Aula 03 - Geometria3D

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Polos Olímpicos de Treinamento
Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
Aula 3Curso de Geometria - Nível 1
Objetos Tridimensionais
Neste caṕıtulo iremos tratar de um assunto que é pouco explorado em competições de
matemática para alunos que estão no ensino médio, mas que possuem certa frequência nas
competições para alunos mais jovens: a geometria em espaços tridimensionais. Porém,
muito mais do que fórmulas, as questões de olimṕıada sobre esse tema tentam testar a
capacidade do aluno em perceber e visualizar mentalmente estrutudas espaciais. Os únicos
fatos teóricos que precisaremos saber (e que adotaremos como premissas) são os seguintes:
Premissa I. A volume de uma caixa retangular de comprimento x, altura y e profun-
didade z é dado por xyz.
Premissa II. Se um objeto tridimensional é dividido em duas ou mais partes, a soma
dos volumes das partes é igual ao volume do objeto original.
Premissa III. Se dois objetos são idênticos, então possuem o mesma volume.
Problemas Propostos
Problema 1. (OBM 2016 - 1a fase) Um cubo foi pintado de verde. Em seguida, foi cortado
paralelamente às faces, obtendo-se oito blocos retangulares menores. As faces sem cor
desses blocos foram pintadas de vermelho. Qual é a razão entre a área da superf́ıcie total
verde e a área da superf́ıcie total vermelha?
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Problema 2. (OBM 2005 - 2a fase) Um carpinteiro fabrica caixas de madeira abertas na
parte de cima, pregando duas placas retangulares de 600 cm2 cada uma, duas placas retan-
gulares de 1200 cm2 cada uma e uma placa retangular de 800 cm2, conforme representado
no desenho. Qual é o volume, em litros, da caixa? Note que 1 litro = 1000 cm3.
Problema 3. (OBM 2007 - 2a fase) Um reservatório cúbico internamente tem 2 metros
de lado e contém água até a sua metade. Foram colocados no reservatório 25 blocos
retangulares de madeira, que não absorvem água, de dimensões 20× 30× 160 cent́ımetros.
Sabendo que 80% do volume de cada bloco permanece submerso na água, calcule, em
cent́ımetros, a altura atingida pela água, no reservatório.
Problema 4. (OBM 2011 - 2a fase) Com cubinhos de mesmo tamanho construiu-se um cubo
4 × 4 × 4. Os cubinhos são feitos de madeiras diferentes e foram colados assim: cubinhos
com três cubos vizinhos (cubos com faces comuns) pesam 10 gramas, com quatro vizinhos
pesam 8 gramas, com cinco vizinhos pesam 6 gramas e com seis vizinhos pesam 4 gramas.
Qual é a massa do cubo, em gramas?
Problema 5. (OBM 2013 - 2a fase) O ourives Carlos tem um cubo de madeira de arestas
de 10 cent́ımetros. Ele retira cubos de 2 cent́ımetros de aresta de cada vértice do cubo e
cola sobre toda a superf́ıcie do sólido resultante uma folha fina de ouro ao preço de 8 reais
por cent́ımetro quadrado. Sem desperd́ıcios, qual é o custo em reais dessa cobertura?
Problema 6. (OBM 2015 - 2a fase) Esmeralda cola cubinhos brancos para montar cubos
maiores. Depois de montar os cubos maiores, ele pinta algumas faces dos cubinhos de verde
ou de amarelo.
a) Depois de montado um cubo grande, Esmeralda pintou de verde as faces dos cubinhos
com três faces viśıveis e de amarelo as faces dos cubinhos com duas faces viśıveis. Após
a pintura, são viśıveis no cubo grande exatamente 120 faces pintadas de amarelo.
Quantas faces viśıveis permaneceram brancas?
2
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b) Depois de montar um cubo com oito cubinhos, Esmeralda pintou três faces do cubo
maior de verde e três faces de amarelo. No máximo, quantos cubinhos tiveram duas
faces pintadas de verde e uma face pintada de amarelo?
Problema 7. (OBM 2010 - 3a fase) Dado um sólido formado por cubos de 1 cm de aresta,
como mostra a figura da esquerda, podemos indicar a quantidade de cubos em cada direção,
como mostra a figura da direita.
