Matemática Financeira - Descontos

Prévia do material em texto

Tecnologia em Processos gerenciais
MateMática financeira
descontos
3
ObjetivOs da Unidade de aprendizagem 
Realizar descontos para um conjunto de títulos.
COmpetênCias 
Identificar e calcular os descontos diferentemente para 
cada questão específica.
 Habilidades 
Distinguir os descontos para serem concedidos de 
acordo com o contexto da situação cotidiana.
MateMática Financeira
descontos
ApresentAção
Nas Unidades anteriores, vimos capitalização simples e 
capitalização composta. 
Nessa Unidade falaremos sobre descontos. 
Desconto é “joia”! Afinal, quem é que não gosta de um 
“descontinho”? Fale agora ou cale-se para sempre.
pArA ComeçAr
Uma das operações mais utilizadas em toda Matemática 
que fazemos em nosso dia a dia é “pedir desconto”. 
O desconto é uma prática comum, e o seu cálculo não 
apresenta dificuldades, pois se trata de um processo 
simples, muito embora seja específico para tipo de título.
Quando um comerciante não pode aguardar a data do 
vencimento para depositar ou descontar um cheque pré-
-datado, ele vai a uma financeira ou empresa de factoring 
e realiza a troca do cheque, pagando juros por esse adian-
tamento. O que caracteriza uma operação de desconto. 
Ou seja, os juros pagos pela antecipação de dinheiro a ser 
recebido em data futura é definido como desconto.
Cheques, faturas, notas promissórias e qualquer ou-
tro tipo de papel que represente valor a ser recebido em 
data futura, inclusive imposto de renda a restituir, são 
documentos que podem ser descontados. É comum o 
uso destes dois tipos de descontos: desconto simples 
por fora e desconto composto por dentro.
Vamos aprender como se faz!
Atenção
A diferença entre os dois tipos de des-
contos — desconto simples por fora e o 
desconto composto por dentro — é o pra-
zo das operações. As operações de curto 
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 4
prazo utilizam o desconto simples, e as de longo prazo, o 
desconto composto (MENDONÇA et al, 2010).
FundAmentos
desCOntOs
Quando liquidamos um título antes de seu vencimento, geralmente espe-
ramos uma recompensa por isso, ou um desconto pelo pagamento ante-
cipado. Assim, o desconto é a diferença entre o valor nominal de um título 
e o seu valor atual, considerando um período n antes de seu vencimento. 
O Valor Nominal é o valor de resgate de um título em sua data de venci-
mento, ou seja, o próprio montante da operação.
Os descontos podem ser realizados nos regimes de capitalização sim-
ples ou compostos. O desconto simples é utilizado para período de curto 
prazo, e o desconto composto para longo prazo. 
Segundo (CRESPO, 2007) os títulos de crédito mais aplicados no mer-
cado financeiro são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio. 
Quando descontamos um título, temos que levar em conta o dia do ven-
cimento, o valor indicado no título, ou seja, o valor nominal (ou valor de 
resgate, ou montante), o valor líquido pago antes do vencimento, o qual é o 
valor atual, e o prazo em que se negocia o título e o seu vencimento.
Dessa forma, quando consideramos o capital como o valor nominal, 
que é o valor indicado no título, temos desconto comercial e quando 
consideramos o capital como o valor atual, o qual é o valor líquido pago 
antes do vencimento, temos o desconto racional.
Segundo Puccini (2004), temos a seguinte tabela:
comumente utilizada em
taxa de desconto juros simples juros compostos
"Por fora" ou Comercial (d) Taxa de Desconto Não é praticamente utilizada pelo mercado
"Por dentro" ou Racional (i) Taxa de Rentabilidade Taxa de Desconto
1. Desconto simples: Racional ou “poR DentRo”
Considerando o valor do DR , desconto racional (por dentro), VA , valor atual 
(ou capital), i, a taxa periódica de juros, e n, o prazo de desconto (número 
Tabela 1. Tipos de 
taxas de desconto.
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 5
de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a 
conhecida expressão de juros simples:
DR  =  VA × i × n
Atenção
Pela definição de descontos, tem-se:
DR = VN - VA VA = 
VN
1 + i × n 
DR = 
VN × i × n
1 + i × n
DR : Desconto Racional
VN : Valor Nominal
VA : Valor Atual
exemplo 1
Encontrar o valor do desconto racional (ou valor atual) de um título de va-
lor nominal de R$ 35.000,00, três meses antes do seu vencimento a uma 
taxa de juros simples de 2,5% ao mês. 
VA  = 
VN
1 + i × n
Solução:
  VN  =  35.000;  i  =  2,5/100  =  0,025  e  n  =  3.
  VA  = 
35.000
1 + 0,025 × 3
  =  R$32.558,14
Então o valor líquido do pagamento, ou seja, o valor descontando é de 
R$ 32.558,14.
2. Desconto simples: “poR FoRa”, ou comeRcial, ou BancáRio.
O desconto bancário é determinado pelo produto do valor nominal (VN) do 
título, pela taxa de desconto periódica “Por Fora” contratada na operação 
(i ), e pelo prazo de antecipação definido para o desconto (n). Em que,
DB  =  VN × i × n
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 6
e 
VL  =  VN - DB
DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido.
exemplo 2
Um título de valor nominal de R$35.000,00, é descontado três meses an-
tes do seu vencimento a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual 
o valor do desconto comercial?
DB  =  VN × i × n
Solução:
  VN  =  35.000;  i  =  2,5/100  =  0,025  e  n  =  3.
  DB  =  35.000 × 0,025 × 3  =  R$2.625,00
O valor do desconto comercial é de R$ 2.625,00, e o valor do título com o 
desconto é de 35.000 – 2.625 = R$ 32.375,00.
3. Desconto composto: “poR DentRo” ou Racional
O desconto Composto “Por Dentro” é aquele estabelecido segundo as co-
nhecidas relações de juros compostos. O valor descontado racional equi-
vale ao valor presente de juros compostos.
Temos o Valor Descontado:
VR  = 
VN
(1 + i )n
E o Desconto:
DR  =  VN  1 - 
1
(1 + i )n
 
