[Cálculo] Derivada de uma Função (Resumo)

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DERIVADA 
 
Def.: A derivada 𝑓′(𝑥) de 𝑓 em 𝑐 é o coeficiente 
angular da reta tangente em 𝑐 dado por: 
 
 
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
 
 
 
ou 
 
 
𝑓′(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
 
• Equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no 
ponto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)): 
 
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) 
 
Obs.: 𝑓′(𝑥0) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
 teorema do valor médio. 
 
 
 
 
 
 
 Notação: seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função derivável. 
 
𝑦′ → Lagrange: derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 → Leibniz: incrementos infinitesimais nas 
variáveis, o qual, fornecem a taxa de 
variação de 𝑦 em relação a 𝑥. 
�̇� → Newton: fluxão de uma variável em 
relação ao tempo. 
 
 
Obs.: 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função implícita. 
Ex.: 𝑓′(2) =
𝑑𝑓
𝑑𝑥
|
𝑥=2
 
 
Derivada segunda ou superior: 
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
. 
 
Exemplo de notação de derivada segunda 
𝑦′′ = 𝑓′′(𝑥) =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓̈(𝑥) 
 Propriedades 
 
i. Derivada da soma / subtração 
 
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) 
 
ii. Propriedade da constante 
 
[𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥) 
 
iii. Derivada do produto 
 
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) 
 
iv. Derivada do quociente 
 
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
]
′
=
𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
 
Teorema: Se 𝑓 é derivável em 𝑓−1(𝑏) = 𝑎, com 𝑓′(𝑎) ≠ 0 e 𝑓−1 contínua em 𝑏, então 𝑓−1 é 
derivável em 𝑏. 
 
(𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥 
(𝑙𝑛 𝑥)′ =
1
𝑥
 
 Derivadas importantes 
• Função polinomial 
 
 (𝑥𝑛)′ = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1 
 
• Função Exponencial 
 
 (𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 ∙ 𝑙𝑛 𝑎 
 
• Função Logarítma 
 
 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)
′ =
1
𝑎𝑥∙𝑙𝑛 𝑎
 
 
• Função composta: regra da cadeia 
 
[𝑓(𝑔(𝑥))]
′
= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 
 
• Função inversa 
[𝑓−1(𝑥)]′ =
1
𝑓′(𝑓−1(𝑥))
 
• [𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)]
′
: base e expoente são funções 
 
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑙𝑛 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−1 ∙ 𝑓′(𝑥)
 
• Funções Trigonométrica 
 
i. (𝑠𝑒𝑛 𝑥)′ = cos 𝑥 
ii. (cos 𝑥)′ = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
iii. (𝑡𝑔 𝑥)′ = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
iv. (𝑠𝑒𝑐 𝑥)′ = (𝑠𝑒𝑐 𝑥) ∙ (𝑡𝑔 𝑥) 
v. (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥)′ = (−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥) ∙ (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥) 
vi. (𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥)′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 
 
• Inversas das Funções trigonométricas 
 
i. (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢)′ =
𝑢′
√1−𝑢2
 
ii. (𝑎𝑟𝑐 cos 𝑢)′ = −
𝑢′
√1−𝑢2
 
iii. (𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢)′ =
𝑢′
1+𝑢2
 
iv. (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝑢)′ =
𝑢′
|𝑢|√1−𝑢2
 
v. (𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑢)′ = −
𝑢′
|𝑢|√1−𝑢2
 
vi. (𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢)′ = −
𝑢′
1+𝑢2
 
 
 Velocidade e Aceleração (taxa de variação) 
 
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑡) o deslocamento de uma partícula em função do tempo (𝑡), segue-se: 
• 𝑓′(𝑡) = lim
∆𝑡→0
𝑓(𝑡+∆𝑡)−𝑓(𝑡)
∆𝑡
 é a velocidade da partícula no instante 𝑡; 
• 𝑓′′(𝑡) = lim
∆𝑡→0
𝑓′(𝑡+∆𝑡)−𝑓′(𝑡)
∆𝑡
 é a aceleração média entre os instantes 𝑡 e (𝑡 + ∆𝑡). 
 
 Gráfico: seja 𝑓 contínua e derivável. 
 
