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CNU (Bloco Temático 8 - Nível
Intermediário) Matemática - 2024
(Pós-Edital)
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Equipe Exatas Estratégia
Concursos
02 de Fevereiro de 2024
14964078655 - Matheus C C Riani
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Índice
..............................................................................................................................................................................................1) Noções Introdutórias 3
..............................................................................................................................................................................................2) Prisma 10
..............................................................................................................................................................................................3) Pirâmide 17
..............................................................................................................................................................................................4) Cilindro 22
..............................................................................................................................................................................................5) Cone 25
..............................................................................................................................................................................................6) Esfera 32
..............................................................................................................................................................................................7) Inscrição e Circunscrição de Sólidos 35
..............................................................................................................................................................................................8) Questões Comentadas - Prisma - Cesgranrio 49
..............................................................................................................................................................................................9) Questões Comentadas - Cilindro - Cesgranrio 64
..............................................................................................................................................................................................10) Questões Comentadas - Esfera - Cesgranrio 71
..............................................................................................................................................................................................11) Lista de Questões - Prisma - Cesgranrio 75
..............................................................................................................................................................................................12) Lista de Questões - Cilindro - Cesgranrio 82
..............................................................................................................................................................................................13) Lista de Questões - Esfera - Cesgranrio 86
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GEOMETRIA ESPACIAL 
Noções Introdutórias 
Poliedros 
O primeiro passo na Geometria Espacial é entender o que é um poliedro. Para isso, é preciso que você tenha 
feito a aula de Geometria Plana, pois usaremos muitos conceitos vistos lá. Vamos lá! 
 
 
Poliedro é um sólido geométrico limitado por uma quantidade finita de polígonos. Além 
disso, é importante ressaltar que cada um desses polígonos divide um lado com um outro, 
vizinho a ele. 
 
Professor, é o quê?!! Calma, aluno! Quando falamos assim, realmente parece um pouco complicado. No 
entanto, vamos visualizar alguns poliedros. 
 
Talvez o poliedro mais conhecido seja o cubo (que é o primeiro da esquerda na figura acima). Note que o 
cubo tem seis faces e cada uma dessas faces é um quadrado. Aproveitando esse cubo, vamos estudar alguns 
elementos que estão presentes nos poliedros de modo geral. 
 
 
 
- A face normalmente é conhecida como o "lado" do poliedro. Uma observação importante é que ela sempre 
será um polígono. 
Exemplos de Poliedros 
ARESTA 
FACE 
VÉRTICE 
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- A aresta é a intersecção de duas dessas faces. Ademais, também podemos defini-la como sendo o segmento 
de reta que une dois vértices. 
 
- O vértice é o ponto de encontro das arestas. Ele forma um "cantinho" no referido sólido geométrico. 
 
Esclarecido isso, podemos notar que o cubo tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Vocês também chegaram 
nesses números?! 
 
 
 
(PREF. AREIAL/2021) As figuras representam uma pirâmide de base hexagonal e um prisma de base 
pentagonal. Analise as afirmações e coloque (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas. 
 
 
 
( ) Somando as arestas da pirâmide e do prisma obtemos 27 arestas. 
( ) O prisma possui 2 vértices a mais que a pirâmide. 
( ) O prisma possui 10 arestas. 
( ) A pirâmide e o prisma possuem a mesma quantidade de faces. 
 
Marque a alternativa que contém a sequência CORRETA de preenchimento dos parênteses. 
A) V, F, F e V. 
B) V, F, V e F. 
C) F, V, F e F. 
D) V, V, F e V. 
E) F, V, V e F. 
 
Comentários: 
(V) Somando as arestas da pirâmide e do prisma obtemos 27 arestas. 
Lembre-se que uma aresta é o segmento de reta que liga dois vértices. Na pirâmide de base hexagonal que 
o enunciado trouxe, temos 12 arestas. Por sua vez, no prisma de base pentagonal teremos mais 15 arestas. 
Com isso, realmente a soma das quantidades de arestas será 27. 
 
(F) O prisma possui 2 vértices a mais que a pirâmide. 
O vértice é o ponto de encontro de duas arestas, ele forma um "canto" na nossa figura. Na pirâmide, perceba 
que temos 6 vértices na base e mais um no topo. Com isso, contamos sete vértice. Já no prisma, temos 5 
vértices em cada base (superior e inferior). Com isso, totalizamos 10 vértices no prisma analisado. Assim, 
note que o prisma possui 3 vértices (e não 2) a mais que a pirâmide. 
 
(F) O prisma possui 10 arestas. 
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Como já havíamos contado na primeira afirmação, o prisma possui 15 arestas e não 10. 
 
(V) A pirâmide e o prisma possuem a mesma quantidade de faces. 
A face é o que chamamos de "lado" do poliedro. E é sempre um polígono (triângulo, retângulo, pentágono, 
por exemplo). No prisma que o enunciado trouxe, temos 5 faces laterais e 2 bases (que também contam 
como faces). Com isso, são 7 faces no prisma. Por sua vez, na pirâmide, temos 6 faces laterais e uma base 
(como falamos, também é uma face), totalizando sete faces também. Logo, afirmação correta. 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
Agora, quero contar para vocês que podemos classificar os poliedros em convexos ou não convexos. 
 
- Poliedro Convexo: todo poliedro em que qualquer segmento de reta com extremidades nas faces está 
inteiramente contido dentro do poliedro. Para melhor entendimento, veja alguns poliedros convexos. 
 
 
 
Note que as retas que traçamos unindo pontos nas faces ficam totalmente dentro do poliedro!! Quando isso 
acontece para qualquer segmento de reta com essas características, o poliedro é convexo! 
 
- Poliedro Não Convexo (ou côncavo): qualquer poliedro que não seja convexo. 
 
 
 
Nosso estudo se concentrará nos poliedros convexos. 
 
Relação de Euler 
A relação de Euler envolve a quantidade de vértices, faces e arestas em um poliedro convexo. 
𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐 
- 𝑉 é o número de vértices; 
- 𝐹 é o número de faces; 
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- 𝐴 é o número de arestas. 
 
Por exemplo, lembra quando contamos o número de vértices, faces e arestas do cubo? Nós encontramos: 
 
𝐹 = 6; 
𝐴 = 12; 
𝑉 = 8; 
 
Substituindo na expressão, temos que: 
 
8 + 6 = 12 + 2 → 14 = 14 
 
Note que a relação bate certinho para o cubo. Assim, com o intuito de entender como essa relação pode ser 
cobrada, vamos ver uma questão bem atual que exigiu o conhecimento da fórmula acima. 
 
 
 
(PREF. CONCEIÇÃO DE MACABÚ/2020) Os alunos do curso de Licenciatura em Matemática construíram 
durante a aula de Geometria, um poliedro de isopor. Ao analisarem melhor a figura, uma aluna verificou que 
o número de vértices é o quádruplo do número de faces acrescido de dois. Um outro aluno verificou que 
número de arestas é igual ao triplo do número de faces acrescido de doze. Com essas duas observações 
feitas pelos alunos, esse poliedro possui quantos vértices? 
A) 6. 
B) 26. 
C) 30. 
D) 32. 
 
Comentários: 
Pessoal, a questão fala de número de vértices, faces e arestas. Qual a expressão que relaciona toda essas 
três quantidades? É a relação de Euler. 
 
𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2 (1) 
 
Agora vamos ver quais as observações que os alunos fizeram. 
 
- O número de vértices é o quádruplo do número de faces acrescido de dois. 
 
𝑉 = 4𝐹 + 2 (2) 
 
- O número de arestas é igual ao triplo do número de faces acrescido de doze. 
 
𝐴 = 3𝐹 + 12 (3) 
Vamos substituir (2) e (3) em (1). 
 
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==2537cb==
(4𝐹 + 2) + 𝐹 = (3𝐹 + 12) + 2 → 5𝐹 − 3𝐹 = 12 → 2𝐹 = 12 → 𝐹 = 6 
 
Logo, o número de faces desse poliedro de isopor é 6. Podemos usar esse resultado em (2) e determinar o 
número de vértices que a questão pede. 
 
𝑉 = 4 ∙ 6 + 2 → 𝑽 = 𝟐𝟔 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
Poliedros de Platão 
Os poliedros de Platão são poliedros que obedecem a três condições básicas: 
 
(i) Possuem o mesmo número de arestas em cada face; 
(ii) De cada vértice partem a mesma quantidade de arestas; 
(iii) Obedecem a relação de Euler. 
 
Só existem cinco classes de poliedros que obedecem a todas essas condições: o tetraedro, o hexaedro, o 
octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. 
 
Tetraedro 4 faces 
Hexaedro 6 faces 
Octaedro 8 faces 
Dodecaedro 12 faces 
Icosaedro 20 faces 
Poliedros Regulares 
Poliedros regulares são poliedros que também obedecem a algumas condições, quais sejam: 
 
(i) suas faces são polígonos regulares; 
(ii) de cada vértice partem o mesmo número de arestas; 
(iii) são poliedros convexos. 
 
Uma conclusão importante das condições acima é que todo poliedro regular é um poliedro de Platão, mas 
nem todo poliedro de Platão é um poliedro regular. Vamos detalhar. 
 
(i) Note que se as faces de um poliedro regular são polígonos regulares, então toda face tem a mesma 
quantidade de arestas, o que satisfaz a primeira condição que vimos para o Poliedro de Platão; 
 
(ii) A segunda condição para ser um poliedro regular é exatamente a mesma para ser um poliedro de Platão. 
 
(iii) Por sua vez, temos que para ser um poliedro regular, esse poliedro deve ser convexo. Vimos que a relação 
de Euler vale para todo poliedro convexo. Portanto, a terceira e última condição para o poliedro ser um 
poliedro de Platão também está satisfeita. 
 
Vamos conhecer os Poliedros Regulares, eles também são cinco! 
 
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Poliedros Regulares 
Poliedro Planificação Informações 
 
 
O tetraedro regular é uma 
pirâmide em que todas as 
suas 4 faces são triângulos 
equiláteros. 
 
𝑉 = 4 
𝐴 = 6 
 
O hexaedro regular é o "nome 
científico" do famoso cubo. 
Note que todas suas 6 faces 
são quadradas. 
 
𝑉 = 8 
𝐴 = 12 
 
 
O octaedro regular também é 
chamado de bipirâmide 
quadrada. As suas 8 faces são 
triângulos equiláteros. 
 
𝑉 = 6 
𝐴 = 12 
 
 
O dodecaedro regular é 
formado por 12 faces! Cada 
uma das faces é um 
pentágono regular. 
 
𝑉 = 20 
𝐴 = 30 
 
O icosaedro regular é 
formado por 20 faces! Cada 
uma das faces é um triângulo 
equilátero. 
 
𝑉 = 12 
𝐴 = 30 
 
Tetraedro Regular 
Hexaedro Regular 
Octaedro Regular 
Dodecaedro Regular 
Icosaedro Regular 
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(PREF. MAIRINQUE/2011) Um poliedro é considerado regular se todas as suas faces forem formadas por 
polígonos regulares idênticos e também se todos os seus vértices forem o ponto de encontro do mesmo 
número de arestas. Assinale a alternativa que apresenta um poliedro regular. 
 
A) B) C) 
 
 
D) E) 
 
Comentários: 
Questão apenas para identificarmos o que acabamos de ver! Conforme vimos na lista anterior, o cubo 
(hexaedro regular) é um poliedro regular. Podemos marcar a alternativa B de cara. 
 
O cilindro e o cone não são poliedros. Eles são "corpos redondos" que estudaremos em breve. Já a pirâmide 
e o prisma triangular das alternativas A e E não se encaixam na definição de poliedro regular. Para isso, basta 
observarmos que suas faces não são polígonos regulares. 
 
Gabarito: LETRA B. 
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Prisma 
O prisma é um poliedro convexo que possui duas bases paralelas distintas (que são polígonos). As faces 
laterais são paralelogramos. Vamos conhecer alguns. 
 
 
 
O prisma da esquerda é chamado de prisma quadrangular, pois sua base é um quadrilátero. Por sua vez, o 
prisma da direita é um prisma pentagonal, pois sua base é um pentágono. Vamos conhecer seus elementos. 
 
 
 
 
Todos os prismas terão os elementos acima. Especial atenção nas duas bases paralelas, ok?! Dito isso, quero 
apresentar para dois prismas bem famosos. 
 
 
 
Esses dois sólidos geométricos são os mais comuns em prova!! Todos dois são prismas quadrangulares. A 
principal diferença entre os dois é que, no cubo, todas as arestas possuem a mesma medida. Normalmente, 
as questões vão nos perguntar sobre áreas e volumes. Vamos falar sobre isso! 
BASE 
ARESTA DA BASE 
FACE LATERAL 
ARESTA LATERAL 
BASE 
𝑎 
𝑎 
𝑎 
𝑎 
𝑏 
𝐏𝐀𝐑𝐀𝐋𝐄𝐋𝐄𝐏Í𝐏𝐄𝐃𝐎 𝐂𝐔𝐁𝐎 
𝑐 
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Áreas 
A área total da superfície de um prisma é calculada por meio da seguinte soma: 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
Observe que a área total é composta de duas parcelas. A área lateral e a área da base. 
 
