Momento de inércia

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DINÂMICA
Ivan Rodrigo Kaufman
Revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle 
Bacharel em Física
Catalogação na publicação: Karin Lorien Menoncin – CRB 10/2147
D583 Dinâmica / Ivan Rodrigo Kaufmann... [et al.] ; [revisão técnica:
Eduardo Vinícius Galle]. – Porto Alegre : SAGAH, 2018.
348 p. : il. ; 22,5 cm 
ISBN 978-85-9502-365-9
1. Física. I. Kaufmann, Ivan Rodrigo.
CDU 531.3
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Momento de inércia
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identifi car características do momento de inércia de uma determinada 
superfície.
  Expressar as funções que defi nem o momento de inércia de diversas 
formas geométricas.
  Determinar o momento de inércia de determinados perfi s e da as-
sociação de perfi s.
Introdução
O momento de inércia é muito aplicado para o estudo da distribuição de 
forças em superfícies e massas. Neste capítulo, estudaremos o momento 
de inércia e identificaremos as principais características do momento de 
segunda ordem da seção da viga em relação a determinado eixo. 
Características do momento de inércia
Da mesma forma como um objeto em repouso ou em movimento tende a per-
manecer em repouso ou em movimento se nenhuma força externa é aplicada 
(primeira Lei de Newton), um corpo rígido que tem um movimento de rotação 
também tende a permanecer em movimento de rotação, ou em repouso, se 
estivesse inicialmente em repouso. No caso do movimento de rotação, a ação 
de uma força por meio de um torque induzido é responsável pela mudança 
no movimento. Essa propriedade de um objeto resistir a uma mudança no 
movimento de rotação é chamada momento de inércia. O momento de inércia 
é uma grandeza do quanto a aceleração angular é inversamente proporcional 
ao torque; ou seja, para um torque constante, quanto maior o momento de 
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inércia, menor é a aceleração angular. Podemos expressar o momento de força 
pela seguinte equação:
M = Iα
onde M é o momento de força resultante, I é o momento de inércia e α é a 
aceleração angular. Note a similaridade do movimento de translação de um 
corpo rígido governado por F = m.a, onde a massa é uma medida da resistência 
do corpo frente à aceleração linear a. O momento de força também é conhecido 
como Segunda Lei de Newton para o movimento de rotação. 
Você já deve ter brincado com aqueles carrinhos de brinquedo que, quando 
impulsionados para adquirir uma velocidade, continuam se movimentando 
depois de soltos. Como isso é possível, uma vez que o carrinho não possui 
nenhum tipo de alimentação por meio de pilhas ou qualquer coisa que forneça 
energia para ele? Internamente, o carrinho tem um sistema de engrenagens. 
Quando esse sistema de engrenagens é posto a girar por meio do impulso que 
você oferece ao carrinho, após soltá-lo ele continua o movimento, perdendo 
lentamente a sua energia rotacional adquirida internamente pelas engrena-
gens que o compõem. Isso só é possível porque as engrenagens possuem um 
momento de inércia relativamente grande para o tamanho do carrinho, de 
modo que, quando ele é solto por você, utiliza essa energia armazenada para 
continuar o seu movimento. 
Outro exemplo parecido é a centrífuga de roupas comum em casa. Quando 
é posta para girar, adquire uma velocidade angular. Se a energia elétrica que 
alimenta a centrífuga é cortada, continua a girar e vai perdendo gradativamente 
a sua velocidade angular (e energia rotacional) até parar.
Quanto maior for o momento de inércia rotacional de um objeto, maior é a 
dificuldade para se modificar o movimento em que o objeto se encontra. Esse 
conceito é bem conhecido no circo pelos artistas que andam em uma corda 
que se encontra presa a uma altura muitas vezes assustadora. Para tanto, os 
artistas usam uma barra fina comprida para se equilibrar. Justamente essa 
barra dá a segurança para eles realizarem esse movimento. Grande parte da 
massa da barra está localizada longe do eixo de rotação, localizado no meio 
da barra, onde o artista a segura. Nesse caso, o momento de inércia da barra 
é considerável, de modo a resistir a uma mudança no movimento da barra. 
Quando o equilibrista percebe que está perdendo o equilibro, o momento de 
inércia da barra dá a possibilidade dele se reequilibrar e não cair. Quanto 
maior for a barra, maior é o momento de inércia e mais fácil é para o artista 
se equilibrar. Profissionais mais treinados podem inclusive andar em uma 
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corda-bamba sem mesmo utilizar essa barra rígida, se equilibrando abrindo 
os braços, simulando a barra rígida, como é mostrado no exemplo da Figura 1.
Figura 1. Equilibrista andando em uma corda-bamba (conhecida como slackline) e se 
equilibrando com os seus braços.
Fonte: Vitalii Nesterchuk/Shutterstock.com.
