geometria analica 6

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Willian Valverde 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Anteriormente, vimos que a geometria analítica é capaz de descrever, por 
meio de equações, objetos geométricos como retas e planos. Nesta aula, 
avançaremos para descrever outros objetos, as chamadas seções cônicas. 
As seções cônicas são as seguintes: 
• Parábola; 
• Elipse; e 
• Hipérbole. 
Para cada uma delas veremos suas principais equações, características 
e elementos. 
Esperamos que, ao final desta aula, você consiga identificar, parametrizar 
e resolver problemas envolvendo as seções cônicas. 
TEMA 1 – SEÇÕES CÔNICAS 
Considere duas retas, 𝒆 e 𝒈 não perpendiculares que se interceptam em 
um ponto 𝑶. Fixando 𝒆 e girando 𝒈 em 360º em torno de 𝒆, temos que a reta 𝒈 
gera uma superfície cônica circular, conforme a Figura 1: 
Figura 1 – Superfície cônica circular 
 
Chamamos a reta 𝒆 de eixo da superfície cônica e 𝒈 de geratriz. Também 
chamamos seção cônica ou simplesmente cônica ao conjunto de pontos 
formados pela interseção da superfície cônica com um plano. 
Quando seccionamos a superfície cônica com um plano que não passa 
por 𝑶, podemos formar três conjuntos distintos. A saber. 
 
 
3 
1.1 Parábola 
Quando o plano é paralelo a uma geratriz da superfície, conforme a Figura 
2: 
Figura 2 – Parábola 
 
 
1.2 Elipse 
Quando o plano não é paralelo a uma geratriz da superfície e intercepta 
apenas uma das folhas do cone, conforme a Figura 3: 
Figura 3 – Elipse 
 
 
 
 
 
 
4 
1.3 Hipérbole 
Quando o plano não é paralelo à uma geratriz da superfície e intercepta 
as duas folhas do cone, conforme a Figura 4: 
Figura 4 – Hipérbole 
 
 
Definimos uma seção cônica como sendo todo conjunto de pontos do 
plano cujas coordenadas 𝒙 e 𝒚 em relação à base canônica satisfazem à 
equação do 2º grau 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
com 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 e 𝑭 coeficientes reais. 
TEMA 2 – PARÁBOLA 
Do ponto de vista da geometria analítica, definimos uma parábola como o 
conjunto de todos os pontos de um plano que são equidistantes de um ponto fixo 
𝑭 e de uma reta fixa 𝒅 desse plano. Observe a Figura 5: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Figura 5 – Parábola (1) 
 
Chamamos 𝑭 de foco, 𝑽 de vértice, 𝒅 de diretriz e 𝒆 de eixo da parábola. 
Qualquer ponto 𝑷 pertence a parábola se, e somente se, 
𝒅(𝑷, 𝑭) = 𝒅(𝑷, 𝒅) 
Utilizando as fórmulas que já vimos para distância de ponto a ponto, de 
ponto a reta e o fato de que a distância de 𝑽 a 𝑭 é igual a distância de 𝑽 a 𝒅, que 
denotamos por 
𝒑′
𝟐
, podemos chegar à chamada equação reduzida da parábola, 
dada pela expressão 
𝒙𝟐 = 𝟐𝒑′𝒚 
onde 𝒑′ é a distância de 𝒅 a 𝑭. Chamamos 𝒑′ de parâmetro da parábola. Se 
tomarmos 𝒑 =
𝒑′
𝟐
, podemos reescrever a equação reduzida da parábola por 
𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 
Note que podemos, ao tomar 𝒙 por um parâmetro 𝒕, chegar às equações 
paramétricas da parábola: 
{
𝒙 = 𝒕 
𝒚 =
𝟏
𝟐𝒑
𝒕𝟐 , 𝒕 ∈ ℝ 
Obs.: de forma análoga, poderíamos equacionar uma parábola de tal 
forma que 𝒅 fosse paralela ao eixo 𝒚, conforme a Figura 6: 
 
 
 