1
00
1
0
2
2
0
1
3
2
3
3
0
1
3
1
2
3
1
1
1
1
2
3
2
3
Esmeraldino montou um sólido com cubos de 1 cm de aresta e fez uma figura similar à da
direita.
d
12
1
2
a
2
2
x
2
1
2
1
e
b
3
f
c
1
3
2
3
3
1
m
2
2
Problema 8. (OBM 2006 - 2a fase) Com a parte destacada da folha retangular a seguir,
pode-se montar um cubo. Se a área da folha é 300cm2, qual é o volume desse cubo, em
cm3?
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Problema 9. (OBM 2015 - 1a fase) Juliana fez a planificação de uma caixa de papelão com
duas faces brancas, duas pretas e duas cinzentas. As faces brancas têm área de 35cm2 cada
uma, as faces pretas têm área de 21cm2 cada uma e as cinzentas, 15cm2. Qual é o volume
da caixa?
Problema 10. Uma caixa fechada de vidro em formato de paraleleṕıpedo está parcialmente
preenchida com 1 litro de água. Ao posicionarmos essa caixa sobre uma mesa de três for-
mas diferentes, a altura do ńıvel da água é de 2cm, 4cm e 5cm respectivamente. Qual é a
capacidade máxima (em litros de água1) dessa caixa?
Problema 11. (OBM 1998) Pintam-se de preto todas as faces de um cubo de madeira cujas
arestas medem 10 cent́ımetros. Por cortes paralelos às faces, o cubo é dividido em 1000
cubos pequenos, cada um com arestas medindo 1 cent́ımetro. Determine:
a) o número de cubos que não possuem nenhuma face pintada de preto.
b) o número de cubos que possuem uma única face pintada de preto.
c) o número de cubos que possuem exatamente duas faces pintadas de preto.
d) o número de cubos que possuem três faces pintadas de preto.
1Observação: 1 litro de água ocupa um espaço de 1000cm3 de volume.
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Problema 12. (OBM 1999) Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A figura mostra
uma maneira de dividir um cubo em 15 cubinhos.
Problema 13. (OBM 2001) Um cubinho foi colocado no canto de uma sala, conforme a
Figura 1. Empilharam-se outros cubinhos iguais ao primeiro, de forma a cobrir as faces
viśıveis do mesmo, usando-se o menor número posśıvel de peças. Como se pode ver na
Figura 2, após a colocação dos novos cubinhos, restam 9 faces viśıveis desses cubinhos.
Figura 1
Figura 2
a) Quantos cubinhos iguais a esses, no mı́nimo, seria necessário empilhar, de forma a cobrir
aquelas 9 faces viśıveis?
b) Continua-se a fazer essa pilha, repetindo-se o procedimento descrito. Quando a pilha
tiver um total de 56 cubinhos, quantas faces poderão ser vistas?
Problema 14. (OBM 2004) Juntando cubinhos de mesmo volume mas feitos de materiais
diferentes - cada cubo branco pesando 1 grama e cada cubo cinza pesando 2 gramas -
formou-se um bloco retangular, conforme mostrado na figura abaixo. Qual é a massa, em
gramas, desse bloco?
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Problema 15. (OBM 2005) Esmeraldinho tem alguns cubinhos de madeira de 2 cm de
aresta. Ele quer construir um grande cubo de aresta 10 cm, mas como não tem cubinhos
suficientes, ele cola os cubinhos de 2 cm de aresta de modo a formar apenas as faces do
cubo, que fica oco. Qual é o número de cubinhos de que ele precisará?
Problema 16. (OBMEP 2005) Emı́lia quer encher uma caixa com cubos de madeira de 5cm
de aresta. Como mostra a figura, a caixa tem a forma de um bloco retangular, e alguns
cubos já foram colocados na caixa.
5 cm
a) Quantos cubos Emı́lia já colocou na caixa?
b) Calcule o comprimento, a largura e a altura da caixa.
c) Quantos cubos ainda faltam para Emı́lia encher a caixa completamente, se ela continuar
a empilhá-los conforme indicado na figura?
Problema 17. (OBMEP 2017 - adaptado) Janáına junta cubinhos de modo que as faces
em contato coincidam completamente. Ela montou a peça a seguir sobre uma mesa.
Em seguida, Janáına acrescentou o menor número posśıvel de cubinhos até completar
um cubo. Quantos cubinhos ela teve que acrescentar?
Problema 18. (OBM 2015) Zuleica cola cubinhos iguais de isopor para montar “esqueletos”
de cubos, estruturas conforme o exemplo dado.
