Matemática - Exercícios de Divisibilidade e Divisão

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42 3
12 14
 0
DIVISIBILIDADE 
 
01. MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
Sejam a e b dois números naturais. Se o resto da divisão de a por b for zero, isto é, se a divisão de a por b for exata, diz-
se que a é divisível por b (ou que a é múltiplo de b). Nesse caso, diz-se ainda que b divide a. 
A notação b | a indica que b divide a. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 2 | 6  6 é divisível por 2, pois: 
 
6 2
0 3 
 
 
E.2) 3 | 15, 3 | 27 e 3 | 42  15, 27 e 42 são divisíveis por 3, pois: 
 
13 2
 0 5 
27 3
 0 9 
 
 
E.3) 6 é divisível por 1, 2, 3 e 6. Indicando-se o conjunto dos divisores de 6 por D(6), temos: 
 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
 
 
E.4) O zero é múltiplo de qualquer número, mas só é divisor dele mesmo. 
 
 O conjunto M(a) dos múltiplos de um número a é o conjunto dos naturais vezes a. 
 Assim: 
 
M(2) = {0, 2,4, 6, 8, 10,...}; D(2) = {1, 2} 
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}; D(3) = {1, 3} 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16,...}; D(4) = {1, 2,4} 
M(6) = {0,6,12,18,...}; D(6) = {1,2,3,6} 
 
Note que o conjunto dos múltiplos de um número é infinito, e o conjunto dos divisores é finito. 
Um número natural é par quando é divisível por 2 e é ímpar quando não é par. 
 
 
02. NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número, com exceção do número 1, é primo quando é divisível somente por ele mesmo e pela unidade. 
Vamos escrever alguns números naturais em ordem crescente a partir de 2. Destaquemos o 2 e risquemos todos os múlti-
plos dele que surgem em seguida. Destaquemos o 3 e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguida. Destaquemos 
o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguida etc. 
 
2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31 32 33 etc.
 
 
O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números: 
 
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,29, 31,...} 
 
Note que o 2 é o único número par que é primo. 
 
Um número que admite outros divisores além da unidade e dele próprio é chamado número múltiplo ou número compos-
to. Os números riscados dentre os acima são compostos. 
03. REGRAS DE DIVISIBILIDADE 
 
Um número é divisível por: 
 
a) 2, quando o último algarismo da direita for 0,2, 4, 6 ou 8, isto é, quando o número for par. 
 
EXEMPLOS 
 
30, 86, 104 são números divisíveis por 2. 
 
b) 3, quando a soma dos algarismos que o representam formar um número divisível por 3. 
 
EXEMPLOS 
 
45 é divisível por 3, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 3); 
8022 é divisível por 3, pois 8 + 0 + 2 + 2 = 12 (12 é divisível por 3). 
 
c) 4, quando o número expresso pelo agrupamento dos dois últimos algarismos da direita de sua representação é divisí-
vel por 4. 
 
EXEMPLOS 
 
124 é divisível por 4, pois 24 também o é; 
38408 é divisível por 4, pois 08 = 8 também o é; 
300 é divisível por 4, pois 00 ^ O também o é. 
 
d) 5, quando o último algarismo da direita for 0 ou 5. 
 
EXEMPLOS 
 
820 é divisível por 5, pois termina em 0; 
3475 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 
e) 6, quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3. 
 
EXEMPLOS 
 
24 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3; 
1350 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3. 
 
f) 8, quando o número expresso pelo agrupamento dos três últimos algarismos da direita de sua representação é divisível 
por 8. 
 
EXEMPLOS 
 
34024 é divisível por 8, pois 024 também o é; 
3000 é divisível por 8, pois 000 também o é. 
 
g) 9, quando a soma dos algarismos de sua representação formar um número divisível por 9. 
 
EXEMPLOS 
 
45 é divisível por 9, pois 4 + 5 = 9 (9 é divisível por 9); 
843750 é divisível por 9, pois 8 + 4 + 3 + 7 + 5 + 0 = 27 (27 é divisível por 9). 
 
h) 10, quando terminar em 0. 
 
EXEMPLOS 
 
350 é divisível por 10; 
4800 é divisível por 10. 
 
 
 
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04. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS 
 
4.1. TODO NÚMERO NATURAL MAIOR QUE 1 OU É PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM ÚNICO 
PRODUTO DE FATORES PRIMOS. 
 
EXEMPLO 
 
Vamos decompor 90 em fatores primos. 
Aplicando as regras da divisibilidade, temos: 
 
 90 = 2.45; DISPOSITIVO PRÁTICO 
como 
 45 = 3.15 e 90 2 
 15 = 3.5, 45 3 
 15 3 
temos, igualmente, 5 5 
 90 = 2 . 32 . 5 1 2 . 32 . 5 
 
Pode-se observar melhor no dispositivo prático que para decompor um número em seus fatores primos é mais 
simples se fazer divisões sucessivas tomando os fatores primos em ordem crescente. 
 
4.2. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Dado um número natural n, os seus divisores são determinados decompondo-se n em seus fatores primos, e, 
em seguida, combinando esses fatores um a um, dois a dois etc. 
Vamos obter o conjunto dos divisores de 42 e 504. 
 
a) 42 2 As combinações dos produtos dos números 2, 3 e 7 são: 
 21 3 um a um: 2; 3; 7 
 7 7 dois a dois: (2.3) = 6; (2.7) = 14; (3.7) = 21 
 1 três a três: (2.3.7) = 42 
 
Existe, ainda, o número 1, que é divisor de qualquer número. 
Assim, o conjunto D(42) dos divisores de 42 é: D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO 
 
 1 
42 2 2 D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} 
21 3 3 6 
7 7 7 14 21 42 
1 
 
 1 
b) 504 2 2 
 252 2 4 
 126 2 8 
 63 3 3 6 12 24 
 21 3 9 18 36 72 
 7 7 7 14 28 56 21 42 84 168 63 126 252 504 
 1 
 
Portanto: 
 
D(504) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 18, 21, 24, 28, 36, 42, 56, 63, 72, 84, 126, 168, 252, 504} 
 
NOTA: Demonstra-se que o número de divisores naturais de um número pode ser dado somando-se 1 a cada expoente das 
potências dos fatores primos e, em seguida, multiplicando esses novos expoentes. 
 
Assim: 
 
42 = 21 . 31 . 71 tem (1 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8 divisores. 
504 = 23 . 32 . 71 tem (3 + 1) . (2 + 1) . (1 + 1) = 4 . 3 . 2 = 24 divisores. 
 
Genericamente, o número: 
 
am . bn . cp . ... tem (m + 1) . (n + 1). (p + 1) ... divisores naturais. 
 
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05. MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c) 
 
Consideremos os conjuntos dos divisores de 24 e 30. 
 
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} e achemos a interseção desses conjuntos: D(24)  D(30) = {1, 2, 3, 6}. 
 
Observamos que esse conjunto tem um máximo que é 6. Como os elementos de D(24)  D(30) são os divisores comuns a 
24 e 30, dizemos que 6 é o máximo divisor comum entre 24 e 30. 
 
Indica-se m.d.c (24, 30) = 6. 
 
Portanto: 
 
“O máximo divisor comum entre dois ou mais números é o maior elemento da interseção dos conjuntos dos divisores dos 
números dados.” 
Dois ou mais números são primos entre si quando o m.d.c desses números é 1. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) Os números 5 e 6 são primos entre si, pois: 
 
D(5) = {1,5} D(5)  D(6) = {1}  m.d.c (5, 6) = 51 
D(6) = {1, 2, 3, 6} 
 
E.2) Os números 15, 26 e 49 são primos entre si, pois: 
 
D(15) = {1, 3, 5, 15} 
D(26) = {1, 2, 13, 26}; D(15)  D(26)  D(49) = {1}  m.d.c (15, 26, 49) = 1 
D(49) = {1, 7, 49} 
 
 
 
 
06. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.) 
 
Já vimos que um número natural a é múltiplo do número natural não nulo, b quando a é divisível por b. 
 
O zero é múltiplo de qualquer número. 
 
Definimos: 
 
M(a) = {0, a, 2a, 3a, 4a, 5a, ...} 
Particularmente, o conjunto dos múltiplos de 0 é unitário, ou seja, M(0) = {0}. 
 
Consideremos os conjuntos dos múltiplos de 4 e 6. 
 
M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...} 
M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, ...} e achemos a interseção desses conjuntos. M(4)  M (6) = {0, 12, 24, 36, ...}. 
 
Observamos que esse conjunto tem um mínimo, diferente de zero, que é 12. Como os elementos de M(4)  M(6) são 
múltiplos comuns a 4 e 6, dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comumentre 4 e 6. 
 
Indica-se m.m.c. (4,6) = 12. 
 
Portanto: 
 
“O mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números é o menor elemento, diferente de zero, da interseção dos conjun-
tos dos múltiplos dos números dados.” 
 
 
 
 
 
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07. MÉTODO PRÁTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS 
 
Decompõem-se os números em fatores primos. Feito isso: 
 
o m.d.c. será o produto dos fatores primos comuns, tomando cada um com o menor expoente. 
o m.m.c. será o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente. 
 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) Vamos obter m.d.c e m.m.c entre 84 e 360. 
 
84 2 360 2 
42 2 180 2 84 = 22 . 3 . 7 
21 3 90 2 
7 7 45 3 360 = 23 . 32 . 5 
1 15 3 
5 5 5 
1 
 
Portanto: 
 
m.d.c (84, 360) = 22 . 3 = 12 
m.m.c (84, 360) = 23 . 32 . 7 . 5 = 2520 
 
E.2) Sejam A = 22 . 3m . 53 e B = 31 . 5n . 7. Vamos calcular m e n, sabendo que o m.m.c (A, B) = 157500. 
 
Ora, m.m.c (A, B) = 157500 = 22 . 32 . 54 . 71; logo, m = 2 e n = 4. 
 
 
 
08. PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS 
 
P.1) Se x é múltiplo de a e x é múltiplo de b, então x é múltiplo do m.m.c. (a; b). 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) Se um número é múltiplo de 2 e 3, então é múltiplo de 6 (m.m.c (2; 3)) 
 
E.2) Se um número é múltiplo de 4 e 6, então é múltiplo de 12 (m.m.c (4; 6)) 
 
P.2) Se x é divisor de a e x é divisor de b, então x é divisor do m.d.c (a; b) 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) Se um número é divisor de 30 e 45, então é divisor de 15. 
 