6 
Figura 6 – Parábola (2) 
 
 
Assim, sua equação reduzida seria dada pela expressão 
𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 
E suas equações paramétricas seriam: 
{
𝒙 =
𝟏
𝟐𝒑
𝒕𝟐
𝒚 = 𝒕 
 , 𝒕 ∈ ℝ 
 Como exemplo, considere a parábola 𝒙𝟐 = 𝟖𝒚. Pela equação já podemos 
dizer que seu eixo de simetria é o eixo 𝒚. De 𝟒𝒑 = 𝟖 temos que 𝒑 = 𝟐 e, portanto, 
a reta 𝒅 será dada pela equação 𝒚 = −𝟐. Por fim, o foco da parábola é o ponto 
𝑭(𝟎, 𝟐). 
TEMA 3 – ELIPSE 
Já uma elipse definimos como o conjunto de todos os pontos de um plano 
cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano, chamados focos, é 
constante. Observe a Figura 7: 
 
 
 
7 
Figura 7 – Elipse 
 
Chamamos os pontos 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐 de focos, 𝒅(𝑭𝟏, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒄 de distância focal, 
𝑪 de centro, o segmento 𝑨𝟏𝑨𝟐 = 𝟐𝒂 de eixo maior, o segmento 𝑩𝟏𝑩𝟐 = 𝟐𝒃 de 
eixo menor e os pontos 𝑨𝟏, 𝑨𝟐, 𝑩𝟏 e 𝑩𝟐 de vértices da elipse. 
Qualquer ponto 𝑷 pertence à elipse se, e somente se: 
𝒅(𝑷, 𝑭𝟏) + 𝒅(𝑷, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒂 
É fácil ver que a metade da distância de 𝑨𝟏até 𝑨𝟐 é igual a distância de 
𝑩𝟏ou 𝑩𝟐 até qualquer um dos focos. Daí, pelo Teorema de Pitágoras, temos a 
igualdade 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
Também definimos a excentricidade 𝒆 da elipse como sendo o número 
𝒆 =
𝒄
𝒂
 (𝟎 < 𝒆 < 𝟏) 
Utilizando as fórmulas para distâncias já conhecidas e as propriedades 
acima e considerando que o centro 𝒄 coincide com a origem, podemos chegar à 
chamada equação reduzida da elipse, dada pela expressão 
 
 
8 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
Da mesma forma que no caso anterior, podemos determinar equações 
paramétricas da elipse, que, nesse caso, serão: 
{
𝒙 = 𝐚 𝐜𝐨𝐬 𝒕
𝒚 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒕 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 Essas fórmulas são válidas sempre que o centro 𝑪 da elipse coincide com 
a origem. 
 Considere como exemplo a elipse dada pela expressão 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 =
𝟐𝟐𝟓. Dividindo ambos os lados da equação por 𝟐𝟐𝟓. Obtemos 
𝒙𝟐
𝟐𝟓
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏 
de onde obtemos que 𝒂 = 𝟓 e 𝒃 = 𝟑. Assim, de 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 obtemos que 𝒄 = 𝟒 
e, portanto, os focos 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐 são, respectivamente, os pontos 𝑭𝟏(−𝟒, 𝟎) e 
𝑭𝟐(𝟒, 𝟎). 
Por fim, sua excentricidade, dada pela expressão 𝒆 =
𝒄
𝒂
, será 
𝟒
𝟓
. 
TEMA 4 – HIPÉRBOLE 
Uma hipérbole é definida como o conjunto de todos os pontos de um plano 
cuja diferença, em valor absoluto, das distâncias a dois pontos fixos deste plano, 
chamados focos, é constante. Observe a Figura 8, cuja hipérbole aparece 
destacada em vermelho: 
 
 
 