 - Área Lateral (𝑨𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍): soma das áreas das faces laterais. No prisma, as faces laterais são 
paralelogramos (mais especificamente, serão retângulos quando os prismas forem retos). 
 
 - Área da Base (𝑨𝒃𝒂𝒔𝒆): É a área do polígono que está na base. Se a base for um quadrado, será a área 
do quadrado, se for um pentágono, será a área do pentágono, etc. 
 
 
No paralelepípedo acima, vemos que as bases são retângulos de lados "a" e "b", enquanto as faces são dois 
retângulos de lados "b" e "c" e outros dois de lados "a" e "c". Podemos visualizar isso com a planificação. 
 
 
 
 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
𝑐 
𝑎 
𝑏 
𝑎 
𝑏 
BASE 
BASE 
FACE 
LATERAL 
FACE 
LATERAL 
FACE 
LATERAL 
FACE 
LATERAL 
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==2537cb==
- Cálculo da Área Lateral: 
Temos quatro faces laterais. Nos prismas retos, elas serão retângulos. Aprendemos na aula de Geometria 
Plana que a área de retângulos é calculada pelo produto de suas duas dimensões. Assim, 
 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 → 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 
 
- Cálculo da Área da Base: 
A base é um retângulo de lados "a" e "b". Assim, 
 
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑎𝑏 
 
- Cálculo da Área Total: 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
Vamos substituir o que achamos. 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 
 𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐 ∙ (𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 + 𝒂𝒃) 
Essa é a área superficial de um paralelepípedo. Ela aparece em provas com uma certa frequência! Nos cubos, 
todas as arestas são iguais a "a", podemos fazer o seguinte: 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ (𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑎 ∙ 𝑎) → 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ (𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎2) → 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 3𝑎2 
𝑨𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟔𝒂𝟐 
Essa é a área superficial de um cubo! Vamos praticar um pouco essa teoria. 
 
 
 
(PREF. FRECHEIRINHA/2021) Sabendo que as arestas de um hexaedro regular medem 4 cm cada uma, 
determine a área total da superfície. 
A) 96 cm². 
B) 60 cm². 
C) 24 cm². 
D) 36 cm². 
E) 48 cm². 
 
Comentários: 
Um hexaedro regular é um nome bonito para "cubo". Isso mesmo, hexaedro regular é um cubo. 
 
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Um cubo possui 6 faces. Cada face é exatamente um quadrado de arestas iguais a 4 cm. Assim, para calcular 
a área total da superfície, basta calcular a área do quadrado e multiplicá-la por 6. Da aula de Geometria 
Plana, a área de um quadrado é dada por: 
 
𝐴𝑄 = 𝑎2 
 
Substituindo o valor da aresta 𝑎 = 4: 
𝐴𝑄 = 42 → 𝐴𝑄 = 16 𝑐𝑚² 
 
Essa é a área de uma das faces. O cubo tem 6. Assim, 
 
𝐴𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 ∙ 𝐴𝑄 → 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 ∙ 16 → 𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 96 𝑐𝑚² 
 
Gabarito: LETRA A. 
Volume 
Quando calculamos o volume de algum sólido, estamos quantificando o espaço que está sendo ocupado 
por ele. Considere o prisma abaixo, como exemplo, 
 
 
 
Para calcular o volume de prismas, usamos a seguinte expressão: 
𝑽 = 𝑨𝒃𝑯 
Em que 𝑨𝒃 é a área da base e 𝑯 é a altura. No caso do paralelepípedo, vamos ter o seguinte: 
 
4 cm 
4 cm 
4 cm 
𝐴𝑏 
𝐻 
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A base é um retângulo de lados "a" e "b". Assim, sua área é dada por: 𝐴𝑏 = 𝑎𝑏. Por sua vez, temos uma 
altura de medida "c". O volume fica: 
𝑽 = 𝒂𝒃𝒄 
Esse é o volume de um paralelepípedo! Cai demais em questões! Ele é dado pelo produto das três dimensões! 
No caso do cubo, lembre-se que todas as arestas medem "a". Logo, 
 
𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 
𝑽 = 𝒂𝟑 
Esse é a fórmula para calcularmos o volume de um cubo. 
 
 
(PM-SP/2021) Estudos feitos em 2018 pelo Instituto Trata Brasil, a partir de dados do Sistema Nacional de 
Informações sobre Saneamento (Snis), mostrou que cerca de 38% da água potável que passa por sistemas 
de distribuição no Brasil é desperdiçada em vazamentos durante o processo de produção, tratamento e 
distribuição. Também entram nessa conta desvios ilegais e furtos de água. Esse volume de água equivale a 7 
mil piscinas olímpicas de água potável jogadas fora todos os dias. 
Considerando que piscinas olímpicas precisam ter um comprimento de 50 metros, uma largura de 25 metros 
e profundidade mínima de 2 metros, o volume de água potável desperdiçada diariamente nos sistemas de 
distribuição no Brasil, segundo o estudo citado anteriormente, é de, no mínimo, 
A) 6,65 bilhões de litros. 
B) 2,5 milhões de litros. 
C) 17,5 bilhões de litros. 
D) 17,5 milhões de litros. 
E) 6,65 milhões de litros. 
 
Comentários: 
𝑎 
𝑏 
𝑐 
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A piscina olímpica tem a forma de um paralelepípedo com dimensões informadas pelo enunciado: 
 
Vimos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões. Assim, 
𝑉 = 2 ∙ 50 ∙ 25 → 𝑉 = 2500 𝑚³ 
 
Observe que a quantidade de água desperdiçada equivale a 7 mil piscinas dessas. 
 
𝑉á𝑔𝑢𝑎 = 7000𝑉 → 𝑉á𝑔𝑢𝑎 = 7000 ∙ 2500 → 𝑉á𝑔𝑢𝑎 = 17.500.000 𝑚³ 
 
Observe que o volume nas alternativas está em litros, mas encontramos em metros cúbicos. Assim, para 
transformar metros cúbicos em litros, devemos multiplicar o resultado por 1000. 
 
𝑉á𝑔𝑢𝑎 = 17.500.000 ∙ 1000 → 𝑉á𝑔𝑢𝑎 = 17.500.000.000 𝐿 
 
Assim, a quantidade de água desperdiçada é de 17,5 bilhões de litros. 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
 
2 m 
50 m 
25 m 
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Nome Prisma Área Superficial e Volume 
Paralelepípedo 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏) 
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 
Cubo 
 
 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝑎2 
 
𝑉 = 𝑎3 
Prisma 
Qualquer 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
𝑉 = 𝐴𝑏𝐻 
 
𝑏 
𝑐 
𝑎 
𝑎 
𝑎 
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16
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Pirâmide 
Chegou a vez de falarmos das pirâmides! Elas são poliedros! Aqui, faces laterais serão triângulos!! Observe 
algumas. 
 
Note que nas pirâmides, vamos ter uma única base. Ademais, algumas arestas que partem da base se 
encontram em um ponto superior, que vamos chamar de vértice da pirâmide. 
Áreas 
A área superficial total de uma pirâmide é calculada de maneira muito semelhante à que vimos 
anteriormente para prismas. A diferença é que não multiplicaremos a área da base por 2, afinal, aqui só 
temos uma única base mesmo. 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
Volume 
Por sua vez, o volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão: 
𝑉 =
𝐴𝑏𝐻
3
 
Em que 𝑨𝒃 é a área da base e 𝑯 é a altura. Uma observação importante é que há a divisão por 3, fato que 
não acontece para os prismas. 
 
(PREF. PERUÍBE/2019) Uma pirâmide de base retangular e altura 12 cm tem volume de 100 cm³. A área da 
base dessa pirâmide, em cm², é 
A) 25. 
B) 26. 
C) 30. 
D) 36. 
E) 50. 
𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 
𝑻𝑹𝑰𝑨𝑵𝑮𝑼𝑳𝑨𝑹 
𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 
𝑸𝑼𝑨𝑫𝑹𝑨𝑵𝑮𝑼𝑳𝑨𝑹 
𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 
𝑷𝑬𝑵𝑻𝑨𝑮𝑶𝑵𝑨𝑳 
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Comentários: 
Questão para aplicarmos a fórmula que acabamos de ver. O volume de uma pirâmide é dado por: 
 
𝑉 =
𝐴𝑏 ∙ ℎ
3
 
 
Como o enunciado disse que 𝐕 = 𝟏𝟎𝟎 𝐜𝐦³ e 𝐡 = 𝟏𝟐 𝐜𝐦, vamos substituir esses valores na fórmula acima 
para determinar a área da base 𝐴𝑏. 
 
100 =
Ab ∙ 12
3
 → 4 ∙ Ab = 100 → Ab = 25 cm² 
 
Gabarito: LETRA A. 
Tronco de Pirâmide 
Grosso modo, o tronco de pirâmide é um pedaço dela. Observe a situação: 
 
 
 
Temos um plano paralelo à base seccionando as pirâmides. Esse plano divide a pirâmide maior em duas 
partes: uma pirâmide menor, na parte superior, e um tronco de pirâmide, na parte inferior. Vou separar 
apenas os troncos para podermos analisá-los melhor. 
 
 
𝒉𝒕 é a altura do tronco, enquanto B representa a área da base maior eb, a área da base menor. 
 
O volume desses troncos pode ser calculado de duas formas. 
ℎ𝑡 ℎ𝑡 
𝐵 𝐵 
𝑏 
𝑏 
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18
88
==2537cb==
 
Para chegarmos na primeira forma, é importante entendermos o seguinte: 
 
 
 
Assim, veja que podemos calcular o volume de um tronco pegando o volume da pirâmide maior e subtraindo 
o volume da pirâmide menor. Assim, 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 
A segunda forma de calcularmos o volume de um tronco de pirâmide é aplicando a fórmula abaixo: 
𝑉 =
ℎ𝑇
3
(𝐵 + √𝐵𝑏 + 𝑏) 
Relembrando: 𝒉𝒕 é a altura do tronco, enquanto B representa a área da base maior e b, a área da base 
menor. 
 
Para nosso curso, não há custo benefício em demonstrar a expressão acima. Ela cai muito raramente e em 
concursos específicos da área da matemática. De qualquer forma, na maioria das vezes poderemos usar a 
primeira alternativa. 
 
 
(PREF. SOLÂNEA/2019 - ADAPTADA) Uma pirâmide regular de base quadrada com h cm de altura é 
seccionada por um plano paralelo à base, determinando dois sólidos: uma pirâmide menor e um tronco de 
pirâmide. O volume do tronco de pirâmide é sete vezes o volume da pirâmide menor. Pode-se afirmar que a 
altura do tronco é: (use: B/b = 4) 
𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 𝑴𝑨𝑰𝑶𝑹 𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 𝑴𝑬𝑵𝑶𝑹 𝑻𝑹𝑶𝑵𝑪𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑰𝑹Â𝑴𝑰𝑫𝑬 
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88
A) h/5 cm 
B) h/3 cm 
C) h/6 cm 
D) h/4 cm 
E) h/2 cm 
 
Comentários: 
Temos a seguinte situação: 
 
 
 
O enunciado disse que o volume do tronco de pirâmide é sete vezes o volume da pirâmide menor. Assim, 
 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 7 ∙ 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (1) 
 
Ademais, sabemos que: 
 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (2) 
 
Substituindo (1) em (2): 
 
7 ∙ 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 
 
Logo, 
 
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 8 ∙ 𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (3) 
 
Sabemos que o volume de uma pirâmide é dado por: 
 
𝑉 =
𝐴𝑏𝐻
3
 
 
- Para a pirâmide maior, ficamos com: 
𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 =
𝐵ℎ
3
 
 
- Para a pirâmide menor, ficamos com: 
 
ℎ 
ℎ𝑝 
ℎ𝑡 
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𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
𝑏ℎ𝑝
3
 
 
Assim, usando esses dois resultados em (3): 
 
𝐵ℎ
3
=
8𝑏ℎ𝑝
3
 → ℎ𝑝 = (
𝐵
𝑏
)
ℎ
8
 
 
Usando o dado do enunciado que 
𝐵
𝑏
= 4, ficamos com: 
 
ℎ𝑝 = 4 ∙
ℎ
8
 → ℎ𝑝 =
ℎ
2
 
 
Essa é a altura da pirâmide menor em função de h. Para encontrar a altura do tronco, fazemos: 
 
ℎ𝑡 = ℎ − ℎ𝑝 
 
Substituindo, 
 
ℎ𝑡 = ℎ −
ℎ
2
 → 𝒉𝒕 =
𝒉
𝟐
 
 
Gabarito: LETRA E. 
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Cilindro 
Opa!! Entramos nos cilindros! Nesse ponto, deixamos de falar de poliedros. O cilindro, o cone e a esfera são 
exemplos do corpos redondos. A partir desse ponto, não precisaremos mais falar de vértices, arestas ou 
faces. Observe os elementos de um cilindro. 
 
