ÁLGEBRA LINEAR APLICADO A ENGENHARIA DE PETROLEO E PRODUÇÃO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
ÁLGEBRA LINEAR APLICADO A ENGENHARIA DE PETROLEO E
PRODUÇÃO
MAT07 – Algebra Linear
Salvador
2020 (SLS)
ÁLGEBRA LINEAR APLICADO A ENGENHARIA DE PETROLEO E PRODUÇÃO
RESUMO
Este trabalho discute a importância de apresentar aplicação no estudo da disciplina
álgebra linear no curso de engenharia de petróleo/produção. O problema apresentado é
solucionado através da resolução matricial dos sistemas lineares, que envolvem dados
numéricos, permitindo sua resolução manual. Problemas reais, em geral, apresentam
dimensões maiores e necessitam do auxílio de softwares computacionais apropriados
para a resolução. 
INTRODUÇÃO 
A álgebra linear se destaca em diversas áreas da matemática da análise à estatística,
onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra
linear tem crescido nas últimas décadas. Na engenharia de petróleo/produção não é
diferente, sua importância é fundamental para solucionar diversos problemas entre eles, o
estudos de logística, planejamentos de autoestradas entre outros. Com base nos
conhecimentos adquiridos ao longo do curso de Engenharia de Petróleo, será usado
calculo matricial para resolução de uma questão com intuito de verificar possíveis rotas
aéreas para distribuição de petróleo e seus derivados.
GRAFO
A teoria dos grafos estuda objetos combinatórios os grafos que são um bom modelo para
muitos problemas em vários ramos da matemática, da informática, da engenharia e da
indústria.
Um grafo é um par (V;A) em que V é um conjunto arbitrário e A é um subconjunto de V. Os
elementos de V são chamados vértices e os de A são chamados arestas um grafo não
pode ter duas arestas diferentes com o mesmo par de pontas (ou seja, não pode ter
arestas “paralelas”). Também não pode ter uma aresta com pontas coincidentes (ou seja,
não pode ter “laços”).
SEGUNDO COM MOORE 
um “grafo orientado é uma coleção não vazia de um número finito de vértices Pi
juntamente com um número finito de arestas direcionadas PiPj que ligam alguns ou todos
desses. Um grafo orientado é chamado um dígrafo se ele não contém nenhum “loop”
(laço) e possui no máximo uma aresta de Pi a Pj, para cada i e j”.
APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA
FIGURA 01 – Grafo dos Estado Brasileiros
 Fonte: ResearchGate, 2008.
ONDE É GERADO A 1º MATRIZ
Essa matriz representa as rotas sem a necessidade de escalas, ou seja, de um estado
para o outro. Foi usado o número 1 para indicar que se pode ir de um estado para o outro,
e onde existe o numeral 0, significa a rota do estado para ele mesmo.
LOGO, A MATRIZ É A SEGUINTE:
GOIÂNIA
SÃO PAULO
PORTO ALEGRE
 BELO HORIZONTE
RIO DE JANEIRO
0
1
1
1
1
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0
1
0
SP RJ BH PA BR GO
SP
RJ
BH
PA
BR
GO
 BRASÍLIA
FIGURA 02 – Grafo dos Estado Brasileiros
 Fonte: autor , 2020.
Se elevarmos tal matriz ao quadrado então os elementos bij da nova matriz indicam o
número de forma que podemos ir do vértice Pi para o vértice Pj em exatamente dois
passos.
Podemos nota que o elemento b35=2 indica que existem dois modos do petróleo e seus
derivados serem transportados de Belo Horizonte para Brasília com exatamente uma
escala intermediária. No caso, as possibilidades são Belo Horizonte – Rio de Janeiro –
Brasília ou Belo Horizonte – São Paulo – Brasília. O elemento b16=1 indica que há
somente uma forma de sair de São Paulo com destino a Goiânia com exatamente uma
escala, no caso o trecho correspondente é São Paulo – Brasília – Goiânia.
Se calcularmos o cubo da matriz, então se tem o número de modos que o vértice Pi é 
levado ao vértice Pj, em exatamente três passos, e assim sucessivamente.
0
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 M=
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3
4
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2
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2
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3
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0
0
1
 [bij] = M²
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7
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6
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2
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2
7
7
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2
8
8
2
2
2
3
1
1
2
2
3
0
 [Cij] = M² =
A matriz soma M + M2, isto é, a matriz do dígrafo somada à sua matriz quadrada indica o
número de forma que o vértice Pi é levado em Pj em até dois passos. De modo que é
possível se saber se é possível o transporte do material de um ponto a outro com no
máximo uma escala.
