1-Resumo deflexão

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DEFLEXÃO 
o Deflexão: deslocamento transversal, no sentido da carga transversal. 
o Rotação ou inclinação de um ponto: deslocamento de giro. 
• A deflexão pode ser determinada em vigas 
isostáticas ou hiperestáticas! 
• Lembra lá de Mecsol1, quando ainda não tínhamos 
conhecimento para resolver vigas hiperestáticas um 
pouco mais complexas?? Pois é, seus problemas 
acabaram!! As equações diferenciais vieram para 
facilitar nossa vida e abrir o leque de aplicações que 
todo engenheiro estrutural precisa. Estas equações 
estão em função do deslocamento. E conhecer o 
deslocamento é conhecer a solução do problema! 
Os valores de deslocamento ao longo do elemento 
estrutural formam a linha de deflexão. 
 Por exemplo, um avião quando decola, suas asas 
defletem, como mostrado na Figura 2. Isso ocorre porque 
existe um carregamento transversal distribuído na 
estrutura (asa), que desloca a asa de forma semelhante ao 
que ocorre na Figura 1. 
• Aqui, achar uma função que 
descreve a deflexão é muito 
interessante. Além de 
conhecer os deslocamentos 
em qualquer ponto do 
elemento, podemos a partir 
deles conhecer também os 
esforços reativos, uma vez 
que estes valores estão 
fortemente relacionados 
entre si. Isto resolve as dificuldades que antes tivemos em resolver vigas hiperestáticas! 
Legal, não é?? 
• Já sabemos que nas vigas prismáticas submetidas à flexão pura, dentro do regime 
elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser expressa como: 
1
𝜌
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
 
onde: ρ = curvatura; M(x)= momento fletor; E= módulo de elasticidade;I= momento de 
inércia 
• Mas, eu estou te falando sobre momento na viga da Figura 1, que tem uma carga P em 
sua extremidade. O momento fletor é a multiplicação de uma força em uma distância 
perpendicular. Logo, 
𝑀(𝑥) = −𝑃𝑥 
Figura 1 
Figura 2 
 
 
2 
• Sendo assim, a equação pode ser re-escrita da forma 
apresentada abaixo, onde o sinal negativo, neste 
caso, significa que a vida vai tender a ficar “triste” ou 
seja, com concavidade negativa. 
1
𝜌
= −
𝑃𝑥
𝐸𝐼
 
• A inclinação e a deflexão da viga em qualquer ponto, 
pode ser obtida a partir da equação diferencial de 
segunda ordem, dada a seguir. A linha elástica 
representa a deflexão da linha longitudinal da viga e 
passa pelo centroide de sua seção transversal. A 
equação básica para a linha elástica de uma viga é 
mostrada abaixo. 
𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑦2
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼
 
• A linha elástica tem uma relação direta com o momento 
fletor. Se a viga estiver com a linha elástica sorrindo, o 
momento será positivo. Se a viga estiver triste, o 
momento será negativo, como mostrado na Figura 5. 
• Se você integrar esta equação, você irá obter θ, que é a 
inclinação, ou rotação, da viga. 
• Se você integrar mais uma vez, ou seja, integrar θ, você 
irá obter a deflexão da viga para qualquer ponto. 
• Toda integral indefinida (cálculo 1) possui constante de 
integração. As constantes de integração, que aparecerão 
no processo, serão determinadas a partir das condições 
de contorno, como mostrado nas Figuras 4(a) e4(b), por 
exemplo. 
• As condições de contorno definem o contorno do 
elemento. Assim, numa viga engastada, como mostrado 
na Figura 4(a), tem em x=0, deslocamento transversal e 
inclinação igual a 0. Analogamente, na Figura 4(b), nas 
coordenadas dos apoios articulados apenas os 
deslocamentos transversais são impedidos, e portanto iguais a zero. 
• Quando tivermos mais de um trecho na viga, cada trecho é um elemento, cujos 
contornos serão avaliados. Avaliando para cada trecho as condições de contorno, nas 
coordenadas de união dos elementos, os deslocamentos serão iguais para, assim, 
garantir a continuidade dos nós. Observe o ponto D da Figura 5! 
Figura 3 
Figura 4 
 
 
3 
• A Figura 6 e 7 mostram as condições de contorno 
de diversos tipos de vinculos. 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
Figura 5 
 
 
4 
 
Figura 7 
• Caso haja um carregamento distribuído, como 
mostrado na Figura 8, a linha elástica pode ser 
encontrada a partir da seguinte fórmula: 
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
= −
𝑤(𝑥)
𝐸𝐼
 
 
 
 
 
 
Figura 8