Def1.: 𝑓 tem concavidade para cima sempre que 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑝) + 𝑓′(𝑝) ∙ (𝑥 − 𝑝), ∀𝑥, 𝑝 e 𝑥 ≠ 𝑝. 
Def2.: 𝑓 possui concavidade para baixo quando 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑝) + 𝑓′(𝑝) ∙ (𝑥 − 𝑝), ∀𝑥, 𝑝 e 𝑥 ≠ 𝑝. 
Def3.: 𝑝 é ponto de inflexão de 𝑓 quando ∃𝑎, 𝑏 ∈ ℝ com ]𝑎, 𝑏[ ∈ 𝐷𝑓, tal que, 𝑓 tem concavidades 
contrárias nos intervalos ]𝑎, 𝑝[ e ]𝑝, 𝑏[. 
 
Teorema: Se 𝑓 é derivável até segunda ordem no intervalo aberto 𝐼, segue-se: 
i. 𝑓′′(𝑥) > 0 em 𝐼 ⇒ 𝒇 tem concavidade para cima. 
ii. 𝑓′′(𝑥) < 0 em 𝐼 ⇒ 𝒇 tem concavidade para baixo. 
lim
𝑥→+∞
𝑒 𝑥
 𝑥𝛼
= +∞, (𝛼 > 0) 
Para 𝑥 → +∞, tem que 𝑒 𝑥 → +∞ 
mais rapidamente que qualquer 
potência de 𝑥. 
As regras de L’hospital também 
são validas para 𝑥 → 𝑝, 𝑥 → 𝑝−, 
𝑥 → 𝑝+, 𝑥 → ±∞. 
Teorema do valor médio: Se 𝑓 é continua em [𝑎, 𝑏] e derivável em ]𝑎, 𝑏[, então existe pelo menos um 𝑐 
em ]𝑎, 𝑏[; 𝑓′(𝑐) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. 
 
Teorema: Seja 𝑓 contínua em 𝐼. 
 
i. 𝑓′(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑓 é estritamente crescente em 𝐼. 
ii. 𝑓′(𝑥) < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑓 é estritamente decrescente em 𝐼. 
 
Def4.: 𝑓(𝑝) é valor máximo global de 𝑓 (𝑝 é ponto máximo de 𝑓) quando 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑝), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓. 
Def5.: 𝑓(𝑝) é valor mínimo global de 𝑓 (𝑝 é ponto mínimo de 𝑓) quando 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑝), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓. 
Def6.: 𝑓(𝑝) é valor máximo local de 𝑓 quando ∃𝑟 > 0; 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑝), ∀𝑥 ∈ ]𝑝 − 𝑟, 𝑝 + 𝑟[ ∩ 𝐷𝑓. 
Def7.: 𝑓(𝑝) é valor mínimo local de 𝑓 quando ∃𝑟 > 0; 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑝), ∀𝑥 ∈ ]𝑝 − 𝑟, 𝑝 + 𝑟[ ∩ 𝐷𝑓. 
 
Teorema: 𝑝 é ponto mínimo ou máximo local de 𝑓 ⟺ 𝑓′(𝑝) = 0. 
 
Teorema: Se 𝑓 é derivável até segunda ordem e 𝑝 ∈ 𝐼, segue-se. 
 
i. 𝑓′(𝑥) = 0, 𝑒 𝑓′′(𝑥) > 0 ⇒ 𝑝 é ponto mínimo local. 
ii. 𝑓′(𝑥) = 0, 𝑒 𝑓′′(𝑥) < 0 ⇒ 𝑝 é ponto máximo local. 
 
Teorema: Regras de L’hospital. 
 
i. lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
0
0
⇒ lim
𝑥→𝑝
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑝
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
ii. lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
+∞
+∞
⇒ lim
𝑥→𝑝−
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑝−
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
 
• Esboçar gráficos 
 
i. Explicita 𝐷𝑓. 
ii. Determina os intervalos de crescimento e decrescimento (𝑓′). 
iii. Estuda a concavidade e destaca os pontos de inflexões (𝑓′′). 
iv. Calcula os limites laterais de 𝑓 em 𝑝 nos casos: 
a) 𝑝 ∉ 𝐷𝑓 e 𝑝 é extremo de um dos intervalos que compõe 𝐷𝑓; 
b) 𝑝 ∈ 𝐷𝑓 e 𝑓 não é contínua em 𝑝. 
v. Calcula os limites para 𝑥 → −∞ e 𝑥 → +∞. 
vi. Localiza as raízes de 𝑓. 
 
• Processo para determinar assíntotas 
 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 é assíntota de 𝑓 quando 𝑚 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
 e 𝑛 = lim
𝑥→±∞
[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥].