Matematica Financeira Aula 04

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1
DESCONTO COMPOSTO 
 
 
 
1- (TRF 2005) Uma empresa especializada desconta um cheque no valor 
nominal de R$ 10.000,00 três meses antes do seu vencimento por meio de 
um desconto racional composto calculado à taxa de 4% ao mês. Calcule o 
valor mais próximo do valor do desconto. 
 
a) R$ 1.090,00 
b) R$ 1.100,00 
c) R$ 1.110,00 
d) R$ 1.200,00 
e) R$ 1.248,00 
 
 
Dando continuidade às operações com descontos, hoje iremos trabalhar o Desconto 
Composto. As modalidades comercial e racional agora serão descontadas a juros 
compostos. Como já conhecemos os juros compostos, as novidades não serão 
muitas. 
 
Não se esqueça de tentar resolver as questões antes de acompanhar a resolução. 
Isso é muito importante para um melhor aprendizado! 
 
 
Vamos à questão... 
 
 
 
N = 10.000,00 
 
 
 
 i = 4% a.m. (JC) 
 
 3 meses 
 
 
 
 
 
 
 A = ? DR = ? 
 
 
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2
889096,8889
124864,1
10000
A
10000)04,01.(A
N)i1.(A
3
n
≅==
=+
=+
 
 
 
Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
 
1110D
889010000D
=
−=
 
 
Gabarito C 
 
 
 
2- (Analista Recife 2003) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro 
meses antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor 
nominal do título considerando que o desconto usado foi o desconto 
racional composto. Despreze os centavos. 
 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
 
 
 
N 
 
 
 i = 3% a.m. (JC) 
 
 
 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 
10.000 DR 
 
 
 
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3
11255N
N1255,1.10000
N)03,1.(A
N)i1.(A
4
n
=
=
=
=+
 
 
A questão pede para desconsiderar os centavos. 
 
Gabarito A 
 
 
 
3- (AFRF 2001) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses 
antes do seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um 
desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. 
 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
 
 N 
 
 
 i = 3% a.m. (JC) 
 
 
 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 840,00 DR = ? 
 
 
 
Um erro muito comum é confundir o “valor descontado” com “valor do desconto”. 
“Valor descontado” é o valor atual do título e “valor do desconto” é o desconto 
propriamente dito (ou a diferença N – A). 
 
Continuando... A questão fala em desconto racional composto. 
 
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4
42,945N
1255,1.840N
)03,1.(840N
)i1.(AN
4
n
=
=
=
+=
 
 
Desconto obtido é a diferença entre o valor nominal e o valor efetivamente pago. 
 
42,105D
00,84042,945D
R
R
=
−=
 
 
A diferença nos centavos ocorre porque aproximamos o valor encontrado na tabela 
financeira para somente quatro casas decimais (1,1255). 
 
Gabarito E 
 
 
 
4- (AFRF 2002-2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 
6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais 
próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de 
desconto é de 5% ao mês. 
 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
 
 
 N 
 
 
 
 i = 5% a.m. (JC) 
 
 4 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 A=? DR = 6.465,18 
 
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5
N2155,1.A
N)05,1.(A
N)i1.(A
4
n
=
=
=+
 
 
30000
2155,0
18,6465
A
18,64652155,1.AA
DNA R
≅=
−=
−=
 
 
Gabarito C 
 
 
 
5- (AFRF 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto 
racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que 
o valor atual da dívida (valor de resgate) de R$ 200.000,00, então o valor 
nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: 
 
a) R$ 230.000,00 
b) R$ 250.000,00 
c) R$ 330.000,00 
d) R$ 320.000,00 
e) R$ 310.000,00 
 
 
 
 N= 5DR 
 
 
 i = (JC) 
 
 
 10 meses 
 
 
 
 
 
 
 200.000,00 DR 
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6
250000N
50000200000N
DAN
50000D
200000D.4
D200000D.5
DAN
R
R
R
RR
R
=
+=
+=
=
=
+=
+=
 
