Axiomas-de-Medicao

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Axiomas de Medição
O próximo passo é aprender a medir o
comprimento de um segmento. Para este fim
emprega-se diversos instrumentos de medição, dos
quais a régua graduada é um dos mais conhecidos.
Aprendemos com a experiência que para medir o
comprimento de um segmento AB com uma régua
graduada, basta colocar a régua graduada sobre o
segmento AB; verificar a quais números
correspondem o ponto A e o ponto B e então o
módulo da diferença será o comprimento do
segmento AB: Aprendemos também que se um
ponto C está entre A e B, então o comprimento de
AB é a soma dos comprimentos dos segmentos AC
e CB.
Axiomas de Medição de Segmentos
A maneira como procedemos para medir
segmentos é regida pelos seguintes axiomas:
Axioma de medição 1: A todo par de pontos A e
B corresponde um número maior ou igual a
zero. Este número é zero se e somente se A=B.
O número real acima é chamado distância entre
A e B.
Definição: o comprimento de um segmento de 
reta 𝐴𝐵 é dado pela distância de seus extremos. 
Vamos denotar o comprimento de 𝐴𝐵 por 
𝐴𝐵=𝑑(𝐴, 𝐵).
Está implícito no enunciado do axioma, a
escolha de uma unidade de medida que será
fixada em nossa geometria.
Axioma da régua
Axioma de medição 2: Os pontos de uma reta
podem ser sempre colocados em
correspondência biunívoca com os números
reais, de modo que o módulo da diferença entre
estes números meça a distância entre os pontos
correspondentes.
Vamos pensar o conjunto de numeros reais arrumados
sobre uma linha reta
Pelo axioma da régua, por exemplo, na reta abaixo, 
𝑃 está associado ao 0, 𝑅 ao 1,𝑇 a 𝑥2 e 𝑄 a 𝑥1.
Seja 𝑙 uma reta. O que este axioma nos diz é que
existe então uma função 𝑓: 𝑙 → 𝑅, talque:
1. 𝑓 é injetiva
2. 𝑓 é sobrejetiva
3. ∀ 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑙, 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑓 𝐴 − 𝑓 𝐵 .
A função 𝑓 é chamada um sistema de
coordenadas para a reta 𝑙.
O sistema de coordenadas de uma reta não é único.
De fato temos o seguinte resultado:
Proposição. Se 𝑓: 𝑙 → 𝑅 é um sistema de
coordenadas para a reta l, então:
1. 𝑔: 𝑙 → 𝑅 dada por 𝑔(𝑃) = 𝑓(𝑃) + 𝑐, para todo
𝑃 pertencente a 𝑙 também é um sistema de
coordenadas para 𝑙, onde 𝑐 é um número real.
2. ℎ: 𝑙 → 𝑅 dada por ℎ 𝑃 = −𝑓(𝑃), para todo 𝑃
pertencente a 𝑙 também é um sistema de
coordenadas para 𝑙.
Teorema. Seja 𝑙 uma reta, e sejam 𝑃 e 𝑄 quaisquer
dois pontos de 𝑙. Então, 𝑙 possui um sistema de
coordenadas, no qual o coordenada de 𝑃 é 0 e a
coordenada 𝑄 é positiva.
PROVA. Seja 𝑓 um sistema qualquer de
coordenadas para 𝑙. Seja 𝑎 = 𝑓 (𝑃), e para cada
ponto 𝑇 de 𝑙 , seja 𝑔 (𝑇) = 𝑓 (𝑇) − 𝑎 .
Logo, 𝑔 é um sistema de coordenadas para 𝑙, e
𝑔 (𝑃) = 0 . Se 𝑔 (𝑄) > 0 , então 𝑔 é a
sistema que estávamos procurando. Se 𝑔 (𝑄) < 0,
seja ℎ (𝑇) = −𝑔 (𝑇) para cada 𝑇 ∈ 𝑙 .
Então ℎ satisfaz as condições do teorema.
Coordenadas de cada reta.
Fixada uma correspondência, o número que
corresponde a um ponto da reta é denominado
coordenada daquele ponto. Portanto, se 𝑎 e 𝑏
são as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵 ,
respectivamente, então o comprimento do
segmento 𝐴𝐵, denotado por 𝐴𝐵é igual a
𝐴𝐵 = |𝑎 − 𝑏|.