Esse é um cilindro circular reto. Chamamos o cilindro de reto quando a geratriz for perpendicular ao plano 
das bases. 
 
Agora, observe um exemplo de cilindro circular oblíquo. 
 
 
 
Na maioria das vezes, lidaremos com cilindros retos. 
 
 No entanto, vale a pena saber que também existem os cilindros oblíquos, tudo bem? 
Áreas 
Para calcular a área superficial, é interessante planificarmos o cilindro circular reto. 
 
ℎ 
𝑅 
𝑅 
R: raio da base 
h: altura do cilindro 
𝑒 
e: eixo do cilindro 
g: geratriz 
R: raio da base 
h: altura do cilindro 
e: eixo do cilindro 
g: geratriz 
𝑒 
𝑅 
𝑅 
ℎ 
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88
 
 
Observe que quando planificamos um cilindro, a sua lateral é um retângulo de lados "2𝜋𝑅" e "h". Logo, 
 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅ℎ 
 
Por sua vez, as bases são círculos. Com isso, a área da base fica: 
 
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑅2 
 
Como temos duas bases, devemos considerar essa área duas vezes. Assim, a área superficial total fica: 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2 ∙ 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅ℎ + 2𝜋𝑅2 
 
Colocando 2𝜋𝑅 em evidência: 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅(ℎ + 𝑅) 
Volume 
O volume de um cilindro é calculado da mesma forma que fizemos para o prisma. 
 
𝑉 = 𝐴𝑏ℎ 
 
Como sabemos que a área da base é 𝜋𝑅2, podemos substituir: 
𝑉 = 𝜋𝑅2ℎ 
h 
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==2537cb==
 
 
(PM-SP/2021) Para abastecer os carros da corporação, há um tanque cilíndrico de combustível, com 2 m de 
diâmetro e 1,5 m de altura. A capacidade desse tanque é de, aproximadamente, 
A) 4.100 litros. 
B) 4.400 litros. 
C) 4.700 litros. 
D) 5.000 litros. 
E) 5.300 litros. 
 
Comentários: 
Quando uma questão de geometria espacial falar de capacidade, ela estará se referindo ao volume. Observe 
que o formato do tanque é cilíndrico. Dessa forma, é o volume de um cilindro que estamos procurando. De 
acordo com o que acabamos de ver, essa grandeza é dada por: 
 
𝑉 = 𝐴𝑏𝐻 
 
A base de um cilindro é um círculo. Assim, sua área pode ser calculada por meio da seguinte fórmula: 
 
𝐴𝑏 = 𝜋𝑅2 
 
O enunciado forneceu o diâmetro. Com ele, podemos determinar o raio R. 
 
R =
D
2
 → R =
2
2
 → R = 1 m 
 
Com o raio em mãos, podemos encontrar a área da base. 
 
Ab = π ∙ 12 → Ab = π cm² 
 
Como 𝜋 ≅ 3,14, vamos substituir: 
 
Ab = 3,14 cm² 
 
A questão também já trouxe a altura do cilindro, 𝐻 = 1,5 𝑚. Assim, 
 
𝑉 = 𝐴𝑏𝐻 → 𝑉 = 3,14 ∙ 1,5 → 𝑉 = 4,71 𝑚³ 
 
Observe que o nosso resultado foi em metros cúbicos (m³). No entanto, as alternativas estão em litros (L). 
 
Para fazer essa transformação, devemos multiplicar o resultado por 1000. 
 
𝑉 = 4,71 ∙ 1000 → 𝑉 = 4710 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
Como a questão fala em valor aproximado, podemos marcar a alternativa C. 
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Cone 
Nosso próximo corpo redondo é o cone! É a forma da casquinha de sorvete! Assim como nos cilindros, temos 
a "versão reta" e a "versão oblíqua". Vamos analisá-las. 
 
 
 
Observe que no cone reto, o eixo é perpendicular ao plano da base. Por sua vez, no cone oblíquo, o eixo 
não será perpendicular. Apresentados ao cone?! Vamos aprender como calcular sua área superficial e seu 
volume. 
Áreas 
Assim como fizemos anteriormente, é interessante planificarmos o cone para entendermos como sua área 
superficial é calculada. 
 
Observe que a área lateral é a área de setor circular cujo ângulo central é 𝜶 e raio é igual a geratriz. Por 
meio de uma regra de três, podemos encontrar que: 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑅𝑔 
𝑒 
ℎ 𝑔 
𝑅 
𝑒 
ℎ 𝑔 
R: raio da base 
h: altura do cilindro 
e: eixo do cilindro 
g: geratriz 
𝑅 
CONE RETO CONE OBLÍQUO 
𝑔 𝑔 𝛼 
2𝜋𝑅 
𝑅 
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88
Por sua vez, a base é um círculo. Sua área sai mais rapidamente: 
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝜋𝑅2 
A área superficial total é a soma das duas. 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑅𝑔 + 𝜋𝑅2 
 
Colocando "𝜋𝑅" em evidência, 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑅 ∙ (𝑔 + 𝑅) 
(PREF. SALVADOR/2019) Em um cone de revolução, cada geratriz mede 12 cm e faz 30° com o eixo do cone. 
A área lateral desse cone em cm² é 
A) 24𝜋 
B) 36𝜋 
C) 48𝜋 
D) 60𝜋 
E) 72𝜋 
 
Comentários: 
A área lateral de um cone é dada por 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑔. Perceba que temos a geratriz, mas não temos o raio. 
Com isso, devemos encontrar o raio (r) a partir do ângulo de 30° que a geratriz faz com o eixo do cone. 
 
 
 
Note que temos um triângulo retângulo em que "r" é o cateto oposto relativo ao ângulo de 30°, enquanto 
g é a hipotenusa. Dessa forma, 
 
sen 30° =
𝑟
𝑔
 → 𝑟 = 𝑔 ∙ sen 30° 
 
Substituindo 𝒈 = 𝟏𝟐 e 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝟎° = 𝟏/𝟐 : 
30° 
r 
g 
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𝑟 = 12 ∙
1
2
 → 𝑟 = 6 𝑐𝑚 
 
Com o raio e a geratriz, agora é só substituirmos esses valores na fórmula da área lateral. 
 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋𝑟𝑔 → 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 6 ∙ 12 → 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 76𝜋 𝑐𝑚² 
 
Gabarito: LETRA E. 
Volume 
Já o volume de cone é semelhante ao que vimos para a pirâmide. 
 
𝑉 =
𝐴𝑏ℎ
3
 
 
Como sabemos que a base de um cone é um círculo, podemos usar que 𝐴𝑏 = 𝜋𝑅2. 
𝑉 =
𝜋𝑅2ℎ
3
 
 
 
(PREF. ITANHAÉM/2020) Assinale a alternativa que apresenta o volume de um cone que possui 18 cm de 
raio e 26 cm de altura. Use para π = 3,14. 
A) 1.469,52 cm³ 
B) 13.225,68 cm³ 
C) 26.451,36 cm³ 
D) 8.817,12 cm³ 
E) 4.408,56 cm³ 
 
Comentários: 
Questão para treinarmos a fórmula do volume de um cone. 
 
𝑉 =
𝜋𝑅2ℎ
3
 
 
O enunciado nos disse que 𝑹 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎, 𝒉 = 𝟐𝟔 𝒄𝒎 e 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒. Vamos substituir na fórmula acima. 
 
V =
3,14 ∙ 182 ∙ 26
3
 → V =
81,64 ∙ 324
3
 → 𝐕 = 𝟖. 𝟖𝟏𝟕, 𝟏𝟐 𝐜𝐦² 
 
Gabarito: LETRA D. 
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Tronco de Cone 
Assim como na pirâmide, temos também o tronco de cone. Ele é formado da mesma forma: cortamos um 
cone maior com um plano paralelo a base. Esse corte divide o cone maior em duas partes: um cone menor, 
na parte superior, e um tronco de cone, na parte inferior. Observe como podemos imaginar a situação: 
 
 
 
 
O tronco de cone está representado em verde. Vamos detalhar um pouco mais seus elementos. 
 
 
 
Temos duas formas de calcular o volume do tronco de cone. A primeira é subtraindo o volume do cone 
menor do volume do cone maior. 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 
A outra alternativa é por meio da seguinte fórmula: 
𝑉 =
𝜋ℎ𝑡
3
(𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2) 
Mais uma vez, não fique tão assustado com essa parte relativa aos troncos, ela ainda não é nada comum em 
concursos. Coloco aqui para deixar nosso material mais completo, pois pode ser cobrado eventualmente. 
 
ℎ𝑡 𝑔𝑡 
𝑅 
𝑟 
R: raio da base maior 
r: raio da base menor 
ht: altura do tronco 
gt: raio da base 
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==2537cb==
 
(UFSC/2019) Considere um cone de altura H e raio da base R. A que altura, a partir da base, se deve fazer 
um corte paralelo à base de forma que o tronco de cone correspondente tenha metade do volume do cone 
original? 
 
A) 
𝐻(2− √43 )
2
 B) 
𝐻(√2−1)
4
 C) 
𝐻( √2
3
−1)
2
 D) 
𝐻(2− √2
3 )
2
 E) 
𝐻(4−√2)
4
 
 
Comentários: 
Confira abaixo como fica uma a situação desenhada. 
 
 
O enunciado quer a altura h. Para encontrá-la, devemos usar a informação de que o tronco de cone tem 
metade do volume do cone original. Assim, 
 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 =
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
2
 (1) 
 
Além disso, lembre-se que o volume de um tronco de cone pode ser calculado da seguinte forma: 
 
𝑉𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (2) 
 
Substituindo (1) em (2): 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
2
= 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 → 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟
2
 
 
Com isso, lembre que o volume de um cone é expresso por: 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝐴𝑏𝐻
3
 
 
𝐻 
𝑅 
ℎ 
𝑟 
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Olhando para a figura que desenhamos, podemos escrever que: 
 
- Para o cone maior: 𝐴𝑏 = 𝜋𝑅2 
- Para o cone menor: 𝐴𝑏 = 𝜋𝑟2 
 
- A altura do cone maior é 𝐻. 
- A altura do cone menor é 𝐻 − ℎ. 
 
Assim, 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 =
𝜋𝑅2𝐻
3
 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 =
𝜋𝑟2(𝐻 − ℎ)
3
 
 
Substituindo na expressão que obtemos anteriormente. 
 
𝜋𝑟2(𝐻 − ℎ)
3
=
1
2
∙
𝜋𝑅2𝐻
3
 
 
Simplificando, 
 
2𝑟2(𝐻 − ℎ) = 𝑅2𝐻 (3) 
 
 
 
Observe o triângulo retângulo destacado. Nós podemos desenvolver uma semelhança de triângulos. 
 
𝑟
𝑅
=
𝐻 − ℎ
𝐻
 → 𝑟 = 𝑅 ∙ (
𝐻 − ℎ
𝐻
) (4) 
 
Substituindo (4) em (3): 
 
2𝑅2 ∙ (
𝐻 − ℎ
𝐻
)
2
∙ (𝐻 − ℎ) = 𝑅2𝐻 
 
𝐻 
𝑅 
ℎ 
𝑟 
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88
Podemos cortar os raios (R). 
 
2(𝐻 − ℎ)3
𝐻2
= 𝐻 → 2(𝐻 − ℎ)3 = 𝐻3 
 
Tirando a raiz cúbica dos dois lados. 
 
√2(𝐻 − ℎ)33
= √𝐻33
 → √2
3
∙ (𝐻 − ℎ) = 𝐻 
 
Isolando o "h". 
 
√2
3
𝐻 − √2
3
ℎ = 𝐻 → √2
3
ℎ = √2
3
𝐻 − 𝐻 → ℎ =
𝐻(√2
3
− 1)
√2
3 
 
Racionalizando com √223
 
 
ℎ =
𝐻(√2
3
− 1)
√2
3 ∙
√223
√223 → 𝒉 =
𝑯(𝟐 − √𝟒
𝟑
)
𝟐
 
 
Ufa!! Essa não foi simples, em? Coloquei essa questão pois ela envolve diversos assuntos e serve como uma 
boa revisão! Note que falamos sobre: cones, triângulo retângulo, semelhança de triângulos, racionalização 
e tudo isso com uma boa dose de manipulações algébricas! (rsrs) 
 
Gabarito: LETRA A. 
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Esfera 
Chegamos ao nosso último sólido e corpo redondo! A esfera! Acredito que é o que temos mais familiaridade 
e a abordaremos de forma bem direta nessa aula. Observe o seu formato. 
 
 
 
Sobre a esfera, as questões gostam de explorar a sua área superficial. Para calculá-la, utilizamos a fórmula: 
𝐴𝑠 = 4𝜋𝑅2 
Essa é uma outra fórmula em que o custo benefício de demonstrá-la é praticamente nulo. 
 
 
 
(PREF. SR CANAÃ/2019) A área da superfície de uma esfera de diâmetro 6 m é: (dado: 𝜋 = 3) 
A) 18 m². 
B) 36 m². 
C) 81 m². 
D) 108 m². 
E) 212 m². 
 
