AULA 4 - Descontos Simples

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Matemática 
Financeira
AULA 4 – Desconto Simples
Desconto
Descontos são operações comuns no mercado financeiro.
São antecipações de recebimento de valores do futuro, tais
como duplicatas, notas promissórias e letras de câmbio.
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento
envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo
pagamento antecipado.
Vencimento
Valor Final 
ou Nominal
Desconto( - ) Valor Líquido ou 
Valor descontado
( = )
Prazo de Antecipação 
de Recurso
Antes do 
Vencimento
Toda vez que uma empresa vende um 
produto, ela pode receber tudo à vista ou 
emitir duplicatas.
Entretanto as empresas (normalmente) 
precisam de todo o valor da venda no dia 
de hoje.
Então, recorrem a instituições financeiras 
para descontar essas duplicatas.
Imagine que você recebeu um cheque pré–datado de 
R$4.000,00, e que você só receberá o valor daqui a 40 dias 
(será descontado daqui a 40 dias). Porém, você precisa do 
dinheiro hoje.
O que você faz???
Vai a um banco pedir para adiantarem o valor pra você. O que 
acontece é que você receberá um valor menor do que os 
R$4.000,00, pois o banco irá fazer um desconto (cobrar um 
percentual) no valor do seu título por essa operação.
0
940,00
1
960,00
2
980,00
3
VF= 1000,00
VP=?
1.000,00 x 0,02 1.000,00 x 0,02 1.000,00 x 0,02
VF = 1.000,00
n = 3 meses
d = 2% ao mês
VP=?
O banco pagará hoje 940 reais 
por uma duplicada de 1.000,00 
que irá vencer daqui a 3 meses.
Desconto
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o
regime de juros simples como no de juros compostos.
O uso do desconto simples é amplamente adotado em
operações de curto prazo, restringindo-se o desconto
composto para as operações de longo prazo.
DESCONTO
RACIONAL
BANCÁRIO
SIMPLES
COMPOSTO
SIMPLES
COMPOSTO
Desconto Simples 
O desconto simples é aquele em que funciona com base no
regime de capitalização simples – linear.
Nesta modalidade estão incluídos dois tipos de desconto:
Racional ou “por dentro” e o Bancário ou “por fora”.
Desconto Simples 
Racional
Também denominado de desconto
“por dentro”, incorpora os conceitos
e relações básicas de juros simples.
𝐷𝑟 =
𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Onde;
VF = Valor final ou Nominal
i = taxa simples de juros
n = prazo de antecipação
Exemplo 01
Um título de valor nominal de 
R$25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de 
juros simples de 2,5%a.m. Qual o valor 
do desconto racional?
Dados
VF = 25.000 
N = 2 meses
i= 2,5% ao mês 
𝐷𝑟 =
25.000 ∗ 0,025 ∗ 2
1 + 0,025 ∗ 2
𝐷𝑟 =
1.250
1 + 0,05
𝐷𝑟 =
1.250
1,05
= 𝟏. 𝟏𝟗𝟎, 𝟒𝟕
25.000-1.190,47 = 23.809,52
𝐷𝑟 =
𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Desconto Simples 
Racional
O valor descontado pode ser achado
também pela seguinte formula
𝑉𝑟 =
𝑉𝐹
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
Onde;
VF = Valor final ou Nominal
i = taxa simples de juros
n = prazo de antecipação
Vr = Valor Descontado Racional
Exemplo 02
Determinar a taxa mensal de desconto 
racional de um título negociado 60 dias 
antes de seu vencimento, sendo seu valor 
de resgate igual a $ 26.000,00 e valor atual 
na data do desconto de $ 24.436,10.
Dados
VF = 26.000
n = 60 dias = 2 meses
Vr = 24.436,10 
𝑉𝑟 =
𝑉𝐹
1 + 𝑖 ∗ 𝑛
24436,10 =
26000
1 + 2𝑖
24436,10 + 48872,20𝑖 = 26000
48872,20𝑖 = 26000 − 24436,10
𝑖 =
1563,90
48872,20
= 0,032 = 𝟑, 𝟐%
Desconto Simples 
Bancário
É o desconto em que a taxa da
operação incide sobre o montante ou
valor final.
• Proporciona maior volume de
encargos financeiros efetivos.