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a) Quantos cubinhos ela usou para montar o esqueleto da figura?
b) Se ela quiser completar o maior cubo maciço com este esqueleto, preenchendo os espaços
vazios com cubinhos iguais aos usados e continuando a ver o esqueleto, quantos cubinhos
a mais deverá usar?
c) Existe um cubo cujo esqueleto, para ser montado, precisa de uma quantidade de cubi-
nhos igual à quantidade de cubinhos necessários para completar os espaços vazios do
esqueleto desse cubo. Se Zuleica quiser montar esse esqueleto, quantos cubinhos terá
que usar?
Problema 19. (OPM 2011) Temos um cubo de aresta 4 cm, com 3 faces marcadas com •.
a) Vamos cobrir essas 3 faces marcadas com cubos de aresta 2 cm para formar um cubo
de aresta 6 cm. Quantos cubos de aresta 2 cm são necessários?
b) Agora, vamos obter um cubo de aresta 7 cm a partir do cubo de aresta 6 cm que
acabamos de formar. Para isso, cobriremos as três faces formadas apenas por cubos de
aresta 2 cm com cubos de aresta 1 cm. Quantos cubos de aresta 1 cm são necessários?
c) Nos itens anteriores, cobrimos com cubos de aresta 2 cm e 1 cm as faces marcadas do
cubo de aresta 4 cm para obter o cubo de aresta 7 cm. Vamos agora acrescentar apenas
cubos de arestas 3 cm e 1 cm (não utilizaremos cubos de aresta 2 cm) ao cubo original
para obter um cubo de aresta 7 cm. Qual é o maior número de cubos de aresta 3 cm
que podemos utilizar? Não se esqueça de que você deve justificar a sua resposta.
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Dicas e Soluções
1. (OBM 2016 - 1a fase) Cada face verde dos oito blocos menores obtidos após cortar
o cubo é oposta a extamente uma face pintada de vermelho, e vice-versa. Assim, a
razão entre a área da superf́ıcie total verde e a área da superf́ıcie total vermelha é
1 : 1.
2. (OBM 2005 - 2a fase) Sejam a, b e c as medidas da caixa. Segundo o enunciado,
podemos escrever ab = 600, ac = 1200 e bc = 800. Sabemos que o volume da caixa
é abc. Utilizando as propriedades das igualdades e de potências, podemos escrever
ab×ac×bc = 600×1200×800⇔ a2×b2×c2 = 2×3×102×22×3×102×23×102 ⇔
(abc)2 = 26 × 32 × 106 ⇔ abc =
√
26 × 32 × 106 = 23 × 3 × 103 = 24 × 1000 cm3.
Como 1 litro é igual a 1000 cm3, conclúımos que o volume da caixa é de 24 litros.
a
b
c
3. (OBM 2007 - 2a fase) O volume de cada bloco de madeira é 0, 2× 0, 3× 1, 60 = 0, 096
m3; o volume de cada bloco que fica submerso no ĺıquido é 0, 80 × 0, 096 m3. O
volume de ĺıquido deslocado pelos 25 blocos é igual a 25× 0, 80× 0, 096 = 1, 92 m3.
Como o reservatório é um cubo de 2 m de lado, sua base é um quadrado de área 4
m2. Podemos pensar no ĺıquido deslocado como se fosse um bloco cuja base é igual
à base do reservatório, de altura h e volume acima.
Portanto 4h = 1, 92⇔ h = 1, 92
4
= 0, 48 m = 48 cm. Como a altura inicial do ĺıquido
era 100 cm, a nova altura será 148 cm.
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4. (OBM 2011 - 2a fase) No cubo 4 × 4 × 4, há 8 cubinhos nos vértices (que tem 3
vizinhos), 2×12 = 24 cubinhos nas arestas (que tem 4 vizinhos), 4×6 = 24 cubinhos
nas faces (que tem 5 vizinhos) e 8 cubinhos no interior do cubo maior (que tem 6
vizinhos). Assim, o cubo maior pesa 8× 10 + 24× 8 + 24× 6 + 8× 4 = 448 g.
5. (OBM 2013 - 2a fase) O corte dos cubinhos em cada vértice do cubo não muda a
superf́ıcie total do cubo (é como retirar e aumentar três faces de cada cubinho), igual
a 6× 102 = 600 cm2. Logo o preço do revestimento é 8×R$600 = R$4.800, 00.
