circunferência com alguns ângulos marcados sobre ela. A primeira conclusão a partir da Figura 1 é que uma circunferência pode ser dividida em 360 partes iguais chamadas de graus e que uma volta completa na circunferência equivale a 360°. A segunda conclusão é que podemos construir um triângulo a partir de uma medida qualquer em graus e o raio da circunferência. (Aqui pegue uma folha e desenhe outros triângulos formados pelo raio da circunferência em relação à linha horizontal da própria circunferência). Figura 1 - Representação do círculo trigonométrico Fonte: do próprio autor Assim como é mostrado na Figura 1 podemos retirar este triângulo da circunferência e dar alguns nomes aos seus lados em relação ao ângulo. Os nomes são hipotenusa (raio ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 7 da circunferência), cateto oposto (lado oposto ao ângulo) e cateto adjacente (lado rente ao ângulo). Existem algumas relações básicas que podemos fazer com os lados deste triângulo e de outros triângulos formados com a mesma angulação. Algumas dessas relações você já até conhece o nome, seno, cosseno e tangente. Existem mais, porém com essas já conseguiremos resolver tudo que será apresentado neste livro. As relações básicas estão listadas abaixo. Na Figura 2 podemos perceber porque as relações não mudam em triângulos que possuem o mesmo ângulo. Vejam que temos duas circunferências com o mesmo centro A. Os dois triângulos ABC e ADE mantêm a mesma proporção mesmo tendo tamanhos diferentes, por causa disso possuem o mesmo valor de seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo de 30° Figura 2 - Relações trigonométricas em triângulos com medidas diferentes Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 8 Podemos ir além e pensar em representações gráficas do valor do seno, cosseno e tangente usando a própria circunferência. Na Figura 3, vemos a representação proporcional do seno, cosseno e tangente pensando em circunferências com tamanhos diferentes. Figura 3 - Representação gráfica do seno, cosseno e tangente em diferentes circunferências Fonte: do próprio autor Isto acontece na prática Vamos fazer um teste? Pegue uma calculadora, certifique-se que ela esteja em graus e digite “sen(30°)”. A resposta que você obterá será 0,5. Porque sen(30°) sempre representará a metade do raio da circunferência independentemente do tamanho dela, reveja a Figura 3. Isto está na rede Encontrará mais informaçõesem sites do próprio governo como o exemplo mostrado no link a seguir. https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_ materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153 Também encontrará mais do assunto no link abaixo. https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153 https://www.e-scola.edu.gov.cv/index.php?option=com_rea&id_disciplina=1&id_materia=22&id_capitulo=119&Itemid=153 ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 9 https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/ Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20 M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt 1.3 Praticando os conceitos Vamos resolver alguns problemas básicos que serão fundamentais para a solução dos problemas apresentados nas próximas aulas. 1) Dado os triângulos da Figura 4 encontre todos os valores não informados na própria figura. Figura 4 - Encontre os valores de x, y, w, z, K, M Fonte: do próprio autor Resposta: Para resolver este problema basta usarmos tudo o que vimos. Vamos encontrar primeiro W e Z por meio da relação de seno. É claro que neste caso você até saiba o seno de 30° de cabeça porém outros problemas surgirão (com ângulos dos mais diversos) e, portanto, vamos resolver eles com o auxílio da https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt https://www1.educacao.pe.gov.br/cpar/ProfessorAutor/Matem%C3%A1tica/Matem%C3%A1tica%20%20I%20%202%C2%BA%20ano%20%20I%20%20M%C3%A9dio/Trigonometria%20do%20ciclo%20trigonom%C3%A9trica.ppt ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 10 calculadora. Certifique-se se que sua calculadora esteja em graus e calcule o seno de 30° que vale 0,5. As expressões, portanto, ficarão da seguinte forma. Para o cosseno podemos resolver da mesma maneira. Para conferir basta aplicar o teorema de pitágoras. 1²=0,5²+0,8660² e 5²=4,3301²+2,5² Percebam que as respostas convergem dependendo da precisão que fazemos as contas. Use no teste acima o cos(30°) =0,866025403 na sua calculadora e verá. Para encontrarmos K e M é mais fácil rotacionarmos mentalmente os triângulos apresentados, conforme a Figura 5. Assim, saberemos de cara o que é cateto oposto e adjacente. Seguindo as fórmulas ficamos então com as seguintes expressões. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 11 Para fazer as contas acima na calculadora utilize as funções arco que são representadas normalmente como sin-1, cos-1 e tan-1. Perceberá que todas as respostas para K e M tendem a 60 graus(60°). Figura 5 - Maneira mais fácil de pensarmos Fonte: do próprio autor Anote isso Lembre-se que a soma dos ângulos internos dos triângulos deve dar 180° ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 12 AULA 2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS Nesta aula iremos dar início de fato aos fundamentos da estática. Lembrando que quase toda aula usa os conteúdos das aulas anteriores. Alguns conceitos são necessários para conduzirmos o curso. Os que forem apresentados logo abaixo serão introduzidos quando necessário. - Espaço é uma região ocupada por corpos na qual podemos fazer a localização desta região por meio de referências chamadas de coordenadas. As coordenada mais comum utilizada é a cartesiana onde adotamos normalmente os eixos x,y e z no espaço. - Comprimento é utilizado para fazer a localização de um ponto no espaço para descrever o tamanho de um sistema físico, suas características geométricas e também para medir distâncias. Para isto acontecer o comprimento vem acompanhado de uma unidade de medida que são representações de grandezas físicas. No caso de comprimento as unidades podem ser: metro, centímetro, quilômetro, polegadas… - Partícula ou Ponto material é um corpo que ocupa um determinado espaço, porém ele possui dimensões desprezíveis em relação ao sistema analisado. Um exemplo exagerado e fácil disto pode ser um carro em uma pista que possui 200 km. As medidas do carro muitas vezes são desconsideradas nesta situação, visto que seu tamanho é muito menor que o da via. Portanto, o carro será entendido nesta situação como um ponto e suas propriedades estarão concentradas no mesmo. - Corpo extenso é o contrário de partícula. Nesta situação consideramos o corpo com todas as suas dimensões e não por meio de um ponto em um espaço. Um exemplo exagerado e simples um carro fazendo a manobras em uma vaga de um estacionamento. Neste caso considerar o carro como um ponto poderia atrapalhar no dimensionamento do espaço necessário em uma vaga de estacionamento. 2.1 Grandezas escalares e vetoriais As grandezas escalares são aquelas que podem ser bem definidas apenas com sua intensidade. Podemos dar alguns exemplos aqui: ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 13 - Tempo é uma grandeza escalar, pois apenas precisamos de seu valor para termos o entendimento completo da situação. Se eu falar meia hora, quinze segundos, quarenta minutos, não é preciso passar mais nenhuma informação para o entendimento do tempo. - Volume é uma grandeza escalar, pois apenas precisamos saber a respeito do espaço ocupado de um determinado recipiente ou objeto. Falamos um litro, um metro cúbico, dez mililitros, 1 centímetro cúbico, e também entendemos a mensagem por completo. - Massa pode ser entendida como a quantidade de matéria de um corpo e basta falarmos dez quilogramas, trezentos gramas, duas toneladas e todo o entendimento se fez. É claro que existem outras grandezas escalares, mas acredito que entendeu a ideia geral, agora basta você imaginar todas as grandezas que você conhece e tentar classificá-las em escalares ou não. Agora iremos falar das grandezas vetoriais. Estas não conseguimos definir e ter seu entendimento apenas com sua intensidade, precisamos também de sua direção e sentido. As duas últimas informações são dadas pelo que chamamos de vetor. Portanto, o vetor passará a informação de forma completa para nós. Antes de descrevermos o vetor vamos aos dois exemplos que mais vamos usar no curso. - Força é uma grandeza vetorial, pois se apenas falarmos “ele fez uma força equivalente a 30 quilos” uma das primeiras coisas que poderá surgir em sua cabeça é “Para onde ele fez essa força?”