Exercícios de Física: Soluções de Problemas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadeˆmica de F´ısica
Soluc¸a˜o do 4o Esta´gio de F´ısica Geral III 2016.1
Disciplina:1108025 14/10/2016
Prof. Adriano de A. Batista
1) (2.0) Uma bobina circular de 10 espiras com raio de 3,0 cm esta´ enrolada em um soleno´ide de
raio de 3,0cm com 100 voltas por cm. Se a corrente no soleno´ide for i(t) = i0 cos(2pift), com
i0 = 1, 0A e f = 1, 0kHz: (a) Qual a amplitude da corrente induzida na bobina se ela tiver re-
sisteˆncia R = 10Ω? Despreze a autoindutaˆncia. (b) Qual a poteˆncia me´dia transferida para a
bobina? µ0 = 1, 257× 10−6H/m.
Soluc¸a˜o:
(a) O campo magne´tico no interior do solenoide e´ B(t) = B0 cos(2pift), onde B0 = µ0ni0 ≈
1, 257 × 10−6 × 104T≈12,6mT e o fluxo na bobina e´ Φ(t) = NB(t)pia2 = Φ0 cos(2pift), onde
Φ0 = NB0pia
2 = 10 × 12, 6pi × 9, 0 × 10−7 Wb≈ 0, 356mWb, com a = 3, 0cm. Portanto, a fem
na bobina e´ dada por E(t) = −dΦ(t)
dt
= −E0 sen(2pift), em que E0 = Φ02pif = 0, 356 × 10−3 ×
6, 283 × 103V≈ 2, 2V. A corrente na bobina e´ enta˜o dada por iind(t) = −iind0 sen(2pift), em que
iind0 =
E0
R
≈ 0, 22A.
(b) A poteˆncia me´dia transferida para a bobina e´ dada por
P = E(t)iind(t) = E0iind0 /2 ≈ 2, 2V × 0, 22A/2 ≈ 240mW
2) (2.0) No circuito abaixo a` esquerda a chave S e´ fechada em t = 0 . (a) Qual a corrente inicial na
bateria? (b) Qual a corrente inicial no indutor? (c) Depois de um tempo muito longo, qual a energia
acumulada no indutor? (d) Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e´ a fem induzida em
L?
V0
S
R2
R3
L
R1
Soluc¸a˜o:
Assim que a chave S e´ fechada, na˜o passa nenhuma corrente no indutor, pois a corrente no
indutor obedece a uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem e cresce continuamente a partir de
zero com um tempo caracter´ıstico da ordem de L/R, onde R ≈ (R1 +R3). Assim:
(a) Ibat(0
+) = V0
R1+R2
(b) IL(0
+) = 0
(c) Depois de um longo tempo (t >> L/R) as correntes se tornam estaciona´rias e portanto
dIL
dt
= 0. Logo na˜o ha´ mais queda de tensa˜o no indutor, o que o torna um curto. Assim a
resisteˆncia equivalente vista pela bateria e´ Req = R1 +
R2R3
R2+R3
e a corrente da bateria e´ enta˜o
ibat = V0/Req. Pela lei dos no´s temos ibat = i2 + iL e pela lei das malhas temos R2i2 = R3iL.
Logo, a corrente no indutor sera´ consequentemente, IL(∞) = R2ibatR2+R3 = R2V0R1R2+R2R3+R1R3 . Logo a
1
energia armazenada no indutor sera´
LI2L(∞)
2
.
(d) Logo depois que a chave S e´ aberta novamente, a corrente do indutor ainda e´ IL(∞), assim
a queda de tensa˜o nos resistores e´ −(R2 + R3)IL(∞) pela lei de Ohm. Assim a ddp no indutor,
pela lei das malhas, e´ EL = (R2 +R3)IL(∞) = R2(R2+R3)V0R1R2+R2R3+R1R3 .
3)(2.0)Uma espira retangular tem largura a = 2, 0cm e comprimento b = 3, 0cm esta´ a uma distaˆncia
d = 1, 0cm de um fio retil´ıneo muito longo com corrente I. Veja a figura abaixo. A corrente no
fio cresce linearmente de 0 a 1, 0A em ∆t = 50ms. Durante esse tempo: (a) (1,0) Qual a fem in-
duzida na espira? (b) (0,5) Qual o sentido da corrente induzida na espira? (c) Qual a energia total
dissipada na espira supondo que a sua resisteˆncia seja de 5, 0Ω?(despreze a autoindutaˆncia da espira).
Id
a
b
y
Soluc¸a˜o:
O campo gerado pelo fio retil´ıneo com corrente I(t) no plano da espira (plano xy) e´ ~B(y, t) =
µ0I(t)
2piy
kˆ, onde y e´ a ordenada de um ponto (x, y). (a) O fluxo magne´tico na espira nesse intervalo
de tempo e´ dado enta˜o por Φ(t) = Φ0t/∆t, onde Φ0 =
µ0I0b
2pi
∫ d+a
d
dy
y
= µ0I0b
2pi
ln d+a
d
= 2 × 10−7 ×
1, 0A× 0, 03 ln 3Wb= 6, 0 ln 3×nWb≈ 6, 6nWb.
Logo, a fem induzida na espira e´ dada por E(t) = −dΦ(t)
dt
= E0 = −Φ0/∆t ≈ −0, 13µV.
(b) Pela lei de Lenz, a corrente induzida sera´ no sentido hora´rio de forma a contrabalanc¸ar o
aumento do fluxo magne´tico para fora do papel gerado pelo campo magne´tico da corrente do fio
retil´ıneo.
(c) Desprezando a auto-indutaˆncia da espira, a corrente induzida nesse intervalo de tempo e´
dada por iind(t) = E(t)/R = E0R . A poteˆncia dissipada na espira durante o intervalo de tempo
0 < t < ∆t e´ Pdiss(t) = Ri
2
ind =
E20
R
. Logo a energia total dissipada e´ Ediss =
E20∆t
R
=
Φ20
R∆t
≈
6,62×10−18
5×50×10−3J=≈ 0, 17× 10−15J=0, 17fJ.
4)(2.0) Uma bobina circular de raio a, resisteˆncia R e N voltas gira em torno de um diaˆmetro na
direc¸a˜o x com frequeˆncia angular ω numa regia˜o em que o campo magne´tico e´ dado por B(~r) = B0kˆ.
(a) qual a amplitude da fem induzida na bobina? (b) Qual a energia dissipada por per´ıodo de os-
cilac¸a˜o do campo magne´tico na espira?
Soluc¸a˜o:
(a) O fluxo na espira e´ Φ(t) = ~B(t) · ~A = pia2B0 cos(ωt+ϕ0), onde ϕ0 e´ o aˆngulo de fase inicial en-
tre a campo magne´tico externo e o vetor normal a` bobina. Logo a fem induzida na bobina e´ dada
2
por E(t) = −N dΦ(t)
dt
= Npia2B0ω sen(ωt + ϕ0) e a corrente induzida na bobina e´ I(t) = E(t)/R,
onde desprezamos o efeito da auto-indutaˆncia.
(b) Da´ı obtemos a poteˆncia instantaˆnea dissipada Pdiss(t) = RI(t)
2 =
N2pi2a4B20ω
2
R
sen2(ωt). Por-
tanto, a energia dissipada por per´ıodo e´ Ediss =
∫ T
0
RI(t)2 dt =
N2pi2a4B20ω
2T
2R
=
N2pi3a4B20ω
R
, onde
T = 2pi
ω
.
5)(2.0) Na figura abaixo a chave e´ mantida na posic¸a˜o a por muito tempo. Depois de o capacitor se
carregar completamente, a chave e´ deslocada para a posic¸a˜o b: (a) Qual a energia total acumulada
no circuito LC? (b) Qual a amplitude da corrente? (c) Qual a amplitude da tensa˜o no capacitor?
(d) Qual o per´ıodo de oscilac¸a˜o?
a b
C
V
0
R L
Soluc¸a˜o:
Depois de um longo tempo t >> RC com a chave na posic¸a˜o a, a ddp no capacitor e´ V0 e a sua
energia acumulada e´ CV 20 /2. (a) Quando a chave e´ passada para a posic¸a˜o b temos um circuito
LC, cuja energia total se conserva no tempo. Assim,
CV 20
2
=
LI(t)2
2
+
CV (t)2
2
=
LI2max
2
=
CV 2max
2
= constante
(b) Tanto a corrente quanto a tensa˜o no capacitor sera˜o func¸o˜es senoidais. Assim, a corrente e´
ma´xima quando toda a energia esta´ acumulada no indutor e a tensa˜o e´ ma´xima quando toda a
energia esta´ acumulada no capacitor. Logo a amplitude da corrente e´ V0
√
C/L.
(c) A amplitude da ddp no capacitor e´ Vmax = V0. (d) O per´ıodo de oscilac¸a˜o e´ 2pi/ω0, onde
ω0 =
1√
LC
.
3