MecFlu I - Aula XIII - Escoamentos Incompressíveis de Fluidos não Viscosos

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Prof. Dr. Evandro Rodrigo Dário, Eng.
IFSC – Campus Joinville - SC
Mecânica dos Fluidos I
Disciplina : Mecânica dos fluidos I
Aula 13: Escoamento Incompressível de 
Fluidos não viscosos
Curso: Engenharia Mecânica 
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Mecânica dos Fluidos I
A equação de Euler (obtida após desconsiderar os termos viscosos) é:
Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem 
Atrito: a Equação de Euler
Essa equação estabelece que, para um fluido inviscito, μ = 0, a variação na
quantidade de movimento de uma partícula fluida é causada pela força de campo
(considerada somente a gravidade) e pela força líquida de pressão.
Por conveniência, vamos relembrar que a aceleração da partícula é:
Vimos também que para escoamentos incompressíveis a formulação diferencial da
equação da conservação de massa é dada por:
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Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem 
Atrito: a Equação de Euler
A equação de Euler escrita em coordenadas retangulares, é
Se o eixo z for considerado vertical e orientado para cima, então gx = 0, gy = 0 e gz = − 
g, de modo que 
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Mecânica dos Fluidos I
Equação da Quantidade de Movimento para Escoamento sem 
Atrito: a Equação de Euler
A equação de Euler escrita em coordenadas cilíndricas, é
Se o eixo z for considerado vertical e orientado para cima, então gr = 0, gθ = 0 e gz = − g, 
de modo que 
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As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
As linhas de corrente são tangentes aos vetores velocidade em cada ponto do campo
de escoamento.
No escoamento em regime permanente, uma partícula fluida move-se ao longo de
uma linha de corrente porque, para esse tipo de escoamento, as trajetórias e as
linhas de corrente coincidem.
Assim, na descrição do movimento de uma
partícula fluida em um escoamento em regime
permanente, a distância ao longo de uma linha
de corrente é uma coordenada lógica para se usar
na formulação das equações do movimento.
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As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Vamos escrever as equações do movimento
em termos da coordenada s, distância ao
longo de uma linha de corrente, e da
coordenada n, distância normal à linha de
corrente. A pressão no centro do elemento
fluido é p.
Aplicando a segunda lei de Newton na direção s da linha de corrente ao elemento
fluido de volume ds dn dz, desprezando forças viscosas, obtemos:
Onde β é o ângulo entre a tangente à linha de corrente e a horizontal e as é a aceleração
da partícula de fluido ao longo da linha de corrente.
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As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Simplificando a equação, obtemos:
A equação de Euler na direção da linha de corrente:
Como sen(β) = ∂z/∂s, podemos escrever:
Ao longo de qualquer linha de corrente V = V(s,t), de modo que a aceleração material ou
total de uma partícula fluida na direção da linha de corrente é dada por:
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As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Para escoamento em regime permanente, e desprezando forças de campo, a equação de
Euler na direção da linha de corrente reduz-se a:
Essa equação indica que (para um escoamento incompressível e não viscoso) uma
diminuição na velocidade é acompanhada de um aumento na pressão, e vice-versa.
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Mecânica dos Fluidos I
As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Para obter equação de Euler em uma direção normal às linhas de corrente, aplicamos
a segunda lei de Newton na direção n ao elemento fluido. Novamente, desprezando
forças viscosas.
Onde β é o ângulo entre a direção n e a vertical e an é a aceleração da partícula fluida 
na direção n.
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Mecânica dos Fluidos I
As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Simplificando a equação, obtemos:
A equação de Euler escrita para um escoamento em regime permanente na direção
normal à linha de corrente:
Como Cos(β) = ∂z/∂n, podemos escrever:
A aceleração normal do elemento fluido é dirigida para o centro de curvatura da linha de
corrente, ou seja, no sentido negativo de n. A aceleração centrípeta é escrita:
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Mecânica dos Fluidos I
As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente
Para escoamento em regime permanente em um plano horizontal, e desprezando forças
de campo, a equação de Euler na direção normal a linha de corrente reduz-se a:
Essa equação indica que a pressão aumenta para fora na direção normal às linhas de 
corrente a partir do centro de curvatura dessas linhas. 
Em regiões onde as linhas de corrente são retas, o raio de curvatura, R, é infinito, de 
forma que não há variação de pressão em uma direção normal às linhas de corrente.