 
Gabarito B 
 
 
 
6- * (Fiscal Natal/RN 2008) Considerando o problema proposto abaixo, 
indique a opção financeiramente correta para completar o caso. “Ao fazer 
uma compra numa loja de uma grande rede comercial, a senhorita foi ao 
setor de crediário e lhe disseram que: se ela paga as compras em 4 
(quatro) parcelas mensais iguais e sucessivas, sendo a primeira parcela 
paga naquele momento...” 
 
a) não haveria juros na compra. 
 
b) ao optar em pagar todo o valor naquele momento não haveria qualquer 
desconto, por ser o mesmo valor a vista. 
 
c) poderia optar em pagar em duas parcelas, sendo a primeira ao final do 
primeiro mês, visto corresponder ao mesmo valor. 
 
d) se a taxa de juros do mercado financeiro for superior a 1,25% a. m., o 
valor a vista pode ser reduzido em até 2,5%. 
 
e) a hipótese de pagamento a vista deve ter desconto. 
 
 
Vamos agora tentar entender a nova postura da banca nas questões de desconto, 
crediário e financiamento. Estes são problemas da matemática financeira trazidos 
para o dia-a-dia. 
 
Novamente lembrando do princípio básico da matemática financeira: “dinheiro tem 
valor no tempo”. Um pagamento ou recebimento na data de hoje, não poderia ter 
o mesmo valor de um pagamento ou recebimento efetuado em data futura ou data 
passada. Assim, em uma situação “normal” de inflação, uma antecipação gera um 
desconto, e uma postecipação gera um aditivo ou acréscimo. Para situações de 
deflação funciona ao contrário. 
 
Quando vemos um preço na vitrine que diz que certo produto pode ser parcelado 
em “x” vezes sem juros, estamos vendo, na verdade, um preço de etiqueta no qual 
já existem juros embutidos. Este preço de etiqueta não é um valor real, e sim, 
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fictício. Por isso, caso você faça a opção pelo pagamento a vista, é mais do que 
razoável que você peça um desconto na compra. 
 
Na prática, nestas operações, trabalhamos com desconto racional composto. 
Então, o conceito continua o mesmo. 
 
 
Voltemos à questão... 
 
 
a) não haveria juros na compra. 
 
FALSO. Como vimos, os juros já estão embutidos no preço de venda. 
 
 
b) ao optar em pagar todo o valor naquele momento não haveria qualquer 
desconto, por ser o mesmo valor a vista. 
 
FALSO. Para o pagamento a vista deveria ser dado desconto na compra 
 
 
c) poderia optar em pagar em duas parcelas, sendo a primeira ao final do primeiro 
mês, visto corresponder ao mesmo valor. 
 
FALSO. No pagamento postecipado incidem os juros. 
 
 
d) se a taxa de juros do mercado financeiro for superior a 1,25% a. m., o valor a 
vista pode ser reduzido em até 2,5%. 
 
A taxa de desconto que pode ser pleiteada varia de acordo com os juros praticados 
no mercado financeiro. 
 
Sem fazer conta, veja que a alternativa ficou estranha. Taxa de juros superior a 
1,25% pode ser: 10%, 50% ou 80%, por exemplo. Quanto maior a taxa de juros 
maior a redução à vista que pode ser pleiteada. Concluímos que a alternativa só 
pode ser FALSA. 
 
 
e) a hipótese de pagamento a vista deve ter desconto. 
 
VERDADEIRO. Esta é nossa opção. Apesar de na vida real dar o desconto ou não 
ser uma opção do vendedor, paraa matemática financeira, no pagamento à vista, 
esse desconto deveria ser dado. 
 