Comentários: 
Galera, a área superficial de uma esfera é dada: 
 
𝐴𝑠 = 4𝜋𝑅2 
 
O enunciado nos forneceu o diâmetro. Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio. Assim, 
 
𝑅 
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32
88
D = 2R → R =
D
2
 → R =
6
2
 → R = 3 m 
 
O raio da esfera é 3 m. Podemos substituir na fórmula, não esquecendo que a questão pediu paraconsiderar 
𝜋 = 3. 
 
As = 4 ∙ 3 ∙ 32 → As = 12 ∙ 9 → 𝐀𝐬 = 𝟏𝟎𝟖 𝐦² 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
Por fim, também devemos saber como calculamos o seu volume. Anote aí o volume da esfera: 
𝑉 =
4𝜋𝑅3
3
 
 
 
(PREF. CABEDELO/2020) Considere uma esfera de raio de 3 cm. A razão entre o volume e a área da superfície 
dessa esfera é: 
A) 1 cm 
B) 1 cm³ 
C) 2𝜋 cm 
D) 𝜋 cm² 
E) 𝜋 
 
Comentários: 
Questão apenas para treinar as fórmulas que estamos vendo. A esfera tem raio igual a 3 cm. 
 
- Para calcular a área superficial de uma esfera, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
𝐴𝑠 = 4𝜋𝑅2 
 
Substituindo 𝑅 = 3, 
 
𝐴𝑠 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 32 → 𝐴𝑠 = 36𝜋 𝑐𝑚² 
 
- Para calcular o volume de uma esfera, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
𝑉 =
4𝜋𝑅3
3
 
 
Substituindo 𝑅 = 3, 
 
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33
88
==2537cb==
𝑉 =
4 ∙ 𝜋 ∙ 33
3
 → 𝑉 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 32 → 𝑉 = 36𝜋 𝑐𝑚³ 
 
O enunciado pede a razão entre o volume e a área superficial. 
 
𝑉
𝐴𝑠
=
36𝜋 𝑐𝑚³
36𝜋 𝑐𝑚²
 → 
𝑽
𝑨𝒔
= 𝟏 𝒄𝒎 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
 
 
 
 
 
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34
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Inscrição e Circunscrição de Sólidos 
Introdução 
Agora, vamos aplicar tudo que vimos anteriormente para resolver o problema da inscrição e circunscrição 
de sólidos. Você deve lembrar que na aula de Geometria Plana vimos algo semelhante para os polígonos, 
não é mesmo? Quando falamos que um sólido está inscrito em outro, significa que ele está dentro desse 
outro sólido, tangenciando as suas faces. Por sua vez, o sólido externo encontra-se circunscrito. 
 
Dada a infinidade de sólidos geométricos que existem, as possibilidades de inscrição e circunscrição são 
infinitas. Sendo assim, selecionei apenas aquelas mais comuns nas provas para tratar nesse tópico. Por fim, 
a esfera será nossa "atriz principal", então é bom estar bem familiarizado com ela. 
Esfera inscrita no cubo 
Quando a esfera está inscrita no cubo, temos que ela está dentro do cubo. O detalhe mais importante é que 
ela tangencia todas as faces do cubo. Observe como esquematizamos a situação. 
 
Nosso maior objetivo é relacionar o raio da esfera (R) com alguma dimensão do sólido, no caso em tela, a 
aresta do cubo. Para isso, a melhor estratégia é fazermos um "corte" e observar a seção formada. 
 
a 
R 
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Observando a seção formada pelo corte, temos: 
 
Note que o lado do cubo tem o mesmo comprimento do diâmetro da esfera. É o que devemos guardar! 
 
Na esfera inscrita no cubo, o diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo. 
 
𝟐𝑹 = 𝒂 
Esfera circunscrita ao cubo 
Dessa vez, a esfera está por fora do cubo. Os vértices do cubo tangenciam a esfera internamente. 
 
Nosso objetivo aqui é o mesmo, relacionar o raio da esfera com a aresta do cubo. Assim, a estratégia será a 
mesma também: fazer um corte transversal de modo a evidenciar essas dimensões no plano. 
𝑅 
𝑎 
𝑅 
a 
R 
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O corte mais interessante deve ser feito de tal forma que os vértices do cubo estejam incluídos bem com as 
diagonais das faces. Observe como fica o corte: 
 
Perceba que o diâmetro da esfera coincide com a diagonal do cubo. Esse é o nosso principal resultado. 
 
Na esfera inscrita no cubo, o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo. 
 
𝟐𝑹 = √𝟑𝒂 
 
 
a 
R 
𝑅 
√2𝐿 
𝐿 
𝑅 
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==2537cb==
(INÉDITA/2023) Considere uma esfera de área superficial igual a 36𝜋 cm² que está inscrita em um cubo. 
Assinale a alternativa que contém a área superficial do cubo. 
A) 18 cm² 
B) 36 cm² 
C) 81 cm² 
D) 108 cm² 
E) 72 cm² 
 
Comentários: 
 
 
 
Como a questão deu a área superficial, podemos encontrar o raio da esfera. 
 
𝐴𝑠 = 4𝜋𝑅2 → 4𝜋𝑅2 = 36𝜋 → 𝑅2 = 9 
 
𝑅 = 3 cm 
 
Ora, como a esfera está inscrita no cubo, temos que o diâmetro é igual a aresta do cubo. Sendo assim: 
 
𝑎 = 2𝑅 → 𝑎 = 2 ⋅ 3 → 𝑎 = 6 cm 
 
Com a aresta do cubo, podemos encontrar a sua área superficial: 
 
𝐴𝑠,𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6𝑎2 → 𝐴𝑠,𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6 ⋅ 62 → 𝑨𝒔,𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝟏𝟎𝟖 cm² 
 
Gabarito: LETRA D. 
Esfera inscrita na pirâmide 
Uma esfera também pode estar inscrita em uma pirâmide. Para hoje, trabalharemos com uma pirâmide de 
base quadrada, mas poderia ser uma base pentagonal, hexagonal... O raciocínio que desenvolveremos é 
passível de ser aplicado a todos esses casos, tudo bem? Observe a situação abaixo. 
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Parece um pouco mais complicado, não é verdade? "H" é a altura da pirâmide, "L" é a aresta lateral, "a" é a 
aresta da base e "R" é o raio da esfera. O corte que faremos deverá conter o triângulo ABC pois é um corte 
que engloba os pontos onde a esfera tangencia as faces triangulares. 
 
 
R 
a 
H 𝐿 
B 
A 
C D 
O 
R 
a 
H 
𝐿 
B 
A 
C D 
O O 
𝑅 
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Quando destacamos essa seção, temos o seguinte resultado: 
 
Para relacionarmos as dimensões, podemos usar a semelhança entre os triângulos BOE e BDC. 
 
𝑂𝐸
𝐷𝐶
=
𝑂𝐵
𝐵𝐶
 
 
Observe que 𝐵𝐶 pode ser determinada usando Teorema de Pitágoras no triângulo BDC. 
 
𝐵𝐶
2
= 𝐵𝐷
2
+ 𝐷𝐶
2
 
 
𝐵𝐶
2
= 𝐻2 + (
𝑎
2
)
2
 
 
𝐵𝐶 = √𝐻2 + (
𝑎
2
)
2
 
 
Na semelhança de triângulos, ficamos com: 
 
𝑂𝐸
𝐷𝐶
=
𝑂𝐵
𝐵𝐶
 
 
R 
a/2 
𝑅 
H 
B 
A D C 
E 
O 
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𝑅
𝑎
2
=
𝐻 − 𝑅
√𝐻2 + (
𝑎
2)
2
 
Pessoal, essa não é uma expressão para ser decorada. O objetivo aqui é apenas mostrar o raciocínio a ser 
desenvolvido caso uma questão como essa apareça em sua prova. Busque sempre o corte transversal que 
traga mais informações e, depois, tente encontrar uma semelhança de triângulos. Para um exemplo de 
aplicação, observe a questão 10 da nossa lista de exercícios! 
Esfera inscrita no cilindro equilátero 
Esse é um dos casos mais simples. Observe como desenhamos a situação. 
 
 
Nesse caso, a esfera tangencia a superfície lateral do cilindro bem como o centro das bases. É importante 
lembrar que um cilindro equilátero é aquele que possui altura igual ao diâmetro da base. Agora, vamos 
fazer aquele corte para observarmos com mais atenção as dimensões envolvidas. 
 
Quando visualizamos a seção transversal destacada pelo corte, temos: 
R 
H 
r 
R 
2r 
r 
O 
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Note que o diâmetro da esfera é igual ao diâmetroda base (que, por sua vez, é igual a altura do cilindro). 
Logo, os raios também são iguais. 
 
Na esfera inscrita no cilindro equilátero, o raio da esfera é igual ao raio da base do 
cilindro. Assim, seja “R” o raio da esfera e “r” o raio da base do cilindro, temos: 
 
𝑹 = 𝒓 
Esfera circunscrita ao cilindro 
Nesse caso, a esfera está externa ao cilindro conforme o seguinte desenho. 
 
 
𝑅 
2𝑟 
𝑅 
R 
H r 
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Vamos fazer um corte que pegue ao mesmo tempo o diâmetro da base do cilindro e o diâmetro da esfera. 
 
Quando visualizamos esse corte mais atentamente, obtemos: 
 
Note o triângulo retângulo destacado. Para relacionarmos as dimensões, podemos usar Pitágoras. 
 
(2𝑅)2 = (2𝑟)2 + 𝐻2 
 
4𝑅2 = 4𝑟2 + 𝐻2 
 
𝑅 =
√4𝑟2 + 𝐻2
2
 
 
Pessoal, essa é uma outra expressão que não precisa ser decorada. O nosso esforço aqui deve ser no 
entendimento do problema para que, na hora da prova, vocês rapidamente consigam desenrolar. 
R 
H r 
𝑅 
2𝑟 
𝐻 
𝑅 
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(INÉDITA/2023) Considere um cilindro com volume igual a 125𝜋 cm³ que está inscrito em uma esfera. Se a 
altura desse cilindro é igual a 5 cm, assinale a alternativa que contém o volume da esfera. 
A) 625𝜋√5/6 
B) 125𝜋√5/12 
C) 75𝜋√3/6 
D) 625𝜋√2/6 
E) 125𝜋√2/12 
 
Comentários: 
Note que o cilindro está inscrito na esfera. Isso é o mesmo que dizer que a esfera está circunscrita ao cilindro. 
Tudo bem? Sendo assim, vamos desenhar a situação. 
 
 
 
Como temos o volume a altura do cilindro, podemos encontrar o raio da base "r". 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2𝐻 
 
𝜋𝑟2 ⋅ 5 = 125𝜋 
 
𝑟2 = 25 
 
𝑟 = 5 cm 
 
Ora, com o raio da base e a altura, podemos encontrar o raio da esfera por meio da expressão que chegamos 
na teoria: 
 
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𝑅 =
√4𝑟2 + 𝐻2
2
 
 
𝑅 =
√4 ⋅ 52 + 52
2
 
 
𝑅 =
5√5
2
 
 
Pronto! Com o raio da esfera, calculamos o seu volume. 
 
𝑉𝑒 =
4𝜋𝑅3
3
 → 𝑉𝑒 =
4𝜋
3
(
5√5
2
)
3
 → 𝑉𝑒 =
4𝜋
3
⋅ 
625√5
8
 → 𝑉𝑒 =
625𝜋√5
6
 
 
Gabarito: LETRA A. 
Esfera inscrita no cone 
Quando temos uma esfera inscrita no cone, devemos visualizar algo semelhante a figura abaixo: 
 
Da mesma forma que fizemos anteriormente, vamos passar um plano que contenha o vértice do cone, o 
centro da esfera e o centro da base. O resultado desse corte é mostrado no desenho a seguir: 
 
R 
𝑟 
𝐻 
A 
B C 
O 
D 
E 
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Trata-se de uma situação em que precisaremos usar a semelhança de triângulos. Note que o triângulo AOE 
é semelhante ao triângulo ADC. Dessa forma, podemos escrever: 
 
𝑂𝐸
𝐷𝐶
=
𝑂𝐴
𝐴𝐶
 
 
Substituímos o que temos: 
 
𝑅
𝑟
=
𝐻 − 𝑅
√𝑟2 + 𝐻2
 
 
Vamos treinar como poderia ser uma cobrança desse tema (ver também a questão 8 da nossa lista). 
 
(INÉDITA/2023) Considere uma esfera que está inscrita em um cone reto de altura igual a 8 cm e raio da 
base 6 cm. Assinale a alternativa que contém o volume no interior do cone que não está ocupado pela esfera. 
A) 20𝜋 cm³ 
B) 40𝜋 cm³ 
R 
r 
R 
H 
O 
A 
B 
C D 
E 
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C) 60𝜋 cm³ 
D) 80𝜋 cm³ 
E) 100𝜋 cm³ 
 
Comentários: 
É a situação estudada anteriormente. Temos uma esfera inscrita no cone. 
 