. Resumindo, queremos saber em qual direção e sentido a força foi aplicada. Foi na direção horizontal, vertical, inclinada, com qual inclinação. A outra informação será o sentido. Horizontal para a esquerda, para a direita. Vertical para cima, para baixo. Sem estas informações não dá para continuarmos a resolver um determinado problema. - MOMENTO é uma grandeza vetorial que nos passa a informação de uma tendência ao giro ocasionado por uma força. Isto quer dizer que nem sempre uma força apenas tende a fazer um corpo ir para frente ou para trás, mas pode fazer o mesmo a girar em torno de um eixo. Este giro também necessita de orientação, girou em que sentido, horário ou anti- horário e em que direção em relação ao corpo. O melhor exemplo para explicar é uma porta convencional. Quando você abre uma porta é necessário fazer força, porém a força que você faz resulta em um giro na porta para ela abrir ou fechar. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 14 2.2 Unidades As unidades servem para estabelecermos quantidades. Existem quatro quantidades fundamentais. - Comprimento - Tempo- Massa - Força As unidades das grandezas acima são consideradas básicas porque as outras unidades são todas derivadas das unidades acima. Por exemplo: a velocidade é uma relação de comprimento por tempo. Você corre um determinado comprimento em um determinado tempo. É claro que as unidades devem ser padronizadas porque se não cada um iria medir de um jeito as informações e nunca chegaríamos a nenhum lugar em termos de ciência. Por causa disso se estabeleceu o Sistema Internacional de Unidades (SI). Na Tabela 1 encontramos as representações das unidades. Tabela 1 - Unidades Grandeza Símbolo Dimensional UNIDADE (SI) Símbolo Massa M quilograma kg Comprimento L metro m Tempo T segundo s Força F newton N Fonte: do próprio autor Das unidades fundamentais apresentadas acima, três são conhecidas como base de unidade. Elas são: massa, comprimento e tempo. A unidade de força Newton vem como consequência das três em uma das relações mais famosas da física. F=ma A força resultante é igual à massa vezes a aceleração. Isto quer dizer que o conjunto das forças atuantes em uma partícula pode ser substituído por uma força equivalente cuja ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 15 grandeza vem da multiplicação da massa pela aceleração. Em termos de unidades teremos a relação abaixo. N=kg.m/s² Assim ,1 Newton é a força necessária para acelerar de 1m/s² uma massa de 1kg. Outra informação importante é o que chamamos de peso de um corpo. Um objeto caindo apenas com a ação da gravidade possui uma massa m e a sua aceleração é igual à aceleração da gravidade. Se chamarmos de W de peso e a aceleração da gravidade de g, ficaremos com a expressão abaixo. W(N)=m(kg) x g(m/s²) Ainda sim as unidades vêm da base de unidades. 2.3 Trabalhando com as unidades É possível trabalharmos com variações das unidades. A primeira coisa que devemos saber é a respeito dos prefixos para as unidades que estão apresentados na Tabela 2. Tabela 2 - Prefixos para as unidades Forma exponencial Prefixo Símbolo SI Múltiplos ------------------------ ----------------------- ------------------ ------ 1 000 000 000 109 giga G 1 000 000 106 mega M 1 000 103 quilo k Submúltiplos ------------------------- ----------------------- ------------------ ------ 0,001 10-3 mili m 0,000001 10-6 micro µ 0,000000001 10-9 nano n Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 16 Com o auxílio da Tabela 2 podemos estabelecer algumas relações básicas. 1kg=1000g=1 000 000 mg =1 000 000 000 µg Então, está fácil. Teoricamente você pode chegar num açougue e pedir 1 kg(quilograma) de carne ou 1000 g(gramas) ou 1 000 000 mg(miligramas) ou 1 000 000 000 µg(microgramas) que a quantidade de carne será a mesma. É claro que você não fará isso. É comum usar o kg nesta situação. É possível fazer o contrário. 1µg = 0,001 mg = 0,000001g = 0,000000001kg Também é válido para unidades de força. 1 kN = 1000 N = 1 000 000 mN =1 000 000 000 µN Além de trabalhar com os prefixos é possível fazer transformações nas unidades. Mas isto será abordado sempre que necessário. Isto está na rede Você encontrará o resumo do Sistema Internacional de Unidades no link abaixo que é do próprio governo. http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia e a do MERIAM, J. L.; KAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: Estática. Leia os primeiros capítulos dos dois livros. http://www.inmetro.gov.br/consumidor/pdf/Resumo_SI.pdf ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 17 AULA 3 ESTÁTICA PARA PARTÍCULAS Nesta aula iremos utilizar tudo o que foi aprendido na aula 1 e 2, além de acrescentarmos alguns conceitos novos. A primeira coisa nova que devemos saber está relacionada com o conceito de estática. Então, o que é estática? Se você olhar em qualquer dicionário encontrará algo do tipo “Ramo da mecânica que investiga as propriedades de corpos que se encontram em equilíbrio quando sob a ação de forças ou torques (momentos)”. A tradução mais simples para isto é o estudo de corpos em equilíbrio estático, ou seja, parados. O que iremos trabalhar nesta aula é o conceito necessário para que uma partícula esteja parada, em uma reta e no plano. 3.1 Estática em uma dimensão Em uma dimensão só temos a possibilidade de uma partícula se mover sobre o eixo da dimensão. Vamos olhar a Figura 1, nela temos três situações para uma partícula representada pela bolinha preta. Em todas as situações a partícula só poderá se mover sobre a linha e por isso esta situação é chamada de uma dimensão. A partícula A só poderá ir para frente e para trás, a partícula B só poderá ir para cima e para baixo e a partícula C só poderá se mover sobre a linha na diagonal tanto para cima quanto baixo. Figura 6 - Partículas e a dimensão onde elas podem se mover. Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 18 Agora vamos aplicar o conceito de estática na situação A. Na Figura 7 temos uma partícula sob a ação de uma força de 10N para a direita. Supondo que ela só poderá ir para a direita e para a esquerda. Para que ela fique parada o que deve acontecer? A resposta é simples para que ela fique parada deve existir uma força para a esquerda de 10N. Figura 7 - Exemplo de aplicação A Fonte: do próprio autor Na Figura 8 temos as duas situações, a primeira em movimento e a segunda sem movimento. Anote isso Não estamos considerando aqui a situação de movimento retilíneo uniforme!!! A situação aqui pode ser imaginada como uma pessoa puxando a bola para direita e outra puxando a mesmo bola para a esquerda. Figura 8 - Situações ocasionadas pelas forças Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 19 É claro que fizemos isso sem nenhuma conta porque esta situação é muito simples. Mas vamos aprender a fazer do jeito formal passo a passo. O primeiro passo é estabelecer um eixo de referência. Depois representamos a situação com uma força genérica chamada de Fx com sentido contrário e por fim achamos a resposta. O passo a passo está visível na Figura 9. Figura 9 - Passo a passo gráfico para a solução do problema Fonte: do próprio autor Além da questão gráfica vamos fazer o equacionamento formal. Para que o corpo fique parado a somatória de todas as forças sobre o Eixo x representado na Figura 9 deve ser igual a zero. Somatório das forças horizontais=0 ∑FH=0 FH significa forças horizontais, poderia ser qualquer outro nome, desde que o significado do problema mantenha-se. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 20 +10N - Fx=0 Fx está negativo porque ele está no sentido contrário do eixo Fx=10N Já desenvolvemos a nossa primeira equação da estática. A somatória das forças em um determinado eixo deve ser igual a zero para que o corpo não ande sobre o eixo. 3.2 Estática em duas dimensões Agora que já pegou o jeito vamos para duas dimensões. A Figura 10 representa uma partícula que pode se mover para qualquer região do plano infinito representado tanto em perspectiva quanto numa visão frontal. Figura 10 - Representação da mesma situação vista em ângulos diferentes Fonte: do próprio autor Vamos ao exemplo mostrado na Figura 11. Quanto vale Fx e Fy para que a partícula fique parada de acordo com os eixos x e y ? ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 21 Figura 11 - Esquema de movimentação em um plano Fonte: do próprio autor Por analogia para o corpo ficar parado a somatória de todas as forças em x deveser igual a zero e a somatória de todas as forças em y também devem ser igual a zero. O problema é que temos uma força inclinada com um ângulo de 30°. Você deve entender que existe um sistema equivalente para essa força inclinada. Uma pessoa puxando essa partícula com um ângulo de 30° em relação ao eixo x é a mesma coisa que duas pessoas puxando a mesma partícula ao mesmo tempo em x e em y de tal forma a gerar a mesma força inclinada de 15N inclinada. O que eu quis dizer está representado na Figura 12. A somatória vetorial de FV com FH gera o mesmo efeito que a força de 15N. A imagem à esquerda equivale à imagem a direita na Figura 12. Anote isso A soma vetorial pode ser feita de forma gráfica desde que os vetores estejam em escala. Imagem a esquerda na Figura 12. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 22 Figura 12 - Sistema equivalente de forças Fonte: do próprio autor Para encontrar FV e FH (os nomes foram escolhidos por mim, poderiam ter qualquer outro nome) vamos usar os conceitos da Aula 1). Portanto, o esquema ficará da forma apresentada na Figura 13. Figura 13 - Sistema equivalente total das forças Fonte: elaborado autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 23 Agora que encontramos o sistema equivalente da força de 15N inclinada, podemos dizer que para a partícula ficar parada a somatória das forças em x deve ser igual a zero e a somatória das forças em y deve ser igual a zero. - Fx+12,99N=0 e - Fy+7,5N=0 Fx=12,99N e Fy=7,5N Achamos então as respostas para que a nossa partícula fique parada. E, portanto, o resumo gráfico de tudo ficará conforme a Figura 14. Se três pessoas puxarem a partícula com as mesmas forças, direções e sentidos mostrados na Figura 14 a partícula não se moverá. Figura 14 - Esquema final do problema Fonte: do próprio autor Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de uma partícula e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 24 AULA 4 ESTUDO DE CASO DETALHADO Vimos na aula anterior que uma partícula estará parada quando todas as somatórias de forças sobre ela forem iguais a zero. É claro que é mais fácil fazer isso se adotarmos eixos cartesianos x e y na partícula para termos referências positivas e negativas tanto em x quanto em y. A questão agora é como aplicar este conceito em problemas físicos reais. Para isso temos que desenvolver aqui o conceito de diagrama de corpo livre. Muitas vezes temos um sistema grande e trabalhar com ele de uma vez só é difícil. Por causa disso podemos separar o sistema que é grande em partes menores. Se todo o sistema estiver parado (estático), todas as suas partes estão paradas também. A conclusão é que podemos aplicar as equações básicas da estática separadamente. A dica para fazer essa separação em partes mais simples é imaginar a partícula isolada e logo depois colocar todas as forças que atuam sobre ela com suas respectivas direções, sentidos e intensidades. Aqui você deve lembrar da terceira lei de Newton. Para cada ação existe uma reação com mesma intensidade e com sentido contrário. Na Figura 15 encontrará um exemplo de diagrama de corpo livre. Isto está na rede Neste link você encontrará mais sobre o tema a respeito da terceira lei de newton. https://brasilescola.uol.com.br/fisica/terceira-lei-newton.htm https://brasilescola.uol.com.br/fisica/terceira-lei-newton.htm ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 25 Figura 15 - Exemplo de como fazer o diagrama de corpo livre para um objeto em um sistema Fonte: do próprio autor 4.1 Exercícios No exercício vamos encontrar as forças nos cabos BA e BC da Figura 16, sendo que o objeto pendurado possui massa de 60kg. Figura 16 - Primeiro estudo de caso Fonte: Hibbeler (2011) Para fazermos o exercício temos que primeiramente trabalhar com o diagrama de corpo livre do objeto pendurado (ponto D). O diagrama de corpo livre será dado pela Figura 17. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 26 Figura 17 - Diagrama de corpo livre para o objeto Fonte: do próprio autor A força peso de um objeto é dado pelo produto da massa pela aceleração da gravidade que vale 9,81m/s². Portanto, ficaremos com a seguinte expressão. W=60kg x 9,81m/s² W=588,6N Agora podemos aplicar as fórmulas básicas da estática para partículas. A somatória das forças em x é igual a 0 e a somatória das forças em y é igual a zero. Como só temos forças em y ficaremos com a seguinte expressão. + Fdb-W=0 Fdb=W Fdb=588,6N Para acharmos as forças nos cabos pedidos precisaremos de outro diagrama de corpo livre, agora no ponto B (na argola). A Figura 18 é a representação deste diagrama. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 27 Figura 18 - Diagrama de corpo livre na argola Fonte: do próprio autor Agora basta acharmos um sistema de forças equivalentes em x e em y para as forças dos cabos BA e BC. Para a força Fbc ficamos com as expressões abaixo. Fbc x sen(45°) Fbc x cos(45°) Para a força Fba ficamos com as seguintes expressões. Olhe na Figura 16 para entender o valor 5. A Figura 19 representa o esquema final. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 28 Figura 19 - Esquema final de forças Fonte: do próprio autor Agora basta montarmos as equações da estática para a partícula. -Fba x 4/5+Fbc x cos(45°) = 0 Fbc x cos(45°) =Fba x 4/5 Fbc x cos(45°) x 5/4 =Fba As expressões acima representam a somatória das forças horizontais que deve ser zero. Foi isolado o Fba. Abaixo temos a somatória das forças verticais que também deve ser igual a zero. Fba x 3/5+Fbc x sen(45°)-588,6 = 0 Substituindo a expressão de Fba na formulação acima ficaremos com a seguinte sentença. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 29 Acima achamos a força exercida no cabo BC, pois a força que o cabo exerce na argola é a mesma que a argola exerce no cabo (terceira lei de Newton). Para acharmos a força no outro cabo vamos usar a equação abaixo. Portanto, a força no cabo BA vale 420,44N (0,42kN) e a força no cabo BC vale 475,67N (0,48kN). Os valores podem variar um pouco devido aos arredondamentos e as considerações geométricas do problema. Por fim vou representar na Figura 20 todas as ações e reações do problema apresentado. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 30 Figura 20 - Detalhamento de todas as ações e reações com os valores Fonte: do próprio autor Professor, o que eu devo fazer agora? Agora você poderá abrir qualquer livro de estática na parte que explica sobre o equilíbrio de partículas e buscar mais problemas. Não existe uma fórmula por problema, as únicas fórmulas são as somatórias de forças na horizontal e na vertical que devem ser iguais a zero. Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de uma partícula e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 31 AULA 5 MOMENTO Até agora trabalhamos com partículas em equilíbrio e vimos que é possível pegar um sistema físico relativamente grande e discretizar ele em várias partículas, isso é claro se o sistema permitir (não há regras, apenas análise e experiência). Na aula anterior usamos um exemplo em equilíbrio estático, se todoele está parado as suas pequenas partes também estão e a consequência disso é que podemos aplicar o conceito relativo à somatória das forças sobre o corpo. Se está parado a somatória em x, y e z devem ser zero. Porém, não é todo problema que dá para resolver aplicando o conceito acima. Isto ficará nítido a partir de nossas reflexões abaixo, utilizando como exemplo a Figura 21. Figura 21 - Uma gangorra Fonte: do próprio autor Na Figura 21 percebemos intuitivamente que a gangorra pode girar. Tanto no sentido horário, quanto no sentido anti-horário. Aqui já podemos estabelecer um novo critério para mantermos um corpo parado, o corpo em muitas situações não poderá apresentar giro. É claro que não podemos generalizar todas as situações, pois na aula anterior resolvemos um problema só impedindo movimentações na horizontal e na vertical. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 32 Agora que já discutimos um pouco sobre o fenômeno do giro, temos que formalizar este conhecimento. A grande questão é “Como estabeleceremos uma grandeza física capaz de dar conta numericamente das rotações?” Olhando mais uma vez a Figura 21 podemos fazer a nossa primeira pergunta. Você acha que a massa da pessoa a direita é maior ou menor que a massa da pessoa a esquerda? Se respondeu menor, acertou. Para chegar a este raciocínio temos que pensar onde está o eixo da gangorra. O eixo está a 4m de distância da pessoa a direita, quanto maior a distância do eixo mais fácil fica de girar o objeto. Faça um teste agora! Vá até a porta do seu quarto e tente rotacionar ela fazendo força próximo ao eixo e depois longe do eixo de rotação conforme as marcações em x realizadas na Figura 22. Figura 22 - Representação de uma porta convencional com o eixo indicado e duas posições marcadas em x Fonte: do próprio autor Você perceberá que é muito difícil rotacionar a porta perto do eixo e é justamente por isso que a maçaneta da porta fica afastada do eixo. O nome que damos ao efeito que tende a girar um determinado objeto é torque ou momento. Aqui usaremos momento. O valor do momento será proporcional à distância que a força estiver do eixo. A força considerada deverá estar sempre perpendicular à linha de ação em relação ao eixo. A fórmula, portanto, do momento será dada pela expressão abaixo. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 33 Momento= força x distância até o eixo adotado M= F x d 5.1 Resolvendo o problema da gangorra Para resolver o problema da gangorra o primeiro passo é fazer o diagrama de corpo livre da própria gangorra conforme a Figura 23. Figura 23 - Diagrama de corpo livre da gangorra Fonte: do próprio autor Na Figura 23 adotamos para simplificar o peso das pessoas nas regiões mais extremas da gangorra. Também marcamos cada região com uma letra (A,B e C). Vamos chamar a força atuante em cada uma das regiões de Fa, Fb e Fc. Percebam que não é possível resolver o problema apenas fazendo a somatória vertical das forças e igualando a zero. A expressão ficará da maneira abaixo. ∑forças verticais= 0 Adotando positivo para cima ficaremos que a seguinte conta. -Fa + Fb-Fc =0 Fa=80 (kg) x 9,81 (m/s²) Fa=784,8 (N) ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 34 Substituindo. -784,8 (N) + Fb-Fc =0 Percebam que não temos como resolver o problema acima. Vamos então usar o conceito de momento. A primeira coisa que você deve fazer é estabelecer um eixo. Neste caso vamos adotar o mesmo eixo da gangorra, ou seja, região B. A segunda coisa que você deve fazer é adotar um sentido ao giro. Vamos adotar como positivo qualquer giro no sentido horário em relação ao ponto “B”. Na Figura 24 temos a representação dos giros relativos ao ponto “B”. A força em “A” tende fazer a gangorra girar no sentido anti-horário em relação ao ponto “B” e a força em “C” tende fazer a gangorra girar no sentido horário em relação ao ponto “B”. Figura 24 - Representação dos giros relativos Fonte: do próprio autor Para equacionar o problema a somatória de todas as tendências de giro (momento) devem ser iguais a zero. Vamos adotar qualquer giro no sentido horário como positivo e qualquer giro no sentido anti-horário como negativo em relação ao ponto “B”. As equações estão logo abaixo. ∑momentos em relação a “B”= 0 -784,8 (N) x 2 (m) + Fc x 4 (m) =0 + Fc x 4 (m) =1569,6 (N.m) ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 35 Fc =392,4 (N) Por que a força Fb não entrou no problema? Simples, porque ela está sobre o próprio eixo e não gera giro na estrutura. Forças que não tendem a girar a estrutura em relação ao eixo adotado não entram na somatória de momentos. Quanto vale a massa no ponto “C” ? M =40kg Qual a força vertical que o eixo exerce sobre a gangorra? Para encontrarmos este valor vamos recorrer a uma equação que já foi dada. -Fa + Fb-Fc =0 -784,8 (N) + Fb-392,4 (N) =0 Fb=1177,2 (N) O esquema final do problema está dado na Figura 25. Com as posições e intensidade dos vetores apresentados a gangorra não anda nem para cima e nem para baixo, não anda para a esquerda e nem para a direita e também não gira no sentido horário e nem no sentido anti-horário. Figura 25 - Esquema final com todos os valores representados Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 36 Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um corpo rígido e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 37 AULA 6 VINCULAÇÕES Nesta aula iremos entrar em conceitos bem específicos da estática e resistência dos materiais. Mas antes vamos refletir um pouco sobre as possíveis movimentações de um corpo em um espaço tridimensional. Para isto utilizaremos a Figura 26. Nela está representado todos os possíveis movimentos do objeto em destaque. Figura 26 - Representação dos possíveis movimentos de um objeto qualquer no espaço Fonte: do próprio autor Vamos à análise da Figura acima. O nosso objeto pode andar para frente e para trás sobre o eixo x, pode andar para frente e para trás sobre o eixo y, pode andar para cima e para baixo sobre o eixo z, pode girar em torno do eixo x, pode girar em torno do eixo y e pode girar em torno do eixo z. No total são 6 movimentos possíveis. Portanto, conseguimos gerar 6 equações da estática para resolver o problema em questão. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 38 ∑x =0 ( Somatória dos esforços em X é igual a zero) ∑y =0 ( Somatória dos esforços em Y é igual a zero) ∑z =0 ( Somatória dos esforços em Z é igual a zero) ∑Mx =0(Somatória dos momentos em X é igual a zero) ∑My =0(Somatória dos momentos em Y é igual a zero) ∑Mz =0(Somatória dos momentos em Y é igual a zero) Quando resolvemos os exercícios das aulas anteriores nós não usamos todas as 6 equações, pois supomos que não existia nenhuma influência das equações que se apresentam fora do plano do desenho. Quer fazer um teste? Volte em qualquer exercício das aulas anteriores e faça alguma somatória que não fizemos, você irá perceber que 0 é igual a 0, ou seja, não tem nada para somar nas outras dimensões. Anote isso As estruturas que conseguimos resolver apenas com as somatórias apresentadas são chamadas de estruturas isostáticas. Quando não conseguimos resolver apenas com as equações já mencionadas são chamadas de estruturas hiperestáticas. Este tópico será melhor desenvolvido nas próximas aulas. Por fim podemos introduzir um novo conceito a partir das movimentações possíveis para um objeto. Cada umadessas possíveis movimentações são chamadas de grau de liberdade. Se o corpo for livre para fazer os seis movimentos apresentados dizemos que ele possui seis graus de liberdade. Se ele for livre para fazer apenas três movimentos, dizemos que ele possui três graus de liberdade. E por fim chamamos de vinculações aquilo que restringe movimentos da estrutura, podendo restringir de 1 até 6 movimentos. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 39 6.1 Tipos comuns de vinculações Existem alguns tipos comuns de estruturas como vigas, pórticos e treliças. Na Figura 27 temos a representação de vigas de pontes. Figura 27 - Vigas de ponte em concreto Fonte: https://www.noticiasinfoco.com.br/artigo/ponte-de-ibiraquera-recebe-vigas-pre-moldadas Na Figura 28 temos a representação de pórticos (estruturas com pilares e vigas) metálicos. Figura 28 - Pórticos metálicos Fonte: https://www.structuraco.com/wp-content/uploads/2019/09/estruturas-met%C3%A1licas-em-ouro-preto-1-777x518.jpg https://www.noticiasinfoco.com.br/artigo/ponte-de-ibiraquera-recebe-vigas-pre-moldadas https://www.structuraco.com/wp-content/uploads/2019/09/estruturas-met%C3%A1licas-em-ouro-preto-1-777x518.jpg ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 40 Na Figura 29 temos a representação de treliças de cobertura em madeira. Figura 29 - Treliças de cobertura Fonte: https://www.guiadaengenharia.com/wp-content/uploads/2019/01/tesoura-madeira.jpg Por mais que as Figuras acima representam estruturas diferentes, elas possuem algum tipo de vinculação que as mantêm fixadas sem apresentar movimentos. O projetista destas estruturas pensa em todos os detalhes das vinculações que as sustentam. Abaixo será apresentado o símbolo e a explicação para cada uma das vinculações mais clássicas. - Apoio móvel é o tipo de vinculação utilizada quando desejamos deixar um movimento de translação livre, ou seja, deixar a estrutura mover-se ou em x, ou em y ou em z. Neste tipo de ligação não há impedimentos em relação ao giro da estrutura, ou seja, a estrutura pode girar. Na Figura 30 temos a representação do apoio móvel deixando livre os giros e a movimentação sobre o eixo x. Figura 30 - Símbolo do apoio móvel Fonte: do próprio autor https://www.guiadaengenharia.com/wp-content/uploads/2019/01/tesoura-madeira.jpg ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 41 - Apoio fixo é o tipo de vinculação utilizada quando desejamos impedir todas as translações, ou seja, a estrutura não conseguirá realizar nenhum movimento de translação sobre o eixo x, y ou z. Neste caso a estrutura ainda conseguirá apresentar giros em torno de x, y e z. Na Figura 31 temos a representação do apoio fixo. Figura 31 - Representação do apoio fixo Fonte: do próprio autor - Engaste é o tipo de vinculação que utilizamos quando queremos impedir todos os possíveis movimentos da estrutura, ou seja, impedir a movimentação nos seis graus de liberdade mencionados. Neste caso a estrutura não poderá exercer movimentos de translação e nem de rotação. A Figura 32 é a representação desta vinculação. Figura 32 - Representação do engaste Fonte: do próprio autor Portanto, as vinculações são escolhidas pelo projetista da forma mais adequada para cada situação. Na Figura 33 temos possíveis representações de vigas com os símbolos apresentados. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 42 Figura 33 - Quatro vigas com vinculações diferentes Fonte: do próprio autor Na Figura 34 temos estruturas em pórticos. Figura 34 - Dois pórticos com vinculações diferentes Fonte: do próprio autor Na Figura 35 temos uma possível representação de treliça. Figura 35 - Treliça Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 43 Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um corpo rígido e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 44 AULA 7 REAÇÕES NAS VINCULAÇÕES Nesta aula daremos continuidade ao tema das vinculações. As vinculações como vocês já sabem servem para impedir a movimentação em determinados pontos da estrutura. Na Figura 34 temos a representação de uma viga com as ações (carregamentos) atuantes. Uma das primeiras coisas que você deve saber é a interpretação das vinculações. No ponto “A” temos um apoio fixo em um apoio fixo a translação está impedida e a rotação está livre. Isto quer dizer que se fizermos uma força à direita na viga a vinculação no ponto “A” exercerá uma reação à esquerda, a mesma coisa acontecerá na vertical. Porém, se fizermos uma força que tende girar a viga no ponto “A” este giro não será impedido. Anote isso As vinculações são representações gráficas que substituem o desenho, por exemplo, de parafusos, pregos, solda entre outras condições de travamento. Figura 34 - Viga apoiada nos dois extremos (viga biapoiada) Fonte: do próprio autor No ponto “E” temos um apoio móvel, ou seja, ele deixa a viga se movimentar para a direita e para a esquerda em “E” porém trava movimentos verticais e de giro. Sendo assim em E só existirão reações verticais. Basta esta análise mais simplória para conseguirmos substituir ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 45 as vinculações pelas reações que a mesma poderá exercer sobre a viga. Na Figura 35 temos a representação do mesma esquema, porém com as reações já desenhadas. Figura 35 - Esquema já substituído as reações Fonte: do próprio autor Em “A” temos duas forças, uma vertical chamada de “Va” e outra horizontal chamada de “Ha”. Elas surgem justamente pelo travamento do apoio fixo. Em “E” surge apenas uma força vertical “Ve” visto que todos os outros movimentos são permitidos. O que foi feito aqui deve ser feito em qualquer exercício deste assunto. Na Figura 36 temos outro exemplo de vinculação possível para a mesma viga. Neste caso só existe uma vinculação (engaste), porém ela sozinha é capaz de impedir todos os movimentos (translações e rotações). Portanto, fixando apenas um ponto da viga podemos mantê-la parada. Figura 36 - Viga engastada apenas em um extremo. (viga em balanço) Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 46 Neste caso o esquema das reações que vão surgir mudam, visto que em “E” não temos mais nenhum impedimento. Na Figura 37 estão representadas as novas situações de reações, uma força vertical “Va” uma força horizontal “Ha” e um momento “Ma”. Figura 37 - Reações em uma viga engastada Fonte: do próprio autor Anote isso É você que adota o sentido dos esforços das reações, o procedimento de cálculo ajustará o sentido deles se você errar neste chute inicial. Errar o sentido não é a mesma coisa que deixar de colocar alguma reação. O que discutimos até aqui é válido para qualquer estrutura, seja ela uma viga, um pórtico ou uma treliça. Antes de encerrarmos essa parte da aula vamos a um pergunta muito interessante. Por que podemos projetar a “estrutura 1” da Figura 38 e a “estrutura 2” não? Figura 38 - Exemplo de duas estruturas Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 47 O objetivo de projetar uma viga é mantê-la estática, ou seja, parada. Na estrutura 1 tudo está travado, inclusive a mais que o mínimo. Na estrutura 1 temos um engaste a esquerda que já dá conta de travar todos os movimentos possíveis da viga, porém além dele temos um apoio móvel que tambémdá mais vinculações a viga. Neste caso a estrutura é chamada de hiperestática. Na estrutura dois temos apenas uma vinculação de apoio móvel, porém mesmo se ela fosse apoio fixo ainda sim a estrutura iria apresentar movimentos. Como o objetivo é projetar algo que se mantém em equilíbrio estático e na estrutura 2 claramente há movimentações não poderemos realizar o projeto dela. Quando na estrutura faltar vinculações chamamos ela de hipostática. Na Figura 39 temos apenas mais um exemplo dos conceitos ensinados até aqui para uma treliça. Figura 39 - Treliça vinculada e com as reações de apoio Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 48 7.1 Cargas concentradas e distribuídas Até aqui já trabalhamos muito com cargas concentradas. São os próprios vetores com sua indicação de intensidade. Porém, não é sempre que conseguimos representar um fenômeno apenas com cargas concentradas. Existem fenômenos (muitos) que precisamos de uma representação melhor e é aí que entra a carga distribuída. Quer um exemplo? Imagine a situação da Figura 40. Figura 40 - Situação distribuída x situação concentrada Fonte: do póprio autor Temos dois objetos diferentes sobre a viga (representação a esquerda), os dois pesam 30kN. Porém, possuem tamanhos diferentes. À direita temos a melhor representação possível para as situações à esquerda. Como o primeiro objeto é grande simplificar ele em uma situação de força concentrada não faz sentido fisicamente. Por isso representamos graficamente como uma série de vetores conforme mostrado no esquema à direita. O objeto maior pesa 30kN, por isso na representação a direita ficamos com 10kN a cada metro (10kN/m). 30kN =3m x 10kN/m No segundo exemplo o objeto que está apoiado sobre a viga é relativamente pequeno em relação à própria viga, por isso podemos simplificar o esquema para apenas uma força concentrada. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 49 Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um corpo rígido e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 50 AULA 8 EXERCÍCIOS DE REAÇÕES 8.1 Exercício 1 Nesta aula iremos direto ao que interessa. Portanto, vamos resolver o problema indicado na Figura 41. Figura 41 - Exercício de reações de apoio número 1 Fonte: do próprio autor Temos que encontrar as reações e só temos três equações possíveis neste plano. ∑x =0 ( Somatória dos esforços em X é igual a zero) ∑y =0 ( Somatória dos esforços em Y é igual a zero) ∑M =0(Somatória dos momentos é igual a zero) ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 51 A única polêmica em relação às equações acima é aonde vamos adotar a somatória de momentos. A dica é escolha uma das vinculações e adote sentido horário como positivo. Resolvendo as equações acima teremos. ∑x =0 (adotando positivo para direita) Ha =0 ∑y =0 (adotando positivo para cima) Va -30+Vb =0 ∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A) 30x2-Vb x 3 =0 30x2=Vb x 3 =Vb 20kN=Vb Agora que encontramos Vb basta substituir na equação abaixo e fim. A resposta final está na Figura 42. Va -30+Vb =0 Va -30+20 =0 Va =10kN ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 52 Figura 42 - Resposta para o primeiro exercício Fonte: do próprio autor 8.2 Exercício 2 O segundo exercício está representado na Figura 43. Figura 43 - Segundo exercício Fonte: do próprio autor As equações são as mesmas, o que muda agora é que vamos aprender a trabalhar com carregamentos distribuídos sobre a viga. O primeiro passo é fazer uma