 
Gabarito E 
 
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8
 
 
7- * (AFC/STN 2008) Em uma loja de departamentos está sendo oferecida 
a seguinte promoção: “nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor é 
parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 
90 dias”. Com base nessa condição e sabendo que a taxa aplicada ao 
mercado é de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que: 
 
a) as compras com valores de até R$ 5.000,00, quando parceladas, 
compensam financeiramente as compras de valores superiores a este 
valor, indicadas pela “promoção”. 
 
b) a loja deve fazer mais vezes esta promoção, especialmente em épocas 
festivas tipo Natal, pois trará um maior volume de vendas e de ganho nas 
operações. 
 
c) 10% é um desconto possível para o pagamento à vista. 
 
d) o valor a vista não pode ter desconto, pois não propicia o retorno dos 
clientes, implicando em prejuízos à operação. 
 
e) a loja deve evitar fazer esta promoção, pois, por ter custo financeiro, 
descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de 
giro. 
 
 
A questão sugere este fluxo de pagamentos. Sabemos que o valor a vista de 
R$5.000,00 é um valor fictício, pois existem juros embutidos na venda. 
 
 
 
Pagamento a vista 
 
 
 
 
 
0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 
 
 
 1000... ...1000 
 
 
 
 
 
 
 
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9
Sem fazer contas, vamos analisar as alternativas: 
 
Podemos perceber que a questão fornece opções que não possuem fundamentação 
e as quais não temos dados ou parâmetros de comparação para afirmar. Algumas 
alternativas sequer fazem sentido. É o caso das letras “a”, “b” e “e”. Não nos 
foram fornecidas as condições de parcelamento para valores inferiores a 
R$5.000,00 e, também, não temos os balanços anuais ou fluxo de vendas da 
empresa. Afirmativas FALSAS. 
 
Já sabemos que sendo R$5.000,00 o preço fictício, o pagamento a vista deverá ter 
desconto. Isso torna a assertiva “d” também FALSA. 
 
Só nos resta a assertiva “c” como correta. Mas vamos ver como fica... 
 
Quando falamos de taxa efetiva de juros do mercado estamos nos referindo ao 
desconto racional dessa operação. Entretanto, quando obtemos um desconto no 
preço final de um produto, estamos no referindo ao desconto comercial. 
 
Na “vida real” as taxa do mercado são capitalizadas a juros compostos, já o 
desconto comercial que a loja oferece, a juros simples. Como sabemos que para 
taxas pequenas e poucas parcelas o montante composto é bem próximo do 
montante simples, vamos usar somente juros simples para resolver essa questão. 
O resultado é bem próximo do real. 
 
Para começar, reduziremos a série a um único pagamento na metade do período. 
 
 
 
Pagamento a vista 
 “A” 
 
 
 
 
 
0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 
 
 
 1000... ...1000 
 
 
 
 
 
Ficaremos com: 
 
 
 
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10
 A 5.000,00 
 
 
 
 ief = 2,5% a.m. (JS) 
 
0 1m 2m 3m 4m 5m 
 
 
 
 
 
DR 
 
 
44,4444
125,1
5000
A
)5.025,01.(A5000
)n.i1.(AN
≅=
+=
+=
 
 
Sabendo o valor de A, só precisamos agora saber a qual taxa foi descontado o valor 
nominal de 5.000,00 para chegar aos 4.444,44. Essa taxa é a taxa de desconto 
comercial. 
 
 
 
 
4.444,44 5.000,00 
DC 
 
 
 iC = ? a.m. (JS) 
 
0 1m 2m 3m 4m 5m 
 
 
 
 
%11,11111,0i
i.500044,44445000
i.NAN
i.ND
C
C
C
CC
⇒≅
=−
=−
=
 
 
 
De outra forma, também poderíamos achar direto a taxa de desconto comercial de 
uma capitalização racional de 2,5% por 5 meses. Bastava lembra que a taxa do 
desconto comercial é igual ao juro sobre valor nominal: 
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11
 
%11,111111,0i
125,1
125,0
i
)125,01.(A
125,0.A
i
5.025,0.AA
5.025,0.A
i
N
J
i
C
C
C
C
C
⇒≅
=
+
=
+
=
=
 
 
 
Concluímos que um desconto à vista de até 11,11% não geraria nenhum prejuízo à 
loja. A alternativa “c” afirma que 10% é um desconto possível para pagamento à 
vista. VERDADEIRO. 
 