Simbolicamente, podemos dizer: 
 
M(a)  M(b) = M (m.m.c (a; b)) 
D(a)  D(b) = D (m.d.c (a; b)) 
 
P.3) Sejam a e b dois números naturais. O produto a . b é igual ao produto do m.d.c pelo m.m.c. desses números. Isto é 
 
a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a; b) 
a = 23 . 32 . 54 e b = 2 . 33 . 7 
 
EXEMPLOS 
 
a = 23 . 32 . 54 m.d.c.(a,b) = 2 . 32 
b = 2 . 33 . 7 m.m.c.(a,b) = 23 . 33 . 54 . 7 
a x b = 24 . 35 . 54 . 7 m.d.c.(a, b) x m.m.c.(a, b) = 24 . 35 . 54 . 7 
 
e, portanto, a x b = m.d.c. (a, b) x m.m.c. (a, b). 
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EXERCÍCIOS 
 
01. (FATEC-SP) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do Sol e os satélites 
em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: 
Sol – planeta – Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol – planeta – Lua B ocorre a cada 48 anos. 
Se hoje ocorrer o alinhamento Sol – planeta – Lua A – Lua B , então esse fenômeno se repetirá daqui a: 
 
a) 48 anos 
b) 66 anos 
c) 96 anos 
d) 144 anos 
e) 860 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FUVEST-SP) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo 
divisor comum desses dois números é: 
 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 11 
e) 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DÍZIMAS PERIÓDICAS 
 
Seja 
b
a
 uma fração irredutível de números inteiros, isto é, uma fração que não pode mais ser simplificada. 
Se na fatoração de b só tiverem os fatores 2 ou 5, então a fração terá como resultado um decimal exato. 
Se pelo menos um dos fatores de b for diferente de 2 e 5, então a fração terá como resultado um decimal inexato chamado 
dízima. 
Essas dízimas são periódicas porque nesses resultados sempre a parte não exata se repete, ou seja, apresenta um período. 
 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 
3
1
 = 0,333... = 3,0 E.4) 
6
1
 = 0,1666... = 61,0 
 
E.2) 
11
2
 = 0,181818... = 81,0 E.5) 
12
7
 = 0,58333... = 358,0 
 
E.3) 
7
9
 = 1,142857142857... = 142857,1 E.6) 
495
511
 = 1,0323232... = 320,1 
 
As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas. 
 
Uma dízima é simples quando o período surge imediatamente após a vírgula (E.1; E.2; E.3 anteriores). 
Uma dízima é composta quando o período não surge imediatamente após a vírgula (E.4; E.5; E.6 anteriores). 
 
 
 
GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA 
 
É uma fração que origina a dízima. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) Vamos obter o geratriz da dízima 0,333... 
 
x = 0,333...  10x = 3,333... 
 
 Portanto: 
 
10x = 3,333 ... 
– x = 0,333 ... 
 9x = 3  x = 
9
3
 
 
Assim, 0,333... = 
9
3
 
E.2) Idem para 0,181818... 
x = 0,181818...  100x= 18,181818... 
 
Portanto: 
100x = 18,181818 ... 
 –x = 0,181818 ... 
 99x = 18  x = 
99
18
 
 
Assim, 0,181818...= 
99
18
 
 
 
 
 
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E.3) 1,2343434... 
x = 1,2343434...  1000x = 1234,343434... 
 
Portanto: 
1000x = 1234,343434 ... 
 –10x = 12,343434 ... 
99x = 1222 
 
x = 
495
611
990
1222
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
(UFBA) Se x = 50
...0909,1
31717,0.45...3535,1.9...33,12.8


, calcule o valor de x. 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. Assinale V ou F. 
 
a) O número 43 é primo. 
b) Dizemos que um natural a é divisor de b, se existir 
um inteiro c, tal que b = a . c. 
c) O número 1500 tem 24 divisores naturais. 
d) O m.m.c.(24;90) é 360. 
e) O m.d.c.(120;108) é l2. 
f) Se x é múltiplo de 12 e x é múltiplo de 10, então x 
é múltiplo de 120. 
g) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 18, então x 
é múltiplo de 90. 
h) Se x é divisor de 360 e x é divisor de 540, então x 
é divisor de 180. 
i) O número zero é múltiplo de todos os naturais. 
j) m.m.c (x; y), m.d.c. (x; y) = x . y. 
k) Os números 200 e 189 são primos entre si. 
 
 
02. (UFMG) Os restos das divisões de 247 e 315 por x 
são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 
167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior 
valor possível para a soma x + y é: 
 
a) 36 
b) 34 
c) 25 
d) 30 
e) 18 
 
 
03. Calcule o menor número natural diferente de 3 que 
dividido por 4, 6 e 9 deixa sempre resto 3. 
 
 
04. (UCSAL-99) Somando 589 a um número positivo x, 
obtém-se um número que é divisível por 2, por 3 e por 7. 
O menor valor que x pode assumir satisfaz à condição: 
 
a) 30 < x < 42 
b) 25 < x < 30 
c) 10 < x < 20 
d) 5 < x < 10 
e) 0 < x < 5 
 
 
05. (UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-os de 
12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sobram sem-
pre três. Calcule quantos livros possuo. 
 
 
06. Uma sala retangular mede 5,04m por 5,40m. Deseja-se 
colocar lajotas quadradas, todas do mesmo tamanho, no 
piso desta sala, sem quebrar nenhuma lajota. Qual o me-
nor número de lajotas que podemos utilizar? 
 
 
 
07. Uma determinada cidade realiza periodicamente a 
festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva acon-
tece a cada 15 meses, e a festa do tomate, a cada 18 
meses. Se as duas festas aconteceram juntas em abril 
de 1998, quando elas acontecerão juntas novamente? 
 
a) Em outubro de 2020 
b) Em abril de 2015 
c) Em outubro de 2010 
d) Em abril de 2008 
e) Em outubro de 2005 
 
08. Calcule: 
 
(1,2272727...) . (2,444...) – (1,8333...) . (0,545454...) 
 
09. Calcule: 
 
(1,8333) . (1,636363...) + (1,4666...) . (2,0454545...) 
 
10. (UCSAL) Se a fração irredutível 
b
a
 é a geratriz da 
dízima periódica 1, 0353535..., então a soma a + b é 
igual a: 
 
a) 28 
b) 118 
c) 225 
d) 309 
e) 403 
 
11. (UCSAL) Seja M um dos números naturais escritos 
com três algarismos, que divididos por 2 ou 3, ou 5 ou 
7 deixam resto 1. A soma dos algarismos de M pode 
ser: 
 
a) 5 
b) 6 
c) 9 
d) 8 
e) 7 
 
12. (UEFS) Se o mdc (a, b) é 3 e a é um número par, 
então o mdc (3a, 6b) é: 
 
a) 18 
b) 15 
c) 12d) 9 
e) 6 
 
13. (UNEB) Sendo w e n, respectivamente, o mdc e o 
mmc de 360 e 300, o quociente n/m é igual a: 
 
a) 3 
b) 6 
c) 10 
d) 30 
e) 60 
 
 
 
 
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Admin
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22,5m 27m
31,5m
14. (UCSAL) Uma editora deverá enviar pelo correio 
exemplares dos livros A, B e C nas quantidades de 144, 
180 e 324 exemplares, respectivamente. Serão feitos 
pacotes, todos com o mesmo número de exemplares, de 
um só tipo de livro. Deseja-se que haja um número 
mínimo de pacotes, mas o correio não aceita pacotes 
com mais de 24 exemplares. 
 
 Nessas condições, quantos pacotes serão feitos? 
 
a) 36 
b) 24 
c) 18 
d) 45 
e) 48 
 
 
15. (UCSAL) Vivaldo costuma sair com duas garotas: 
uma a cada 6 dias e outra a cada 9 dias. Quando as da-
tas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 
6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 
ele adiou os encontros com as duas, em virtude da 
coincidência das datas, a próxima vez em que ele teve 
que adiar os seus encontros foi em: 
 
a) 15/06/98 
b) 12/06/98 
c) 10/06/98 
d) 06/06/98 
e) 05/06/98 
 
 
16. (UCSAL) Um comerciante pretendia vender duas 
peças de tecido de mesma largura, com comprimentos 
de 158m e 198m. Ele dividiu a primeira em cortes de 
n metros, restando 5m da peça. Em seguida, resolveu 
dividir a segunda em pedaços de n metros, também, 
restando 11m da peça. Sabendo que o número de cor-
tes obtidos foi o menor possível, nas condições dadas, 
qual é o valor de n? 
 
a) 9 
b) 11 
c) 17 
d) 23 
e) 34 
 
 
17. (FUVEST) No alto de uma emissora de TV, duas 
luzes “piscam” com frequências diferentes. A primei-
ra “pisca” 15 vezes/minuto e a segunda “pisca” 10 ve-
zes/minuto. Se num certo instante as luzes piscam si-
multaneamente, após quantos segundos elas voltarão a 
piscar ao mesmo tempo? 
 
a) 12 
b) 10 
c) 20 
d) 15 
e) 30 
 
 
 
 
18. Um enxadrista quer decorar uma parede retangular, 
dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabulei-
ro de xadrez. A parede mede 4,40m por 2,75m. 
 
 Determine o menor número de quadrados que ele 
pode colocar na parede: 
 
a) 10 
b) 20 
c) 30 
d) 40 
e) 50 
 
19. (UFMG) Sejam a, b e c números primos distintos, em 
que a > b. O máximo divisor comum e o mínimo múl-
tiplo comum de m = a2 . b . c2 e n = ab2 são, respecti-
vamente, 21 e 1764. 
 
 Pode-se afirmar que a + b + c é: 
 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 42 
e) 62 
 
20. Assinale as proposições verdadeiras. 
 
(01) O número 1500 tem 24 divisores naturais. 
(02) Se x é múltiplo de 15 e x é múltiplo de 6, então x 
é múltiplo de 90. 
(04) Se o m.m.c. (a; b) é a . b, então a e b são primos 
entre si. 
(08) Se x é divisor de 600 e x é divisor de 640, então 
x é divisor de 40. 
(16) Se um número natural n dividido por 13 deixa 
resto 5, então (n + 5) é múltiplo de 13. 
 
21. Um terreno de forma triangular, com as dimensões 
indicadas na figura abaixo, deve ser cercado com 
arame farpado. Para isso, serão colocadas estacas 
equidistantes entre si. Determine o menor número de 
estacas que podem ser utilizadas. 
 
a) 45 
b) 30 
c) 25 
d) 21 
e) 18 
 
 
22. (UESF-99.1) Se x representa um número natural 
qualquer de dois algarismos distintos, escrevendo-se o 
algarismo 8 à esquerda de x, obtém-se um novo nú-
mero que tem a mais que x: 
 
a) 8 unidades. 
b) x unidades. 
c) 8x unidades. 
d) 80 unidades. 
e) 800 unidades. 
 
