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Para descrever as séries de Taylor e de Maclaurin, se faz
necessário relembrar o significado de alguns termos pertinentes ao
assunto, tornando importante entender primeiramente o que são
sequências e séries em matemática.
Segundo o livro “Cálculo”, volume II de Stewart: Pode-se pensar
numa sequência como uma lista de números escritos em uma ordem
definida
Uma sequência pode ser definida como uma função cujo o domínio é o
conjunto dos números inteiros positivos. Mas geralmente escrevemos
em vez da notação de função para o valor da função no
número n. Se tentarmos somar todos de uma sequência infinita
, obteremos uma expressão da seguinte forma
que é denominada uma série infinita e é denotada por . Existem
vários tipos de séries, entre elas as séries de potências como as de
Taylor e Maclaurin.
A série de Taylor é uma expressão que aproxima uma dada
função em torno de um ponto escolhido aleatoriamente, denotada por:
A constante indica que a aproximação é válida em torno desse
ponto. Os valores dos coeficientes são definidos através das derivadas
da função que se quer aproximar.
A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor,
considerando a centralização da aproximação em tornos de = 0, logo
obtemos a seguinte expressão:
Ainda segundo o livro “Cálculo”, volume II de Stewart: A série de
Taylor é assim chamada em homenagem ao matemático Inglês Brook
Taylor (1685-1731) e da série de Maclaurin é assim denominada em
homenagem ao matemático escocês Colin Maclaurin (1698-1746),
apesar do fato de que a série de Maclaurin é realmente apenas um caso
especial da série de Taylor. Mas a ideia de representar funções
específicas como somas de séries de potências remonta a Newton, e a
série geral de Taylor era conhecida pelo matemático escocês James
Gregory, em 1668, e pelo matemático suíço John Bernoulli, na década
de 1690. Taylor aparentemente ignorava a obra de Gregory e Bernoulli
quando publicou suas descobertas sobre a série em 1715, em seu livro
Methodus incrementorum directa et inversa. A série de Maclaurin é
assim denominada devido a Colin Maclaurin porque ele a popularizou
em seu livro de cálculo Treatise of Fluxions publicado em 1742.