Prévia do material em texto

CÁLCULO – CONCEITOS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zanardini 
 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Estamos começando mais uma aula. 
Hoje vamos falar sobre as funções exponenciais e sobre as funções logarítmicas. As 
funções exponenciais são muito importantes em problemas relacionados a juros 
compostos, crescimento populacional, decaimento exponencial, além de outras 
situações. 
Em relação às funções logarítmicas, podemos destacar a aplicação em problemas onde 
o objetivo é determinarmos o tempo de uma aplicação financeira ou o tempo relativo ao 
crescimento da população de uma certa região. 
Vamos, inicialmente, assistir ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos dessa 
aula? Para isso, acesse o material on-line! 
CONTEXTUALIZANDO 
As funções exponenciais a as funções logarítmicas estão presentes em muitas 
situações do nosso cotidiano. Veremos nesta aula que o crescimento do valor de uma 
dívida ou de um investimento seguem uma função exponencial quando juros compostos 
são utilizados. 
 
Se uma dívida inicial corresponde a R$ 1.500,00, após 12 meses a uma taxa de juros 
de 12% ao mês o montante (valor inicial mais juros cobrados) será de R$ 5.843,96. 
Além do crescimento de uma dívida, as funções exponenciais estão relacionadas às 
notas de escalas musicais, crescimento populacional entre muitas outras aplicações. O 
mesmo ocorre com os logaritmos. Podemos encontrar aplicações na música, nas 
finanças, nas engenharias, na química, etc. 
 
 
3 
TEMA 1 – FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
As funções exponenciais são funções escritas sob a forma: 
  xbaxf . 
Onde a é diferente de zero, b é positivo e b é diferente de 1. O termo a é o valor da 
função quando x é igual a zero. O termo b é a base. 
Uma função exponencial pode ser crescente ou decrescente. Se b > 1, a função é 
crescente e se 0 < b < 1, a função é decrescente. 
O gráfico ao lado ilustra duas funções exponenciais: 
uma delas é a função crescente xy 2 e a outra é 
a função decrescente 
x
y
2
1
 . 
Na primeira função, a base b é igual a 2, maior do que 1 e na segunda função, b é igual 
a ½, maior do que zero e menor do que 1. 
Confira a seguir dois vídeos sobre as funções exponenciais e algumas aplicações: 
https://www.youtube.com/watch?v=PaJKaKbLiZE&index=37&list=PLf4asln_6hSeN868
g8mXhAAQfQV6L1nsc 
https://www.youtube.com/watch?v=97L0P6efU3Y&index=55&list=PLf4asln_6hSeN868
g8mXhAAQfQV6L1nsc 
O comportamento de uma função exponencial possui características que podem ser 
observadas no exemplo a seguir. Vamos pensar em um capital de R$ 100,00 que foi 
emprestado a uma taxa mensal de juros compostos de 10% ao mês. Relembrando, a 
fórmula que relaciona o montante M com o capital C, a taxa composta i e o tempo n é 
M=C(1+i)n. A tabela a seguir apresenta o valor da dívida mês a mês. 
n M=C(1+i)n R$ 
0 100x1,10 R$ 100,00 
1 100x1,11 R$ 110,00 
2 100x1,12 R$ 121,00 
3 100x1,13 R$ 133,10 
4 100x1,14 R$ 146,41 
5 100x1,15 R$ 161,05 
 
 
4 
6 100x1,16 R$ 177,16 
7 100x1,17 R$ 194,87 
8 100x1,18 R$ 214,36 
9 100x1,19 R$ 235,79 
10 100x1,110 R$ 259,37 
11 100x1,111 R$ 285,31 
12 100x1,112 R$ 313,84 
 
Note que a cada mês o valor da dívida é 10% maior do que o valor da dívida no mês 
anterior. Por esse motivo, a cada mês multiplicamos a dívida do mês anterior por 1,1, 
o que corresponde a 100% mais o acréscimo de 10%, pois 100%+10%=110%, o que, 
na forma decimal, é igual a 1,1. Esse crescimento é o que caracteriza a função 
exponencial. Abaixo, o gráfico apresenta o crescimento exponencial da dívida em 
relação ao avanço do tempo. 
 
O valor de b corresponde a 1,1 e, por isso, a função é crescente. Para a construção do 
gráfico, utilizamos valores inteiros para o expoente n, mas esse expoente pode assumir 
qualquer valor real. Nesse caso, podemos dizer que a função é contínua, pois não há 
restrições em relação ao domínio. É claro que, por questões práticas, n deve ser maior 
ou igual a zero. Mas, matematicamente, n pode assumir também valores negativos. 
1. Nas funções dadas a seguir, identifique as que são exponenciais, o fator de 
multiplicação e o valor da base. 
a) 𝑓(𝑥) = 3 . 2𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 3 . 𝑥2 
c) 𝑓(𝑥) = 5 . 𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥) = 4 . 3−𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = −2 . (
1
4
)
𝑥
 
f) 𝑓(𝑥) = 5 . (
1
3
)
−𝑥
 
R$ 0,00
R$ 200,00
R$ 400,00
0 2 4 6 8 10 12
 
 
5 
 
Resolução: 
 
a) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 3, e base igual a 2. 
b) Não é função exponencial pois a variável x está na base. 
c) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5, e base igual a 
“e”=2,7182... 
d) Função exponencial, podendo ser reescrita 𝑓(𝑥) = 4 . 3−𝑥 = 4 .
1
3𝑥 
=
4. (
1
3
)
𝑥
com fator de multiplicação igual a 4 e base igual a 1/3. 
e) Função exponencial com fator de multiplicação igual a -2, e base igual a ¼. 
f) Função exponencial, com fator de multiplicação igual a 5 e base igual a 3, pois 
a função pode ser rescrita como 𝑓(𝑥) = 5. (
1
3
)
−𝑥
= 5.
1
3−𝑥 
= 5 . 3𝑥 
1) Considerando os valores da tabela a seguir, verifique se é uma função 
exponencial. Em caso afirmativo determine o fator de multiplicação, a base e escreva 
a equação. Identifique se é uma função de crescimento exponencial ou de decaimento 
exponencial. 
a) Dados: 
x x f(x) 
 -2 ¾ 
 -1 3/2 
 0 3 
 1 6 
 2 12 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação do valor da 
função por 2, a cada novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e 
consequentemente o valor da base, neste caso igual a 2). Para determinar o fator de 
multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 3. 
A função exponencial é escrita como sendo 𝑓(𝑥) = 3 . 2𝑥 . Função de crescimento 
exponencial (pois a base b = 2 é maior que 1) 
b) Dados: 
 
 
6 
 X F (x) 
 -2 1 
 -1 3 
 0 9 
 1 27 
 2 81 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação do valor da 
função por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e 
consequentemente o valor da base, neste caso igual a 3). Para determinar o fator de 
multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 9. 
A função exponencial é escrita como sendo 𝑓(𝑥) = 9 . 3𝑥 . Função de crescimento 
exponencial (pois a base b = 3 é maior que 1) 
c) Dados: 
 x f(x) 
 -2 15 
 -1 5 
 0 5/3 
 1 5/9 
 2 5/27 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma multiplicação do valor da 
função por 1/3 ou uma divisão por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função 
exponencial (e consequentemente o valor da base, neste caso iguala 1/3). Para 
determinar o fator de multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, 
neste caso o valor é 5/3. Então a função exponencial é escrita como sendo 𝑓(𝑥) =
5
3
 . (
1
3
)
𝑥
=
5
3
 . 3−𝑥 . Função de decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor 
que 1) 
d) Dados: 
 x f(x) 
 -2 10 
 
 
7 
 -1 7 
 0 6 
 1 7 
 2 10 
 
Resolução: Observando os valores de f(x) não é possível perceber multiplicação por 
um valor, ou divisão por um valor, na sequência dos valores da função. Desta forma, 
não é uma função exponencial. 
e) Dados: 
 x f(x) 
 -2 30 
 -1 10 
 0 10/3 
 1 10/9 
 2 10/27 
 
Resolução: Observando-se os valores de f(x), ocorre uma divisão do valor da função 
por 3, a cada novo valor de x, isto identifica uma função exponencial (e 
consequentemente o valor da base, neste caso igual a 1/3). Para determinar o fator de 
multiplicação, toma-se sempre o valor da função quando x = 0, neste caso o valor é 
10/3. Então a função exponencial é escrita como sendo 𝑓(𝑥) =
10
3
 . (
1
3
)
𝑥
= 
10
3
 . 3−𝑥 
Função de decaimento exponencial (pois a base b = 1/3 é menor que 1) 
 
2. Transforme as funções exponenciais dadas para a forma de exponencial envolvendo 
a base “e”. 
a) 𝑓(𝑥) = 3 . 2𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 9 . 3𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 
5
3
 . 3−𝑥 
d) 𝑓(𝑥) =
10
3
 . 6−𝑥 
 
 
8 
e) 𝑓(𝑥) = 4 . 5𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = −2 . 4𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 50 . 10𝑥 
 
Resolução: 
Para fazer a transformação das funções exponenciais na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 . 𝑏𝑥 para a 
base “e”, na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 . 𝑒𝑘𝑥 é necessário calcular o valor de “k” como sendo 
o logaritmo neperiano do valor “b” da base original. 
a) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = 3 . 2𝑥 tem-se b = 2 cujo logaritmo neperiano 
é ln (2) = 0, 693 147 180 559 .... e considerando 6 casas decimais, tem-se ln (2) = 
0,693 147 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) = 3 . 𝑒0,693147 . 𝑥 
b) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = 9 . 3𝑥 tem-se b = 3 cujo logaritmo neperiano 
é ln (3) = 1, 098 612 288 688 .... e considerando 6 casas decimais, tem-se ln (3) = 
1,098 612 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) = 9 . 𝑒1,098612 . 𝑥 
c) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = 
5
3
 . 3−𝑥 tem-se b = 3 cujo logaritmo 
neperiano é ln (3) = 1, 098 612 288 688 .... e considerando 6 casas decimais, tem-
se ln (3) = 1,098 612 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) =
5
3
 . 𝑒−1,098612 . 𝑥 
d) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) =
10
3
 . 6−𝑥 tem-se b = 6 cujo logaritmo 
neperiano é ln (6) = 1, 791 759 469 228 .... e considerando 6 casas decimais, tem-
se ln (6) = 1,791 759 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) =
10
3
 . 𝑒−1,791759 . 𝑥 
e) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = 4 . 5𝑥 tem-se b = 5 cujo logaritmo neperiano 
é ln (5) = 1, 609 437 912 434 .... e considerando 6 casas decimais, tem-se ln (5) = 
1,609 437 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) = 4 . 𝑒1,609437 . 𝑥 
f) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = −2 . 4𝑥 tem-se b = 4 cujo logaritmo 
neperiano é ln (4) = 1, 386 294 361 119 .... e considerando 6 casas decimais, tem-
se ln (4) = 1,386294 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) =
−2 . 𝑒1,386294 . 𝑥 
 
 
9 
g) Na equação exponencial 𝑓(𝑥) = 50 . 10𝑥 tem-se b = 10 e logaritmo neperiano 
é ln (10) = 2,302 585 092 994 .... e considerando 6 casas decimais, tem-se ln (10) = 
2,302 585 que é utilizado na equação resultando: 𝑓(𝑥) = 50 . 𝑒2,302585 . 𝑥 
Acesse o material on-line e assista ao vídeo do professor Ricardo sobre funções 
exponenciais! 
 