Gabarito C 
 
 
 
Hoje ficaremos por aqui. Tudo que aprendemos em descontos vamos usar para 
calcular as equivalências de capitais, nosso próximo assunto! 
 
Até lá e fiquem em paz! 
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12
 
LISTA DE EXERCÍCIOS COMENTADOS DURANTE A AULA 
 
1- (TRF 2005) Uma empresa especializada desconta um cheque no valor nominal 
de R$ 10.000,00 três meses antes do seu vencimento por meio de um desconto 
racional composto calculado à taxa de 4% ao mês. Calcule o valor mais próximo do 
valor do desconto. 
 
a) R$ 1.090,00 
b) R$ 1.100,00 
c) R$ 1.110,00 
d) R$ 1.200,00 
e) R$ 1.248,00 
 
 
2- (Analista Recife 2003) Um título é descontado por R$ 10.000,00 quatro meses 
antes de seu vencimento a uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor nominal do 
título considerando que o desconto usado foi o desconto racional composto. 
Despreze os centavos. 
 
a) R$ 11.255,00 
b) R$ 11.295,00 
c) R$ 11.363,00 
d) R$ 11.800,00 
e) R$ 12.000,00 
 
 
3- (AFRF 2001) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes do seu 
vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional 
composto a uma taxa de 3% ao mês. 
 
a) R$ 140,00 
b) R$ 104,89 
c) R$ 168,00 
d) R$ 93,67 
e) R$ 105,43 
 
 
4- (AFRF 2002-2) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 
quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor 
descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. 
 
a) R$ 25.860,72 
b) R$ 28.388,72 
c) R$ 30.000,00 
d) R$ 32.325,90 
e) R$ 36.465,18 
 
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5- (AFRF 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional 
composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da 
dívida (valor de resgate) de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem 
considerar os centavos, é igual a: 
 
a) R$ 230.000,00 
b) R$ 250.000,00 
c) R$ 330.000,00 
d) R$ 320.000,00 
e) R$ 310.000,00 
 
 
6- * (Fiscal Natal/RN 2008) Considerando o problema proposto abaixo, indique a 
opção financeiramente correta para completar o caso. “Ao fazer uma compra numa 
loja de uma grande rede comercial, a senhorita foi ao setor de crediário e lhe 
disseram que: se ela paga as compras em 4 (quatro) parcelas mensais iguais e 
sucessivas, sendo a primeira parcela paga naquele momento...” 
 
a) não haveria juros na compra. 
 
b) ao optar em pagar todo o valor naquele momento não haveria qualquer 
desconto, por ser o mesmo valor a vista. 
 
c) poderia optar em pagar em duas parcelas, sendo a primeira ao final do primeiro 
mês, visto corresponder ao mesmo valor. 
 
d) se a taxa de juros do mercado financeiro for superior a 1,25% a. m., o valor a 
vista pode ser reduzido em até 2,5%. 
 
e) a hipótese de pagamento a vista deve ter desconto. 
 
 
7- * (AFC/STN 2008) Em uma loja de departamentos está sendo oferecida a 
seguinte promoção: “nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor é parcelado em 5 
parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias”. Com base 
nessa condição e sabendo que a taxa aplicada ao mercado é de 2,5% a. m., 
podemos afirmar financeiramente que: 
 
a) as compras com valores de até R$ 5.000,00, quando parceladas,compensam 
financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela 
“promoção”. 
 
b) a loja deve fazer mais vezes esta promoção, especialmente em épocas festivas 
tipo Natal, pois trará um maior volume de vendas e de ganho nas operações. 
 
c) 10% é um desconto possível para o pagamento à vista. 
 
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14
d) o valor a vista não pode ter desconto, pois não propicia o retorno dos clientes, 
implicando em prejuízos à operação. 
 
e) a loja deve evitar fazer esta promoção, pois, por ter custo financeiro, 
descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro.