3 LISTA DE EXERCICIOS - ÁLGEBRA LINEAR (Vetores no R NO R)

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iii
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS - (Vetores no R² E R³)
Questão 1. Calcular os seguintes produtos vetoriais:
a.
��!
i ��!j +�!k
�
�
�
2
�!
i +
�!
j ��!k
�
:
Solução:
��!
i ��!j +�!k
�
�
�
2
�!
i +
�!
j ��!k
�
=
�������
�!
i
�!
j
�!
k
1 �1 1
2 1 �1
������� =
�!
i +2
�!
j +
�!
k +2
�!
k �1�!i +1�!j = 3�!j +3�!k =
(0; 3; 3)
b.
�
��!i + 2�!j + 3�!k
�
�
�
2
�!
i ��!j + 3�!k
�
:
Solução:
c.
�
2
�!
i � 3�!j ��!k
�
�
�
��!i +�!j ��!k
�
:
Questão 2. Calcular k�!c k, h�!a ;�!b i = �!a � �!b ,



�!b ��!c 


, [�!a ;�!b ;�!c ], e o ângulo entre �!a e �!b , sendo
�!a = 2�!i ��!j + 3�!k ;�!b = ��!i + 3�!j � 2�!k ;�!c = ��!i + 2�!j � 2�!k :
Solução: k�!c k =
q
(�1)2 + 22 + (�2)2 =
p
1 + 4 + 4 =
p
9 = 3
h�!a ;�!b i = �!a � �!b =
�
2
�!
i ��!j + 3�!k
��
��!i + 3�!j � 2�!k
�
= 2: (�1) + (�1) :3 + 3 (�2) =?
�!
b ��!c =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
�1 3 �2
�1 2 �2
������� = �6
�!
i + 2
�!
j � 2�!k + 3�!k + 4�!i � 2�!j = �2�!i +�!k
Agora�������!b ��!c ������ =q(�2)2 + 12 + 02 = p5
Finalmente �!a = 2�!i ��!j + 3�!k ;�!b = ��!i + 3�!j � 2�!k ;�!c = ��!i + 2�!j � 2�!k :
[�!a ;�!b ;�!c ] =
��!a ;�!b ;�!c � =
�������
2 �1 3
�1 3 �2
�1 2 �2
������� =?
Questão 3. Calcular o produto misto (�!a ;�!b ;�!c ) para os seguintes ternos de vetores:
a. �!a = 2�!i ��!j +�!k ; �!b = �!i ��!j +�!k e �!c = �!i + 2�!j ��!k :
Solução:
(�!a ;�!b ;�!c ) =
�������
2 �1 1
�1 �1 1
1 2 �1
������� =?
iv
b. �!a = 2�!i ; �!b = 3�!j e �!c = 4�!k :
c. �!a = 2�!i ��!j +�!k ; �!b = 3�!i ��!j +�!k e �!c = �!i + 2�!j � 3�!k :
Questão 4. Calcular o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A (2; 1; 6) e os três
vértices adjacentes nos pontos B (4; 1; 3) ; C (1; 3; 2) e D (1; 2; 1) :
Solução:
�!
AB = B � A = (4; 1; 3)� (2; 1; 6) = (2; 0;�3)
�!
AC = C � A = (1; 3; 2)� (2; 1; 6) = (�1; ; 2;�4)
��!
AD = D � A = (1; 2; 1)� (2; 1; 6) = (�1; 1;�5)
(
�!
AB;
�!
AC;
��!
AD) =
�������
2 0 �3
�1 2 �4
�1 1 �5
������� = �20 + 3� 6 + 8 = �15
Vparalel =
���(�!AB;�!AC;��!AD)��� = j�15j = 15
Questão 5. Calcular a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A (1; 0; 1) ; B (2; 1; 3)
e C (3; 2; 5) :
Solução: Temos que
�!
AB = (1; 1; 2)
�!
AC = (2; 2; 4)
�!
AB ��!AC =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
1 1 2
2 2 4
������� = 4
�!
i + 4
�!
j + 2
�!
k � 2�!k � 4�!i � 4�!j = 0
Aparale =
�������!AB ��!AC������ = 0
Questão 6. Calcular a área do triângulo com vértices A (1; 2; 1) ; B (3; 0; 4) e C (5; 1; 3) :