6. (OBM 2015 - 2a fase)
a) Os cubinhos com apenas duas faces viśıveis são aqueles dispostos ao longo da
aresta do cubo maior, sem estar nos vértices dessas arestas, como no exemplo ao
lado, onde mostramos a camada superior de um cubo 4×4. Assim, em cada uma
das doze arestas de um cubo n × n são pintados de amarelo exatamente n − 2
cubinhos, num total de 12× (n− 2) cubinhos. Neste caso, temos 12× (n− 2) =
120
2
⇔ n − 2 = 5 ⇔ n = 7 Em cada uma das seis faces do cubo maior há
(n−2)× (n−2) = (n−2)2 faces viśıveis dos cubinhos que permanecem brancas,
num total de 6× (n−2)2. Em nosso caso, temos que 6× (7−2)2 = 6×25 = 150
faces viśıveis não foram pintadas, isto é, permaneceram brancas.
b) Há somente duas maneiras diferentes de pintar três faces de verde e três faces
de amarelo de um cubo. Numa delas as três faces pintadas de mesma cor têm
um vértice comum e as faces opostas têm cores diferentes (1), enquanto que na
outra maneira há duas faces opostas amarelas, duas faces opostas verdes e uma
face amarela oposta a uma face verde (2). Note que os cubos são formados por
oito cubinhos menores. No primeiro caso, há um cubinho com três faces verdes,
um cubinho com três faces amarelas, três com duas faces amarelas e uma verde e
três com duas faces verdes e uma amarela. No segundo caso, há quatro cubinhos
com duas faces verdes e uma amarela e quatro cubinhos com duas faces amarelas
e uma verde. Portanto, o número máximo de cubinhos que tiveram duas faces
pintadas de verde e uma de amarelo é 4.
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7. (OBM 2010 - 3a fase) Nesse cubo, podemos formar expressões a partir das placas
3× 3× 1 e a partir delas, encontramos o resultado. Ao encontrarmos uma expressão
que depende de mais de uma letra, tentamos encontrar outra expressão que retorne
o valor de uma letra só e substitúımos na expressão que depende de mais letras.
1
3
a
2
2
1
c
b
1
2
x
2
2
2 3
3
1
x
a + 3 + 1 = 2 + 2 + 1⇔ a = 1 e 2 + 2 + x = 3 + 3 + 1⇔ x = 3.
1 + b + c = 2 + x + 2⇔ 1 + b + c = 2 + 3 + 2⇔ b + c = 6. Como os valores de cada
letra só podem ser de 0 a 3, e a única soma que dá 6 é 3 + 3, então b = 3 e c = 3.
1
1 m
2
2
2
3
b
e
3
3
2
a
1
d
1
3
m
1
c
f
2
1
2
1 + 2 + 1 = m+ 2 + 2⇔ m = 0. 3 + b+ e = 3 + 3 + 2⇔ 3 + 3 + e = 3 + 3 + 2⇔ e = 2.
a + 1 + d = 1 + 3 + m ⇔ 1 + 1 + d = 1 + 3 + 0 ⇔ d = 2 e finalmente 1 + c + f =
2 + 1 + 2⇔ 1 + 3 + f = 5⇔ f = 1.
8. (OBM 2006 - 2a fase) Note que a folha pode ser dividida em 12 quadrados iguais
através de uma grade 3 × 4. Cada um desses quadrados terá área igual a 30012 =
25. Logo, o lado de cada quadrado será igual a 5. Além disso, observe que os seis
quadrados cinzas serão as faces do cubo. Consequentemente, o cubo terá aresta igual
a 5 e seu volume será 5× 5× 5 = 125cm3.
9. (OBM 2015 - 1a fase) Sejam x, y e z as dimensões da caixa. Pelo enunciado, xy = 35,
yz = 21 e zx = 15. Multiplicando essas três equações, obtemos
(xyz)2 = 35 · 21 · 15 = 32 · 52 · 72 ⇒ xyz = 3 · 5 · 7 = 105.
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POTI - Geometria N1 - Aula 3 - Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
Observe que xyz corresponde exatamente ao volume da caixa. Portanto, o volume é
105cm3.
10. Sejam x, y, z (em cent́ımetros) as dimensões da caixa de vidro. Observe que o volume
da água não muda ao posicionarmos a caixa sobre as diferentes faces. Assim, temos
as seguintes equações:
2xy = 4yz = 5zx = 1000.
Ou seja, xy = 500, yz = 250 e zx = 200. Multiplicando essas três equações, obtemos
(xyz)2 = 502 · 104 ⇒ xyz = 5000.