A inércia rotacional de um objeto depende do eixo por onde acontece o 
movimento de rotação. Como exemplo, pegue uma caneta e faça o movimento 
de rotação considerando três eixos (ilustrados na Figura 2): o primeiro em torno 
do eixo que passa ao longo do comprimento da caneta; o segundo perpendicular 
ao comprimento da caneta; o terceiro em torno de uma das extremidades. 
Figura 2. Eixo de rotação da caneta a) ao longo do comprimento, b) perpendicular ao 
comprimento e c) em uma das extremidades.
Fonte: IShift/Shutterstock.com.
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Qual dos movimentos possui a menor e a maior resistência à rotação? In-
duzir o movimento de rotação para o primeiro caso é muito mais fácil quando 
comparado aos outros dois movimentos sugeridos. Já o último movimento de 
rotação, em torno de uma das extremidades, é o que oferece maior resistência 
à rotação. O segundo movimento sugerido é o que possui momento de inércia 
intermediária aos dois outros movimentos. Mas por que essa resistência ao 
movimento é diferente nos três casos? 
A grande diferença recai no fato de como a massa da caneta é distribuída em 
relação ao seu eixo de rotação. No primeiro caso, a massa da caneta está concen-
trada mais próxima do eixo de rotação, que é ao longo da caneta. No segundo 
caso, onde o eixo de rotação é perpendicular ao comprimento da caneta, a massa 
está distribuída como no caso do artista equilibrista do exemplo acima: metade 
da massa ao longo da metade do comprimento da caneta para um lado e a outra 
metade da massa ao longo da outra metade do comprimento da caneta. No terceiro 
caso, em que o eixo de rotação é em uma das extremidades da caneta, temos 
uma situação parecida com um pêndulo, no qual toda a massa está distribuída 
ao longo de todo o comprimento do eixo de rotação até a outra extremidade.
Funções matemáticas que definem o momento 
de inércia de formas geométricas
Como você observou, a geometria de um objeto, bem como a localização do 
eixo de rotação, são fatores importantes que defi nem o momento de inércia. 
Digamos que um corpo rígido seja constituído de algumas partícula. Nesse 
caso, o momento de inércia rotacional é defi nido como:
na qual mi é a massa de uma das partículas e ri é a distância da localização 
dessa partícula em relação ao eixo de rotação. Já quando tratamos de um 
objeto rígido como sendo um contínuo de partículas, no lugar de realizarmos 
o somatório individual de cada uma das infinitas partículas que o compõem, 
é mais fácil expressarmos o momento de inércia com uma integral:
Essa é a definição matemática do momento de inércia rotacional para um 
corpo com massa distribuída continuamente. Aqui a distância r é calculada 
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como sendo a distância perpendicular ao eixo de rotação em z, conforme 
ilustrado na Figura 3. O momento de inércia geralmente é expresso pelas uni-
dades de [kg.m2]. Uma vez que r é elevado ao quadrado, o momento de inércia 
sempre terá um valor positivo. Quando o eixo de rotação passa pelocentro de 
massa do objeto rígido, o momento de inércia geralmente é denotado como IG.
Figura 3. Um corpo rígido qualquer 
com um elemento de massa dm a uma 
distância r do eixo de rotação em z.
Fonte: Adaptado de Hibbeler (2016, p. 410).
Em muitas situações físicas, o corpo rígido pode ter uma distribuição de 
massa variável, tendo então uma variação da densidade ao longo do corpo 
rígido. Nesse caso, o infinitesimal de massa dm pode ser expressado de acordo 
com a sua densidade e volume. Como sabemos que a densidade (ρ) é definida 
como sendo a massa (m) pelo volume (V), temos que dm = ρ.dV. Agora podemos 
substituir dm na integral que define o momento de inércia:
E agora temos uma integral definida com um elemento infinitesimal de 
volume. Em alguns casos, a densidade é constante e pode ser retirada de 
dentro da integral, e a integral pode ser resolvida por meio de uma questão 
puramente geométrica.
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Agora vamos aplicar os conceitos matemáticos abordados acima para o 
cálculo do momento de inércia de um disco de raio R, espessura t, massa total 
M e um volume total V, conforme ilustrado na Figura 4.
Figura 4. Um disco com raio R e espessura t, com eixo 
de rotação indicado pela linha tracejada em preto, 
passando pelo centro de massa.
O disco pode ser dividido em vários anéis finos de raio dr e espessura t. O 
volume para cada um desses anéis, de raio r, pode ser escrito como:
e a massa de cada um desses anéis pode ser expressa como:
onde ρ é a densidade do sólido, dada por ρ = M/V. Uma vez que todas as 
partículas que compõem um desses anéis está localizada na mesma distância 
r em relação ao eixo de rotação, o momento de inércia para esse anel pode 
ser calculada como:
Integrando dI para todo o disco, temos:
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como ρ, 2π e t são constantes, podemos retirá-los da integral, sobrando 
somente r.r2.dr na parte interna da integral. Por fim, realizamos a integral 
variando o elemento dr de 0 a R e obtemos:
Como o volume do disco é dado por , e ρ.V = M, temos que 
. Por fim:
Momento de inércia de determinados 
perfis e associação de perfis
O exemplo da Figura 1C mostra a caneta com eixo de rotação localizado em 
uma das extremidades. Nesse caso, o eixo de rotação não passa pelo centro de 
massa do objeto, e os cálculos do momento de inércia a partir da equação que 
a defi ne podem se tornar um pouco mais complexos. O teorema 
dos eixos paralelos pode ser aplicado nessas situações, facilitando o cálculo.