Axioma de medição 3: Se 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵; então
𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 .
É importante observar aqui que o axioma não diz que se
𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵. O que você acha? É
verdadeira essa afirmação?
O Axioma de Medição 2 diz apenas que existe uma
bijeção entre os pontos de uma reta e os números reais,
porém não fixa nenhuma restrição para a bijeção. O
Axioma de Medição 3, garante que a bijeção não será
arbitrária, ela tem que satisfazer a uma certa ordem. É
isto que diz a próxima proposição.
Proposição. Se em uma semirreta 𝑆𝐴𝐵
considerarmos um segmento 𝐴𝐶 com 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵,
então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.
Demonstração. Sabemos que, pelo Axioma de 
Ordem 2, só pode ocorrer uma das seguintes 
possibilidades: 
𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶
𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶
𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵
Vamos mostrar que não pode ocorrer a primeira 
nem a segunda possibilidade.
Como 𝐴 é a origem da semirreta 𝑆𝐴𝐵; então não
é verdade que 𝐵 ∗ 𝐴 ∗ 𝐶 , caso contrário
teríamos 𝐶 não pertenceria a esta semirreta. Se
𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 , então, pelo Axioma de Medição 3
teríamos 𝐴𝐵+𝐵𝐶= 𝐴𝐶, implicando que 𝐴𝐵 <𝐴𝐶,
que é uma contradição com a hipótese 𝐴𝐶 < 𝐴𝐵.
Logo, só pode ocorrer 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵.
Teorema. Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 pontos distintos de
uma reta cujas coordenadas são,
respectivamente, 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Então 𝐴 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵 se e
somente se o número 𝑐 está entre 𝑎 e 𝑏.
Definição. O ponto médio 𝐶 de um segmento
𝐴𝐵 é um ponto deste segmento tal que 𝐴𝐶=𝐶𝐵.
Teorema. Um segmento tem exatamente um
ponto médio.
Definição: Sejam 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 dois segmentos. Se
𝐴𝐵=𝐶𝐷, dizemos que 𝐴𝐵 é congruente a 𝐶𝐷 e
denotamos por 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷.
Observação: Uma relação ~ definida em um
conjunto A, chama-se uma relação de
equivalência, se as seguintes condições se
verificam:
(1) Reflexividade. 𝑎~𝑎.
(2) Simetria. Se 𝑎~𝑏, então 𝑏~𝑎.
(3) Transitividade. Se 𝑎~𝑏 e 𝑏~𝑐, então 𝑎~𝑐.
Proposição: Para segmentos, a congruência é
uma relação de equivalência. Ou seja, cada
segmento é congruente a si mesmo, se 𝐴𝐵 ≅
𝐶𝐷, então 𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐵; se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 e 𝐶𝐷 ≅ 𝐸𝐹,
então 𝐴𝐵 ≅ 𝐸𝐹.
Demonstração: Como as congruencia de
segmentos se verifica com a igualdade de seus
comprimentos, esta proposição segue
diretamente da propriedade da igualdede entre
números.
Proposição: Dado um segmento 𝐴𝐵 e uma
semirreta 𝑆𝐶𝐷, existe exatamente um ponto 𝐸
em 𝑆𝐶𝐷 tal que 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐸.
Demonstração: Pelo teorema de colocação da
régua, seja f um sistema de coordenadas para a
reta 𝐶𝐷, de tal forma que 𝑓 (𝐶) = 0 e 𝑓 (𝐷) >
𝑂.
Na figura, indicamos que o número de 𝐶𝐷 é a
coordenada do ponto 𝐷, e isso é correto, porque
𝑓 (𝐷) > 𝑂. Se 𝐸 é um ponto de 𝑆𝐶𝐷, temos que
𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se 𝑓 (𝐸) = 𝐴𝐵 como na
figura. Assim 𝐶𝐸 ≅ 𝐴𝐵 se e somente se
𝐸 = 𝑓−1 (𝐴𝐵). Existe exatamente um tal ponto
𝑓−1 (𝐴𝐵), e, portanto, é exatamente o ponto 𝐸.
A próxima proposição nos diz que, se os
segmentos congruentes são colocados
com pontos extremos comuns, os segmentos
resultantes são congruentes.
Proposição: (adição de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 
𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que
(1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, 
(2) A′∗B ‘∗C′ , 
(3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4) 𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′.
Então
𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ .
A recíproca também é verdadeira:
Proposição: (subtração de segmentos) Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e
𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ pontos tais que (1) 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, (2) A′∗B ‘∗C′ ,
(3) 𝐴𝐵 ≅ 𝐴′ 𝐵 ′ e (4)𝐴𝐶 ≅ 𝐴′𝐶′ .
Então
𝐵𝐶 ≅ 𝐵′𝐶′
Um pouco mais sobre a separação de 
planos...
Proposição: Em um plano fixado, dada uma reta,
e uma semirreta, que tem o seu ponto de
extremidade na reta mas que não é semirreta da
reta dada. Então todos os pontos da semirreta,
exceto para o ponto final, estão no mesmo lado
da reta.
PROVA. Seja 𝐿 a linha e seja 𝑆𝐴𝐵 ser o raio, com
𝐴 ∈ 𝐿. Suponhamos que contém um ponto 𝐴 ∗
𝐵 ∗ 𝐶 tal que 𝐵 e 𝐶 estão em lados opostos de
𝐿 . Então 𝐵𝐶 cruza 𝐿 em algum momento, e este
ponto deve ser 𝐴, porque 𝐵𝐶 está contido em
𝑆𝐴𝐵 e 𝑆𝐴𝐵 intersecta 𝐿 apenas em 𝐴. Portanto
𝐶 ∗ 𝐴 ∗ 𝐵 . Mas isto é impossível. Portanto,
todos pontos da semirreta, diferente de 𝐴, estão
no mesmo lado do 𝐿, ou seja, o lado que contém
𝐵.
Da mesma forma vale para os segmentos: 
Proposição. Seja 𝐿 uma reta, seja 𝐴 um ponto 
de 𝐿, e seja 𝐵 um ponto que não está em 𝐿. 
Então, todos os pontos de 𝐴𝐵 − {𝐴} estão do 
mesmo lado de 𝐿.
Prova: Como 𝐴𝐵 − {𝐴} está contido em 𝑆𝐴𝐵, o 
resultado segue da proposição anterior.
Definição: Um ângulo é a figura formada pela
união de duas semirretas com origem comum. A
origem comum é chamado de vértice do ângulo
e as duas semirretas são chamadas laterais ou
lados do ângulo.
Proposição: Cada lado de um triângulo
encontra-se, com exceção de seus pontos finais,
no interior do ângulo oposto a este lado.
Proposição: Se 𝐹 está no interior de 𝐵𝐴𝐶, 
então 𝑆𝐴𝐹 – {𝐹} situa-se no interior de 𝐵𝐴𝐶.Proposição: Seja 𝐴𝐵𝐶 um triângulo, e sejam
𝐹, 𝐷, 𝐺 pontos de tal modo que 𝐵 ∗ 𝐹 ∗ 𝐶, 𝐴 ∗
𝐶 ∗ 𝐷, e 𝐴 ∗ 𝐹 ∗ 𝐺. Então 𝐺 está no interior de
 𝐵𝐶𝐷.
Na figura abaixo, 𝐷 é está no interior de 𝐵𝐴𝐶. É
intuitivamente claro que 𝐴𝐷 deve cruzar 𝐵𝐶, como a
figura sugere. Mas não é óbvio que isto pode ser
provado com base nos postulados que já incluimos na
teoria até agora, e, de fato, a prova é difícil. Vamos
precisar de alguns resultados preliminares.
Proposição: (Teorema do Z) Seja 𝐿 uma reta e 
sejam 𝐴 e 𝐹 dois (diferentes) pontos de 𝐿. Se 𝐵
e 𝐺 são pontos sobre os lados opostos de 𝐿, 
então 𝐹𝐵 não intersecta 𝑆𝐴𝐺.
Proposição. Em ∆𝐹𝐵𝐺, seja 𝐴 um ponto entre 
𝐹 e 𝐶, seja D um ponto tal que 𝐷 e 𝐵 estão no 
mesmo lado da 𝐹𝐺. Então 𝑆𝐴𝐷 cruza ou 𝐹𝐵 ou 
𝐵𝐺.
Teorema. (Teorema da barra atravessada ou
crossbar) Se 𝐷 for no interior de ∆𝐵𝐴𝐶, então
𝑆𝐴𝐷 intercepta 𝐵𝐶, em um ponto entre 𝐵 e 𝐶.