equivalência teórica ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 53 entre o carregamento distribuído e uma força concentrada imaginária no centro de gravidade do carregamento. A Figura 44 apresenta esta equivalência. Figura 44 - Equivalência entre o carregamento distribuído e uma força concentrada Fonte: do próprio autor Na Figura 45 a força tracejada não existe! Ela está ali como uma força equivalente ao carregamento distribuído de 10kN/m. 30kN =3m x 10kN/m Com o esquema equivalente apresentado podemos seguir adiante. ∑x =0 (adotando positivo para direita) Ha =0 ∑y =0 (adotando positivo para cima) Va -30+Vb =0 ∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A) 30x1,5-Vb x 3 =0 30x1,5=Vb x 3 15kN=Vb ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54 Agora basta substituir “Vb” na seguinte equação. Va -30+Vb =0 Va =15kN A resposta final está representada na Figura 45. Percebam que a resposta muda do exercício 1 para o 2. No exercício 1 temos uma força concentrada mais próxima do apoio móvel à direita, por isso a reação à direita é maior. No exercício 2 o carregamento distribuído ocupa toda a viga por isso metade da força equivalente vai para cada apoio. Imagine você sobre a viga, sendo você um carregamento concentrado, quanto mais próximo de um apoio você estiver mais seu peso reagirá com este apoio. Se você estiver em cima do apoio, todo o seu peso vai para o apoio abaixo de você. Figura 45 - Resposta do exercício 2 Fonte: do próprio autor 8.3 Exercício 3 Vamos resolver o exercício da Figura 46. O primeiro passo é encontrar um sistema equivalente para o esquema apresentado. Então, vamos lá. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55 Figura 46 - Exercício 3 Fonte: do próprio autor sen(47°) x 10=y 7,313537 kN=y 7,32 kN=y (arredondamento feito a favor da segurança para a estrutura) cos(47°) x 10=x 6,8199kN=x 6,82kN=x A força equivalente ao carregamento distribuído apresentado na Figura 46 será dada pela expressão abaixo. 3 kN/m x 3m =Força equivalente 9 kN =Força equivalente Tudo o que fizemos está representado na Figura 47. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 56 Figura 47 - Sistemas equivalentes Fonte: do próprio autor Agora estamos preparados para aplicar as nossas fórmulas básicas. ∑x =0 (adotando positivo para direita) Ha + 6,82kN=0 Ha = -6,82kN Aqui o sinal ficou negativo, isto significa que a força “Ha” não está do jeito que representamos e sim no sentido contrário. Olhe a Figura 48 ! ∑y =0 (adotando positivo para cima) Va -7,32 -9 =0 Va=16,32kN ∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A) 7,32 x 2 + 9 x 5,5 +Ma =0 Ma = -64,14kN.m ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 57 Como o valor de Ma deu negativo significa que adotamos o sentido do giro de forma errônea no começo. Na Figura 48 temos a representação gráfica da resposta final. Figura 48 - Resumo de todas as etapas Fonte: do próprio autor Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao equilíbrio de um corpo rígido e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 58 AULA 9 TRELIÇAS Nós trabalhamos até aqui com o conceito de estática, como manipular os vetores, as cargas concentradas, as cargas distribuídas e as reações de apoio. Daqui para frente iremos trabalhar com o que acontece internamente na estrutura. Saber sobre os esforços internos é fundamental para fazer o projeto da estrutura. Com esta informação consegue-se saber quais as dimensões das barras que podemos utilizar. Este curso nãoé de projeto estrutural, mas ele dará condições para você entender o que se passa dentro de uma treliça, de uma viga, de um pilar e de um pórtico. Antes de resolvermos uma treliça do começo ao fim, vamos primeiramente estabelecer uma nova convenção de sinais. Há dois fenômenos novos que vou apresentar a vocês, tração e compressão. A tração é basicamente um esforço que tende a alongar um corpo e a compressão é o efeito contrário. Vamos olhar a Figura 49. Figura 49 - Tração x Compressão Fonte: do próprio autor Na Figura 49 temos o objeto sem nenhum esforço aplicado e depois duas situações uma com o esquema da tração (forças no sentido de alongar o corpo) e a outra com o esquema da compressão (forças no sentido de juntar as extremidades do objeto). A tração tem sinal ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 59 positivo e a compressão tem sinal negativo. Ajuda a decorar se você pensar que o sinal de mais é no sentido de aumentar e o de menos é no sentido de diminuir. Agora que já fizemos a definição de tração e compressão podemos encontrar tudo o que precisamos na nossa treliça. A treliça é um esquema estrutural cuja tendência é apenas de gerar em suas barras esses dois esforços apenas. Portanto, encontraremos todas as informações básicas necessárias para um projeto estrutural de uma treliça. Dê uma olhada nas Figuras 50, 51 e 52, todas são de exemplos de estruturas treliçadas. Figura 50 - Exemplo de treliça para coberturas Fonte: https://www.aecweb.com.br/prod/cls/anuncios/pes_42988/Estrutura-Metalica-Trelicada-1-gran.jpg Figura 51 - Exemplo de treliça tanto para pilares como para coberturas Fonte: https://imagens.mfrural.com.br/mfrural-produtos-us/126479-186695-1499558-estruturas-metalicas-pilar-trelica-tesoura-metalica-galpao-aviario.jpg https://www.aecweb.com.br/prod/cls/anuncios/pes_42988/Estrutura-Metalica-Trelicada-1-gran.jpg https://imagens.mfrural.com.br/mfrural-produtos-us/126479-186695-1499558-estruturas-metalicas-pilar-trelica-tesoura-metalica-galpao-aviario.jpg ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 60 Figura 52 - Ponte treliçada Fonte: https://www.engwhere.com.br/wp-content/uploads/2018/07/treli%C3%A7as-1-810x330@2x.jpg 9.1 Resolução completa de uma treliça isostática Este curso baseia-se em estruturas isostáticas, ou seja, aquelas que podemos resolver apenas com as equações mostradas até aqui. O roteiro que vou desenvolver aqui serve para qualquer treliça isostática, portanto, fique atento ao passo a passo. Na Figura 53 temos a treliça que vamos resolver e o esquema de suas reações de apoio. Portanto, o primeiro passo para a resolução é igual ao que já vínhamos fazendo. Coloque nome em alguns pontos para facilitar a organização. Figura 53 - Treliça e suas reações de apoio Fonte: do próprio autor https://www.engwhere.com.br/wp-content/uploads/2018/07/treli%C3%A7as-1-810x330@2x.jpg ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 61 Vamos aplicar agora as equações de somatória da aula anterior. ∑x =0 (adotando positivo para direita) Ha + Hb=0 ∑y =0 (adotando positivo para cima) +Va -10 =0 Va =10kN ∑M =0 (adotando giro horário positivo em relação ao ponto A) 10x2-Hb x 2 =0 10kN=Hb Substituindo Hb na equação abaixo. Ha + Hb=0 Ha + 10kN=0 Ha =- 10kN (O sinal negativo indica que devemos mudar o sentido do vetor Ha) Ficamos, portanto, com o esquema da Figura 54. Os valores ficaram todos iguais a 10kN porque a treliça é quadrada, mudando a geometria as reações mudam. Figura 54 - Valores das reações de apoio Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 62 Na treliça chamamos cada encontro de barras de nó. Portanto, a estrutura acima possui quatro nós (A, B, C e D). As forças em uma treliça são aplicadas diretamente em cima dos nós e por causa disso elas “caminham” pelas barras apenas na direção da barra. Se toda a estrutura está parada, os nós da estrutura também estarão. Conseguiremos então aplicar as equações da estática para cada nó independentemente, basta para isto colocar todas as forças que atuam em cada nó. Em resumo fazer o diagrama de corpo livre para cada nó. A dica aqui é sempre adotar as forças das barras saindo do nó conforme a Figura 55. Figura 55 - Diagrama de corpo livre para cada nó da treliça Fonte: do próprio autor A primeira conclusão é que existem pares ação-reação. Portanto, existem forças iguais dadas pelas equações abaixo. Fad=Fda Fab=Fba Fbd=Fdb Fcd=Fdc ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 63 A próxima etapa exige um pouco de bom senso. Quais os nós mais fáceis de aplicar à somatória de forças no caso apresentado? Os nós mais fáceis são o nó “A” e o nó “C”. ∑x =0 (adotando positivo para direita no nó A) -10 + Fad=0 Fad=10kN ∑y =0 (adotando positivo para cima no nó A) 10 - Fab=0 Fab=10kN ∑x =0 (adotando positivo para direita no nó C) -Fcb=0 Fcb=0 ∑y =0 (adotando positivo para cima no nó C) Fcd=0 Com isso já resolvemos mais da metade do problema. Em resumo ficamos com os