 
 
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23. (UCSAL-00.1) Um número inteiro e positivo é consti-
tuído de dois algarismos distintos cuja soma é 11. 
 Invertendo-se a posição de seus algarismos, obtém-se 
outro número que excede o primeiro em 45 unidades. 
 O menor dos números está compreendido entre: 
 
a) 0 e 10 
b) 10 e 20 
c) 20 e 30 
d) 30 e 40 
e) 40 e 50 
 
24. Um número é constituído de dois algarismos, cuja 
soma vale 7. Mudando-se a ordem dos algarismos, ob-
tém-se um número nove unidades superior ao primiti-
vo. Calcule o número primitivo. 
 
25. Um número natural de dois algarismos é 7 vezes a 
soma dos seus algarismos. Calcule esse número, sa-
bendo que o algarismo das dezenas excede em 3 uni-
dades o algarismo das unidades. 
 
26. (UNIRIO) A fração geratriz de 3,74151515... é: 
 
a) 
10000
37415
 
b) 
10000
3741515
 
c) 
9900
37041
 
d) 
9000
37041
 
e) 
99000
370415
 
 
27. (UNIRIO) O resto da divisão do inteiro n por 12 é 7. 
 Qual o resto da divisão de n por 4? 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
28. (FFOP-MG) O número m = 94816a, sendo a o alga-
rismo das unidades, é divisível por 15. O valor de a é: 
 
a) 2 
b) 0 
c) 5 
d) 3 
e) 4 
 
29. (FGV-SP) Seja x o maior número inteiro de 4 alga-
rismos que é divisível por 13, e y, o menor número in-
teiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17. 
A diferença x – y é um número: 
 
a) primo. 
b) múltiplo de 6. 
c) menor que 500. 
d) quadrado perfeito. 
e) divisível por 5. 
30. (FUVEST-SP) Qual dos cinco números relacionados 
abaixo não é um divisor de 1015? 
 
a) 25 
b) 50 
c) 64 
d) 75 
e) 250 
 
31. (FUVEST-SP) Os números inteiros positivos são 
dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: 
 
1 2 3 10 11 12 19 .. .. 
4 5 6 13 14 15 .. .. .. .. .. 
7 8 9 16 17 18 .. .. .. 
 
 O número 500 se encontra em um desses “quadra-
dos”. A “linha” e a “coluna” em que o número 500 se 
encontra são, respectivamente: 
 
a) 2 e 2 
b) 3 e 3 
c) 2 e 3 
d) 3 e 2 
e) 3 e l 
 
 
 
GABARITO 
 
01. a) V 02. D 13. D 24. 34 
 b) V 03. 39 14. A 25. 63 
 c) V 04. A 15. E 26. C 
 d) V 05. 63 16. C 27. D 
 e) V 06. 210 17. A 28. C 
 f) F 07. E 18. D 29. B 
 g) V 08. 02 19. C 30. D 
 h) V 09. 06 20. 13 31. A 
 i) V 10. E 21. E 
 j) V 11. E 22. E 
 k) V 12. A 23. D 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3
 c
m
4 cm
5 c
m
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
01. RAZÃO 
Dados dois números, a e b, b  O, chama-se razão entre a e b ao quociente entre a e b, que se indica 
b
a
 ou a : b. 
Na razão 
b
a
, a é chamado antecedente e b é chamado consequente. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) A razão entre a medida do cateto menor e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo de medidas 3 cm, 4 cm e 5 cm é: 
 
 
 
6,0
5
3
 
 
 
E.2) Em um baile, existem 150 homens e 225 mulheres. Podemos afirmar que a razão entre o número de homens e o número 
de mulheres é 
3
2
225
150
 , ou seja, existem dois homens para cada três mulheres. 
...666,0
3
2
225
150
 
 
02. PROPORÇÕES 
 
2.1. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se proporção a sentença que indica a igualdade entre duas razões. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 
15
10
3
2
 
 
E.2) 
20
25
4
5
 
 
E.3) 
20
1
5,2
125,0
 
 
Genericamente, indica-se 
d
c
b
a
 , ou a : b : c : d, que se lê: “a está para b, assim como c está para d”, sendo: 
 
a, d os extremos; 
b, c os meios. 
 
2.2. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES (P.F.) 
 
“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” 
 
Isto é: 
c.bd.a
d
c
b
a
 
 
Notem esta propriedade nos exemplos anteriores: 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 10.315.2
15
10
3
2
 E.2) 25.420.5
20
25
4
5
 E.3) 1.5,220.125,0
20
1
5,2
125,0
 
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2.3. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 
P.1) 
d
c
b
a
db
ca
db
ca
d
c
b
a






 
 
P.2) 
c
dc
a
ba
d
c
b
a 


 
 
P.3) 
c
dc
a
ba
d
c
b
a 


 
 
2.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
2.4.1. Grandezas diretamenteproporcionais 
 
“Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira.” 
 
EXEMPLO 
 
Vejamos as duas grandezas: 
– quantidade de canetas (Q) 
– preço (P) 
Suponhamos que: 
o preço unitário da caneta seja $ 3,00. 
 
Assim: 
 
1 caneta custa: $ 3,00 
2 canetas custam: $ 6,00 
3 canetas custam: $ 9,00 etc. 
 
Observamos que as grandezas Q e P são diretamente proporcionais, pois é satisfeita a proporção direta: 
etc
00,9
00,6
3
2
ou
00,9
00,3
3
1
ou
00,6
00,3
2
1
 
 
2.4.2. Grandezas inversamente proporcionais 
 
“Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas, a outra diminui na razão inversa em 
que a primeira aumentou.” 
 
EXEMPLO 
 
Vejamos as duas grandezas: 
 
– velocidade média (v) 
– tempo (t) 
 
Suponhamos que: 
 
Um automóvel deve percorrer a distância Aracaju-Salvador, que é de aproximadamente 300 km. É fato que, quanto maior 
a velocidade do automóvel, menor será o tempo de percurso. 
 
Portanto: 
 
v t 
50 km/h 6 h 
60 km/h 5 h 
100 km/h 3 h etc. 
 
Observamos que as grandezas v e t são inversamente proporcionais, visto que a razão entre as velocidades 
6
5
60
50
 é 
inversa a razão dos tempos correspondentes, 
5
6
. 
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OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
1a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são diretamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indicamos: 
 
p
c
n
b
m
a
 . 
 
 
 Como essas frações são iguais, dizemos que o seu resultado é constante e costumamos representar esse resultado por k. 
Assim: k
p
c
n
b
m
a
 . 
 
 
2a) Se num exercício dizemos que três grandezas, a, b e c, são inversamente proporcionais, respectivamente, a m, n e p, indi-
camos: 
 
p
1
c
n
1
b
m
1
a
 . 
 Do mesmo modo que o anterior, esse resultado pode ser representado pela constante k. 
 Assim: 
p
1
c
n
1
b
m
1
a
 = k. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. A soma de dois números é 162. O maior está para 13, 
assim como o menor está para 5. Nessas condições, 
qual a diferença entre os números? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. José, João e Pedro jogaram na Loto a quantia de R$ 
20,00, sendo que José contribuiu com R$ 5,00, João, 
com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ganharem 
um prêmio de R$ 30.000,00, quanto cada um deve re-
ceber, considerando que o prêmio vai ser divido em 
partes proporcionais ao que cada um investiu? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. A soma de três números vale 31. Calcule cada número, 
se eles são inversamente proporcionais, respectivamen-
te, a 2, 3 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (UCSAL-00) Ao conferir suas respostas, às 100 ques-
tões de um teste, dois alunos, curiosamente, observa-
ram que os números de questões que haviam acertado 
eram inversamente proporcionais às suas respectivas 
idades: 18 e 20 anos. Se, juntos, eles acertaram um to-
tal de 133 questões, então o número de questões que o 
mais velho errou foi: 
 
a) 30 
b) 32 
c) 34 
d) 35 
e) 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
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REGRA DE TRÊS 
 
01. REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Vejamos os problemas: 
 
1o) Se José comprou 3 metros de um tecido por $ 15, por quanto ele compraria 6 metros do mesmo tecido? 
 
SOLUÇÃO 
 
Comprimento
3 m
6 m
Preço
$ 15
x
 
 
As setas colocadas apresentam mesmo sentido, pois as grandezas são diretamente proporcionais. Por isso, armamos a 
proporção na ordem apresentada no esquema abaixo. 
 
Isto é: 
30x
3
15.6
x15.6x3
x
15
6
3 2
 . 
 
Portanto, 6 m do tecido seriam comprados por $ 30. 
 
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e direta, pois as setas concordantes geram uma proporção direta. 
 
2o) Para se construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo muro? 
 
SOLUÇÃO 
 
Pedreiros
6
9
Tempo
12 dias
x
 
 
 
As setas colocadas apresentam sentidos contrários, pois as grandezas são inversamente proporcionais. Por isso, armamos 
a proporção conservando o sentido de uma fração e invertendo a outra. 
 
Assim, podemos escrever 8
9
12.6
x12.6x9
12
x
9
6
3
4
 
 
 
Portanto, 9 pedreiros construirão o mesmo muro em 8 dias. 
Dizemos que esse é um problema de regra de três simples e inversa, pois as setas discordantes geram uma proporção inversa. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Para pintar uma superfície de 150 m2, um pintor gasta 
12 latas de tinta. Quantas latas de tinta são necessárias 
para pintar 200 m2 da superfície? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Numa viagem da cidade A até a cidade B, um veículo 
gasta 96 minutos, à velocidade média de 100 km/h. 
 Se a velocidade fosse de 120 km/h, qual seria o tempo 
gasto? 
 
 
 
 
 
 
 
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03. Uma torneira enche um tanque em duas horas, e outra 
torneira enche o mesmo tanque em três horas. Em 
quanto tempo as duas torneiras, juntas, encherão o 
tanque? 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. Uma torneira enche um tanque em duas horas e um 
orifício é capaz de esvaziá-lo em três horas. Em quan-
to tempo o tanque ficaria cheio, se abrirmos a torneira 
e o orifício, simultaneamente? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. (UCSAL) Um certo metal é obtido fundindo-se 15 
partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 
136,5 kg desse metal, são necessários: 
 
a) 91,8 kg de cobre. 
b) 41,5 kg de zinco. 
c) 92 kg de cobre. 
d) 45 kg de zinco. 
e) 97,5 kg de cobre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
Vamos resolver o problema: 
 
Numa certa construção, 3 pedreiros levantaram, em 20 dias, 5 metros de um certo muro. Quantos metros do mesmo muro 
6 pedreiros levantam em 60 dias? 
 
