Simulado ITA - Matemática e Química

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Simulado 5 ITA - Prova 2 - 2a fase - Matemática e Química
Questão 1
Considere o seguinte sistema linear:
a) Discuta o sistema em função dos parâmetros reais a, b, c e m, apresentando as soluções do mesmo quando
ele for possível e determinado.
b) Determine as condições que devem ser satisfeitas pelos parâmetros para que o sistema tenha uma única
solução em progressão aritmética.
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Questão 2
A soma de todos os termos de uma progressão geométrica decrescente infinita é igual a . A progressão
contém um termo igual a . A razão entre a soma de todos os termos que antecedem esse termo e a soma de
todos aqueles que o sucedem é igual a 30.
a) Determine a razão dessa progressão geométrica.
b) Qual a posição ocupada pelo termo igual a ?
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Questão 3
Numa fazenda, as máquinas uti l izadas na colheita, se operassem todas ao mesmo tempo, fariam todo o
serviço necessário em 24 horas. Entretanto, o regime de horários implantado determina que elas comecem a
trabalhar em sucessão: somente uma máquina trabalha na primeira hora, somente duas máquinas trabalham
na segunda hora, somente três máquinas trabalham na terceira hora, e assim por diante. A partir do momento
em que todas as máquinas passam a trabalhar juntas, ainda leva mais T horas para completar o serviço. Se
todas as máquinas, com exceção de cinco delas, pudessem operar simultaneamente, desde o começo, todo o
processo demoraria seis horas a menos do que no regime de horários em sucessão.
a) Quantas máquinas ao todo existem nessa fazenda?
b) Quanto tempo leva, quando as máquinas estão trabalhando em sucessão, para completar todo o serviço (do
início ao fim)?
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Questão 4
Um polígono regular de 14 lados é inscrito em uma circunferência unitária. Escreva a equação algébrica de
menor grau tal que uma de suas raízes seja o comprimento do lado desse polígono.
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Questão 5
Prove que: .
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Questão 6
Considere o polinômio p(x) = – x3 + x2 + 3x + 4. Mostre que p(x) tem apenas uma raiz real, positiva e
irracional.
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Questão 7
Numa loteria de seis números, designa-se por P(k) a probabil idade de tirar o número k . Supõe-se que:
P(1)=P(2)=P(3)=a e P(4)=P(5)=P(6)=b. Pratica-se uma única tiragem e designa-se com A o evento “o número
tirado é maior ou igual a 4”. Seja P(A) a probabil idade do evento A. Determine a e b para que .
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Questão 8
Em um plano dá-se uma circunferência de centro O e raio r, um ponto fixo A sobre ela e um diâmetro variável
 tal que o ângulo seja igual a . Sobre a perpendicular a em A, marca-se um ponto V tal que
AV = 2r. Considere-se o tetraedro ABCV.
a) Calcule em função de r e as arestas do tetraedro.
b) Mostre que a soma dos quadrados destas arestas é constantes quando varia.
c) Qual o lugar geométrico do ponto H de , pé da altura VH do triângulo VBC?
d) Para que posição de BC a área do triângulo VBC é máxima e qual o valor desse máximo?
e) Calcule em função de , a tangente , onde é igual ao ângulo .
f) Deduza o valor de que corresponde ao mínimo do diedro de aresta BC.
g) Calcule para que se tenha tangente igual .
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Questão 9
Se ABCDEF é um hexágono inscrito em uma circunferência, L intersecção das retas suportes dos lados AB e
DE, M intersecção das retas suportes dos lados CD e FA e N intersecção das retas suportes dos lados BC e
EF, prove que N, M e L são colineares.
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Questão 10
Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice V e base ABCDEF, de lado da base igual a l e altura h,
a) mostre que existem duas esferas tangentes aos planos das faces dessa pirâmide;
b) calcule os raios dessas esferas;
c) mostre que o produto desses raios independe de h.
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Questão 11
Em uma atividade experimental de Química, um grupo de alunos estudou o comportamento ácido/base de
diversas substâncias. Os resultados obtidos com os experimentos estão sumarizados no quadro abaixo.
a) Escreva uma equação química que represente o processo ocorrido no experimento 2.
b) Justifique o resultado obtido no experimento 3. Complete a sua resposta escrevendo uma equação química
que justifique a observação no experimento 3.
c) Leia as afirmações que são apresentadas abaixo. Marque (V) para aquelas que julgar verdadeiras e (F) para
aquelas que julgar falsas.
( ) No experimento 1 uti l izou-se uma substância que pode ser classificada como uma base de Bronsted-Lowry.