exemplo 3
Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de 
R$35.000,00, descontado três meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de juros composto de 2,5% ao mês. 
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 7
DR  =  VN  1 - 
1
(1 + i )n
 
Solução:
  VN  =  35.000;  i  =  2,5/100  =  0,025  e  n  =  3.
  DR  =  35.000  1 -
 
1
(1 + 0,025)3  
  =  R$2.499,02
O valor do desconto composto racional é de R$ 2.499,02. E o valor líquido 
liberado nesta operação é 35.000 – 2.499,02 = R$ 32.500,98.
4. Desconto composto: “poR FoRa”, ou comeRcial, ou BancáRio
O desconto composto “por fora” (comercial ou bancário) caracteriza-se 
pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do 
título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em 
períodos anteriores.
Temos o Valor Descontado:
VF  =  VN  (1 - i ) 
n 
E o Desconto:
DF  =  VN  [1 - (1 - i ) 
n ]
exemplo 4
Calcular o valor do desconto “Por Fora” de um título de valor nominal de 
R$ 35.000,00, descontado três meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de juros composto de 2,5% ao mês.
DF  =  VN  [1 - (1 - i ) 
n ]
Solução:
  VN  =  35.000;  i  =  2,5/100  =  0,025  e  n  =  3.
  DF  =  35.000 [1 - (1 - 0,025 )
3 ]  =  R$2.559.92
Dessa forma, o desconto “Por Fora” ou Comercial do título é de R$ 2.559,92. 
E o valor descontado é 35.000 – 2.559,92 = R$ 32.440,08.
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 8
Agora, colocando os exemplos anteriores num quadro, sabendo que:
 → Valor do Título: R$ 35.000,00;
 → Prazo: 3 meses;
 → Taxa: 2,5% ao mês.
tipo de desconto desconto valor descontado
Simples
Racional ou "Por dentro" R$2.441,86 R$32.558,14
Comercial, Bancário ou 
"Por fora" (curto prazo) R$2.625,00 R$32.375,00
Composto
Racional ou "Por dentro" 
(longo prazo) R$2.449,02 R$32.500,98
Comercial, Bancário 
ou "Por fora" R$2.559,92 R$32.440,08
Nessa tabela, temos que para cada tipo de desconto, temos seu respec-
tivo valor. Na tabela a seguir, temos o tipo e a fórmula de cada desconto.
tipo de desconto desconto valor descontado
Simples
Racional ou 
"Por dentro"
DR = 
VN × i × n
1 + i × n
VR = VN - DR
Comercial, Bancário ou 
"Por fora" (curto prazo) DB = VN × i × n VL = VN - DB
Composto
Racional ou "Pordentro" (longo prazo)
DR = VN
 
1 -
 
1
( 1 + i ) n 
VR = VN - DR
Comercial, Bancário 
ou "Por fora" DF = VN [
 1 - ( 1 - i ) n ] VF = VN - DF
Tabela 2. Tipos 
de descontos.
Fonte. Autor.
Tabela 3. Fórmulas 
de descontos.
Fonte. Autor.
antena 
pArAbóliCA
Leia o texto abaixo, retirado do site Brasil Escola (para 
ver o original, acesse o link indicado no material com-
plementar).
Desconto Simples Comercial
No sistema financeiro, as operações de empréstimo são 
muito utilizadas pelas pessoas, tais movimentações ge-
ram ao credor um título de crédito, que é a justificativa da 
dívida. Esses títulos possuem datas de vencimento pré-
-determinadas, mas o devedor tem o direito de antecipar 
o pagamento; caso isto aconteça, um abatimento chama-
do de desconto é efetuado. Existem vários produtos utili-
zados nas operações financeiras, como principais temos: 
 → Duplicata: Papel emitido por pessoas jurídicas 
contra clientes físicos ou jurídicos, especificando 
vendas de mercadorias com prazo ou prestação de 
serviços a serem pagos mediante contrato firmado 
entre as partes; 
 → Nota promissória: Título que comprova uma apli-
cação com vencimento determinado. Este produto 
é muito utilizado entre pessoas físicas e/ou pessoas 
físicas e instituições financeiras credenciadas; 
 → Letra de câmbio: Como a promissória, é um título 
que comprova uma aplicação com estabelecimen-
to prévio do vencimento. No caso da letra, o título 
ao portador somente é emitido por uma instituição 
financeira credenciada. 
Ao descontar um dos títulos citados ou qualquer outro 
produto do mercado financeiro, são levadas em conta 
algumas condições: 
 → Dia do vencimento: o dia estabelecido para venci-
mento do título; 
 → Tempo ou prazo: diferença entre o dia do venci-
mento e o dia da negociação. Essa diferença costu-
ma ser definida em dias; 
 → Valor nominal: valor mostrado no título e que deve 
ser pago no dia do vencimento; 
 → Valor atual: valor a ser pago ou recebido em data 
anterior ao vencimento. Comumente efetuado 
com desconto. 
e AgorA, José?
Falamos até o momento de sistemas de capitalização: 
simples e composto; de tipos de descontos. No próximo 
capítulo, falaremos de taxas. Você já teve uma noção de 
taxa, mas como fazer a conversão de um período para 
outro? Por exemplo, se você estiver falando de capitali-
zação simples, 12% ao ano é proporcional e mais equiva-
lente a 1% ao mês. Mas em capitalização composta, não 
é dessa forma proporcional; os mesmos 12% ao ano tem 
que dar uma taxa menor que 1% ao menos, para que 
no final de um ano, a capitalização composta, te retorne 
uma taxa de 12%. 
Bons estudos!
AtividAdes
Siga para as atividades e verifique seus conhecimentos 
sobre descontos.
Matemática Financeira / UA 03 Descontos 11
reFerênCiAs
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas 
aplicações. 11 ed. São Paulo: Atlas, 2009.
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Finan-
ceira fácil. 13 ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 
12C e Excel: uma abordagem descompli-
cada. Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
MENDONÇA, L. G.; BOGGISS, G. J. ; GASPAR, L. A. R.; 
HERINGER, M. G. Matemática Financeira. 10 
ed. Rio de Janeiro: Editora FGV, 2010.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva 
e aplicada. 7 ed. São Paulo: Saraiva, 2004.