SOLUÇÃO 
 
O esquema da questão é: 
 
Pedreiros Dias Metros do muro 
3 20 5 
6 60 x 
 
Ora, é claro que: 
 
1o) Se 3 pedreiros, em 20 dias, levantam 5 metros do muro, então 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro. 
 
 Isto é: 
 
Pedreiros Dias Metros do muro 
3 20 5 
6 20 10 
 
2o) Se 6 pedreiros, em 20 dias, levantam 10 metros do muro, então 6 pedreiros, em 60 dias, levantam 30 metros do muro. 
 
 Isto é: 
 
Pedreiros Dias Metros do muro 
6 20 10 
6 60 30 
 
 Portanto, a resposta do problema é 30 m. 
 
 
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 Observem que na primeira etapa da resolução do problema mantivemos a quantidade de dias constante e notamos que: 
 
 duplicando a quantidade de pedreiros, a quantidade de metros que podem ser construídos duplica. 
 
 Na segunda etapa, aproveitamos a etapa anterior, mantivemos a quantidade de pedreiros constante e notamos que: 
 
 triplicando os dias de trabalho, triplicam-se os metros do muro. 
 
 Ora, já que inicialmente tínhamos 5 metros, na primeira etapa duplicamos e na segunda etapa triplicamos o resultado da 
primeira, então a quantidade de metros ficou sextuplicada. 
 
 Isto quer dizer que: 
 
 “Se uma grandeza x é proporcional a duas outras, y e z, então x é proporcional ao produto y . z.” 
 
 Vamos resolver o problema anterior com o esquema de setas: 
 
Pedreiros
3
6
Dias
20
60
Metros do muro
5
x
 
 
Setas do mesmo sentido, pois: 
 
 aumentando a quantidade de pedreiros (mantendo constante os dias), aumentam-se os metros do muro. 
 
 aumentando a quantidade de dias (mantendo constante os pedreiros), aumentam-se os metros do muro. 
 
Ora: 
 
A razão 
x
5
 é diretamente proporcional a 
6
3
 e vice-versa. 
A razão 
x
5
 é diretamenteproporcional a 
60
20
 e vice-versa. 
A razão 
x
5
 é diretamente proporcional ao produto 
60
20
.
6
3
. 
 
Assim: 
60
360.5
x
30
60
x
5
60
20
.
6
3
x
5
 , ou seja, x = 30 metros. 
 
 
 
EXERCÍCIO 
 
Seis operários constroem um muro de 30 m de comprimento em 5 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantas horas por dia 
devem trabalhar 9 operários, para construírem um muro semelhante ao anterior, só que com 48 m de comprimento e em 4 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÉDIAS 
 
01. MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Vejamos o exemplo: 
 
Pedro é um aluno que conseguiu em quatro trabalhos sucessivos as seguintes notas: 7, 5, 3 e 9. 
 
Uma nota representativa que substitui as quatro pode ser dada por: 
 
6
4
24
4
9357


 
 
Portanto, o número 6 é o valor médio das notas 7, 5, 3 e 9 e é chamado média aritmética. 
Nesse caso, a média aritmética dos quatros números foi obtida somando-se as notas e dividindo-se o resultado por 4. 
 
GENERALIZAÇÕES 
 
A média aritmética (M.A.) dos n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por 
n
a...aaa
.A.M n321

 
 
 
 
 
 
 
02. MÉDIA GEOMÉTRICA 
 
A média geométrica (M.G.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, é dada por n n321 a.....a.a.a.G.M  
 
EXEMPLOS 
 
E.1) A M.G. entre 2 e 8 é 4168.2  
E.2) A M.G. entre 1, 3 e 9 é 3279.3.1 33  
E.3) A M.G. entre 4, 6, 6 e 9 é 63.2)3.2(3.23.3.2.3.2.29.6.6.4 4 44 444 224  
 
 
03. MÉDIA PONDERADA 
 
Vejamos o exemplo: 
 
Em um determinado colégio, existem três avaliações por unidade: um teste, com peso 3, um trabalho, com peso 2, e uma 
prova, com peso 5. 
Um determinado aluno conseguiu as seguintes notas: 8 no teste, 4 no trabalho e 6 na prova. 
Uma nota representativa que substitui as três notas pode ser dada por: 
 
2,6
10
62
10
30824
523
5.62.43.8





 
 
GENERALIZAÇÃO 
 
A média ponderada (M.P.) de n números, a1, a2, a3, ..., an, com os respectivos pesos p1, p2, p3, ..., pn é dada por: 
 
n321
nn332211
p...ppp
p.a...p.ap.ap.a
.P.M


 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. (UFRS) Uma estrada de 315 km de extensão foi asfal-
tada por três equipes, A, B e C, cada uma delas atuan-
do em um trecho diretamente proporcional aos núme-
ros 2, 3 e 4, respectivamente. O trecho da estrada as-
faltado pela turma C foi de: 
 
a) 70 km 
b) 96 km 
c) 105 km 
d) 126 km 
e) 140 km 
 
 
02. Um comerciante precisa pagar três dívidas: uma de 30 
mil reais, outra de 40 mil reais e uma terceira de 50 mil 
reais. Como ele só tem 90 mil reais, resolve pagar quan-
tias diretamente proporcionais a cada débito. Nessas 
condições, o maior credor receberá uma quantia de: 
 
a) 30 mil reais 
b) 37,5 mil reais 
c) 36 mil reais 
d) 22,5 mil reais 
e) mil reais 
 
 
03. Quando você dividiu um certo número em partes 
inversamente proporcionais aos números 2, 5 e 4, a 
primeira parcela que encontrou foi 200. Nessas condi-
ções, o número dividido foi: 
 
a) 380 
b) 360 
c) 350 
d) 320 
e) 400 
 
 
04. Uma lâmpada de 40 watts pode funcionar por 15 
horas, a um certo custo. Por quanto tempo poderá 
funcionar uma lâmpada de 60 watts, para que o custo 
permaneça o mesmo? 
 
a) 12 horas 
b) 10 horas 
c) 8 horas 
d) 6 horas 
e) 4 horas 
 
 
05. Num recenseamento, chegou-se à conclusão de que, para 
visitar 102 residências, era necessário contratar 9 recen-
seadores. Numa região em que existem 3.060 residên-
cias, quantos recenseadores devem ser contratados? 
 
a) 270 
b) 250 
c) 240 
d) 220 
e) 210 
 
06. (UFMG) Uma pessoa, datilografando 60 toques por 
minuto e trabalhando 6 horas por dia, realiza um certo 
trabalho em 10 dias. Outra pessoa, datilografando 50 
toques por minuto e trabalhando 4 horas por dia, rea-
lizará o mesmo trabalho em: 
 
a) 12 dias 
b) 14 dias 
c) 16 dias 
d) 18 dias 
e) 20 dias 
 
 
 
07. Duas máquinas empacotam 1.000 balas por hora. 
 Quantas máquinas são necessárias para empacotar 
5.000 balas em meia hora? 
 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 16 
e) 20 
 
 
 
08. Num determinado colégio, têm-se 4 unidades, de 
pesos, respectivamente, 2, 2, 2 e 4. Se as notas de um 
aluno em Física foram, respectivamente, 3,0; 5,2; 4,0 
e 6,5, calcule a média do aluno nas quatro unidades. 
 
 
 
09. Em uma determinada escola, um aluno conseguiu as 
médias 7, 5 e 4, respectivamente, nas três primeiras 
unidades. Sabendo que a média anual para essa escola 
é obtida com os pesos 2, 2, 2 e 4, respectivamente, pa-
ra as quatro unidades e que qualquer aluno precisa de 
média anual 5 para ser aprovado, sem recuperação, 
calcule quanto o aluno em foco precisa de média na 
quarta unidade para passar direto. 
 
 
 
10. (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios, A e 
B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 mil reais, 
respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é di-
vidido, entre os dois, proporcionalmente ao capital in-
vestido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. 
As parcelas do prejuízo, em mil reais, correspondentes 
a cada sócio são, respectivamente: 
 
a) 20 e 101 
b) 40 e 70 
c) 44 e 77 
d) 79 e 72 
e) 100 e 21 
 
 
 
 
 
 
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11. (FUVEST-RJ) Um bar vende suco e refresco de tan-
gerina. Ambos são fabricados diluindo em água um 
concentrado dessa fruta. As proporções são de uma 
parte de concentrado para três de água, no caso do su-
co, e de uma parte de concentrado para seis de água, 
no caso do refresco. O refresco também poderia ser 
fabricado diluindo x partes de suco em y partes de 
água, se a razão 
y
x
 fosse igual a quanto? 
 
a) 
2
1
 d) 
3
4
 
b) 
4
3
 e) 2 
c) 1 
12. (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários produ-
zem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 
5 dias. O número de funcionários necessários para que 
essa empresa produza 6.000 peças em 15 dias, traba-
lhando 4 horas por dia, é: 
 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 8 
e) 16 
 
13. (FAFI-BH) Se 120 operários constroem 600 m de 
estrada em 30 dias de trabalho, o número de operários 
necessários para construir 300 m de estrada em 300 
dias é: 
 
a) 6 
b) 24 
c) 240 
d) 600 
e) 2400 
 
14. (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e com-
prou marmitas individuais congeladas suficientes para 
o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa ti-
vesse mais 500 empregados, a quantidade de marmi-
tas já adquiridas seria suficiente para um número de 
dias igual a: 
 
a) 10 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 20 
 
15. (UFSM-RS) Uma ponte é feita em 120 dias por 16 
trabalhadores. Se o número de trabalhadores for ele-
vado para 24, o número de dias necessários para a 
construção da mesma ponte será: 
 
a) 180 
b) 128 
c) 100 
d) 80 
e) 60 
 
16. (UNICRUZ-RS) Uma pessoa, viajando de automóvel, 
fez o percurso Cruz Alta-Porto Alegre em 5h, viajan-
do a uma velocidade média de 80 km/h. Na volta, re-
tornou mais apressado e fez o mesmo percurso em 4h. 
Portanto, a velocidade, ao retomar, foi de: 
 
a) 80 km/h 
b) 85 km/h 
c) 64km/h 
d) 90 km/h 
e) 100 km/h 
 
 
17. José comprou 28 m de tecido por R$ 40,00. Por quan-
to José compraria 35 m do mesmo tecido? 
 
 
18. Para construir um muro, 6 pedreiros gastam 12 dias. 
Em quanto tempo 9 pedreiros construirão o mesmo 
muro? 
 
 
19. Um automóvel percorre certa distância em 15 h a uma 
velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo o automó-
vel percorre a mesma distância a uma velocidade de 
90 km/h? 
 
 
20. Numa certa construção, 3 pedreiros levariam, em 20 
dias, 5 m de um certo muro. Quantos metros do mes-
mo muro 6 pedreiros levantam em60 dias? 
 