TEMA 2 – APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
As funções exponenciais têm diversas aplicações em problemas reais. Além dos juros 
compostos, as funções exponenciais são muito comuns em problemas relacionados ao 
crescimento populacional, ao comportamento das frequências das notas musicais 
relativas à escala ocidental, problemas envolvendo oferta e demanda, depreciação, 
meia-vida de uma substância, entre outros. 
Em relação a problemas sobre meia-vida de uma substância, a decomposição ou 
desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão 
exponencial. A chamada meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que 
essa substância reduza a sua massa pela metade. Para exemplificarmos, vamos 
considerar um medicamento de 25 mg que, a cada hora, tem a seguinte concentração: 
f(0) = 25 
f(1) = 12,5 
f(2) = 6,125 
f(3) = 3,0625 
f(4) = 1,53125 
f(5) = 0,78125 
Observe que a meia-vida segue um comportamento exponencial descrito pela 
expressão 
f(x) = a.bx. 
Logo: 
f(x) = 25(1/2)x. 
 
 
10 
O valor de a é 25, pois é o valor da função quando x é igual a zero. A base b é igual a 
½, pois a cada hora a concentração do medicamento é reduzida pela metade. 
Graficamente, temos: 
 
A função é decrescente, pois b = ½, valor que está entre 0 e 1. 
Uma outra aplicação das funções exponenciais consiste no estudo do crescimento da 
população de uma determinada localidade. Como exemplo, vamos considerar o 
crescimento populacional do México. A tabela abaixo apresenta a população do México, 
em milhões de habitantes, de 1980 a 1986. 
 
 Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
 População 67,38 69,13 70,93 72,77 74,66 76,60 78,59 
 
Para verificarmos se o crescimento é exponencial, vamos dividir a população de cada 
ano pela população do ano anterior: 
026,1
milhões 38,67
milhões 13,69
1980 de população
1981 de população
 
026,1
milhões 13,69
milhões 70,93
1981 de população
1982 de população
 
026,1
milhões 70,93
milhões 72,77
1982 de população
1983 de população
 
026,1
milhões 72,77
milhões 74,66
1983 de população
1984 de população
 
 
 
11 
026,1
milhões 74,66
milhões 76,60
1984 de população
1985 de população
 
026,1
milhões 76,60
milhões 78,59
1985 de população
1986 de população
 
O resultado é de 1,026 para todos os valores obtidos a partir da divisão da população 
de um ano pela população do ano anterior. Sendo assim, podemos escrever que 
   ttP 026,138,67 
Onde P é a população e t é o tempo em anos contado a partir de 1980. 
Graficamente, podemos observar o crescimento populacional em relação ao tempo. 
 
A frequência das notas musicais também é um caso onde há um crescimento 
exponencial. A frequência de uma certa nota musical corresponde a 1,0594 vezes a 
frequência da nota musical anterior. Na tabela abaixo estamos considerando as 
frequências das notas musicais a partir de uma nota lá cuja frequência é igual a 220 
Hz. A sigla Hz é utilizada internacionalmente para indicar o número de oscilações a 
cada segundo. O ouvido humano consegue ouvir frequências que variam de 20 Hz a 
20.000 Hz. Quanto maior a frequência, mais agudo é o som. 
 lá 220 Hzlá# 233,0819 Hz 
 si 246,9417 Hz 
 dó 261,6256 Hz 
 dó# 277,1826 Hz 
Crescimento Populacional do México
60,0000
65,0000
70,0000
75,0000
80,0000
1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986
Ano
P
o
p
u
la
ç
ã
o
População
 
 
12 
 ré 293,6648 Hz 
 ré# 311,127 Hz 
 mi 329,6276 Hz 
 fá 349,2282 Hz 
 fá# 369,9944 Hz 
 sol 391,9954 Hz 
 sol# 415,3047 Hz 
 lá 440 Hz 
 
Se dividirmos a frequência de uma nota musical pela frequência da nota anterior, 
podemos verificar que essa razão é sempre igual a 1,0594, uma aproximação com 
quatro casas decimais para a razão 1,059463094... A função exponencial que relaciona 
a frequência das notas musicais é: 
f(x) = 220(1,0594)x, x = 0, 1, 2,... 
O gráfico é: 
 
Uma outra aplicação está relacionada à Biologia. O número de bactérias em um meio 
duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias nesse meio, ao fim de 
10 horas o número de bactérias será igual a quanto? 
Para esse problema, os dados são: 
a = 8 
Frequências de Notas Musicais
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 
 
13 
b = 2 
x = 10 
Logo, 
 
 
 
 
  8192
1024x8
2.8
2.8
.
10





xf
xf
xf
xf
baxf
x
x
 
Portanto, o número de bactérias nesse meio, após 10 horas, é igual a 8.192. 
 