Como queremos o volume no interior do cone que não está ocupado pela esfera, devemos fazer: 
 
𝑉 = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 
 
𝑉 =
𝜋𝑟2𝐻
3
−
4𝜋𝑅3
3
 
 
Observe que o enunciado forneceu o raio da base do cone e a altura. 
 
𝑟 = 6 𝑐𝑚 
 
𝐻 = 8 𝑐𝑚 
 
Para matarmos o problema, falta apenas determinar o raio da esfera. Para isso, podemos usar a expressão 
que deduzimos. 
 
𝑅
𝑟
=
𝐻 − 𝑅
√𝑟2 + 𝐻2
 
 
Substituindo o que temos: 
 
𝑅
6
=
8 − 𝑅
√62 + 82
 
 
𝑅
6
=
8 − 𝑅
10
 
 
10𝑅 = 48 − 6𝑅 
 
16𝑅 = 48 
 
𝑅 = 3 cm 
 
Pronto! Vamos encontrar o volume procurado: 
 
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𝑉 =
𝜋628
3
−
4𝜋33
3
 
 
𝑉 =
288𝜋
3
−
108𝜋
3
 
 
𝑉 =
180𝜋
3
 
 
𝑉 = 60𝜋 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
Pessoal, como falei anteriormente, temos uma gama de situações que envolvem a inscrição e circunscrição 
de sólidos. São infinitas as possibilidades. Podemos ter prisma inscrito em cilindros, cones em cubos, 
pirâmides em cilindros... Todas essas situações são resolvidas por meio do raciocínio que aprendemos hoje. 
Treine com a lista a seguir que tenho certeza de que ficará bem-preparado para sua prova! 
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QUESTÕES COMENTADAS - CESGRANRIO 
Prisma 
1. (CESGRANRIO/AgeRIO/2023) Uma caixa d’água cúbica de arestas internas medindo 3 m, inicialmente 
cheia, terá seu conteúdo transferido para uma outra caixa d’água, também cúbica, mas de arestas internas 
medindo 4 m. Uma bomba realizará a transferência a 54 litros por minuto. Depois de quantos minutos, a 
partir do início da transferência, as colunas de água das duas caixas terão a mesma altura? 
A) 480 
B) 360 
C) 320 
D) 270 
E) 240 
 
Comentários: 
Vamos esquematizar a situação. 
 
 
O primeiro passo para resolver o exercício é perceber que o volume de água envolvido não muda entre os 
momentos. Sendo assim, como o cubo de aresta igual a 3 m começa cheio, o volume de água que temos é: 
 
𝑉 = 33 → 𝑉 = 27 m³ 
 
No segundo momento, os cubos devem possuir uma altura de água igual a y. Para determinar y fazemos: 
 
3 × 3 × 𝑦 + 4 × 4 × 𝑦 = 27 
 
9𝑦 + 16𝑦 = 27 
 
25𝑦 = 27 
 
3 m 
4 m 4 m 
3 m 
1º momento (𝑡 = 0) 2º momento (𝑡 = 𝑥 min) 
y y 
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𝑦 =
27
25
 
 
Agora que sabemos a altura em que os níveis ficarão iguais, podemos calcular quanto volume de água foi 
transferido para o cubo de 4 m. 
 
𝑉′ = 4 ⋅ 4 ⋅
27
25
 → 𝑉′ =
432
25
 m³ 
 
De acordo com o enunciado, a bomba transfere 54 litros por minuto. Observe que a unidade de volume da 
vazão está diferente. Sendo assim, vamos passar V' para "litros". 
 
𝑉′ =
432
25
⋅ 1000 → 𝑉′ = 17280 L 
 
Com 𝑉′ e a vazão dada, podemos fazer uma regra de três simples para encontrar o tempo pedido. 
 
 
 
Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos multiplicar cruzado. 
 
54𝑥 = 17280 
 
𝑥 =
17280
54
 
 
𝒙 = 𝟑𝟐𝟎 min 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
2. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) Todo ano, os organizadores de uma festa encomendam copos 
de 300 mL em formato de prisma regular hexagonal reto. Para a festa do próximo ano, os organizadores 
pediram que a fábrica também confeccionasse copos de 500 mL, mantendo o mesmoformato e a mesma 
proporção do copo de 300 mL, ou seja, os dois copos devem ser semelhantes. 
 
54 L 1 min 
17280 L x 
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Desprezando-se a espessura do material do copo, qual deve ser a razão entre o lado do hexágono da base 
do copo de 500 mL e do copo de 300 mL? 
A) 3/5 
B) 5/3 
C) √15/3 
D) √15
3
/3 
E) √45
3
/3 
 
Comentários: 
No fundo, a questão pede a razão de semelhança entre os hexágonos da base. Para encontrá-la, devemos 
lembrar que a razão entre os volumes de sólidos proporcionais é igual ao cubo da razão de semelhança. 
Assim: 
 
𝑘3 =
500
300
 → 𝑘3 =
5
3
 → 𝑘 =
√5
3
√3
3 
 
Vamos racionalizar o denominador. 
 
𝑘 =
√5
3
√3
3 ⋅
√323
√323
 
 → 𝒌 =
√𝟒𝟓
𝟑
𝟑
 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
3. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) A Figura a seguir ilustra um aquário que tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 50 cm, 30 cm e 30 cm. Esse aquário está apoiado 
em uma mesa horizontal e já possui uma quantidade de água cujo nível é de 18 cm. Um peixe foi colocado 
no aquário e, estando totalmente submerso, fez com que o nível da água subisse 0,2 cm. 
 
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 Qual o volume, em cm³, do peixe? 
A) 300 
B) 500 
C) 5400 
D) 9000 
E) 27000 
 
Comentários: 
Observe o esquema abaixo! 
 
 
 
Note que quando colocamos o peixe, o seu volume deslocará a água para cima. Essa quantidade de água 
deslocada é igual ao volume do próprio peixe! Assim, para calcular o que pede a questão, devemos olhar 
apenas para o paralelepípedo em azul escuro. 
 
V = abc → V = 0,2 ⋅ 50 ⋅ 30 → 𝐕 = 𝟑𝟎𝟎 𝐜𝐦³ 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
4. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2014) Para embalar cada um dos sabonetes artesanais que produz, Sofia 
utiliza um pedaço de papel cuja área corresponde a 4/3 da superfície total do sabonete, que tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 2 cm de altura. Qual é, em 
cm², a área do pedaço de papel? 
A) 32 
B) 64 
C) 72 
50 cm 
30 cm 
18 
cm 
50 cm 
30 
cm 
18 
cm 
0,2 cm 
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D) 88 
E) 128 
 
Comentários: 
Note que temos um paralelepípedo de dimensões 6 cm x 4,5 cm x 2 cm. Para calcular a área total desse 
sólido, usamos a seguinte expressão: 
 
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 
 
Substituindo 𝒂 = 𝟔, 𝒃 = 𝟒, 𝟓 e 𝒄 = 𝟐, ficamos com, 
 
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ (6 ∙ 4,5 + 4,5 ∙ 2 + 6 ∙ 2) 
 
Asup = 2 ∙ (27 + 9 + 12) → Asup = 96 cm² 
 
Com a área do papel é 4/3 da área da superfície total do sabonete, 
 
𝐴𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 =
4
3
𝐴𝑠𝑢𝑝 → 𝐴𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 =
4 ∙ 96
3
 → 𝑨𝒑𝒂𝒑𝒆𝒍 = 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎² 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
5. (CESGRANRIO/BR/2013) Um reservatório em forma de paralelepípedo, com 16 dm de altura, 30 dm de 
comprimento e 20 dm de largura, estava apoiado sobre uma base horizontal e continha água até a metade 
de sua capacidade. Parte da água foi consumida e, assim, o nível da água baixou 6 dm, como mostra a 
Figura a seguir. 
 
 
 
Quantos litros de água foram consumidos? 
A) 1800 
B) 2400 
C) 3600 
D) 5400 
E) 7200 
 
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Comentários: 
Para sabermos quantos litros de água foram consumidos, devemos lembrar o volume de um paralelepípedo: 
 
𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 
 
Usando 𝑎 = 30, 𝑏 = 20 e 𝑐 = 6, ficamos com, 
 
V = 30 ∙ 20 ∙ 6 → V = 3.600 dm³ 
 
Era interessante saber que: 
 
1 dm3 = 1 L 
 
Logo, 
 
𝑉 = 3.600 𝐿 
 
Obs.: 
- Pessoal, há algumas informação do enunciado que não precisamos usar. Como a questão pede apenas a 
quantidade de água consumida, basta usarmos a altura que a água "desceu" no reservatório. Para a área 
da base, utilizamos as dimensões do retângulo 30 dm x 20 dm. 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Para montar um cubo, dispõe-se de uma folha de cartolina 
retangular, de 30 cm de comprimento e 20 cm de largura. As faces do cubo, uma vez recortadas, serão 
unidas com fita adesiva. Qual é, em centímetros, a medida máxima da aresta desse cubo? 
A) 7 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 11 
 
Comentários: 
Galera, primeiramente vamos calcular área dessa folha retangular. 
 
Afolha = 30 ∙ 20 → Afolha = 600 cm² 
 
Essa área deve cobrir toda a área superficial do cubo, que pode ser encontrada por: 
 
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88
 
 
𝐴𝑐𝑢𝑏𝑜 = 6𝑎2 
 
Em que "a" é a aresta do cubo. Quando igualamos as duas expressões, 
 
6a2 = 600 → a2 = 100 → a = 10 cm 
 
Gabarito: LETRA D. 
 
7. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Oito caixas cúbicas e iguais ocupam 512 dm³. Qual é, em dm², a área 
total de cada caixa? 
A) 16 
B) 48 
C) 96 
D) 256 
E) 384 
 
Comentários: 
Vamos determinar o volume de cada caixa. Como todas elas são iguais, podemos escrever que: 
 
Vcaixa =
512
8
 → Vcaixa = 64 dm³ 
 
De posse do volume de cada um dos cubos, podemos encontrar a aresta "a". 
 
Vcubo = a3 → a3 = 64 → a = 4 dm 
 
Por fim, como queremos saber a área total de cada caixa, devemos lembrar que, em um cubo, vale: 
 
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝑎2 
 
Assim, substituindo o valor da aresta que encontramos. 
 
Atotal = 6 ∙ 42 → 𝐀𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 = 𝟗𝟔 𝐝𝐦² 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
8. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Certa fábrica produz caixas d’água cúbicas de dois tamanhos 
diferentes. A menor delas comporta, no máximo, 3.375 L. A do outro tamanho possui arestas 50 cm maior 
do que as arestas da caixa menor. Qual é, em litros, a diferença entre as capacidades (volumes) das duas 
caixas d’água? 
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A) 3.250 
B) 4.000 
C) 4.625 
D) 5.375 
E) 8.000 
 
Comentários: 
Beleza! A primeira caixa, que tem forma de cubo, tem capacidade de 3.375 L. Sabemos que o volume de um 
cubo é dado por: 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3. Substituindo 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 3.375 𝐿, podemos encontrar o valor da aresta da caixa 
menor. 
 
a3 = 3.375 → a = √3.375
3
 → a = 15 dm 
 
Note que a unidade da aresta é decímetros pois 1𝐿 = 1 𝑑𝑚. Se a aresta da outra caixa é 50 cm (5 dm) maior, 
 
b = a + 5 → b = 20 dm 
 
Com o valor da aresta da caixa maior, podemos calcular sua capacidade (volume). 
 
Vmaior = b3 → Vmaior = 203 → Vmaior = 8.000 dm³ 
 
A questão pede a diferença dos dois volumes. Logo, 
 
∆= 8.000 − 3.375 → ∆= 𝟒. 𝟔𝟐𝟓 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
9. (CESGRANRIO/BR/2010) Os tablets são aparelhos eletrônicos portáteis, maiores que um celular e 
menores que um netbook, ideais para a leitura de livros e jornais. Um dos primeiros tablets lançados no 
mercado americano tem a forma aproximada de um paralelepípedo reto-retângulo de 26,4 cm de 
comprimento, 18,3 cm de largura e 1 cm de espessura. Qual é, em cm³, o volume aproximado desse 
aparelho? 
A) 274,20 
B) 483,12 
C) 795,16D) 1.248,24 
E) 1.932,48 
 
Comentários: 
Para um paralelepípedo, temos o seguinte: 
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==2537cb==
 
 
 
 
Logo, para determinar o volume do aparelho, basta multiplicarmos as dimensões informadas na questão. 
 