( ) A diferença de pH observada nos experimentos 4 e 5 pode ser justificada pela força do ácido uti l izado.
( ) Uma solução aquosa de H2SO4, na mesma concentração da solução usada no experimento 4, apresenta um
valor de pH maior que 2,40.
( ) O HCOOH do experimento 4 pode ser classificado como um ácido de Arrhenius.
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d) Considere a seguinte afirmativa: “nos experimentos 1 e 3, se uti l izarmos a mesma massa dos dois sais e o
mesmo volume de água, as soluções resultantes apresentarão a mesma temperatura de ebulição.” Indique se
esta afirmativa é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta.
e) Com base nos valores de pH observados nos experimentos 4 e 5, determine a diferença de concentração do
HCOOH.
Questão 12
Suponha que você decide investigar algumas regras de solubil idade dos íons cromato (CrO42-) e oxalato
(C2O42-). Para isso, conta com soluções (A, B, C, D) de quatro sais solúveis em água:
Quando se misturam estas soluções, são feitas as seguintes observações:
(a) Escreva uma equação iônica balanceada para cada uma das reações que ocorrem nos experimentos.
(b) Identifique o precipitado que se forma, em cada um dos experimentos.
(c) Com base nestas observações l imitadas, qual íon tende a formar sais mais solúveis, cromato ou oxalato?
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Questão 13
Indique os reagentes necessários para converter o brometo de n-buti l em:
a) Iodeto de n-buti l
b) cloreto de n-buti l
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c) éter metil-n-butí l ico
d) álcool n-butí l ico
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Questão 14
Disponha os compostos de cada grupo em ordem crescente de reatividade com relação à substituição SN2:
a) 2-bromo-2-metil-butano, 1-bromo-pentano, 2-bromo-pentano.
b) 1-bromo-3-metil-butano, 2-bromo-2-metil-butano, 3-bromo-2-metil-butano.
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Questão 15
O HCl pode ser preparado a partir do NaCl e do H2SO4. O HBr e o HI, não podem ser obtidos de maneira
semelhante a partir do NaBr e do NaI, respectivamente? Explique esse fato.
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Questão 16
(a) Explique a estrutura do íon I3-.
(b) Explique porque o CsI3 sólido é estável e o NaI3 sólido não é estável.
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Questão 17
Calcule [H+], [H2PO4–], [HPO42–] e [PO43–] em uma solução 1,0 mol/L de H3PO4.
(Ka's do ácido fosfórico: 7,1 x 10-3, 6,3 x 10-8 e 4,5 x 10-13).
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Questão 18
A substância (A) é um gás com densidade de vapor igual a 8,5. Por oxidação a altas temperaturas, na
presença de um catalisador de platina, ele forma um gás incolor (B), que rapidamente se torna castanho
quando exposto ao ar, formando o gás (C). (B) e (C) podem ser condensados formando uma substância (D), que
reage com água formando o ácido (E). Tratando-se (E) como uma solução acidificada de KI, ocorre a l iberação
do gás (B), mas quando (E) é tratado com uma solução de NH4Cl ocorre a l iberação de um gás incolor e
estável (F). (F) não é capaz de sustentar a combustão, mas o magnésio continua a queimar na sua presença.
Contudo, (F) reage com carbeto de cálcio num forno elétrico formando um sólido (G) que é lentamente
hidrolisado pela água formando uma solução da substância (A),que torna amarelo o reagente de Nessler.
Identifique as substâncias de (A) a (G) e explique as reações envolvidas.
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Questão 19
A respeito do esquema de reações abaixo:
Resolva as questões que seguem:
a) Escreva o nome do composto A.
b) Escreva as estruturas e os nomes dos compostos B, C e D
c) Qual a relação estereoquímica entre B e C?
d) Os compostos B e C são opticamente ativos ou inativos?feli
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Questão 20
Na prática de exercícios físicos, o organismo humano uti l iza a glicose como principal fonte de energia.
Havendo suprimento adequado de oxigênio, obtém-se o rendimento energético máximo possível, mas quando
o esforço é muito intenso, o fornecimento de oxigênio pode se tornar insuficiente, e o organismo adotar rota
alternativa menos eficiente, envolvendo produção de ácido láctico, o que resulta na diminuição do Ph no
músculo. Após um período de descanso, o pH do músculo retorna ao seu valor normal, aproximadamente
neutro.
O equil íbrio entre o ácido láctico e o lactato em meio aquoso encontra-se representado na equação química:
Calcule a razão entre as concentrações do íon lactato e do ácido láctico nas condições de equil íbrio químico,
no músculo, quando o pH for igual a 7. Apresente seus cálculos.
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