 
21. Para carregar 36 toneladas de ferro, um homem gasta 
6 dias, trabalhando 4 horas por dia. Quantos dias se-
rão necessários para esse homem carregar 24 tonela-
das de ferro, trabalhando 6 horas por dia? 
 
 
22. Para lixar 36m2 de parede, certo operário levou 5 dias 
trabalhando 6 horas por dia. Precisando lixar 42 m2 de 
uma outra parede e tendo que trabalhar 8 horas por 
dia, em quantos dias realizará o trabalho? 
 
 
23. Um dicionário teve, na sua 1a edição, 320 páginas de 
25 linhas, cada linha contendo 40 letras. Numa 2a edi-
ção, foram usados os mesmos caracteres e cada pági-
na continha mais 7 linhas, com o dobro do número de 
letras por linha. Qual o número de páginas desta 2a 
edição? 
 
 
24. Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 
dias trabalhando 8 horas diárias. 20 homens, para as-
faltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas 
por dia, gastarão quantos dias? 
 
 
25. Em 12 dias, um homem percorre 180 km caminhando 
4 horas por dia com velocidade v. Qual será a distân-
cia que ele percorrerá em 10 dias, caminhando 6 horas 
por dia, reduzindo a velocidade em 1/3? 
 
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26. Um homem pode fazer um trabalho em 8 dias; outro 
pode fazer o mesmo trabalho em 12 dias. Qual o nú-
mero de dias que levarão para fazer o mesmo traba-
lho, trabalhando juntos? 
 
 
 
 
27. Os 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 
operários, que trabalham 7 horas por dia. Em quantos 
dias se poderá terminar esse trabalho, sabendo que fo-
ram licenciados 4 operários e que os restantes traba-
lham, agora, 6 horas por dia? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. E 15. D 
02. B 16. E 
03. A 17. R$50,00 
04. B 18. 8 dias 
05. A 19. 10 km/h 
06. D 20. 30 m 
07. E 21. 2 dias e 4 h 
08. 5,04 22. 4 dias e 3 h 
09. 4,5 23. 125 páginas 
10. C 24. 24 dias 
11. D 25. 150 km 
12. E 26. 24/5d 
13. A 27. 21 dias 
14. C 
 
 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS 
 
01. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Representa-se pela letra N e é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, ... 
Portanto N = {0, 1, 2, 3, ...}. 
Usamos o asterisco (*) ao lado do símbolo que representa um conjunto para excluir o zero desse conjunto. 
Assim sendo, N* = {l, 2, 3, ...}. 
Note que, por exemplo, a operação 3 – 5 não é possível em N. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo 
de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números inteiros. 
 
02. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
Representa-se pela letra Z e é formado pelos elementos de N, juntamente com seus simétricos. 
Portanto Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
Do conjunto Z, tiramos os subconjuntos: 
 
Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2,3, ...} (conjunto dos inteiros não nulos). 
 
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (conjunto dos inteiros não negativos). 
 
*Z = {1, 2, 3, ...} = N* (conjunto dos inteiros positivos). 
 
Z– = {..., –2, –2, –1, 0} (conjunto dos inteiros não positivos). 
 
*Z = {..., –3, –2, –1} (conjunto dos inteiros negativos). 
 
Note que, por exemplo, a operação 6/10 não é possível em Z. Criou-se, por isso, um conjunto capaz de resolver esse tipo 
de operação. Esse conjunto ficou conhecido como conjunto dos números racionais. 
 
 
 
 
 
 
 
03. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
Representa-se pela letra Q e é formado por todos os elementos da forma 
b
a
, com a  Z e b  Z*. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 
8
25
 = 3,125 E.2) 
100
137


 = 1,37 E.3) 
15
2
 = 0,1333... 
 
E.4) 
33
103
 = 3,121212... E.5) 
14
28

 = –2 E.6) 
73
0
 = 0 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
A fração 
b
a
, quando a é divisível por b, é aparente, pois é igual a um número inteiro (Exemplos E.5 e E.6). Por isso, 
qualquer número inteiro é racional. 
 
A fração 
b
a
, quando a não é divisível por b, só pode ser: 
 
 Um decimal exato (E.1 e E.2) 
 Uma dízima periódica (E.3 e E.4) 
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O conjunto dos racionais é um conjunto denso, isto é, entre dois racionais quaisquer existem infinitos outros racionais. 
Ainda o conjunto Q não resolve todos os problemas; vejamos o exercício: 
 
Qual o número positivo cujo quadrado é igual a 2? 
 
SOLUÇÃO 
1
1 20
 
 
x2 = 2; este número x, positivo, é conhecido por x = 2 . 
Ele não é racional. Foi criado, por isso, um novo conjunto, conhecido por conjunto dos irracionais. 
 
 
04. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
Mostraremos que não existe número x com uma quantidade finita de decimais, tal que x2 = 2, ou melhor, mostraremos 
que 2 não representa número com quantidade finita de decimais. 
 
Ora: 
 
2 = 1 (por falta, pois 12 = 1) 
0,2 = 1,4 (por falta, pois 1,42 = 1,96) 
00,2 = 1,41 (por falta, pois 1,412 = 1,9881) 
000,2 = 1,414 (por falta, pois 1,4142 = 1,999396) 
 
Para que o quadrado de 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., venha representar o número 2 ou 2,0 ou 2,00 etc., seria necessário que o 
último algarismo significativo da parte decimal multiplicado por si mesmo apresentasse final zero. Nesse caso, esse último 
algarismo teria que ser zero. Isso é impossível, pois 1,4 ou 1,41 ou 1,414 etc., são números que têm na parte decimal pelo me-
nos um algarismo diferente de zero e, sendo este último, quando multiplicado por si mesmo não dará zero. 
Portanto, mostramos que não existe um número com uma quantidade finita de decimais cujo quadrado resulte exatamente 
2 ou 2,0 ou 2,00 etc. 
O número 2 não é racional e se caracteriza por possuir na parte decimal uma quantidade infinita de algarismos não 
formando uma dízima periódica. 
Dizemos que 2 é chamado número irracional, assim como 3 2,5,3 etc. 
Além desses, temos outros números que são irracionais. O número  = 3,1415926... é outro exemplo. 
Representaremos o conjunto dos irracionais por Q’ ou Q. 
Outros exemplos de números irracionais: 
 
2
3
,2,12  etc. 
 
Nenhum número irracional pode ser escrito sob a forma 
b
a
 com a e b inteiros. 
 
 
05. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
A união do conjunto dos racionais com o conjunto dos irracionais chama-se conjunto dos reais. 
Representando-se pela letra R, tem-se que Q  Q’ = R. 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Analise cada questão a seguir e diga se é verdadeira ou falsa. 
 
01. Existe natural que não é racional. 
 
02. Todo natural é racional. 
 
03. Existe número inteiro que não é natural. 
 
04. Todo número natural é inteiro relativo. 
 
05. Um número inteiro relativo pode ser irracional. 
 
06. Todo número inteiro é racional. 
 
07. Existe número que é racional e irracional, simultaneamente. 
 
08. Todo irracional é real. 
 
09. Existe número real que não é irracional. 
 
10. Todo número irracional é real. 
 
11. Os números da forma 
b
a
, com a  Z e b  Z podem não ser racionais. 
 
12. O conjunto dos números racionais é formado pelos elementos da forma 
b
a
, com a  Z e b  Z*. 
 
13. Toda dízima periódica é um número irracional. 
 
14. Existe dízima periódica que não pode ser escrita sob a forma 
b
a
, com a  Z e b  Z*. 
 
15. O produto de números reais sempre é racional. 
 
16. Se ocorrer pq  Z, isto é porque p  Z e q  Z. 
 
17. O quociente entre racionais, quando possível, é sempre racional. 
 
18. O quociente entre irracionais é sempre irracional. 
 
19. Se x  Z e y  Q’, então x . y  Q’. 
 
20. Se x  

*Z e y  
'Q , então(x + y)  
'Q . 
 
21. Se x  N e y  R, então (x + y)  Q. 
 
22. Se x  Q’ e y  Q’, então (x . y)  Q’. 
 
23. O número2k + 3, k  Z, sempre é ímpar. 
 
24. O número k2 + k, k  Z, sempre é par. 
 
25. Se n  Z é um número par, então n2 também é par. 
 
26. Se n  Z é um número ímpar, então n2 também é ímpar. 
 
27. O número k3 + k, k  Z, pode ser ímpar. 
 
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28. As expressões 2k + 1 e 2k + 3, k  Z, são genéricas para a representação de dois números ímpares consecutivos. 
 
29. O conjunto {x | x = 5k, k  Z} representa o conjunto dos múltiplos de 5. 
 
30. As expressões 7k e 7k + 1 representam dois múltiplos consecutivos de 7, qualquer que seja k pertencente ao conjunto dos 
inteiros. 
 
31. As expressões 7k e 7k + 7, k  Z, representam dois múltiplos consecutivos de 7. 
 
32. A expressão E = 
3x
2x


 sempre representa número real, qualquer que seja x  R. 
 
33. Se k  Q’, então k2  Q. 
 
34. 0  Q+ e N = Z+. 
 
35. Z–  Z+ = {0}. 
 
36. 0  Q’ e Z*  Q– = Z–. 
 
37. Q’  Q+ = R+. 
 
38. R –(Z  Q) = Q’. 
 
 
GABARITO 
 
01. F 14. F 27. F 
02. V 15. F 28. V 
03. V 16. F 29. V 
04. V 17. V 30. F 
05. F 18. F 31. V 
06. V 19. F 32. F 
07. F 20. V 33. F 
08. V 21. F 34. V 
09. V 22. F 35. V 
10. V 23. V 36. F 
11. V 24. V 37. F 
12. V 25. V 38. V 
13. F 26. V 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
 
01. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se inequação do primeiro grau a toda desigualdade redutível à forma ax + b * 0, com a  0, sendo * <, >,  ou . 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 2x + 4 < 0 
 
E.2) 3x – 7 5 (2 – x) + 1 
 
E.3) 1
2
x
6
1x2
4
3x






 
 
 
02. PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES 
 
P.1.) Somando-se (ou subtraindo-se) um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obtém-se uma desigualdade 
equivalente. 
 
 EXEMPLOS 
 
7 > 3  7 + 2 > 3 + 2, ou seja, 9 > 5 
x – 3 > 0  x – 3 + (3) > 0 + (3), ou seja, x > 3 
x + 4 > 2  x + 4 – 4 > 2 – 4, ou seja, x > –2 
 
P.2.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, obtemos outra 
desigualdade equivalente. 
 
 EXEMPLOS 
 
7 > 3  7 . 2 > 3 . 2, ou seja, 14 > 6 
2
x
 > 5  
2
x
 . (2) > 5. (2), ou seja, x > 10 
3x > 12  > 
3
12
, ou seja, x > 4 
 
P.3.) Multiplicando-se (ou dividindo-se) ambos os membros de uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desi-
gualdade deve ser invertido. 
 
 EXEMPLOS 
 
7 > 3  7 . (–1) < 3 . (-1), ou seja, –7 < –3 
–x > –3  –x(–1) < –3 . (–1), ou seja, x < 3 
–2x  12  
2
x2


  
2
12

, ou seja, x  6 
 
É costume resolver a inequação – 2x > 12 multiplicando inicialmente ambos os membros por –1. 
 
Assim: – 2x  12  2 x  –12 
 
x  
2
12
 
x  –6 
 
 
 
 
 
 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Existem, alguns produtos que são muitos usados na álgebra e que, por isso, daremos um maior destaque: 
 
01. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
02. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
03. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA 
 
(a + b) . (a – b) = a2 – b2 
 
04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
05. CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 
 
06. QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS 
 
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Desenvolva 
 
a) (a + b – c)2 
 
 
 
 
b) (x – 3)2 – (2x + 3)2 
 
 
 
 
c) (3x – 2) . (3x + 2) – (2x – 3)3 
 
 
 
 
02. Sabendo-se que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a2 + b2. 
 
 
 
 
 
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FATORAÇÃO 
 
PRIMEIRO CASO: FATOR COMUM 
 
ab + ac = a . (b + c) 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO 
 
ab + ac + bd + cd = a. (b + c) + d. (b + c) = (b + c) . (a + d) 
 
 
ab + ac + bd + cd = (b + c) . (a + d) 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
TERCEIRO CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS 
 
a2 – b2 = (a + b) . (a – b) 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUARTO CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
 
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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QUINTO CASO: TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU 
 
ax2 + bx + c = a . (x – x’) . (x – x”) 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEXTO CASO: CUBO PERFEITO 
 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 
 
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÉTIMO CASO: SOMA OU DIFERENÇA DE CUBOS 
 
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2) 
 
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2) 
 
EXEMPLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Fatore: 
 
a) x2 – 2x2 – 9x + 18 
 
 
 
 
b) 4x2 - 25 
 
 
 
 
c) 9x2 - 6x + 1 
 
 
 
 
d) x2 – x – 6 
 
 
 
 
e) x3 = 6x2 + 12x + 8 
 
 
 
 
f) x3 - 27 
 
 
 
 
 
02. Simplifique 
4x2x
8x
.
16x4x4x
8x2x
2
3
23
2




. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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POTÊNCIAS 
 
01. DEFINIÇÕES 
 
Seja a um número real e n um número natural maior que 1. 
Temos: 
 

vezesn
n a....a.a.aa  
 
aa1a 10  
 
0acom,
a
1
a
n
n  
 
 
 
 
02. PROPRIEDADES 
 
nnnnm
n
m
nmnm )b.a(b.aa
a
a
aa.a   
 
  n.mnm
n
n
n
aa
b
a
b
a






 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Simplifique a expressão 
4n3n
2n1nn
22
222




. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (FATEC) Das três sentenças abaixo: 
 
I) 2x+3 = 2x . 23 
II) (25)x = 52x 
III) 2x + 3x = 5x 
 
a) somente a I é verdadeira. 
b) somente a II é verdadeira. 
c) somente a III é verdadeira. 
d) somente a II é falsa. 
e) somente a III é falsa. 
 
 
 
 
 
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RAÍZES 
 
01. DEFINIÇÕES 
 
1.1. Seja n um número natural par e não nulo e seja a um número real não negativo. 
 
 Rbeabba
nn 
 
1.2. Seja n um número natural ímpar e seja a um número real. 
 
abba nn  
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 525  E.5) Rx;|x|x2  
E.2) 283  E.6) 0x;xx2  
E.3) 3273  E.7) Rx;xx
3 3  
E.4) 2164  E.8) R9  
 
OBSERVAÇÃO 
 
Note que 9 = 3, e não ±3. 
 
 
02. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL 
 
Seja a  
n
m
eR*  Q (m  Z e n  N*) 
 
n maa n
m
 
 
EXEMPLOS 
E.1) 3
3 2 422 3
2
 E.2) 33 2
1
 E.3) 4
4 3
125
1
55 4
3
 

 
 
 
03. PROPRIEDADES 
 
Se a  R+, b  R+, m  Z, n  N* e p  N*, temos: 
 
P.1.) nnn b.ab.a  P.3.)   n mmn aa  
 
P.2.) 0b;
b
a
b
a
n
n
n  P.4.) 
p.nn p aa  
 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) x2x.4x.4  E.3)   323 42  
 
E.2) 
3
x
9
x
9
x
 E.4) 63 77  
 
 
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EXERCÍCIO 
 
Simplifique: 
 
a) 5072328  
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3333 1928124375  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais deste denominador, sem com isso alterar ovalor da fração. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 
3
3
3
3
.
3
1
3
1
 
 
E.2) 
15
10
30
102
10
10
.
103
2
103
2
 
 
E.3) 3
3
3 2
3 2
33
45
2
410
2
2
.
2
10
2
10
 
 
E.4) 
a
a
a
a
.
a
1
a
1
7 4
7 4
7 4
7 37 3
 
 
E.5) 
 
 
 
   25.2
25
25.6
25
25
.
25
6
25
6









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Racionalize: 
 
a) 
5
10
 
 
 
 
b) 
3 18
6
 
 
 
 
c) 
35
15

 
 
 
 
d) 
321
1

 
 
 
 
e) 
3
2
2
3
 
 
 
 
 
 
02. (UCSAL-00) Simplificando-se 
 236
23

, obtém-se: 
a) 423  
 
 
 
b) 223  
 
 
 
c) 
4
423 
 
 
 
 
d) 
4
23
 
 
 
 
e) 
3
2
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 
 
01. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se equação do segundo grau a toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números reais, com a  0. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 3x2 + 4x – 1 = 0 (a = 3, b = 4, c = –1) 
 
E.2) –x2 + 2x + 8 = 0 (a = –1, b = 2, c = 8) 
 
E.3) 2x2 – 16 = 0 (a = 2, b = 0, c = –16) 
 
E.4) x2 – 5x = 0 (a = 1, b = –5, c = 0) 
 
E.5) 





 0c,0b,
2
1
a0
2
x2
 
 
 
Note que o termo de maior grau da equação do segundo grau é ax2, com a  0, o que justifica o seu nome. Se b = 0 ou c = 0 
ou b = 0 e c = 0, a equação do segundo grau é dita incompleta. Se b  0 e c  0, a equação do segundo grau é dita completa. 
As raízes de uma equação do segundo grau são os valores que quando substituídos no lugar de x tornam o primeiro mem-
bro igual ao segundo membro. 
Note nas equações que: 
 
E.1) x2 – 7x + 10 = 0, Se substituirmos x por 2 ou por 5, temos: 
 






0103525105.75
010144102.72
2
2
 Assim, dizemos que 2 e 5 são as raízes ou zeros da equação x2 – 7x + 10 = 0. 
 
E.2) 3x2 – 12 = 0; se substituirmos x por 2 ou por - 2, temos: 
 






0121212)2(.3
01212122.3
2
2
 Assim, dizemos que 2 e – 2 são as raízes ou zeros da equação 3x2 – 12 = 0. 
 
 
 
 
02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS 
 
Devemos saber, antes de tudo, que é válida a equivalência A . B = 0  A = 0 ou B = 0. 
 
PRIMEIRO TIPO 
 
ax2 + bx = 0 (c = 0) 
 
SOLUÇÃO 
 
ax2 + bx = 0 
x .(ax + b) = 0 
x = 0 ou ax + b = 0 
a
b
x

 





 

a
b
;0S 
 
 
 
 
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SEGUNDO TIPO 
 
ax2 + c = 0 (b = 0) 
 
SOLUÇÃO 
 
ax2 + c = 0 
ax2 = – c 
x2 = 
a
c
 
0
a
c
com;
a
c
x 

 
Se 
a
c
  0, S = 







 

a
c
 
Se 
a
c
 < 0, S =  
 
 
 
 
03. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS 
 
Na prática, a solução da equação do segundo grau completa é feita com a fórmula de Báskara. 
Vejamos a dedução dessa fórmula: 
 
ax2 + bx + c = 0 
 
ax2 + bx = –c (x 4a) 
 
4a2x2 + 4abx = –4ac (+b2) 
 
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac 
 
(2ax + b)2 = b2 – 4ac 
 
2ax + b = ± ac4b2  
 
2ax = – b ± ac4b2  
 
a2
ac4bb
x
2 
 , sendo b2 – 4ac = , que é chamado discriminante da equação do segundo grau. 
 
Portanto as raízes da equação são: 
 
a2
b
"xe
a2
b
'x



 
 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
 Se  > 0, a equação possui duas raízes reais distintas. 
 Se  = 0, a equação possui duas raízes reais iguais. 
 Se  < 0, a equação não possui raízes reais. 
 
 
 
 
 
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04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES 
 
Existem duas relações importantes numa equação do tipo ax2 + bx + c = 0 que envolvem as raízes x’ e x” e os coeficien-
tes a, b, e c. 
 
PRIMEIRA RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES 
 
Somando-se membro a membro as igualdades a seguir, temos 
a
b
a2
b2
a2
bb
"x'x
a2
b
"x
a2
b
'x









 
 
Portanto: 
a
b
"x.'x  
 
 
 
SEGUNDA RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES 
 
 
a
c
a4
ac4
a4
ac4bb
a4
)b(
a2
b
.
a2
b
"x.'x
a2
b
"x
a2
b
'x
22
22
2
2












 







 





 
 
Portanto: 
a
c
"x.'x  
 
 
 
 
 
 
05. EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 
5.1. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se equação biquadrada a equação do quarto grau incompleta que possui o aspecto ax4 + bx2 + c = 0, sendo a, b e 
c números reais, com a  0. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 5x4 + 4x2 + 1 = 0 
E.2) x4 – 3x2 + 2 = 0 
E.3) x4 – 81 = 0 
 
5.2. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO BIQUADRADA 
 
Toda equação do tipo ax4 + bx2 + c = 0 é equivalente ao modelo a(x2)2 + b(x)2 + c = 0. 
 