V = 18,3 ∙ 1 ∙ 26,4 → 𝐕 = 𝟒𝟖𝟑, 𝟏𝟐 𝐜𝐦³ 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
10. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Uma embalagem tem a forma de um cubo de aresta de 20 cm. O 
material para a base custa R$ 50,00 por m², para as faces laterais custa R$ 20,00 por m², e o material para 
a tampa custa R$ 30,00 por m². O custo unitário de montagem da caixa é de R$ 2,00. O custo total de uma 
embalagem é dado, em reais, por 
A) 6,00 
B) 6,80 
C) 7,40 
D) 8,00 
E) 8,40 
 
Comentários: 
Temos um cubo de aresta igual a 20 cm (0,2 m). Com isso, cada face do cubo, por ser um quadrado, tem 
área igual a: 
 
Aface = 0,22 → Aface = 0,04 m² 
 
A tampa custa um valor diferente, R$ 30,00 por m², 
 
𝑃𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 = 30 ∙ 0,04 → 𝑃𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 = 𝑅$ 1,20 
 
Por sua vez, a base custa R$ 50,00 por m², 
 
𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒 = 50 ∙ 0,04 → 𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑅$ 2,00 
 
As faces laterais (que são 4) têm preço R$ 20,00 por m², logo 
 
𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 = 4 ∙ 20 ∙ 0,04 → 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 = 𝑅$ 3,20 
𝑎 
𝑐 
𝑏 
VOLUME = abc 
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Como a montagem custa R$ 2,00, o custo total sai por: 
 
𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 + 𝑃𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑃𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 + 𝑃𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 
 
𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,20 + 2,00 + 3,20 + 2,00 → 𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8,40 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
11. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Para descobrir o volume de uma garrafa, João, inicialmente, encheu 
um aquário cúbico, de 60 cm de aresta, até a metade. Depois, submergiu a garrafa na água de modo a 
enchê-la completamente. Retirando a garrafa de dentro do aquário, João mediu a altura da água restante 
e descobriu que esta tinha baixado 0,4 cm. Utilizando tais informações, João calculou corretamente o 
volume da garrafa e concluiu que este, em cm³, era igual a 
A) 720 
B) 960 
C) 1.440 
D) 1.800 
E) 2.560 
 
Comentários: 
Pessoal, vamos desenhar um pouco para entender o problema da melhor forma. 
 
 
 
Como apenas metade do aquário é preenchido, a altura de líquido dentro dele é metade da aresta. Ademais, 
quando João enche a garrafa, a altura do aquário baixa 0,4 cm. Assim, 
 
 
60 cm 
30 cm 
60 cm 
60 cm 
30 cm 
60 cm 60 cm 
60 cm 0,4 cm 
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O volume destacado na direita da figura acima é exatamente o que encheu a garrafa, ou seja, um 
paralelepípedo de dimensões 60 cm x 60 cm x 0,4 cm. O volume da garrafa será exatamente o volume dele. 
 
V = 60 ∙ 60 ∙ 0,4 → V = 1.440 cm³ 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
12. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Um reservatório que tem o formato de um paralelepípedo reto-
retângulo de 2 m de profundidade, 8,5 m de largura e 10 m de comprimento está parcialmente cheio de 
óleo. Se, para enchê-lo completamente, são necessários mais 168.000 litros, quantos litros de óleo há 
dentro desse reservatório? 
A) 2000 
B) 4000 
C) 8000 
D) 12000 
E) 20000 
 
Comentários: 
Primeiramente, vamos calcular o volume do reservatório no formato de paralelepípedo. 
 
 
 
Sendo assim, 
 
V = 2 ∙ 8,5 ∙ 10 → V = 170 m³ 
 
Como 1 m³ = 1.000 L, então 
 
𝑉 = 170.000 𝐿 
 
Se o enunciado fala que ainda faltam 168.000 litros para encher o reservatório, então: 
 
∆ = 170.000 − 168.000 → ∆ = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 𝑳 
 
Gabarito: LETRA A. 
10 
8,5 
2 
VOLUME = abc 
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13. (CESGRANRIO/MEC/2009) Em um cubo de aresta a, a distância entre um vértice e o centro da face 
oposta é igual a 
A) 
𝑎√6
2
 
B) 
𝑎√3
2
 
C) 
𝑎√6
3
 
D) 
𝑎√2
2
 
E) 
𝑎√3
3
 
 
Comentários: 
Vamos desenhar para entender melhor que distância é essa que a questão quer. 
 
 
 
Queremos encontrar o valor de D. Note que ela é igual a hipotenusa do triângulo retângulo em que os 
catetos são uma das arestas e metade da diagonal da base. Assim, 
 
𝐷2 = 𝑎2 + (
𝑎√2
2
)
2
 → 𝐷2 = 𝑎2 +
𝑎2
2
 → 𝐷2 =
3𝑎2
2
 → 𝑫 =
𝒂√𝟔
𝟐
 
 
Gabarito: LETRA A. 
 
14. (CESGRANRIO/IBGE/2014) A Figura mostra diferentes vistas de um sólido vazado, que foi obtido a 
partir de um cubo maciço. O cubo foi composto juntando-se cubinhos de madeira idênticos, face a face, 
sem folgas ou desalinhamentos. Depois de tal cubo ter sido montado, dele foram retirados vários 
cubinhos, em número mínimo para que fosse obtido o sólido vazado apresentado, cujas quatro faces 
laterais são idênticas àquela indicada na Figura central. 
 
 
D 
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O sólido vazado é formado por quantos cubinhos de madeira? 
A) 372 
B) 298 
C) 271 
D) 258 
E) 244 
 
Comentários: 
Primeiramente, vamos calcular quantos cubinhos de madeira teria o sólido caso não fosse vazado. Note que 
o cubo é composto por 7 placas, cada placa com 7 fileiras e cada fileira com 7 cubinhos. Assim, 
 
7 ∙ 7 ∙ 7 = 343 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜𝑠 
 
Essa quantidade seria caso não existissem buracos no cubo. Note que existe um buraco de 3 cubinhos por 
3 cubinhos em cada uma das faces laterais. Vou desenhar uma vista de "cima" para melhor visualização; 
 
 
Em roxo, temos os cubinhos que estão faltando, que totalizam 33 por placa. Como são três placas que estão 
assim, temos 3 ∙ 33 = 99 cubinhos faltando. Logo, o sólido vazado tem: 
 
343 − 99 = 𝟐𝟒𝟒 𝐜𝐮𝐛𝐢𝐧𝐡𝐨𝐬 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
15. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) A figura abaixo mostra um cubo cujas arestas medem 2 metros. Uma 
seção é feita sobre o cubo, perpendicularmente à face ABCD, por meio de um plano que passa pelos pontos 
E e F, que são os pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. A seção define um prisma triangular 
que é retirado do cubo, resultando no sólido exibido na figura, à direita. 
 
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Qual é o volume, em m³, do sólido resultante? 
A) 8 
B) 23/3 
C) 7 
D) 6 
E) 8 − 2√2 
 
Comentários: 
Para começar, vamos calcular o volume do cubo de aresta igual a 2 m. 
 
Vcubo = 23 → Vcubo = 8 m³ 
 
A secção define um prisma cuja base é um triângulo retângulo de catetos iguais a 1 m (metade da aresta). 
A altura desse prisma é a própria altura do cubo. Sendo assim, 
 
𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐴𝑏𝐻 → 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 =
1 ∙ 1
2
∙ 2 → 𝑉𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 1 𝑚³ 
 
Com isso, o volume do sólido resultante é: 
 
𝑉𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 8 − 1 → 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 7 𝑚³ 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
16. (CESGRANRIO/BR/2012) Um recipiente com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas 
da base medem 5 cm e 8 cm, está parcialmente cheio de água. Despeja-se parte dessa água em um outro 
recipiente, cúbico e inicialmente vazio, de modo a enchê-lo completamente, como mostra o esquema a 
seguir. 
 
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Considerando-se os níveis H1 e H2 especificados na figura e que não houve qualquer desperdício de água, 
a medida da aresta do cubo, em cm, é 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 9 
 
Comentários: 
Perceba que a altura reduziu 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏, 𝟔 cm. Ora, o volume que encheu o cubo foi exatamente o 
volume do prisma de base com arestas 5 cm e 8 cm e altura igual a essa diferença que acabamos de calcular. 
Logo, 
 
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 1,6 ∙ 5 ∙ 8 → 𝑽𝒄𝒖𝒃𝒐 = 𝟔𝟒 𝒄𝒎³ 
 
Além disso, sabemos que o volume do cubo é igual a ao valo da sua aresta elevado a 3. 
 
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = 𝑎3 → 𝑎3 = 64 → 𝒂 = 𝟒 𝒄𝒎 
 
Gabarito: LETRA B. 
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QUESTÕES COMENTADAS - CESGRANRIO 
Cilindro 
1. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Uma jarra cilíndrica está completamente cheia de água. Seu diâmetro 
interno é 2d, e sua altura, 3H. A água contida nessa jarra é suficiente para encher completamente n copos 
cilíndricos de diâmetro interno d e altura H. O maior valor de n é 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 10 
E) 12 
 
Comentários: 
Temos um cilindro de diâmetro "2d" (então o raio é igual a "d") e altura "3H". O volume de um cilindro é: 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2ℎ 
 
Substituindo 𝑟 = 𝑑 e ℎ = 3𝐻, ficamos com 
 
𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎 = 𝜋𝑑23𝐻 → 𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎 = 3𝜋𝑑2𝐻 
 
Por sua vez, o copo também é um cilindro de diâmetro "d" (então o raio é igual a "d/2") e altura H. Logo, 
 
𝑉𝑐𝑜𝑝𝑜 = 𝜋 (
𝑑
2
)
2
𝐻 → 𝑉𝑐𝑜𝑝𝑜 =
𝜋𝑑2𝐻
4
 
 
Para determinar quantos copos podemos encher com essa jarra, basta fazermos, 
 
𝑛 =
𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎
𝑉𝑐𝑜𝑝𝑜
 → 𝑛 =
3𝜋𝑑2𝐻
𝜋𝑑2𝐻
4
 → 𝒏 = 𝟏𝟐 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
2. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2014) Para embalar cada um dos sabonetes artesanais que produz, Sofia 
utiliza um pedaço de papel cuja área corresponde a 4/3 da superfície total do sabonete, que tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 2 cm de altura. Qual é, em 
cm², a área do pedaço de papel? 
A) 32 
B) 64 
C) 72 
D) 88 
E) 128 
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Comentários: 
Note que temos um paralelepípedo de dimensões 6 cm x 4,5 cm x 2 cm. Para calcular a área total desse 
sólido, usamos a seguinte expressão: 
 
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 
 
Substituindo 𝒂 = 𝟔, 𝒃 = 𝟒, 𝟓 e 𝒄 = 𝟐, ficamos com, 
 
𝐴𝑠𝑢𝑝 = 2 ∙ (6 ∙ 4,5 + 4,5 ∙ 2 + 6 ∙ 2) 
 
Asup = 2 ∙ (27 + 9 + 12) → Asup = 96 cm² 
 
Com a área do papel é 4/3 da área da superfície total do sabonete, 
 
𝐴𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 =
4
3
𝐴𝑠𝑢𝑝 → 𝐴𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙 =
4 ∙ 96
3
 → 𝑨𝒑𝒂𝒑𝒆𝒍 = 𝟏𝟐𝟖 𝒄𝒎² 
 
Gabarito: LETRA E. 
 
3. (CESGRANRIO/DECEA/2012) Um reservatório de água com a forma de um cilindro reto de 1,5 m de 
altura e 1,2 m de raio interno precisa ser impermeabilizado. Para tal, seu fundo (uma das bases do cilindro) 
e sua superfície lateral interna serão totalmente cobertos por um produto impermeabilizante que é 
vendido em embalagens com um litro. Se o rendimento desse produto é de 9 m² por litro, quantas 
embalagens, no mínimo, devem ser compradas para que essa impermeabilização seja realizada? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
Comentários: 
Ok! Esse tipo de questão é bem comum em Geometria Espacial. O primeiro passo é calcularmos a área 
superficial do cilindro. Note que vamos impermeabilizar apenas a lateral e a base inferior do cilindro. Sendo 
assim, a área total para ser impermeabilizada pode ser calculada como: 
 
𝐴𝑖 = 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 → 𝐴𝑖 = 2𝜋𝑅ℎ + 𝜋𝑅2 
 
De acordo com o enunciado, temos 𝑅 = 1,2 m e ℎ = 1,5 m. Para realizar as contas, consideraremos 𝜋 ≅ 3,1. 
 
𝐴𝑖 = 2 ∙ 3,1 ∙ 1,2 ∙ 1,5 + 3,14 ∙ 1,22 
 
𝐴𝑖 = 11,16 + 4,5216 → 𝐴𝑖 = 15,68 𝑚² 
 
Como a embalagem cobre 9 m² por litro, precisaremos de 2 embalagens para cobrir os 15,68 m². 
 
Gabarito: LETRA B. 
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4. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma 
pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da 
lata, como ilustra o modelo abaixo. 
 
 
 
A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm², igual a 
A) 8𝜋 
B) 12𝜋 
C) 16𝜋 
D) 24𝜋 
E) 32𝜋 
 
Comentários: 
Pessoal, quando planificamos um cilindro ficamos com a seguinte situação: 
 
 
 
Sabemos a altura do cilindro, mas não sabemos o raio da base. Para determiná-lo, usaremos a fórmula do 
volume do cilindro e as informações dadas na questão. 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2ℎ 
 
Do enunciado, 𝑽𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝟏𝟗𝟐𝝅 e 𝒉 = 𝟏𝟐. Substituindo na expressão acima, podemos determinar R. 
 