O elemento D36=0 indica que não é possível realizar o transporte de Belo Horizonte para
Goiânia diretamente e nem com uma só escala. Mas, pela matriz M3, segue que tal
percurso pode ser feito com exatamente duas escalas e de dois modos possíveis, já que
elemento C36=2. 
Com base nesses dados, se outra companhia aérea que desejasse realizar o transporte
do petróleo e seus derivados nessa rota pode, através da informação da figura 2,
implantar novos trechos de voos e analisando as matrizes poderia fazer uma verificação
se é uma boa estratégia enfrentar concorrência com as rotas existentes, ou se mudaria a
quantidade de escalas para se chegar de um lugar ao outro. É claro que a teoria dos
grafos é um dos muitos fatores que deverão ser analisados, mas com o exemplo exibido
poder-se-ia tirar boas conclusões. Essa teoria pode ser utilizada em um grande número
de situações.
CONCLUSÃO 
Assim, foi abordo uma pequena parte onde podemos usar matrizes no cotidiano da
engenharia de petróleo/produção. Ao pesquisar sobre o assunto, percebemos o quão
abrangente são as matrizes e descobrimos que ele não fica preso apenas as tabelas, mas
tem um vasto leque de definições e desdobramentos. 
Logo, este trabalho teve como intuito de mostrar a usualidade das matrizes e informar sua
importância na área da engenharia de petróleo/produção, e mostrar que não são apenas
simples cálculos numéricos de matrizes. E por fim, os métodos apresentados sobre a
4
4
2
2
2
1
4
4
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1
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0
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3
1
1
1
0
0
1
1
 [dij] = M + M² =
aplicação de matrizes, teve como objetivo mostrar e explicar seu meio de uma maneira
simples e concreta para que chegue ao conhecimento de todos que a este tiver acesso. 
REFERÊNCIAS
CORRÊA, Henrique L; GIANESI, Irineu G. N. Justin in time, MRP II e OPT: um enfoque
estratégico. 2 ed.São Paulo: Atlas, 1993.
ROBLES JR. Antonio. Custos da Qualidade: Aspectos Econômicos da Gestão da
Qualidade e da Gestão Ambiental. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2003.
Apostila da USP sobre Grafos-Uma Introdução Sucinta à Teoria dos Grafos. P. Feofiloff, Y.
Kohayakawa, Y. Wakabayashi. 12/7/2011. Site:<http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/>. 
Acesso em: 30, Novembro de 2020.
Moore, H.G., Yaquad, A. A First Course in Linear Algebra with Applications. 3ed. San
Diego: Academic Press, 1998.
Adjacncia entre estados do Brasil. Researchgate. 2008. Disponível em
<https://www.researchgate.net/figure/Figura-13-Adjacncia-entre-estados-do-Brasil-veja-
exemplo-15_fig1_327057443>. Acesso em 03, Dezembro de 2020.
http://www.ime.usp.br/~pf/teoriadosgrafos/
https://www.researchgate.net/figure/Figura-13-Adjacncia-entre-estados-do-Brasil-veja-exemplo-15_fig1_327057443
https://www.researchgate.net/figure/Figura-13-Adjacncia-entre-estados-do-Brasil-veja-exemplo-15_fig1_327057443
	LOGO, A MATRIZ É A SEGUINTE:
	Se elevarmos tal matriz ao quadrado então os elementos bij da nova matriz indicam o número de forma que podemos ir do vértice Pi para o vértice Pj em exatamente dois passos.
	Se calcularmos o cubo da matriz, então se tem o número de modos que o vértice Pi é levado ao vértice Pj, em exatamente três passos, e assim sucessivamente.
	A matriz soma M + M2, isto é, a matriz do dígrafo somada à sua matriz quadrada indica o número de forma que o vértice Pi é levado em Pj em até dois passos. De modo que é possível se saber se é possível o transporte do material de um ponto a outro com no máximo uma escala.
	Com base nesses dados, se outra companhia aérea que desejasse realizar o transporte do petróleo e seusderivados nessa rota pode, através da informação da figura 2, implantar novos trechos de voos e analisando as matrizes poderia fazer uma verificação se é uma boa estratégia enfrentar concorrência com as rotas existentes, ou se mudaria a quantidade de escalas para se chegar de um lugar ao outro. É claro que a teoria dos grafos é um dos muitos fatores que deverão ser analisados, mas com o exemplo exibido poder-se-ia tirar boas conclusões. Essa teoria pode ser utilizada em um grande número de situações.
	REFERÊNCIAS