1. Considere o modelo de crescimento exponencial de população 𝑃(𝑡) = 𝑃0 . (1 + 𝑟)
𝑡 
onde 𝑃0 é a população inicial, r é taxa percentual anual expressa em decimais e t é o 
tempo expresso em anos. Escreva como estimar a população para as seguintes 
situações, e faça as previsões para os próximos 3 anos. 
a) População atual de 350.000 habitantes e com taxa de crescimento de 1,25 % 
a.a. 
b) População atual de 128.357 habitantes com taxa de crescimento de 1,45 % a.a. 
c) População atual de 1.453.324 habitantes com taxa de crescimento de 0,7 % a.a. 
d) População atual de 52.350 habitantes com taxa de crescimento de -0,8 % a.a. 
e) População atual de 253.432 habitantes com taxa de crescimento de -1,32 % a.a. 
 
Resolução: 
 
a) População atual de 350.000 habitantes e com taxa de crescimento de 1,25 % 
a.a. Tem-se 𝑷𝟎 = 350.000, e 𝒓 =
1,25
100
= 0,0125 que substituindo na fórmula 
𝑷(𝒕) = 𝑷𝟎 . (𝟏 + 𝒓)
𝒕 resulta 𝑷(𝒕) = 𝟑𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝒕 =
𝟑𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏, 𝟎𝟏𝟐𝟓𝐭 . Para as previsões para os próximos 3 anos deve-se substituir 
os valores 1 na posição da variável t (para o ano 2016 que é um ano além do atual 
considerado 2015) resultando em: 
𝑃(1 = 𝑎𝑛𝑜 2016) = 350 000 . 1,0125 = 354 375 
E o valor 2 para o ano de 2017 resultando: 
 
 
14 
𝑃(2) = 350 000 . 1,01252 = 358 804 ,6875 . 
Este valor deve ser arredondado pois a quantidade de pessoas é um valor inteiro 
resultando 358 805 pessoas. Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável 
t, resultando 𝑃(3) = 350 000 . 1,01253 = 363 290 , 0625 que deve ser 
arredondado para 363 290 habitantes. 
 Ano População 
 2016 354 375 
 2017 358 805 
 2018 363 290 
b) População atual de 128.357 habitantes com taxa de crescimento de 1,45 % a.a. 
Tem-se 𝑷𝟎 = 128.357 , e 𝒓 =
1,45
100
= 0,0145 que substituindo na fórmula 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 . (𝟏 + 𝒓)
𝒕 resulta 𝑷(𝒕) = 𝟏𝟐𝟖 𝟑𝟓𝟕 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝟓)𝒕 =
𝟏𝟐𝟖 𝟑𝟓𝟕 . 𝟏, 𝟎𝟏𝟒𝟓𝐭 . Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 
𝑃(1 = 𝑎𝑛𝑜 2016) = 128 357 . 1,0145 = 130 218,1765 , que arredondado 
resulta 130 218. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 𝑃(2) =
128 357 . 1,01452 = 132 106,3400 com arredondamento para 132.106 
habitantes. Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável t, resultando 𝑃(3) =
128 357 . 1,01453 = 134 021,8819 que deve ser arredondado para 134.022 
habitantes. 
 Ano População 
 2016 130 218 
 2017 132 106 
 2018 134 022 
 