192π = πR2 ∙ 12 → R2 = 16 → R = 4 cm 
 
h 
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A área lateral de um cilindro é dada por: 
 
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2𝜋𝑅ℎ 
 
No entanto, como estamos querendo saber apenas a área ocupada pela fita, a altura h que usaremos será 
a largura da fita, isto é, 2 cm. 
 
Afita = 2π ∙ 4 ∙ 2 → 𝐀𝐟𝐢𝐭𝐚 = 𝟏𝟔𝛑 𝐜𝐦² 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
5. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Um tonel cilíndrico de 80 cm de diâmetro e 90 cm de altura contém 
óleo até a metade de sua capacidade. Na parte inferior do tonel, há uma torneira, inicialmente fechada, 
cuja vazão é de 6 L por minuto. Considerando 𝝅 = 𝟑, 𝟏, se essa torneira for aberta, o tonel esvaziará 
completamente em 
A) menos de meia hora 
B) pouco mais de 37 minutos 
C) cerca de uma hora 
D) uma hora e 15 minutos, aproximadamente 
E) mais de uma hora e meia 
 
Comentários: 
Inicialmente, vamos calcular o volume total do tonel cilíndrico. 
 
Vcilindro = πR2h 
 
Do enunciado, temos que 𝑹 = 𝟒𝟎 cm (metade do diâmetro) e 𝒉 = 𝟗𝟎 cm. 
 
Vtonel = 3,1 ∙ 402 ∙ 90 → Vtonel = 446.400 cm³ 
 
Como o enunciado falou que apenas metade está preenchida com óleo: 
 
Vóleo =
Vtonel
2
 → Vóleo = 223.200 cm³ 
 
Agora, lembre-se que 𝟏 𝐜𝐦𝟑 = 𝟏 𝐦𝐋, portanto, para transformar o volume encontrado acima em litros, 
devemos dividi-lo por mil. 
 
𝑉ó𝑙𝑒𝑜 = 223,2 𝐿 
 
A vazão da torneira é de 6 L/min, podemos fazer uma regra de três e encontrar quanto tempo vai durar para 
esvaziar esses 223,2 litros. 
 
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Multiplicando cruzado. 
 
6𝑥 = 223,2 → 𝑥 =
223,2
6
 → 𝑥 = 37,2 𝑚𝑖𝑛 
 
Note, portanto, que o tonel com óleo se esvaziará com pouco mais de 37 minutos, conforme consta na 
alternativa B. 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Uma torta de chocolate foi dividida em 12 fatias iguais, das quais 
foram consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, 
em cm³, o volume correspondente às fatias que sobraram? 
A) 450𝜋 
B) 900𝜋 
C) 1.350𝜋 
D) 1.800𝜋 
E) 3.600𝜋 
 
Comentários: 
Galera, tínhamos 12 fatias e foram consumidas 4. Logo, sobraram 8 fatias. 
 
Dito isso, precisamos encontrar o volume da torta, considerando que ela temo formato de um cilindro reto, 
diâmetro de 30 cm (o raio é 15 cm, metade do diâmetro) e a altura é 6 cm. 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2ℎ 
 
Substituindo as informações do enunciado, 
 
𝑉𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 = 𝜋 ∙ 152 ∙ 6 → 𝑉𝑡𝑜𝑟𝑡𝑎 = 1.350𝜋 𝑐𝑚³ 
No entanto, esse volume é da torta inteira!! Ou seja, das 12 fatias. Não temos mais 12, temos 8. Podemos 
usar uma regra de três simples para determinar o volume das 8 fatias. 
 
 
 
Multiplicando cruzado. 
 
12𝑥 = 1.350𝜋 ∙ 8 → 𝑥 = 900𝜋 𝑐𝑚³ 
6 L 1 min 
223,2 L
 
x 
12 fatias 1.350π 
8 fatias x 
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==2537cb==
 
 
 
Portanto, as 8 fatias somam um volume de 𝟗𝟎𝟎𝝅 cm³, conforme consta na letra B. 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
7. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Uma chapa quadrada de 4 m de lado é utilizada para formar a parede 
de um reservatório cilíndrico. O volume do reservatório é igual a 
A) 
8
𝜋
 𝑚³ 
B) 
16
𝜋
 𝑚³ 
C) 24 𝑚³ 
D) 16 𝑚³ 
E) 8𝜋 𝑐𝑚³ 
 
Comentários: 
Beleza! Vamos ver como seria isso. 
 
 
Observe que uma das arestas de 4 m acaba virando o comprimento da circunferência da base do cilindro. 
Com isso, podemos achar o raio do reservatório da seguinte forma: 
C = 2πR → 2πR = 4 → R =
2
π
 m 
 
Com o raio e a altura, podemos determinar o volume do cilindro. 
 
V = πR2h → V = π ∙ (
2
π
)
2
∙ 4 → 𝐕 =
𝟏𝟔
𝛑
 𝐦³ 
 
Gabarito: LETRA B. 
 
8. (CESGRANRIO/BR/2009) Uma jarra cilíndrica de 6 cm de raio e 20 cm de altura está completamente 
cheia de suco. Com essa quantidade de suco, quantos copos de 300 ml podem-se encher? 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
 
Comentários: 
Vamos calcular o volume da jarra. Como estamos lidando com um cilindro, 
 
4 m 
4 m 
4 m 
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𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2ℎ 
 
O enunciado nos disse que 𝑹 = 𝟔 e 𝒉 = 𝟐𝟎 e considerando 𝝅 ≅ 𝟑, 𝟏, vamos usar essas informações. 
 
𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎 = 3,1 ∙ 62 ∙ 20 → 𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎 = 2.232 𝑐𝑚³ 
 
Como cada copo tem 300 mL, o número deles que conseguiremos encher com esse volume de suco na jarra, 
é dado por: 
 
𝑛 =
𝑉𝑗𝑎𝑟𝑟𝑎
𝑉𝑐𝑜𝑝𝑜
 → 𝑛 =
2.232
300
 → 𝑛 = 7,44 
 
Isso significa que conseguiremos encher 7 copos completamente e 44% do 8º copo. Como o enunciado 
pergunta quantos copos conseguimos encher, marcamos letra C. 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) 
 
 
 
A figura mostra um cone e um cilindro que possuem alturas iguais a 60 cm e bases circulares com o mesmo 
raio. O cone está completamente cheio de água e o cilindro está vazio, apoiado sobre uma mesa horizontal. 
Despejando-se toda a água contida no cone dentro do cilindro, o nível de água no cilindro ficará a uma 
altura, contado a partir de sua base inferior, igual a 
A) 45 cm 
B) 30 cm 
C) 20 cm 
D) 15 cm 
E) 10 cm 
 
Comentários: 
O cone está completamente cheio. Vamos calcular seu volume. 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝜋𝑅2ℎ
3
 → 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
60𝜋𝑅2
3
 → 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 = 20𝜋𝑅2 
 
Esse volume é usado para encher o cilindro, que possui mesmo raio da base. Assim, 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2𝐻 → 𝜋𝑅2𝐻 = 20𝜋𝑅2 → 𝑯 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 
 
Gabarito: LETRA C. 
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QUESTÕES COMENTADAS - CESGRANRIO 
Esfera 
1. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) Um laboratório possui dois recipientes de vidro. O primeiro 
recipiente tem a forma de uma esfera cujo raio mede R metros, e o segundo tem a forma de um cone, cujo 
raio da base e cuja altura medem R metros. A razão entre a medida do volume do recipiente esférico e a 
medida do volume do recipiente cônico, ambas dadas em metros cúbicos, é 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 8 
 
Comentários: 
Sabemos que o volume de uma esfera de raio R é dado por: 
 
𝑉𝑒 =
4𝜋𝑅3
3
 
 
Por sua vez, o volume de um cone de raio da base R e altura R é dado por: 
 
𝑉𝑐 =
(𝜋𝑅2)𝑅
3
 → 𝑉𝑐 =
𝜋𝑅3
3
 
 
A questão pede a razão (r) entre esses dois volumes. Logo: 
 
𝑟 =
𝑉𝑒
𝑉𝑐
 → 𝑟 =
4𝜋𝑅3
3
𝜋𝑅3
3
 → 𝒓 = 𝟒 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
2. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Uma esfera maciça e homogênea é composta de um único material, 
e tem massa igual a 400 g. Outra esfera, também maciça e homogênea, e de mesmo material, tem raio 
50% maior do que o da primeira esfera. Assim, o valor mais próximo da massa da esfera maior, em 
quilogramas, é igual a 
A) 0,6 
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B) 1,0 
C) 1,3 
D) 1,5 
E) 1,7 
 
Comentários: 
Pessoal, algumas questões de geometria espacial podem envolver massa também. Isso acontece, pois, 
volume e massa estão intrinsicamente ligados por uma propriedade chamada de densidade. 
Matematicamente, 
 
𝑑 =
𝑚
𝑉
 
 
Portanto, note que a densidade de determinado objeto homogêneo é a razão de sua massa pelo volume. 
Como as duas esferas da questão são do mesmo material, elas possuem a mesma densidade e podemos 
escrever o seguinte: 
 
𝑑1 = 𝑑2 → 
𝑚1
𝑉1
=
𝑚2
𝑉2
 
 
Por fim, lembre-se que o volume de uma esfera pode ser calculado por: 
 
𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 =
4𝜋𝑅3
3
 
 
Substituindo na expressão que encontramos anteriormente, 
 
𝑚1
4𝜋𝑅1
3
3
=
𝑚2
4𝜋𝑅2
3
3
 
 
Podemos simplificar cortando o que aparece igual em cada lado. 
 
𝑚1
𝑅1
3 =
𝑚2
𝑅2
3 
 
Pronto!! Essa é a expressão que queremos para conseguir resolver o problema. 
 
Se a segunda esfera tem raio 50% maior que a primeira, podemos escrever que: 
 
𝑅2 = 1,5𝑅1 
 
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==2537cb==
 
 
Substituindo também que 𝑚1 = 400 𝑔, ficamos com: 
 
400
𝑅1
3 =
𝑚2
(1,5𝑅1)3
 → 𝑚2 =
400 ∙ 3,375𝑅1
3
𝑅1
3 → 𝑚2 = 1.350 𝑔 
 
O enunciado pede o valor da massa em quilogramas, portanto, devemos dividi-la por mil. 
 
𝑚2 =
1.350
1000
 → 𝒎𝟐 = 𝟏, 𝟑𝟓 𝒌𝒈 
 
 
Gabarito: LETRA C. 
 
3. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017) A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera 
que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base 
um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm. 
 
 
 
Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone? 
A) 800𝜋 
B) 784𝜋 
C) 748𝜋 
D) 684𝜋 
E) 648𝜋 
 
Comentários: 
Ok! Temos muitos volumes para calcular. Começaremos pelo cilindro. 
 
𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋𝑅2ℎ → 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝜋 ∙ 72 ∙ 24 → 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 1.176𝜋 𝑐𝑚3 
 
Agora, o volume do cone. 
 
𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
𝜋𝑅2ℎ
3
 → 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 =
1.176𝜋
3
 → 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 = 392𝜋 
 
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Beleza! Agora o mistério: o volume da esfera! Para calcularmos, precisamos do raio e não o sabemos. Para 
encontrá-lo, veja o desenho abaixo. 
 
 
Primeiramente, note que a geratriz do cone é a hipotenusa do triângulo retângulo que tem como catetosa 
altura do cone e o raio da base. Assim, 
 
𝑔2 = 242 + 72 → 𝑔2 = 576 + 49 → 𝑔2 = 625 → 𝑔 = 25 
 
Pelo desenho, conseguimos dizer que: 
 
(24 − 𝑅) + (7 − 𝑅) = 25 → 31 − 2𝑅 = 25 → 𝑹 = 𝟑 
 
Com o raio da esfera, finalmente conseguimos encontrar o seu volume. 
 
Vesfera =
4πR3
3
 → Vesfera =
4 ∙ π ∙ 33
3
 → Vesfera = 36π cm³ 
 
A região dentro do cilindro e fora do cone e da esfera tem volume de: 
 
𝑉𝑟𝑒𝑔𝑖𝑎𝑜 = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 
 
𝑉𝑟𝑒𝑔𝑖𝑎𝑜 = 1.176𝜋 − 392𝜋 − 36𝜋 → 𝑽𝒓𝒆𝒈𝒊𝒂𝒐 = 𝟕𝟒𝟖 𝒄𝒎³ 
 
Gabarito: LETRA C. 
R 
R 
24 
7 
25 24 − R 
24 − R 
7 − R 
7 − R 
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LISTA DE QUESTÕES - CESGRANRIO 
Prisma 
1. (CESGRANRIO/AgeRIO/2023) Uma caixa d’água cúbica de arestas internas medindo 3 m, inicialmente 
cheia, terá seu conteúdo transferido para uma outra caixa d’água, também cúbica, mas de arestas internas 
medindo 4 m. Uma bomba realizará a transferência a 54 litros por minuto. Depois de quantos minutos, a 
partir do início da transferência, as colunas de água das duas caixas terão a mesma altura? 
A) 480 
B) 360 
C) 320 
D) 270 
E) 240 
 
2. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) Todo ano, os organizadores de uma festa encomendam copos 
de 300 mL em formato de prisma regular hexagonal reto. Para a festa do próximo ano, os organizadores 
pediram que a fábrica também confeccionasse copos de 500 mL, mantendo o mesmo formato e a mesma 
proporção do copo de 300 mL, ou seja, os dois copos devem ser semelhantes. 
 