v
Solução:
�!
AB = (2;�2; 3)
�!
AC = (4;�1; 2)
�!
AB ��!AC =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
2 �2 3
4 �1 2
������� = �4
�!
i + 12
�!
j � 2�!k + 8�!k + 3�!i � 4�!j = ��!i + 8�!j + 6�!k
Aparale log ramo =
�������!AB ��!AC������ =q(�1)2 + 82 + 62 =?
Atria =
1
2
�������!AB ��!AC������ = 12 :10 =?
Questão 7. Determinar um vetor unitário perpendicular aos vetores
�!a = �!i � 2�!j + 3�!k e �!b = 3�!i ��!j + 2�!k :
Solução: �!a ��!b =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
1 �2 3
3 �1 2
������� = �4
�!
i + 9
�!
j ��!k + 6�!k + 3�!i � 2�!j = ��!i + 7�!j + 5�!k
Note,
�������!a ��!b ������ =q(�1)2 + 72 + 52 = p75 = 5p3
Fazendo, u = 1jj�!a ��!b jj
��!a ��!b � = 1
5
p
3
�
��!i + 7�!j + 5�!k
�
=
�
�1
5
p
3
�!
i + 7
5
p
3
�!
j + 5
5
p
3
�!
k
�
Questão 8. Determine um vetor de módulo 3 que seja simultaneamente ortogonal aos vetores
�!u = (1; 1; 1) e �!v = (2;�1; 3).
Solução:
Questão 9. Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores (2�!u ) e (�2�!v )
sendo �!u = (2;�1; 0) e �!v = (1;�3; 2) :
Solução: (2u) = (4;�2; 0) e (�2�!v ) = (�2; 6;�4)
Faça,
(2�!u ) � (�2�!v ) =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
4 �2 0
�2 6 �4
������� =??
Depois, calcule
Aparelelo = jj(2�!u )� (�2�!v )jj =?
Questão 10 Sendo dados: A (�1; 3; 2), B (0; 1;�1), C (�2; 0; 1) e D (1;�2; 0):
a) Calcule o volume do paralepípedo determinado pelos vetores
�!
AB,
�!
AC e
��!
AD.
b) Calcule o volume do tetraedro ABCD.
Solução:
a) Vparalel =
�����!AB;�!AC;��!AD���� =?
b) Vtetraedro = 16Vparalel =
1
6
�����!AB;�!AC;��!AD���� =?
Questão 11. Sabendo que jj�!u jj = 3, jj�!v jj =
p
2 e �
4
é o ângulo entre os vetores�!u e�!v , calcule jj�!u ��!v jj.
vi
Solução:
ku� vk = kuk kvk sen � = 3:
p
2 sen�
4
= 3
p
2
p
2
2
=???
Questão 12 Sabendo que �!u = (1; 2; 1) =
��!
i + 2
�!
j +
�!
k
�
e �!v = (2; 1; 0), calcule
a) (�!u + 2�!v )� (�!u � 2�!v )
b) k�!u � 2�!v k
Solução:
a) (�!u + 2�!v ) = [(1; 2; 1) + 2 (2; 1; 0)] = (5; 4; 1)
e
(�!u � 2�!v ) = [(1; 2; 1)� 2 (2; 1; 0)] = (�3; 0; 1)
Agora
(�!u + 2�!v )� (�!u � 2�!v ) =
�������
�!
i
�!
j
�!
k
5 4 1
�3 0 1
������� =?
Questão 13 Qual o volume do cubo determinado pelos vetores
�!
i ,
�!
j ;
�!
k .
Solução: Sabemos que
�!
i = (1; 0; 0);
�!
j = (0; 1; 0) ;
�!
k = (0; 0; 1)
Agora basta calcular
�����!i ;�!j ;�!k ����
Questão 14 Determine o valor de k para que os vetores �!u = (2;�1; k), �!v = (1; 0; 2) e �!w = (k; 3; k)
sejam coplanares.
Solução: os vetores serão coplanares se
(�!u ;�!v ;�!w ) = 0
Agora
(�!u ;�!v ;�!w ) =
�������
2 �1 k
1 0 2
k 3 k
������� = 0
Façam as contas