dados da Figura 56. O nó “C” não ficou com nenhuma força representada porque os valores encontrados ali são iguais a zero. No nó “B” e “D” já foi substituído os valores de 10kN que são reação aos respectivos valores no nó “A”. Figura 56 - Resumo das reações encontradas até agora Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 64 A única força que falta é o Fbd que é igual ao Ffb. Como nossa treliça é quadrada a inclinação dessa força é de 45 graus. Sendo assim, vamos fazer a somatória das forças no nó “B”. ∑x =0 (adotando positivo para direita no nó B) 10 + Fbd x cos(45)=0 Fbd =-14,14kN Feito isso resolvemos o problema praticamente. O sinal negativo indica que devemos inverter o sentido da força Fbd. O esquema final dos diagramas de corpo livre está na Figura 57. Figura 57 - Final das reações nos nós Fonte: do próprio autor Porém, não queremos o que acontece no nó, queremos o que acontece nas barras. Usando o conceito de ação-reação e de diagrama de corpo livre para as barras vamos ficar com o esquema da Figura 58 à esquerda. Na mesma Figura 58 à direita ficaremos com a resposta final do problema. A resposta final é representada por um retângulo para cada barra que possui esforço porque os esforços de tração e de compressão são constantes ao longo das barras. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 65 Figura 58 - Esquema das reações nas barras à esquerda e resposta final do problema à direita. Fonte: do próprio autor Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente ao analise estrutural de treliças e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 66 AULA 10 VIGAS ISOSTÁTICAS Para darmos continuidade ao nosso estudo precisamos acrescentar dois novos fenômenos. Na aula anterior entendemos a compressão e a tração. Agora iremos estudar o esforço cortante e o momento fletor. O esforço cortante assim como o nome diz é aquele que tende a cortar a seção de uma estrutura qualquer. O corte acontece quando temos forças em sentidos contrários como é mostrado na Figura 59. Figura 59 - Representação do esforço cortante Fonte: do próprio autor O momento fletor(relativo à flexão) acontece quando existe a tendência do corpo apresentar uma curvatura quando submetido a um carregamento ortogonal ao eixo da peça estudada. Este carregamento pode ser concentrado e/ou distribuído. Na Figura 60 temos uma representaçãoda flexão. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 67 Figura 60 - Efeito da flexão Fonte: do próprio autor Os dois fenômenos apresentados estão conectados matematicamente e fisicamente com o carregamento sobre a estrutura estudada. Se você lembrar de cálculo diferencial e integral I é possível estabelecer a seguinte relação matemática. =V(x) (A derivada do momento fletor em relação ao comprimento é igual ao esforço cortante) (A derivada do esforço cortante em relação ao comprimento é igual ao carregamento) Fique tranquilo, não será necessário ir pela definição formal para prosseguirmos, mas saiba que existe esta possibilidade. 10.1 Exemplo 1 Vamos começar com a viga apresentada na Figura 61. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 68 Figura 61 - Viga com uma carga concentrada Fonte: do próprio autor Percebam que existem forças em sentidos contrários e que naturalmente a viga acima terá um movimento no sentido de flexionar. Como mapear esses fenômenos na viga? Nós vamos estudar ela ponto a ponto. Nos primeiros dois metros e depois no último metro. Vamos imaginar a estrutura sendo cortada até os primeiros dois metros conforme a Figura 62. Figura 62 - Analisando a viga até 2 metros Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 69 Até dois metros, portanto, temos um esforço constante que tende girar a nossa viga no sentido horário em relação ao ponto de estudo. Esse esforço é o esforço cortante e ele não mudará de intensidade até o comprimento desejado menor que dois metros. Vamos estabelecer a convenção de sinal para o esforço cortante. Toda vez que você fizer a análise e identificar giro no sentido horário o esforço cortante será positivo, caso contrário, negativo. Em relação ao momento fletor percebam que ele vai aumentando à medida que chegamos mais próximo de dois metros. Como eu sei? Momento é igual força vezes distância, a medida que você imagina a viga sendo cortada até dois metros a distância aumenta, portanto o momento aumenta linearmente. - Até 2m esforço cortante vale +10kN - Até 2m momento fletor vai de 0 até 2x10= 20kN.m Vamos estudar o que acontece após os dois metros pela Figura 63. Olhando a imagem percebemos que agora o giro relativo acontece em sentido anti-horário, pois a força resultante passa a ser 20kN para baixo. Em relação ao momento fletor percebemos uma diminuição dos 20kN.m, pois agora temos a força de 10kN vezes a sua distância até o ponto e também a força de 30kN vezes a sua distância até o ponto que tende a aumentar. Na extremidade direita da viga o momento fletor será dado pela seguinte expressão. 10x3 -30x1=0 Figura 63 - Analisando a viga após dois metros Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 70 Como vamos resumir tudo isso? De maneira gráfica conforme a Figura 64. Olhe as conclusões que chegamos acima e compare com os dados apresentados na Figura 64. Vocês perceberão que todas as informações batem. Figura 64 - Resumo gráfico das informações Fonte: do próprio autor Nas vigas, quando a cortante for positiva, o gráfico(diagrama) da cortante é representado acima. O diagrama do momento fletor será sempre representado do lado onde houver a tração. Para chegar ao desenho do gráfico basta ir quebrando a estrutura mentalmente e ir estudando o que acontece. Aqui o que vale é o raciocínio, você não precisa decorar quase nada. 10.2 Exemplo 2 Vamos a viga dada pela Figura 64. Figura 64 - Exemplo 2 Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 71 Seguindo o mesmo raciocínio de ir “quebrando” a estrutura trecho a trecho vamos chegar a representação dada pela Figura 65. - Corte 1 - V(x) = +13,33 kN - Corte 1 - Momento máximo = 13,33x1=13,33kN.m - Corte 2 - V(x) = +13,33 - 10 = 3,33kN - Corte 2 - Momento máximo = 13,33x3-10x2=20kN.m - Corte 3 - V(x) = +13,33 - 10 - 20 = -16,67 kN - Corte 3 - Momento máximo = 13,33x5-10x4 -20x2= -13,33kN.m - Corte 4 - V(x) = +13,33 - 10 - 20 +30 = 13,33 kN - Corte 4 - Momento máximo = 0kN.m A resposta final está na Figura 66. Figura 65 - Resumo da análise Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 72 Figura 66 - Diagrama do esforço cortante e do momento fletor, respectivamente Fonte: do próprio autor 10.3 Exemplo 3 Vamos resolver o caso da Figura 67 Figura 67 - Exemplo 3 Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 73 Aqui o raciocínio é o mesmo, porém vamos ter um carregamento distribuído em vez de um carregamento concentrado. Vale a mesma ideia, ir “quebrando” a estrutura e fazendo a análise. Devido às relações matemáticas do começo desta aula chegamos à seguinte conclusão. Como o carregamento é constante, o diagrama do esforço cortante será uma função do primeiro grau e o diagrama do momento fletor será uma função do segundo grau. - Corte 1 - O esforço cortante será igual a +15kN apenas, pois o carregamento distribuído é muito pequeno para gerar um esforço contrário. - Corte 1 - O momento fletor será igual a zero, pois a distância é infinitamente pequena(0,00001mm). - Corte 2 - O esforço cortante será dado por +15 - 10x1,5 = 0 kN - Corte 2 - O momento fletor será dado pela seguinte expressão. M(x)=+15 x 1,5 - 10x1,5x 1,5/2 =11,25kN.m Figura 68 - Cortes estratégicos para a estrutura Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 74 Figura 69 - Diagrama do esforço cortante e momento fletor, respectivamente Fonte: do próprio autor Anote isso A leitura complementar que pessoalmente indico a vocês é a do HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenharia. Vá até o capítulo referente às forças internas e resolva alguns exercícios. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 75 AULA 11 PÓRTICOS ISOSTÁTICOS Nesta aula não há nenhum conceito novo, porém a estrutura a ser estudada aqui exige um pouco mais. Traçaremos todos os gráficos para ela, diagrama de esforço normal (tração e compressão), diagrama de esforço cortante e diagrama de momento fletor. Desenvolveremos dois exercícios. 