Digamos que temos um objeto rígido de massa , ilustrado na 
Figura 5. 
Figura 5. Um corpo rígido qualquer com eixo de 
rotação em torno de P.
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O centro de massa desse objeto é indicado por G. Adotamos um sistema de 
coordenadas com origem no centro de massa. Você quer descobrir o momento 
de inércia desse corpo rígido para um eixo de rotação passando pelo ponto P, 
paralelo a um eixo passando pelo centro de massa, com posição em (xp,yp) e 
com distância d em relação à origem do sistema de coordenadas. Para tanto, 
somamos todos os momentos de inércia para cada uma das enésimas massas 
do corpo rígido. A distância ao quadrado do ponto P em relação a uma dessas 
massas mi (ri
2) é dada por: ri
 2 = (xi − xp)
2 + (yi − yp)
2. E assim calculamos o 
momento de inércia para o ponto P:
Rearranjando os termos:
 é igual ao momento de inércia em relação ao centro de 
massa (IG) e é igual a d
2. O somatório da multiplicação entre as 
massas mi e xi e mi e yi é igual a zero, pois, como as massas estão distribu-
ídas igualmente no sentido positivo e negativo de x e y, o somatório recai 
no centro de massa do objeto, que está localizado na origem do sistema de 
coordenadas (x = 0 e y = 0). Por fim, temos a prova do teorema dos eixos 
paralelos, representado por:
Portanto, o momento de inércia de um objeto rígido com eixo de rotação 
paralelo a um eixo passando pelo centro de massa é igual ao momento de 
inércia do centro de massa somado a Md2, sendo d a distância que separa os 
dois eixos de rotação.
Agora vamos aplicar esse teorema para calcular o momento de inércia do 
pêndulo da Figura 6. A barra rígida PA tem massa de 3 kg e comprimento 
de LPA = 0,5 m e a barra BC está presa no ponto A e tem massa de 7 kg e 
comprimento de LBC = 0,6 m. O pêndulo está fixado em P.
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Figura 6. Um pêndulo preso em P composto 
de duas barras rígidas PA e BC.
Primeiramente calculamos o momento de inércia para a barra PA. Pelo 
teorema dos eixos paralelos, temos:
sendo IPA_G o momento de inércia da barra PA com eixo de rotação no centro 
de massa. Como a massa MPA da barra PA se distribui uniformemente ao longo 
da barra, a densidade linear é a massa da barra dividido pelo comprimento LPA 
da barra: λ = MPA/LPA. Para um pedaço infinitesimal de massa (dm) localizado 
em um pequeno pedaço infinitesimal (dx) da barra, temos que λ = dm/dx. 
Logo, dm = λ.dx = MPA.dx/LPA. Substituímos dm na equação para o cálculo do 
momento de inércia do centro de massa:
Calculando para a barra presa em P (d = LPA/2):
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Para a barra BC girando em torno do eixo P, temos:
O momento de inércia total é a soma dos momentos 
Neste link você encontrará um relatório experimental 
de laboratório onde dois cilindros diferentes, mas com 
mesma massa, mesmos diâmetro e volume, são presos 
por pesos e medidos parâmetros físicos pertinentes para 
a determinação do momento de inércia de cada um:
https://goo.gl/mgS7yf 
1. Qual é o momento de inércia 
da superfície sombreada 
em relação ao eixo x?
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
2. Obtenha o raio de giração 
polar e o momento de inércia, 
tendo como referência o 
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ponto C da figura pintada.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3. Calcule o momento de inércia em 
x, em relação ao centro O, os seus 
eixos centroidais perpendiculares 
e paralelos à base AB da área 
sombreada da figura. Considere 
que, para secções retangulares, a 
fórmula do momento de inércia é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4. Calcule o raio de giração da superfície 
sombreada em relação ao eixo y 
e calcule o momento de inércia.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
5. Calcule o raio de giração da 
superfície sombreada em 
relação ao eixo x e calcule 
o momento de inércia.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
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HIBBELER, R. C. Statics and dynamics. 14. ed. New Jersey: Pearson, 2016.
Leituras recomendadas
BEER, P. F. et al. Vector mechanics for engineers: statics and dynamics. 9. ed. New York: 
McGraw-Hill, 2010.
WALKER, J.; HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentals of physics. 10. ed. New Jersey: 
John Wiley & Sons, 2014.
Referência
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.