 
 
Desprezando-se a espessura do material do copo, qual deve ser a razão entre o lado do hexágono da base 
do copo de 500 mL e do copo de 300 mL? 
A) 3/5 
B) 5/3 
C) √15/3 
D) √15
3
/3 
E) √45
3
/3 
 
3. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) A Figura a seguir ilustra um aquário que tem a forma de um 
paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 50 cm, 30 cm e 30 cm. Esse aquário está apoiado 
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em uma mesa horizontal e já possui uma quantidade de água cujo nível é de 18 cm. Um peixe foi colocado 
no aquário e, estando totalmente submerso, fez com que o nível da água subisse 0,2 cm. 
 
 
 Qual o volume, em cm³, do peixe? 
A) 300 
B) 500 
C) 5400 
D) 9000 
E) 27000 
 
4. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2014) Para embalar cada um dos sabonetes artesanais que produz, Sofia 
utiliza um pedaço de papel cuja área corresponde a 4/3 da superfície total do sabonete, que tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 2 cm de altura. Qual é, em 
cm², a área do pedaço de papel? 
A) 32 
B) 64 
C) 72 
D) 88 
E) 128 
 
5. (CESGRANRIO/BR/2013) Um reservatório em forma de paralelepípedo, com 16 dm de altura, 30 dm de 
comprimento e 20 dm de largura, estava apoiado sobre uma base horizontal e continha água até a metade 
de sua capacidade. Parte da água foi consumida e, assim, o nível da água baixou 6 dm, como mostra a 
Figura a seguir. 
 
 
 
Quantos litros de água foram consumidos? 
A) 1800 
B) 2400 
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C) 3600 
D) 5400 
E) 7200 
 
6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Para montar um cubo, dispõe-se de uma folha de cartolina 
retangular, de 30 cm de comprimento e 20 cm de largura. As faces do cubo, uma vez recortadas, serão 
unidas com fita adesiva. Qual é, em centímetros, a medida máxima da aresta desse cubo? 
A) 7 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 11 
 
7. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012) Oito caixas cúbicas e iguais ocupam 512 dm³. Qual é, em dm², a área 
total de cada caixa? 
A) 16 
B) 48 
C) 96 
D) 256 
E) 384 
 
8. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Certa fábrica produz caixas d’água cúbicas de dois tamanhos 
diferentes. A menor delas comporta, no máximo, 3.375 L. A do outro tamanho possui arestas 50 cm maior 
do que as arestas da caixa menor. Qual é, em litros, a diferença entre as capacidades (volumes) das duas 
caixas d’água? 
A) 3.250 
B) 4.000 
C) 4.625 
D) 5.375 
E) 8.000 
 
9. (CESGRANRIO/BR/2010) Os tablets são aparelhos eletrônicos portáteis, maiores que um celular e 
menores que um netbook, ideais para a leitura de livros e jornais. Um dos primeiros tablets lançados no 
mercado americano tem a forma aproximada de um paralelepípedo reto-retângulo de 26,4 cm de 
comprimento, 18,3 cm de largura e 1 cm de espessura. Qual é, em cm³, o volume aproximado desse 
aparelho? 
A) 274,20 
B) 483,12 
C) 795,16 
D) 1.248,24 
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E) 1.932,48 
 
10. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Uma embalagem tem a forma de um cubo de aresta de 20 cm. O 
material para a base custa R$ 50,00 por m², para as faces laterais custa R$ 20,00 por m², e o material para 
a tampa custa R$ 30,00 por m². O custo unitário de montagem da caixa é de R$ 2,00. O custo total de uma 
embalagem é dado, em reais, por 
A) 6,00 
B) 6,80 
C) 7,40 
D) 8,00 
E) 8,40 
 
11. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Para descobrir o volume de uma garrafa, João, inicialmente, encheu 
um aquário cúbico, de 60 cm de aresta, até a metade. Depois, submergiu a garrafa na água de modo a 
enchê-la completamente. Retirando a garrafa de dentro do aquário, João mediu a altura da água restante 
e descobriu que esta tinha baixado 0,4 cm. Utilizando tais informações, João calculou corretamente o 
volume da garrafa e concluiu que este, em cm³, era igual a 
A) 720 
B) 960 
C) 1.440 
D) 1.800 
E) 2.560 
 
12. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Um reservatório que tem o formato de um paralelepípedo reto-
retângulo de 2 m de profundidade, 8,5 m de largura e 10 m de comprimento está parcialmente cheio de 
óleo. Se, para enchê-lo completamente, são necessários mais 168.000 litros, quantos litros de óleo há 
dentro desse reservatório? 
A) 2000 
B) 4000 
C) 8000 
D) 12000 
E) 20000 
 
13. (CESGRANRIO/MEC/2009) Em um cubo de aresta a, a distância entre um vértice e o centro da face 
oposta é igual a 
A) 
𝑎√6
2
 
B) 
𝑎√3
2
 
C) 
𝑎√6
3
 
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D) 
𝑎√2
2
 
E) 
𝑎√3
3
 
14. (CESGRANRIO/IBGE/2014) A Figura mostra diferentes vistas de um sólido vazado, que foi obtido a 
partir de um cubo maciço. O cubo foi composto juntando-se cubinhos de madeira idênticos, face a face, 
sem folgas ou desalinhamentos. Depois de tal cubo ter sido montado, dele foram retirados vários 
cubinhos, em número mínimo para que fosse obtido o sólido vazado apresentado, cujas quatro faces 
laterais são idênticas àquela indicada na Figura central. 
 
 
 
O sólido vazado é formado por quantos cubinhos de madeira? 
A) 372 
B) 298 
C) 271 
D) 258 
E) 244 
 
15. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) A figura abaixo mostra um cubo cujas arestas medem 2 metros. Uma 
seção é feita sobre o cubo, perpendicularmente à face ABCD, por meio de um plano que passa pelos pontos 
E e F, que são os pontos médios das arestas AB e BC, respectivamente. A seção define um prisma triangular 
que é retirado do cubo, resultando no sólido exibido na figura, à direita. 
 
 
 
Qual é o volume, em m³, do sólido resultante? 
A) 8 
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==2537cb==
 
 
B) 23/3 
C) 7 
D) 6 
E) 8 − 2√2 
 
16. (CESGRANRIO/BR/2012) Um recipiente com formato de paralelepípedo reto retângulo, cujas arestas 
da base medem 5 cm e 8 cm, está parcialmente cheio de água. Despeja-se parte dessa água em um outro 
recipiente, cúbico e inicialmente vazio, de modo a enchê-lo completamente, como mostra o esquema a 
seguir. 
 
 
 
Considerando-se os níveis H1 e H2 especificados na figura e que não houve qualquer desperdício de água, 
a medida da aresta do cubo, em cm, é 
A) 2 
B) 4 
C) 6 
D) 8 
E) 9 
 
 
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GABARITO 
1. LETRA C 
2. LETRA E 
3. LETRA A 
4. LETRA E 
5. LETRA C 
6. LETRA D 
7. LETRA C 
8. LETRA C 
9. LETRA B 
10. LETRA E 
11. LETRA C 
12. LETRA A 
13. LETRA A 
14. LETRA E 
15. LETRA C 
16. LETRA B 
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LISTA DE QUESTÕES - CESGRANRIO 
Cilindro 
1. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Uma jarra cilíndrica está completamente cheia de água. Seu diâmetro 
interno é 2d, e sua altura, 3H. A água contida nessa jarra é suficiente para encher completamente n copos 
cilíndricos de diâmetro interno d e altura H. O maior valor de n é 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 10 
E) 12 
 
2. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2014) Para embalar cada um dos sabonetes artesanais que produz, Sofia 
utiliza um pedaço de papel cuja área corresponde a 4/3 da superfície total do sabonete, que tem a forma 
de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 2 cm de altura. Qual é, em 
cm², a área do pedaço de papel? 
A) 32 
B) 64 
C) 72 
D) 88 
E) 128 
 
3. (CESGRANRIO/DECEA/2012) Um reservatório de água com a forma de um cilindro reto de 1,5 m de 
altura e 1,2 m de raio interno precisa ser impermeabilizado. Para tal, seu fundo (uma das bases do cilindro) 
e sua superfície lateral interna serão totalmente cobertos por um produto impermeabilizante que é 
vendido em embalagens com um litro. Se o rendimento desse produto é de 9 m² por litro, quantas 
embalagens, no mínimo, devem ser compradas para que essa impermeabilização seja realizada? 
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
4. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma 
pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da 
lata, como ilustra o modelo abaixo. 
 
 
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A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm², igual a 
A) 8𝜋 
B) 12𝜋 
C) 16𝜋 
D) 24𝜋 
E) 32𝜋 
 
5. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) Um tonel cilíndrico de 80 cm de diâmetro e 90 cm de altura contém 
óleo até a metade de sua capacidade. Na parte inferior do tonel, há uma torneira, inicialmente fechada, 
cuja vazão é de 6 L por minuto. Considerando 𝝅 = 𝟑, 𝟏, se essa torneira for aberta, o tonel esvaziará 
completamente em 
A) menos de meia hora 
B) pouco mais de 37 minutos 
C) cerca de uma hora 
D) uma hora e 15 minutos, aproximadamente 
E) mais de uma hora e meia 
 
6. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2011) Uma torta de chocolate foi dividida em 12 fatias iguais, das quais 
foram consumidas 4 fatias. Sendo a torta um cilindro reto de 30 cm de diâmetro e 6 cm de altura, qual é, 
em cm³, o volume correspondente às fatias que sobraram? 
A) 450𝜋 
B) 900𝜋 
C) 1.350𝜋 
D) 1.800𝜋 
E) 3.600𝜋 
 
7. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2010) Uma chapa quadrada de 4 m de lado é utilizada para formar a parede 
de um reservatório cilíndrico. O volume do reservatório é igual a 
A) 
8
𝜋
 𝑚³ 
B) 
16
𝜋
 𝑚³ 
C) 24 𝑚³ 
D) 16 𝑚³ 
E) 8𝜋 𝑐𝑚³ 
 
8. (CESGRANRIO/BR/2009) Uma jarra cilíndrica de 6 cm de raio e 20 cm de altura está completamente 
cheia de suco. Com essa quantidade de suco, quantos copos de 300 ml podem-se encher? 
A) 5 
B) 6 
C) 7 
D) 8 
E) 9 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2012) 
 
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A figura mostra um cone e um cilindro que possuem alturas iguais a 60 cm e bases circulares com o mesmo 
raio. O cone está completamente cheio de água e o cilindro está vazio, apoiado sobre uma mesa horizontal. 
Despejando-se toda a água contida no cone dentro do cilindro, o nível de água no cilindro ficará a uma 
altura, contado a partir de sua base inferior, igual a 
A) 45 cm 
B) 30 cm 
C) 20 cm 
D) 15 cm 
E) 10 cm 
 
 
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==2537cb==
 
 
GABARITO 
1. LETRA E 
2. LETRA E 
3. LETRA B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. LETRA C 
5. LETRA B 
6. LETRA B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. LETRA B 
8. LETRA C 
9. LETRA C 
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LISTA DE QUESTÕES - CESGRANRIO 
Esfera 
1. (CESGRANRIO/ELETRONUCLEAR/2022) Um laboratório possui dois recipientes de vidro. O primeiro 
recipiente tem a forma de uma esfera cujo raio mede R metros, e o segundo tem a forma de um cone, cujo 
raio da base e cuja altura medem R metros. A razão entre a medida do volume do recipiente esférico e a 
medida do volume do recipiente cônico, ambas dadas em metros cúbicos, é 
A) 2 
B) 3 
C) 4 
D) 6 
E) 8 
 
2. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2018) Uma esfera maciça e homogênea é composta de um único material, 
e tem massa igual a 400 g. Outra esfera, também maciça e homogênea, e de mesmo material, tem raio 
50% maior do que o da primeira esfera. Assim, o valor mais próximo da massa da esfera maior, em 
quilogramas, é igual a 
A) 0,6 
B) 1,0 
C) 1,3 
D) 1,5 
E) 1,7 
 
3. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017) A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera 
que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base 
um círculo de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm. 
 
 
 
Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone? 
A) 800𝜋 
B) 784𝜋 
C) 748𝜋 
D) 684𝜋 
E) 648𝜋 
 
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GABARITO 
1. LETRA C 
2. LETRA C 
3. LETRA C 
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