11.1 Exercício 1 A Figura 70 nos mostra o esquema do pórtico e suas cotas à esquerda e as reações à direita. Figura 70 - Pórtico 1 Fonte: do próprio autor O raciocínio aqui é o mesmo basta quebrarmos a estrutura em alguns pontos. Quanto mais você for experiente em menos trechos precisará fazer o análise. Começaremos aqui com os esforços normais (tração ou compressão). Na Figura 71 temos um corte na estrutura para a barra vertical da esquerda, nela podemos observar que independentemente de fazermos o corte mais acima ou mais abaixo, o esforço será sempre de compressão e igual a 5kN. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 76 Na Figura 72 temos um corte na barra horizontal. Tanto olhando para a direita como para a esquerda percebemos que nada tende a comprimir ou a tracionar esta barra. Na Figura 73 temos um corte na barra vertical à direita. Percebam que não importa o lado e a altura do corte, sempre haverá uma compressão de 15 kN. Na Figura 74 encontramos a resposta final para o efeito dos esforços normais (tração e compressão), no pórtico estudado não tivemos tração, apenas compressão. Figura 71 - Pórtico 1, estudo na barra vertical da esquerda Fonte: do próprio autor Figura 72 - Pórtico 1, estudo na barra horizontal Fonte: do próprioautor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 77 Figura 73 - Pórtico 1, estudo na barra vertical à direita Fonte: do próprio autor Figura 75 - Diagrama do esforço normal para o pórtico Fonte: do próprio autor Agora iremos estudar o mesmo pórtico para o esforço cortante. A dica aqui é quebrar a estrutura no entorno das forças concentradas conforme as Figuras 76 e 77. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 78 Figura 76 - Estudo do esforço cortante na barra vertical à esquerda Fonte: do próprio autor Figura 77 - Estudo do esforço cortante na barra horizontal Fonte: do próprio autor A conclusão dos estudos apresentados acima está dada como o diagrama do esforço cortante da Figura 78. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 79 Figura 78 - Diagrama do esforço cortante Fonte: do próprio autor Por fim vamos encontrar o diagrama do momento fletor. A primeira informação que tiramos do problema é que não existem cargas distribuídas, portanto, o momento fletor será função do primeiro grau (retas). Aqui a dica é cortar a estrutura nos cantos e na proximidade das forças. A partir das Figuras 79 e 80 conseguimos chegar a conclusão de como será o gráfico do momento fletor para o nosso exercício 1. O gráfico está representado na Figura 81. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 80 Figura 79 - Estudo do momento fletor na barra vertical à esquerda Fonte: do próprio autor Figura 80 - Estudo do momento fletor na barra horizontal Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 81 Figura 81 - Resposta final para o momento fletor Fonte: do próprio autor 11.2 Exercício 2 O novo exercício será o da Figura 82. Figura 82 - Pórtico com um carregamento distribuído e suas reações de apoio Fonte: do próprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 82 Neste problema o primeiro passo é reconhecer duas situações principais não há esforços horizontais e há um carregamento distribuído. Saber que não esforços horizontais nos dá uma informação interessante a respeito do diagrama dos esforços cortantes. Nas duas barras verticais não há cortante. Faça um teste mental, imagine um corte na estrutura em algum ponto das barras verticais e olhe para baixo. Vai perceber que não há nenhum esforço com tendência ao giro. Saber que há uma força distribuída em alguma região da estrutura nos indica que ali o diagrama do esforço cortante é variável e linear. Outra informação é que o diagrama do momento fletor será do segundo grau. Dito tudo isso basta você ir cortando mentalmente a estrutura nos mais diversos pontos e ir calculando os valores. Vamos começar pelo diagrama dos esforços normais (tração e compressão). Figura 83 - Cortes estratégicos para entendermos o diagrama de esforço normal Fonte: do róprio autor ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 83 Figura 84 - Diagrama de esforço normal final Fonte: do próprio autor Podemos usar a própria Figura 83 para entender o diagrama de esforço cortante. Nas barras verticais será zero. E na barra horizontal se imaginarmos o corte na extremidade direita vamos perceber que a única força que gera giro é a de 20kN e é no sentido anti-horário, portanto cortante de -20kN. À medida que vamos trazendo o corte para a posição que se encontra na Figura 83 percebemos que esse esforço de 20kN no sentido anti-horário vai se anulando com o carregamento vertical para baixo até dar zero no centro do pórtico visto que 10x2 = 20. Se você continuar esse procedimento mental vai perceber que o esforço cortante mudará de sentido quando nos aproximarmos das regiões mais a esquerda. O diagrama final do esforço cortante é dado pela Figura 85. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 84 Figura 85 - Diagrama final do esforço cortante Fonte: do próprio autor Por fim vamos ao diagrama do momento fletor. Na Figura 83 percebemos que não há nas barras verticais nenhum momento fletor visto que não temos nenhuma força com tendência de giro para aplicarmos a fórmula do momento fletor. O momento fletor começará a se desenvolver nas extremidades da barra horizontal e aumentará à medida que chegamos no centro da estrutura. A fórmula do momento fletor no meio será dado pela seguinte equação. M=-20x2+10x2x1=-20kN.m Isto significa que a tração será embaixo da viga e que o momento fletor máximo será de 20kN.m. Finalmente chegamos na última resposta na Figura 86. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 85 Figura 86 - Diagrama do momento fletor para o pórtico Fonte: do próprio autor Anote isso Acredito que perceberam não existir muitas regras. Aqui o que vale é o raciocínio na hora de imaginar a situação. Na dúvida faça vários cortes para conseguir compreender tudo o que acontece na estrutura. Com o tempo perceberá que não serão necessário muitos pontos. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 86 AULA 12 TENSÃO X DEFORMAÇÃO Vamos revisar o que nós aprendemos até agora para você entender aonde estamos chegando. - Recordamos a geometria básica necessária. - Conceitos físicos básicos. - Condições para uma partícula estar parada. - Condições para um objeto estar parado. - Descobrimos o que são vinculações. - Encontramos as reações de apoio. - Desenvolvemos cada um dos diagramas de esforços solicitantes. O próximo passo é transformar esses esforços em tensões que atuam em um determinado ponto da nossa estrutura. As tensões, portanto, acontecem internamente à estrutura. As tensões podem ser de tração, compressão e cisalhamento. O cisalhamento será explicado mais adiante. Na Figura 87 temos uma boa representação do que é a tensão. Na imagem temos duas situações uma errada e outra correta. Na primeira situação seria imaginar que a força concentrada aplicada lá em cima do objeto desça passando internamente por todo o objeto sem se dissipar na seção da peça. Se isso fosse verdade não adiantaria aumentar as dimensões de um pilar, por exemplo, de um prédio para ele aguentar mais carga. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 87 Figura 87 - Esquema representativo da tensão Fonte: do próprio autor Na imagem correta temos uma representação do que realmente acontece, aquela força concentrada tende naturalmente a se distribuir ao longo da seção do pilar. Essa distribuição não é instantânea, ela se desenvolve ao longo de um determinado comprimento. De maneira geral ela acaba se tornando uniforme. Quando a tensão tende a diminuir o objeto, ela será chamada de tensão de compressão, quando ocorrer no sentido de alongar o objeto, ela será chamada de tensão de tração. Portanto estamos nos referindo a tensões normais (tensão de tração ou compressão). A fórmula da tensão está dada abaixo. Tensão = Força _________ Área Substituindo por uma simbologia mais adequada ficamos com a seguinte fórmula. σ = (O símbolo σ só serve para representar tensões normais, ou seja, tração ou compressão) Percebam que a fórmula é extremamente intuitiva, a força se distribuirá em uma determinada área. ESTÁTICA E MECÂNICA DOS SÓLIDOS PROF.º ME. PEDRO HENRIQUE MARTINEZ FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 88 12.1 Deformação Todo corpo quando submetido há algum tipo de esforço muda suas características geométricas. Algumas vezes é visível outras não. Um exemplo visível é pegar um chiclete
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