9 
Figura 8 – Hipérbole 
 
Chamamos os pontos 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐 de focos, 𝒅(𝑭𝟏, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒄 de distância focal 
(onde 𝒄 é o raio da circunferência), 𝑪 de centro, o segmento 𝑨𝟏𝑨𝟐 = 𝟐𝒂 de eixo 
real ou eixo transverso, o segmento 𝑩𝟏𝑩𝟐 = 𝟐𝒃 de eixo imaginário ou eixo não 
transverso e os pontos 𝑨𝟏 e 𝑨𝟐 de vértices da elipse. 
Qualquer ponto 𝐏 pertence à hipérbole se, e somente se: 
|𝒅(𝑷, 𝑭𝟏) − 𝒅(𝑷, 𝑭𝟐)| = 𝟐𝒂 
É fácil ver que a distância de 𝐂 até 𝐅𝟏ou 𝐅𝟐 é o raio da circunferência, pelo 
Teorema de Pitágoras temos a igualdade 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
Também definimos a excentricidade 𝒆 da elipse como sendo o número 
𝒆 =
𝒄
𝒂
 (𝟏 < 𝒆) 
E as retas 𝒓 e 𝒔 são ditas assíntotas da parábola. Além disso, o ângulo 𝜽 
é chamado abertura da hipérbole. 
Utilizando as fórmulas para distâncias já conhecidas e as propriedades 
expostas, podemos chegar à chamada equação reduzida da hipérbole, dada 
pela seguinte expressão: 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
10 
Da mesma forma que nos casos anteriores, podemos determinar 
equações paramétricas da hipérbole, que, nesse caso, serão: 
{
𝒙 = 𝐚 𝐬𝐞𝐜 𝒕
𝒚 = 𝒃 𝐭𝐚𝐧 𝒕 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 𝒆 𝒕 ≠
𝝅
𝟐
,
𝟑𝝅
𝟐
 
Lembrando que essas fórmulas também são válidas somente quando o 
centro 𝑪 da hipérbole coincide com a origem. 
Como exemplo, vamos construir uma hipérbole com focos 𝑭𝟏(−𝟓, 𝟎) e 
𝑭𝟐(𝟓, 𝟎) cuja medida do eixo real é igual a 𝟔. Vamos considerar o eixo real sobre 
o eixo 𝒙, assim, da expressão 𝟐𝒂 = 𝟔, obtemos que 𝒂 = 𝟑. 
De 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 e sabendo, pelos focos que 𝒄 = 𝟓, obtemos que 𝒃 = 𝟒. 
Daí, a equação reduzida da hipérbole será 
𝒙𝟐
𝟗
−
𝒚𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏 
TEMA 5 – EQUAÇÕES COM CENTRO (OU VÉRTICES) FORA DA ORIGEM 
Nos temas anteriores, vimos a equação reduzida e a as equações 
paramétricas da parábola, elipse e hipérbole quando o vértice (da parábola) ou 
centro (da elipse ou hipérbole) corresponde à origem do plano que contém essas 
seções cônicas. 
No entanto, podemos encontrar equações para esses objetos quando o 
vértice da parábola ou centro (da elipse ou hipérbole) não coincidem com a 
origemdo plano. 
Com base nas fórmulas de translação: 
𝒙 = 𝒙′ + 𝒉 
𝒚 = 𝒚′ + 𝒌 
onde 𝑶′(𝒙′, 𝒚′) seja um outro ponto do plano, que corresponderá ao novo vértice 
ou centro, podemos encontrar a equação reduzida da parábola 
(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟐𝒑(𝒚 − 𝒌) 
quando a reta diretriz 𝒅 é paralela ao eixo 𝒙. Ou, de forma equivalente 
(𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟐𝒑(𝒙 − 𝒉) 
 