Portanto, o volume total da caixa é 5000cm3 ou 5` litros de água.
11. (OBM 1998)
(a) Estão sem nenhuma face pintada, os cubos interiores ao cubo maior. Portanto
devem ser retiradas uma fila de cima e uma fila de baixo, uma da frente e outra
de trás, e uma de cada lado, ficando assim com um cubo de aresta 8 que contém
83 = 512 cubos pequenos.
(b) Estão com uma face pintada aqueles que pertencem a uma face mas não possuem
lado comum com a aresta do cubo maior, isto é, 82 = 64 em cada face. Como
são seis faces, temos 6× 64 = 384 cubos pequenos.
(c) Estão com duas faces pintadas aqueles que estão ao longo de uma aresta mas
não no vértice do cubo maior, isto é, 8 cubos em cada aresta. Como são 12
arestas, temos 8× 12 = 96 cubos pequenos.
(d) Estão com 3 faces pintadas aqueles que estão nos vértices do cubo maior,ou
seja, 8 cubos pequenos.
12. (OBM 1999) O cubo deve ser dividido em 1000 cubinhos, ou seja 10×10×10, depois,
deve-se pegar um deles e divid́ı-lo novamente em 1000 cubinhos para que obtenhamos
1999 cubinhos. Assim teremos (1000− 1) + 1000 = 1999 cubinhos. O “−1” ocorre na
conta anterior pois o cubo que dividido deve deixar de ser contado.
13. (OBM 2001)
(a) Serão necessários mais 6 cubinhos: três para o andar mais baixo, dois para o
segundo andar e mais um para o terceiro.
(b) Para chegar a 56, vamos somando: 1, 3 = 1+2, 6 = 1+2 +3, 10 = 1+ 2+3 +4,
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 e 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. A parede terá a altura de 6
cubos, quando isso acontecer. Vamos listar as faces e cubos à mostra:
• No andar de cima há 1 cubo e 3 faces.
• No segundo andar há 6 faces e 2 cubos.
• No terceiro andar há 9 faces e 3 cubos.
• No quarto andar há 12 faces e 4 cubos.
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POTI - Geometria N1 - Aula 3 - Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
• No quinto andar há 15 faces e 5 cubos.
• No andar de baixo há 18 faces e 6 cubos.
Para cada cubo à mostra, há 3 faces vistas. São 21 cubos à mostra, 63 faces no
total.
14. (OBM 2004) O objeto mostrado no enunciado é formado por 5×5×7 = 175 cubinhos.
Como 175 é ı́mpar, significa que temos um cubinho branco a mais do que pretos. Se
P é a quantidade de cubos pretos, temos que P + (P + 1) = 175, então P = 87.
Portanto, temos 87 cubos pretos e 88 cubos brancos. Assim, a massa total será igual
a:
88 + 2× 87 = 262g.
15. (OBM 2005) Se o cubo grande estivesse completamente cheio, seriam necessários
53 = 125 cubinhos. Como ele está oco, devemos descontar todos os cubinhos que
fazem parte do seu interior. Observe que o inteior de um cubo 5× 5× 5 é um outro
cubo menor 3 × 3 × 3. Portanto, apenas para montar a superf́ıcie, são necessários
125− 27 = 98 cubinhos.
16. (a) Podemos contar os cubos em camadas a partir do fundo da caixa ; na primeira
camada temos 14 cubos viśıveis e 4 não viśıveis, cuja existência é evidente pois há
cubos sobre eles. Na segunda camada há 3 cubos viśıveis e 1 oculto; a terceira
camada tem 2 cubos, a quarta camada tem 3 cubos, a quinta camada tem 2
cubos e finalmente duas camadas de 1 cubo cada, totalizando (14 + 4) + (3 +
1) + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 31 cubos.
(b) O comprimento da caixa corresponde a 10 cubinhos; logo este comprimento é
igual a 10 × 5 = 50cm; do mesmo modo, a largura é igual a 7 cm e a altura é
igual a 7× 5 = 35cm e a altura igual a 6× 5 = 30cm.
(c) O número máximo de cubos que a caixa comporta, empilhados como indicado, é
igual ao produto do número de cubos que podem ser colocados ao longo de cada
uma das dimensões (comprimento, largura, altura) da caixa, ou seja 10×7×6 =
420 cubos. Como já foram colocados 31 cubos, faltam 420 − 31 = 389 cubos
para encher a caixa completamente.
17. Visualizando a parte mais ao fundo do objeto, verificamos que ele tem dimensões
4, 4, 5. Portanto, o menor cubo que pode ser constrúıdo a partir dessa figura deve ter
53 = 125 cubinhos. Como já foram colocados 16 cubinhos, ainda faltam 125−16 = 109
cubinhos.
18. (a) Observe que cada aresta do esqueleto possui 6 cubos. Como a estrutura tem
12 arestas, podeŕıamos contar 6 × 12 = 72 cubos. Por outro lado, ao fazermos
essa contagem, os cubinhos que estão nos vértices do esqueleto são contados três
vezes cada um. Assim, temos que descotar duas contagens repetidas para cada
um destes oito cubinhos. Portanto, a estrutura tem 72− (8× 2) = 72− 16 = 56
cubinhos.
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POTI - Geometria N1 - Aula 3 - Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
(b) O cubo preenchido deve ser formado por 6 × 6 × 6 = 216 cubinhos. Portanto,
ainda faltam 216− 56 = 160 cubinhos.
(c) Seja n a quantidade de cubos na aresta desse segundo esqueleto. Utilizando a
mesma estratégia de contagem do item (a), a quantidade de cubinhos no novo
esqueleto será 12n− 16. Por outro lado, esse número deverá representar metade
dos n3 cubinhos necessários para completar o cubo maior. Assim,
12n− 16 = n
3
2
⇒ 24n− 32 = n3 ⇒ 24n− n3 = 32⇒ n(24− n2) = 32.
Como n é um inteiro, n é divisor de 32. Assim, as únicas possibilidades que
devemos testar são n = 1, 2, 4, 8, 16 e 32. Porém, o único número que resolve a
equação é n = 4.
19. (a) Primeiramente, veja que são necessários 4 cubos de aresta 2 cm para cobrir
completamente uma face.
Logo precisamos colocar 3× 4 = 12 cubos para cobrir as 3 faces marcadas.
Agora, precisamos de mais 7 cubos para obter um cubo de aresta 6 cm.
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POTI - Geometria N1 - Aula 3 - Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
Portanto precisamos de 12 + 7 = 19 cubos de aresta 2 cm para formar um cubo
de aresta 6 cm.
(b) Usando o mesmo padrão adotado no item anterior, inicialmente vamos cobrir as
faces formadas por cubos de aresta 2 cm com cubos de aresta 1 cm. Para isso
vamos precisar de 36 cubos de aresta 1 cm para cada face.
Depois de colocar 3 × 36 = 108 cubos para cobrir as 3 faces de aresta 2 cm,
precisamos de mais 6 + 6 + 6 + 1 = 19 cubos de aresta 1 cm para finalmente
obter um cubo de aresta 7 cm. Portanto precisamos acrescentar 108 + 19 = 127
cubos de aresta 1 cm para formar um cubo de aresta 7 cm.
(c) No plano da base, podemos colocar 3 cubos de aresta 3 cm, conforme a figura.
É posśıvel colocá-los e outras maneiras, mas não é posśıvel colocar mais do que
3, pois o queremos um cubo de aresta 7 cm. Veja alguns exemplos.
Da mesma forma, podemos colocar mais uma camada de cubos de aresta 3 cm,
ficando agora com 6 cubos de aresta 3 cm. Também é posśıvel colocá-los de
várias maneiras, mas não mais do que 3, pois a soma das arestas alinhadas não
pode ser maior do que 7 cm. Vamos tomar um caso, sem perda de generalidade.
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POTI - Geometria N1 - Aula 3 - Prof. Bruno Holanda & Emiliano Chagas
Veja que agora só é posśıvel colocar mais 1 cubo de aresta 3 cm, sob a face
marcada que ainda não recebeu nenhum cubo, ficando agora com 7 cubos de
aresta 3 cm. Também, sem perda de generalidade, vamos tomar um caso.
Para finalmente obter um cubo de aresta 7 cm, os demais espaços devem obri-
gatoriamente serem preenchidos com cubos de aresta 1 cm. Como é posśıvel ter
no máximo 2 cubos de aresta 3 cm em cada uma das três dimensões do cubo de
aresta 7 cm, só há espaço para 23 = 8 cubos de aresta 3 cm. Um deles não pode
ser colocado, para haver espaço para o cubo de aresta 4 cm. Assim conclúımos
que não é posśıvel utilizar mais do que 7 cubos.
15