Questão resolvida - Determine o valor do limite da função (ln(10^2x-1)-(10^x-1)) com x tendendo a 0 - Ciência e Tecnologia II - UFBA

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• Determine o valor do limite 
 
ln 10 - 1 - ln 10 - 1lim
x 0→
2x x
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos reescrever a função do limite como;
 
f x = ln 10 - 1 - ln 10 - 1 = ln 10 - 1 - ln 10 - 1( ) 2x x x
2 x
 
Agora, fazemos a seguinte substituição;
 
y = 10x
 
Com isso, a função fica;
 
f y = ln y - 1 - ln y - 1( ) 2 ( )
 
Vamos, agora usar a seguinte propriedade logarítmica;
 
log a - log c = log a ⋅ cb( ) b( ) b( )
 
Dessa forma, a função fica;
 
f y = ln( )
y - 1
y - 1
2
 
 
No denominador, dentro do , podemos aplicar a propriedade da diferença de 2 quadrados;ln
 
f y = ln = ln = ln( )
y - 1
y - 1
2 y - 1
y - 1
2 ( )2 y - 1 y + 1
y - 1
( )( )
( )
 
Com isso, podemos cancelar a expressão de cima com a de baixo:
Mas , então;y = 10x
 
f x = ln 10 + 1( ) x
 
Voltando para o limite, temos que;
 
ln 10 - 1 - ln 10 - 1 = ln 10 + 1lim
x 0→
2x x x
 
Substiuindo o limite;
 
ln 10 + 1 = ln 10 + 1 = ln 1 + 1lim
x 0→
x 0 ( )
 
ln 10 - 1 - ln 10 - 1 = ln 10 + 1 = ln 2lim
x 0→
2x x lim
x 0→
x ( )
 
 
f y = ln = ln y + 1( )
y - 1 y + 1
y - 1
( )( )
( )
( )
(Resposta )