 
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quando a diretriz 𝒅 é paralela ao eixo 𝒚. 
 Desenvolvendo ambas as expressões, chegamos à equação geral da 
parábola, que pode ser 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 , 𝑨 ≠ 𝟎 
quando a reta diretriz 𝒅 é paralela ao eixo 𝒙. Ou, de forma equivalente, 
𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 , 𝑩 ≠ 𝟎 
quando a diretriz 𝒅 é paralela ao eixo 𝒚. 
Semelhantemente, podemos encontrar a equação reduzida da elipse 
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐
+
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 Desenvolvendo esta expressão, chegamos à equação geral da elipse, 
dada por 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
com 𝑨 e 𝑩 tendo mesmos sinais. Observe que 𝒂 e 𝒃 na equação reduzida não 
são os mesmos valores de 𝑨 e 𝑩 na equação geral da elipse. Utilizamos as 
mesmas letras apenas por conveniência. 
Por fim, podemos encontrar a equação reduzida da hipérbole 
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐
−
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
Desenvolvendo esta expressão, chegamos à equação geral da hipérbole, 
dada por 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
com 𝑨 e 𝑩 tendo sinais opostos. Observe que aqui também 𝒂 e 𝒃 na equação 
reduzida não são os mesmos valores de 𝑨 e 𝑩 da equação geral da hipérbole. 
Também utilizamos as mesmas letras apenas por conveniência. 
 Como exemplo, considere a expressão 𝒚𝟐 + 𝟔𝒚 − 𝟖𝒙 + 𝟏 = 𝟎. 
 Essa equação pode ser reescrita, aplicando o método de completamento 
de quadrados, como 𝒚𝟐 + 𝟔𝒚 + 𝟗 − 𝟖𝒙 + 𝟏 − 𝟗 = 𝟎 
 
 
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 De forma equivalente: 
(𝒙 + 𝟑)𝟐 − 𝟖(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 
(𝒙 − (−𝟑))
𝟐
= 𝟐. 𝟒(𝒙 − (−𝟏)) = 𝟎 
Essa é a expressão de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao 
eixo 𝒙 com vértice 𝑽(−𝟏, −𝟑). 
NA PRÁTICA 
O estudo das superfícies cônicas tem uma série de aplicações na física e 
nas engenharias. Como exemplo, mostraremos como as propriedades das 
parábolas são utilizadas em faróis de carros e em antenas parabólicas. 
Os faróis de carros podem ser construídos em formatos de um 
paraboloide, isto é, uma superfície que pode ser formada por meio da rotação de 
uma parábola ao redor de seu eixo 𝒆, conforme as Figuras 9 e 10: 
Figura 9 – Farol de carro 
 
 
Fonte: igor Srbu/Shutterstock. 
 
 
13 
Pelas propriedades da parábola, se localizarmos a fonte luminosa 
exatamente no centro do paraboloide, todos os raios de luz que refletirem na 
superfície dele serão direcionados de forma paralela ao eixo 𝒆, aumentando 
assim a capacidade e o direcionamento de iluminação do farol, conforme a 
Figura 10: 
 
Figura 10 – Fonte luminosa exatamente no centro do paraboloide 
 
FINALIZANDO 
Nesta aula, vimos as seções cônicas que são obtidas pela intercessão de 
uma superfície cônica com um plano. Essas seções são a parábola, a elipse e a 
hipérbole. Mostramos várias formas de equacionar esses objetos geométricos. 
Para relembrá-los, deixamos as principais fórmulas vistas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quadro 1 – Principais fórmulas 
Tipo de equação Equação 
Parábola 
Equação reduzida 
𝒙𝟐 = 𝟐𝒑𝒚 
ou 
𝒚𝟐 = 𝟐𝒑𝒙 
Equações paramétricas 
{
𝒙 = 𝒕 
𝒚 =
𝟏
𝟐𝒑
𝒕𝟐 , 𝒕 ∈ ℝ 
ou 
{
𝒙 =
𝟏
𝟐𝒑
𝒕𝟐
𝒚 = 𝒕 
 , 𝒕 ∈ ℝ 
Equação geral 𝑨𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 , 𝒂 ≠ 𝟎 
Elipse 
Equação reduzida 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
Equações paramétricas {
𝒙 = 𝐚 𝐜𝐨𝐬 𝒕
𝒚 = 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒕 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Equação geral 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
com 𝑨 e 𝑩 tendo mesmos sinais. 
Hipérbole 
Equação reduzida 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
Equações paramétricas {
𝒙 = 𝐚 𝐬𝐞𝐜 𝒕
𝒚 = 𝒃 𝐭𝐚𝐧 𝒕 , 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 𝒆 𝒕 ≠
𝝅
𝟐
,
𝟑𝝅
𝟐
 
Equação geral 
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 
com 𝑨 e 𝑩 tendo sinais opostos.