• Essa modalidade é mais usada no
sistema financeiro em operações
de crédito bancário e comercial a
curto prazo
• Ele é mais amplamente utilizado
no Brasil
Desconto Simples 
Bancário Db = Desconto Bancário
VF = Valor final ou Nominal
Vb = Valor Líquido Bancário ou
Comercial
I = Taxa de juros do desconto
N = prazo
𝐷𝑏 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
𝑉𝑏 = 𝑉𝐹 (1 − 𝑖 ∗ 𝑛)
Exemplo 03
Um título de valor nominal de 
R$25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de 
juros simples de 2,5% ao mês. Qual o 
desconto bancário?
Dados
VF = 25.000 
n = 2 meses
i= 2,5% ao mês 
25.000-1.250,00 = 23.750,00
𝐷𝑏 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
𝐷𝑏 = 25.000 ∗ 0,025 ∗ 2
𝐷𝑏 = 1.250,00
Exemplo 04
Uma duplicata de valor R$6.800,00 é 
descontada por um banco gerando um 
crédito de 6.000,00 na conta do cliente. A 
taxa cobrada pelo banco é de 3,2%a.m. 
Determinar o prazo (em dias) do 
vencimento da duplicata.
Dados
VF = 6.800,00
Vb = 6.000,00
n = ?
i = 3,2% a.m. = 0,032 
0,882353 = 1 − 0,032n
0,032𝑛 = 1 − 0,882353
6000
6800
= 1 − 0,032𝑛
𝑉𝑏 = 𝑉𝐹 (1 − 𝑖 ∗ 𝑛)
6000 = 6800 (1 − 0,032𝑛)
𝑛 =
0,117647
0,032
= 3,68 𝑥 30 = 110
Exemplo 05
Um título de R$2.300,00, com 
vencimento em 20-08-2019 (232 dias), 
foi descontado em 14-06-2019 (165 
dias), tendo um desconto bancário 
simples de 229,45. Calcule a taxa de 
desconto.
Dados
VF = 2.300,00 
n = 232 – 165 = 67 dias
Db = 229,45
I = ?
𝐷𝑏 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
229,45 = 2.300 ∗ 𝑖 ∗ 67
229,45 = 154.100 ∗ 𝑖
𝑖 =
229,45
154.100
= 0,00148
𝑖 = 0,00148 ∗ 100 = 0,148% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎
Operações com um Conjunto de Títulos
É bastante adotado na prática, principalmente em operações
com bancos comerciais, proceder-se de uma única vez ao
desconto de vários títulos.
Esses títulos, com prazos e valores nominais geralmente
diferentes, são descontados numa mesma data, produzindo
um valor descontado representativo da soma do valor
descontado de cada título (Borderô de descontos)
Exemplo de Fixação
Um comerciante pretende descontar em uma instituição
financeira alguns cheques pré-datados que recebeu de seus
clientes. A seguir, encontra-se a relação dos cheques (borderô
de desconto):
Exemplo de Fixação
Sabendo que a instituição financeira cobra uma taxa de
desconto de 2% ao mês, calcule:
a) o prazo médio ponderado dos títulos para efeito do
desconto;
b) o valor total dos juros (desconto).
Solução
a) O prazo médio ponderado dos títulos para efeito do
desconto?
𝑛 =
𝑉𝐹1 ∗ 𝑛1 + 𝑉𝐹2 ∗ 𝑛2 + 𝑉𝐹3 ∗ 𝑛3 +⋯+ 𝑉𝐹𝑛𝑛𝑛
𝑉𝐹1 + 𝑉𝐹2 + 𝑉𝐹3 +⋯+ 𝑉𝐹𝑛
𝑛 =
1.575.000,00
25.000,00
= 63 𝑑𝑖𝑎𝑠
Solução
b) o valor total dos juros (desconto).
n = 63 dias = 63/30 =2,1 mês
i = 2% a.m = 0,02
VF = 25.000,00
Db = ?
𝐷𝑏 = 𝑉𝐹 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
𝐷𝑏 = 25.000,00 ∗ 0,02 ∗ 2,1
𝐷𝑏 = 𝟏. 𝟎𝟓𝟎, 𝟎𝟎
Solução na HP12C
a) O prazo médio ponderado dos títulos para efeito do
desconto?
𝐹 [𝐶𝐿𝑋]
30 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 4000 [∑+]
45 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 4500 [∑+]
60 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 5000 [∑+]
75 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 5500 [∑+]
90 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 6000 [∑+]
𝑔 [𝑥𝑤]