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Exemplo 1:
Escoamento
Duto
Curva
Vista Plana da curva
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Exemplo 1:
Escoamento
Duto
Curva
Vista Plana da curva
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A Equação de Bernoulli – Integração da Equação de Euler ao 
Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente
A equação de Euler para escoamento em regime permanente ao longo de uma linha
de corrente é:
Se uma partícula fluida desloca-se de uma distância, ds, ao longo de uma linha de corrente:
(Variação de pressão ao longo de s)
(Variação de elevação ao longo de s)
(Variação de velocidade ao longo de s)
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A Equação de Bernoulli – Integração da Equação de Euler ao 
Longo de uma Linha de Corrente para Escoamento Permanente
Assim, após multiplicar por ds, podemos escrever
A integração dessa equação fornece:
ou (ao longo de s) 
constante
Devemos conhecer a relação entre a pressão e a massa específica. 
Para escoamento incompressível, ρ = constante, a equação de Bernoulli torna-se:
constante
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Tomada 
de Pressão
Linhas de 
Corrente do 
Escoamento
Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
A pressão, p, que utilizamos na dedução da equação de Bernoulli, é a pressão
termodinâmica; ela é comumente chamada de pressão estática.
Temos também as pressões de estagnação e dinâmica, que iremos definir
resumidamente.
Como medimos a pressão em um fluido em movimento?
Vimos que não há variação de pressão em uma
direção normal a linhas de corrente retilíneas.
A partir deste fato torna possível medir a pressão
estática em um fluido em movimento usando uma
“tomada” de pressão instalada na parede do duto
em uma região onde as linhas de corrente são retilíneas
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Em uma corrente do fluido afastada da parede, ou
onde as linhas de corrente são curvas, medições
precisas da pressão estática podem ser feitas com o
emprego de uma sonda de pressão estática.
Em uso, a seção de medição deve estar alinhada
com a direção do escoamento local.
Para o manômetro ou 
pressão manométrica
haste
Escoamento
Pequenos 
Orifícios
Para o manômetro oupressão manométrica
haste
Escoamento
A pressão de estagnação é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado 
até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito. 
Para escoamento incompressível, a equação de Bernoulli pode ser usada para
relacionar variações na velocidade e na pressão ao longo de uma linha de corrente.
Desprezando diferenças de elevação temos:
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
Se a pressão estática é p em um ponto do escoamento no qual a velocidade é V, então a
pressão de estagnação, p0, no qual a velocidade de estagnação, V0, é zero, pode ser
obtida de:
ou
O termo 
1
2
𝜌𝑉2 na equação acima é usualmente chamado de pressão dinâmica.
A pressão de estagnação (ou total) é igual à pressão estática mais a pressão dinâmica.
Se a pressão de estagnação e a pressão estática puderem ser medidas em um ponto, a
poderemos determinar a velocidade local do escoamento.
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Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica
A pressão de estagnação é medida no
laboratório por meio de uma sonda com orifício
posicionada na direção do escoamento principal
e em sentido oposto a esse.
Pequeno 
Orifícios
Para o manômetro ou 
pressão manométrica
Escoamento
Escoamento
Tubo de 
pressão de 
estagnação
Escoamento
Orifícios de 
pressão 
estática
Duas possíveis configurações experimentais são mostradas:
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Exemplo 2: 
Escoamento 
de ar
Mercúrio 
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Exemplo 2: 
Escoamento 
de ar
Mercúrio 
Da figura:
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Aplicações da Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli pode ser aplicada entre dois pontos quaisquer em uma linha de 
corrente, desde que as outras três restrições sejam atendidas. O resultado é:
onde os índices 1 e 2 representam dois pontos quaisquer em uma linha de corrente.
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Exemplo 3: 
Escoamento 
de ar
Linha de Corrente
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Exemplo 3: 
Escoamento 
de ar
Linha de Corrente
ou
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Exemplo 4: 
ou
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Exemplo 5: 
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Exemplo 6: 
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Exercícios Sugeridos:
FOX, Robert W., PRITCHARD, Philip J. McDONALD, Alan T. Introdução à
mecânica dos fluidos. 8a Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
Capítulo 6:
2; 7; 15; 29; 31; 43; 46; 50; 52; 56; 61; 70;