Fazendo x2 = y, temos: 
 
ay2 + by + c = 0, que é uma equação do segundo grau de variável y. Nela, encontramos as raízes y’ e y” e daí: 
 
"yx"yx
'yx'yx
yx
2
2
2


 
 
 
 
 
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EXEMPLOS 
 
E.1) Vejamos qual o conjunto verdade da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 
 
SOLUÇÃO 
 
A equação é equivalente a (x2)2 – 10x2 + 9 = 0 
 
Fazendo x2 = y, temos: 
 
y2 – 10y + 9 = 0, cujas raízes são y’ = 9 e y” = 1. 
 
Ora, x = ± ;
11x
39x
y


 y = {–3, –1, 1, 3} 
 
 
 
EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
01. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se equação irracional à equação que apresenta incógnita sob radical. 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 25x3  
E.2) 1x11x  
E.3) x927x  
E.4) 4x72x10x2  
 
 
 
02. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
Para resolvermos equações irracionais, devemos eliminar os radicais da equação e, ao final, verificarmos as soluções. 
Convém lembrar que: 
 
a = b  a2 = b2 (verdadeiro) 
a2 = b2  a = b (falso) 
a = b  a2 = b2 (falso) 
 
EXEMPLOS 
 
E.1) 25x3  . Elevando membro a membro ao cubo, temos: 
 
x – 5 = 8; x = 13. 
 
É importante verificar, após a resolução da equação, se a solução realmente satisfaz. 
 
VERIFICAÇÃO 
 
x = 13  33 82513  = 2  2 = 2 (V) 
 
Assim: V = {13} 
 
 
 
 
 
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E.2) 11x  = x – 1; elevando membro a membro ao quadrado, temos: 
 
x + 11 = (x – 1)2 
x + 11 = x2 – 2x + 1 
x2 + 3x – 10 = 0; x’ = 5 e x” = –2 
 
VERIFICAÇÃO 
 
x’ = 5  4441615115  (V) 
x’ = –2  333912112  (F) 
 
Note que apesar de 3  –3, temos 32 = (–3)2. Portanto, quando se elevou ao quadrado os membros da equação, uma 
das soluções, x = – 2, era estranha. 
 
Assim: V = {5} 
 
Para se resolver as equações do segundo tipo, convém isolar em um dos membros duas das expressões que contêm as raízes. 
 
Vamos resolver as equações E.3 e E.4. 
 
E.3) x927x  
 
Isolando-se as raízes do primeiro membro, temos: 
 
7x7x  ; elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 
 
  22 7x7x  
 
x + 7 + 2 49xx)7x(  
 
x242x7x2 2  
 
Dividindo por 2, temos: 
x21x7x2  
 
Elevando ambos os membros outra vez ao quadrado, temos: 
 
x2 + 7x = (21 – x)2 
x2 + 7x = 441 – 42x = x2 
49x = 441 
9
49
441
x  
 
VERIFICAÇÃO 
 
x = 9  6243921699279  (V) 
 
Assim: V = {9} 
 
 
 
 
 
 
 
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E.4) 4x72x10x2  
 
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 
   
   
4x420x10x4x22
4x72x2x10x2210x2
4x72x10x2
2
22



 
 
Dividindo por 2, temos: 
 
2x220x6x2 2  ; 
 
elevando ambos os membros ao quadrado, temos: 
 
2x2 + 6x – 20 = (2x – 2)2 
2x2 + 6x – 20 = 4x2 - 8x + 4 
–2x2 + 14x– 24 = 0 :(–2) 
x2 – 7x + 12 = 0; logo, x’ = 4 e x” = 3. 
 
VERIFICAÇÃO 
 
Na equação inicial (antes de elevarmos os dois membros ao quadrado), vamos substituir as raízes x’ = 4 e x” = 3 
encontradas. 
 
x’ = 4  24242233221844.724104.2  (V) 
 
x” = 3  5142511643.723103.2  (V) 
 
Assim: V = {3,4} 
 
E.5) Resolvamos a equação 1x6x9x6x 22  . 
 
SOLUÇÃO 
 
Como vemos, esta equação é do segundo tipo e, portanto, se recorrermos ao mesmo processo das anteriores, 
teremos que elevá-la duas vezes ao quadrado para eliminar os radicais. Entretanto, chegaríamos, desta forma, a uma 
equação do quarto grau, de difícil solução para o nosso curso. 
Por outro lado, verifiquemos que na equação 1x6x9x6x 22  , a expressão x2 + 6x é comum aos 
dois radicais. Faremos, portanto, x2 + 6x = y. 
 
Assim: 
1y9y  
 
Elevando os dois membros ao quadrado, temos: 
y + 9 = y + 2 1y  
8y2  
 
Dividindo a equação por — 2, temos: 
16y4y  
 
Voltando à condição x2 + 6x = y, temos: 
 
x2 + 6x = 16 
x2 + 6x - 16 = 0; logo, x’ = – 8 e x” = 2. 
 
Pode-se verificar na equação inicial que ambas as soluções satisfazem. 
 
Assim: V = {– 8, 2} 
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EXERCÍCIOS 
 
01. Resolva as seguintes equações: 
 
a) x + 142x  
 
 
 
 
 
b) 2xx31x5  
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. Desenvolva: 
 
a) (2x – 3)2 + (1 + 2x) . (1 – 2x) 
b) (x2 + 2x)2 – (x – 2)3 
c) (3x + 1)3 + (x2 – 4x – 3)2 
 
02. Sendo x + y + z = 10 e xy + xz + yz = 30, calcule x2 
+ y2 + z2. 
 
03. Sabendo que a + b = 10 e a . b = 20, calcule a3 + b3. 
 
04. Calcule o valor da expressão E = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 
para x = 117 e y = 115. 
 
05. Fatore: 
 
a) x2 + 2xy + 5x + 10y 
b) x2y2 – 9 
c) 4x2 - 4xy2 + y4 
d) x3 – 8y3 – 6x2y + 12xy2 
e) x2 + 2x – 15 
 
06. Simplifique: 
 
a) 
10x3x
8x
.
4x4x
20x4x5x
2
3
2
23




 
b) 
4y
2y
.
4x12x9
4x14x12y2xy7yx6
22
22




 
c) 
1x
1xx
.
xx
1x3x3x
3
2
2
23




 
 
07. Se 
ab1
aab
1Ne
ab1
ab
aM
2





 , com ab  -1, 
então calcule 
N
M
. 
 
08. Simplifique a expressão 
22
22
a9x
a6ax5x


. 
 
09. Simplifique a expressão 
2345
23
ba3ba6a3
baa


. 
 
10. Se 2x + 2–2 = a, então 8x + 8–x é igual a: 
 
a) a3 
b) a2 – a 
c) a3 – 3a 
d) a3 - a 
e) NRA 
 
11. A expressão 2
a
b
b
a
2
2
2
2
2
 , para a > 0 e b > 0 
é equivalente a: 
 
a) 
b.a
ba 
 
b) a + b + 2 
c) 
ab
)ba( 2
 
d) 
22
2
ba
)ba( 
 
 
 
12. Racionalize: 
 
a) 
53
20
 
b) 
4 72
12
 
c) 
35
15

 
d) 
531
11

 
 
13. Qual o maior entre os números 643 20e9,5 ? 
 
14. Simplifique a expressão 
21
1
21
1
22



 . 
 
15. Calcule o valor da expressão 
134
2
.
13
3
13
5










. 
 
16. Se a > 0 e b > 0, a expressão 
    ab3ba.abba 1   é igual a ... 
 
17. A equação 3x2 + bx + c = 0 tem raízes 1 e 4. Os valo-
res dos coeficientes b e c são, respectivamente: 
 
a) 5 e 4 
b) –5 e 4 
c) 5 e 12 
d) -15 e 12 
e) –15 e –12 
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18. Na equação do segundo grau x2 + 3mx + m – 7 = 0, se 
as raízes são opostas, calcule m. 
 
19. Na equação x2 – 8x + p – 1 = 0, uma raiz é o triplo da 
outra. Calcule. 
 
20. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação 3x2 
+ 7x – 5 = 0. 
 
21. Sendo a e b as raízes da equação 2x2 – 5x + m = 3, 
então se 
3
4
b
1
a
1
 , qual o valor de m? 
 
22. Se a soma das raízes da equação (x – 5) . (x + p) = – 1 
é 7, qual o valor do produto das raízes? 
 
23. Determine o conjunto solução das seguintes equações: 
 
a) (x + 3)2 = (x – 1) . (x + 5) 
b) 
4x
3x2
1
4x
5




 
c) 5x + 4 . (x – 1) = 9x – 4 
d) 6 . (x + 2) – 4x = 2 . (x + 1) + 4 
 
24. Determine o conjunto solução das seguintes inequa-
ções: 
 
a) 
6
1
x3
3
x35
2
3x2




 
b) 4 . (x – 2) – (3x+2) > 5x – 6 – 4 . (x – 1) 
c) 6 . (x + 2) – 2 . (3x + 2) > 2 .(3x – 1) – 3 – (2x – 1) 
 
25. Resolva os sistemas: 
 
a) 








xy
1
y
2
x
1
5
3
y
2
x
 
b) 





9y4x3
5y3x2
 
c) 






12y.x
7yx 22
 
 
26. Resolva as seguintes equações: 
 
a) 31x523  
b) 118x9x  
c) 2
9x
15
9x
2
2 

 
d) 3xx3xx 22  
e) 311xx  
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
01. a) 10-12x 
 b) x4 + 3x3 + 10x2 – l2x + 8 
 c) x4 + 19x3 + 37x2 + 33x + 10 
02. 40 
03. 400 
04. 8 
05. a) (x + 5) . (x + 2y) 
 b) (xy + 3) (xy – 3) 
 c) (2x – y2)2 
 d) (x – 2y)3 
 e) (x + 5) (x – 3) 
06. a) x2 + 2x + 4 
 b) 
2x3
1x2


 
 c) 
x
1x 
 
07. b 
08. 
a3x
a2x


 
09. 
)ba(a3
1

 
10. C 
11. C 
12. a) 
3
54
 
 b) 4 182 
 c) 
2
5335 
 
 d) 1525337  
13. 4 9 
14. Zero 
15. 2 
16. ab4 
17. D 
18. m = 0 
19. p = 13 
20. 
5
7
 
21. 
4
27
 
22. 11 
23. a) {–7} 
 b)  
 c) R 
 d)  
24. a) S = {x  R/x > – 3} 
 b)  
 c) R 
25. a) {(4; 9)} 
 b) {(7; 3)} 
 c) {(4; 3); (–4; –3)} 
26. a) {24} 
 b) {34} 
 c) {–4;4} 
 d) {3; –2} 
 e) {5} 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
P1. A equação 
15
15x
10
12x
x



 é equivalente a 
b
a
x  , a e b primos entre si. Então a + b é um: 
 
a) número primo. 
b) número par. 
c) divisor de 7. 
d) múltiplo de 3. 
e) quadrado perfeito. 
 
P2. Distribuí R$ 570,00 entre três pobres. Sabe-se que o 
2o recebeu a terça parte do 1o, o 3o recebeu R$ 70,00 a 
mais que o 2o e que ainda sobraram R$ 50,00. Calcule 
quanto recebeu cada pobre. 
 
P3. A soma das idades de pai e filho é 44 anos. Há 4 anos 
a idade do pai era o quíntuplo da idade do filho. Quais 
as idades atuais? 
 
P4. Eu tenho a idade que tu tinhas quando eu tinha a me-
tade da idade que tu tens. Se a soma das nossas idades 
atualmente vale 35 anos, calcular as nossas idades. 
 
P5. Um cão persegue uma lebre, que leva 48 saltos seus 
de dianteira. O cão dá 3 saltos enquanto a lebre dá 5, e 
5 saltos do cão valem 11 saltos da lebre. Quantos sal-
tos dará o cão para alcançar a lebre? 
 
P6. Numa árvore têm-se galhos e passarinhos. Se pousar 
um passarinho em cada galho, fica um passarinho sem 
galho; se pousarem dois passarinhos em cada galho, 
fica um galho sem passarinho. Calcule o produto entre 
o número de passarinhos e o número de galhos. 
 
P7. Numa cesta de capacidade para três dúzias de ovos, temos 
ovos caipira e de granja. Foram retirados três quartos dos 
ovos caipira e a cesta reduziu seu número de ovos à terça 
parte. Sendo assim, a razão entre o número de ovos de 
granja e caipira que possui a cesta, inicialmente, vale: 
 
a) 
8
1
 d) 
7
5
 
b) 
5
1
 e) 
5
7
 
c) 
2
1
 
 
P8. O sistema de equações lineares 





xymx
1yx2
 tem 
soluções e, e só se: 
 
a) m  2 
b) m  –1 
c) m  
2
1
 
d) m  0 
e) m  
2
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P9. Se x, y e z satisfazem à condição 








1zyx2
4xy2
7z3yx
, 
então x + y + z vale: 
 
a) –5 
b) 2 
c) 0 
d) –11 
e) 6 
 
 
P10. O conjunto de valores reais que soluciona a equação 
1x
1
1x
3
1x
5x3
2 





 no universo R é: 
 
a) {–1} 
b) R – {± 1} 
c) R 
d) {0} 
e) {3} 
 
 
P11. Se ocorre x – y = 2 e x . y = 5, então 
y
1
x
1
 vale: 
 
a) 
5
2
 
b) –6 
c) 
2
3
 
d) –1 
e) 
6
1
 
 
 
P12. A equação do segundograu (3x – 1)2 + (2x – 1) . (2x + 1) = 0 
possui as raízes x1 e x2. Determine, então, o valor de x1 + x2. 
 
a) –0,4 
b) 6/13 
c) –3 
d) 5 
e) 
2
1 
 
 
P13. A diferença entre o quadrado da soma de um número 
com 3 e o dobro do produto desse número pelo seu 
consecutivo é 13. Esse número é: 
 
a) –1 
b) 5 
c) 2 
d) 3 
e) –6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P14. Qual o conjunto solução da equação 
1
9x
xx12
2
2



 em R. 
 
a) 







2
7
,3 
b) {±2} 
c) 







2
7
 
d) {–5} 
e)  
 
P15. A soma de dois números é p e a soma dos recíprocos 
(inversos) desses números vale q. Logo, o produto 
dos números é: 
 
a) p . q 
b) 
q
p
 
c) 
p
q
 
d) pq – p 
e) p2 q + pq2 
 
P16. Dizer qual o conjunto solução da equação 
)3x(5
3x6
3x
x
9x
6x2
2 






 em R. 
 
P17. O valor absoluto da diferença entre a soma e o pro-
duto das raízes da equação –2x2 + 10x – 3 = 0 é: 
 
a) 3 
b) 5 
c) 
2
7
 
d) 
3
5
 
e) 0 
 
P18. A equação do segundo grau 2x2 – kx + 3 = 0 possui – 
1 como uma de suas raízes. Então a outra raiz é: 
 
a) –3/2 
b) 1 
c) 0 
d) –1/2 
e) 5/2 
 
P19. Se a equação x2 – 2 x +  = 0 possui –5 como raiz 
dupla, então  .  é: 
 
a) –10 
b) –125 
c) 87 
d) 160 
e) 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P20. Observe a equação do segundo grau 2x2 – mx + n = 0; 
a asserção falsa é: 
 
a) Se seus zeros são simétricos, então m = 0. 
b) Se uma das raízes é nula, então n = 0. 
c) Se seus zeros são recíprocos, então n = 2. 
d) Se a diferença dos seus zeros for nula, então m2 = 8n. 
e) Se uma das raízes é nula, então a outra raiz é n. 
 
 
P21. As raízes da equação do segundo grau 3x2 – 15x +  
= 0,  constante, diferem de uma unidade; sendo as-
sim,  é um elemento do conjunto. 
 
a) {–2, 7, 13} 
b) {0, 1, 5} 
c) {l2, 15, 20) 
d) {7, 18, 19} 
e) {–11, 4, 8} 
 
 
P22. Considerando a equação 2x2 + mx – 8 = 0 de raízes 
x1 e x2 e sabendo-se que 2
x
x
x
x
1
2
2
1  , as raízes 
dessa equação formam o conjunto: 
 
a) {x/x = 0 ou x = 1} 
b) {x/x = 1/2 ou x =2} 
c) {x/x = –1 ou x = 2} 
d) {x/x = ± 2} 
e) {x/x = ± 1/2} 
 
 
P23. Resolva a equação x4 – x2 – 12 = 0, em R. 
 
 
P24. Resolva a equação x6 + 7x3 – 8 = 0. 
 
 
P25. Resolva a equação (x3 – 1)2 – 5(x3 –1) – 14 = 0. 
 
 
P26. A equação do segundo grau cujas raízes são 32  
e 32  é: 
 
a) 2x2 + x – 1 = 0 
b) –x2 + x – 3 = 0 
c) 3x2 + 7x + 2 = 0 
d) x2 – 4x + 1 = 0 
e) x2 – x – 1 = 0 
 
 
P27. O conjunto solução da equação 1x1x23  
possui quantos elementos? 
 
a) um 
b) dois 
c) três 
d) quatro 
e) infinitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P28. Resolva 39x3x  . 
 
 
P29. Quantas soluções reais possui a equação 
x212x1x5  ? 
 
a) zero 
b) uma 
c) duas 
d) três 
e) mais de três 
 
 
P30. Calcule a soma das raízes da equação 
5x3x1x3x 22  . 
 
 
P31. Calcule as raízes da equação 
2
x
x2
x2
x
3 2
3
3
3 2




. 
 
 
P32. Sabendo-se que 6yx  e que x + y = 32, 
então xy vale: 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
P33. Resolver a equação x2xx3  em R. 
 
 
P34. O conjunto de números reais x para que 
1
3
1x3
2
x2




 forma o intervalo real: 
 
a) (–,2] 
b) 





 ,
3
2
 
c) 






3
2
, 
d) (–,0] 
e) (-1,+) 
 
 
P35. Resolvendo a inequação x
4
5
3
x21
2
2x




, 
obtemos o conjunto S como solução. 
 Então é verdadeiro que: 
 
a) S2  
b) –  S 
c) 13  S 
d) 1/2  S 
e) –9  S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P36. O maior número inteiro que satisfaz à condição 
x
2
1
2
1
11
5,1x2









, é 
a) –1 
b) 0 
c) 1 
d) 5 
e) –7 
 
 
P37. O conjunto de reais x que satisfazem à condição 












0x7
06x2
1
3
2x
3
 é: 
 
a) (3,7] 
b) (–7,3]  (5, + ) 
c) (–7, 5) 
d) [3, + ) 
e) [3,5) 
 
 
P38. O sistema de inequações 









0x
1
3
1x2
1
 tem para 
solução o conjunto: 
 
a) (– ,–1] 
b) (–1, 0) 
c) (–1, 0] 
d) (–1, 2) 
e)  
 
 
P39. Calcular as raízes da equação x2(x + 3) = 4(x + 3). 
 
 
P40. A soma dos zeros da equação x(x2 – 1) = 2 . (x + 1)2 é: 
 
a) 0 
b) 2 
c) 
5
3
 
d) 5 
e) 
2
3
 
 
 
P41. Resolva a equação 010
3x
x9x3



. 
 
 
P42. Calcular o produto das raízes da equação 
0x2
3x
3x2x 2
2



. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P43. Qual o conjunto solução da equação 
0
9x
25
6xx
6x5x
22
2





? 
 
P44. Um dos valores de x para que 






3xyx
6xyyx
2
22
 é: 
 
a) –3 
b) 7 
c) –11 
d) 3/2 
e) 1/2 
 
P45. Duas pessoas empregam, juntas, RS 144.000,00 na 
compra de ações que rendem 6% ao ano. Anualmen-
te, a primeira recebe R$ 1.200,00 a mais que a se-
gunda. Qual o capital que cada uma empregou? 
 
P46. Uma mistura de 20m é constituída de duas substân-
cias, A e B, nas proporções 25% e 75%, respectiva-
mente. Sabendo que para um mesmo volume a subs-
tância A pesa o dobro de B, que percentagem do peso 
total da mistura representa o peso de A? 
 
P47. Uma torneira consegue encher um tanque vazio em 
duas horas. Outra torneira consegue realizar o mes-
mo trabalho em seis horas. Estando o tanque cheio, 
um ralo o esvazia em x horas. Estando o tanque va-
zio e colocando-se as duas torneiras juntas em funci-
onamento com o ralo aberto, o tanque fica cheio em 
12/5 horas. Quanto vale x? 
 
P48. Uma casa deve ser construída em 12 meses. Para 
isso, precisa-se de 24 serventes, cada um trabalhando 
15h/dia. Dois meses após o início da obra, 25% dos 
serventes foram demitidos, e o restante dos serventes 
ficou com a incumbência de terminar a obra no prazo 
determinado. 
 Quantas horas por dia passará a trabalhar o restante 
dos serventes? 
 
P49. Se 2x + 2–x = , calcule 8x + 8–x. 
 
P50. Se a + b – c = 0, provar que a3 + b3 – c3 = –3 abc. 
 
P51. Provar a veracidade da sentença: Existe x  Q’ tal 
que (x2 + x)  Z. 
 
P52. Racionalize os denominadores: 
 
a) 
15
4

 
b) 
3
62
 
c) 
5 23
1
 
 
P53. Simplificar o radical 526  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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P54. Simplificar a expressão 347347  . 
 
 
P55. Calcule o valor