Regras de Derivação - parte 2 (Regra da cadeia e Regras de soma, produto e quociente)

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Regras de Derivação 
Regra da Cadeia: 
𝐹(𝑥)= √𝑥2 + 1 é uma função composta, 
onde: 
𝑢 = 𝑥2 + 1 ∴ 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 
𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) 
Se “g” for derivável em x e “f” for derivável 
em g(x), então a função composta 𝐹 = 𝑓𝑜𝑔 
definida por 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) é derivada 
em 𝑥 e 𝐹′ é dada pelo produto: 
𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥). 
Na notação de Leibniz, se 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 =
𝑔(𝑥) forem funções deriváveis, então a 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
. 
Exemplo: 
𝐹(𝑥)= √𝑥2 + 1 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
𝑦 = √𝑢 = 𝑢
1
2 → 
1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
2√𝑢
 
2) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 . 
3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 ∴ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2√𝑢
. 2𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
2√𝑢
=
𝑥
√𝑥2 + 1
 
 
Regras de Derivação 
1) Regra da soma 
Se “u” e “v” são funções de x deriváveis, 
então a sua soma u+v, é derivável em 
cada ponto onde “u” e “v” são ambos 
deriváveis: 
𝑑(𝑢 + 𝑣)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
𝑦 = 4 + 𝑥2 , em que 𝑢(𝑥) =
4 𝑒 𝑣(𝑥) = 𝑥2 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑(4)
𝑑𝑥
+
𝑑(𝑥2)
𝑑𝑥
= 2𝑥 
 
 
 
2) Regra do produto 
Se “u” e “v” são deriváveis em x, então 
o seu produto também é: 
𝑑(𝑢. 𝑣)
𝑑𝑥
= 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Exemplo: 
𝑦 = (𝑥2 + 3). (1 + 𝑥3), em que 
𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 3 𝑒 𝑣(𝑥) = 1 + 𝑥3 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥2 + 3).
𝑑(1 + 𝑥3)
𝑑𝑥
+ (1
+ 𝑥3).
𝑑(𝑥2 + 3)
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥2 + 3). 3𝑥2 + (1
+ 𝑥3).2𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥4 + 9𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥4 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 5𝑥4 + 9𝑥2 + 2𝑥 
 
 
3) Regra do quociente 
Se “u” e “v” são deriváveis em x, e se 
𝑣(𝑥) ≠ 0, então o quociente u/v é 
derivável em x: 
𝑑(𝑢/𝑣)
𝑑𝑥
=
𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
− 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
 
 
Exemplo: 
𝑦 =
𝑒𝑥
(1+𝑥2)
, em que 𝑢(𝑥) =
𝑒𝑥, 𝑣(𝑥) = (1 + 𝑥2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 + 𝑥2).
𝑑(𝑒𝑥)
𝑑𝑥
− 𝑒𝑥.
𝑑(1 + 𝑥2)
𝑑𝑥
(1 + 𝑥2)2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(1 + 𝑥2). 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 . 2𝑥
(1 + 𝑥2)2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒𝑥(1 + 𝑥2 − 2𝑥)
(1 + 𝑥2)2