 
c) População atual de 1.453.324 habitantes com taxa de crescimento de 0,7 % a.a. 
Tem-se 𝑷𝟎 = 1.453.324 , e 𝒓 =
0,7
100
= 0,007 que substituindo na fórmula 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 . (𝟏 + 𝒓)
𝒕 resulta : 
𝑷(𝒕) = 𝟏 𝟒𝟓𝟑 𝟑𝟐𝟒 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕)𝒕 = 𝟏 𝟒𝟓𝟑 𝟑𝟐𝟒 . 𝟏, 𝟎𝟎𝟕𝐭 . Para as previsões 
para os próximos 3 anos resulta em 𝑃(1) = 1 453 324 . 1,007 = 1 463 497,268 , 
que arredondado resulta 1 463 497. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 𝑃(2) =
 
 
15 
1 453 324 . 1,0072 = 1 473 741,7488 com arredondamento para 1 473 742 . 
Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável t, resultando 𝑃(3) =
1 453 324 . 1,0073 = 1 484 054,9411 arredondado p/ 1 484 055 habitantes. 
 Ano População 
 2016 1 463 497 
 2017 1 473 742 
 2018 1 484 055 
 
d) População atual de 52.350 habitantes com taxa de crescimento de -0,8 % a.a. 
Tem-se 𝑷𝟎 = 52.350 , e 𝒓 =
−0,8
100
= −0,008 que substituindo na fórmula 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 . (𝟏 + 𝒓)
𝒕 resulta 𝑷(𝒕) = 𝟓𝟐 𝟑𝟓𝟎 . (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟖)𝒕 = 𝟓𝟐 𝟑𝟓𝟎 . 𝟎, 𝟗𝟗𝟐𝐭 . 
Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 𝑃(1) = 52 350 . 0,998 =
 51 931 ,2, que arredondado resulta 51 931. O valor 2 para o ano de 2017 resultando 
𝑃(2) = 52 350 . 0,9922 = 51 515, 7504 com arredondamento para 51 516 . 
Para o ano de 2018 utiliza-se o valor 3 para a variável t, resultando 𝑃(3) =
52 350 . 0,9923 = 51 103,6243 … e deve ser arredondado para 51 104 
habitantes. 
 Ano População 
 2016 51 931 
 2017 51 516 
 2018 51 104 
 
e) População atual de 253.432 habitantes com taxa de crescimento de -1,32 % a.a. 
Tem-se 𝑷𝟎 = 253 432 , e 𝒓 =
−1,32
100
= −0,0132 que substituindo na fórmula 𝑷(𝒕) =
𝑷𝟎 . (𝟏 + 𝒓)
𝒕 resulta 𝑷(𝒕) = 𝟐𝟓𝟑 𝟒𝟑𝟐 . (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟑𝟐)𝒕 =
𝟐𝟓𝟑 𝟒𝟑𝟐 . 𝟎, 𝟗𝟖𝟔𝟖𝐭 . Para as previsões para os próximos 3 anos resulta em 
𝑃(1) = 253 432 . 0,9868 = 250 086,6976 que arredondado resulta 250 087 
habitantes. O valor 2 para o ano de 2017 resulta 𝑃(2) = 253 432 . 0.98682 =
246 785,5531 com arredondamento para 246 786 habitantes. Para o ano de 2018, 
 
 
16 
utiliza-se o valor 3 para a variável t, resultando 𝑃(3) = 253 432 . 0,98683 =
243 527, 9838 que deve ser arredondado para 243 528 habitantes. 
 Ano População 
 2016 250 087 
 2017 246 786 
 2018 243 8 
 
2. Escreva as funções exponenciais que satisfazem as condições dadas: 
a) Valor inicial = 10, crescente, com taxa de 15% a.a. 
b) Valor inicial = 55, crescente, com taxa de 2,5% a.m. 
c) Valor inicial =23 437, decrescente, com taxa de 1,4% a.a. 
d) Valor inicial = 250 mg, decrescente, com taxa de 10% a hora. 
e) Valor inicial de massa de 2,4 g, dobrando o valor a cada 5 dias. 
f) Valor inicial de massa de 35 g, reduzindo a metade a cada 3 dias 
g) Valor inicial de massa de 50 g, reduzindo a metade a cada 10 dias. 
 
Resolução: Algumas informações importantes: 
 O valor inicial sempre aparecerá na expressão de definição da função como a 
constante multiplicativa. 
 Se for um processo crescente, deve-se usar o sinal positivo após o 1 da fórmula, 
em caso de processo decrescente usar sinal negativo. 
 A taxa é sempre escrita na forma decimal, e não usando percentuais. Dobrar o 
valor significa aumento de 100% ou 100/100 = 1 
 
 Períodos diferentes de 1 ano, 1 mês, 1 dia ou 1 hora, irão modificar o expoente 
que será sempre dividido pela quantidade não unitária. 
a) 𝑓(𝑡) = 10 . (1 +
15
100
)
𝑡
= 10 . 1,15𝑡 a.a. 
b) 𝑓(𝑡) = 55 . (1 +
2,5
100
)
𝑡
= 55 . 1,025𝑡 a.m. 
c) 𝑓(𝑡) = 23437 . (1 −
1,4
100
)
𝑡
= 23437 . 0,986𝑡 a.a. 
d) 𝑓(𝑡) = 250 . (1 −
10
100
)
𝑡
= 250 . 0,9𝑡 a.h. 
 
 
17 
e) 𝑓(𝑡) = 2,4 . (1 + 1)
𝑡
5 = 2,4 . 2
𝑡
5 em dias 
f) 𝑓(𝑡) = 35 . (1 −
1
2
)
𝑡
3
= 35 . 0,5
𝑡
3 em dias 
g) 𝑓(𝑡) = 50 . (1 −
1
2
)
𝑡
10
= 50 . 0,5
𝑡
10 em dias. 
No vídeo disponível no material on-line, o professor Ricardo nos apresenta algumas 
aplicações das funções exponenciais. 
 
TEMA 3 – O NÚMERO “E” 
Vamos agora falar sobre um importante número descoberto pelo matemático suíço 
Leonard Euler. Esse número, chamado de número de Euler, é representado pela letra 
“e” e vale, aproximadamente, 2,718281828459045... Usualmente fazemos e=2,72. 
Vamos assistir ao seguinte vídeo sobre o número “e”: 
https://www.youtube.com/watch?v=_z9Jpw9FtLk&index=73&list=PLf4asln_6hSeN868
g8mXhAAQfQV6L1nsc. Acesso em: 2 set. 2019. 
Para encontrarmos o valor de e, utilizamos a expressão 
n
n







1
1 . Quanto maior for o 
valor de n, mais próximo de 2,718281828459045... está o valor de 
n
n







1
1 . 
A tabela a seguir apresenta alguns desses valores. 
 n 1 2 5 10 100 1000 10000 100000 
 
n
n







1
1 2 2 2,25 2,4883 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7183 
8459045...2,71828182
1
1lim 







n
x n
e 
Abaixo, temos o gráfico da função   xexf  . 
 
 
18 
 
Fazendo uma análise do comportamento da função   xexf  , temos as seguintes 
informações: 
Domínio: R 
Imagem: (0,  ) 
Contínua 
Crescente 
Não é simétrica 
Limitada inferiormente 
Assíntota horizontal: y=0 
0lim 
x
 e 
x
lim 
 
O número e é muito importante no estudo do crescimento ou do decaimento 
exponencial onde a base dessas funções é esse número de Euler. 
O crescimento exponencial é dado por: 
  kteQtQ 0 
Onde k é uma constante positiva e Q0 é o valor inicial Q(0). 
Vamos acompanhar a resolução de um exemplo relacionado ao crescimento 
exponencial. 
 
 
19 
A estimativa é que daqui a t anos o número de habitantes de uma determinada cidade 
será de H(t)=3e0,02t milhões. Qual é o número atual de habitantes dessa cidade e qual 
é a estimativa para daqui a 10 anos? Considere e=2,72. 
A população atual é calculada fazendo t=0 e substituindo esse valor na função: 
H(0) = 3x2,720,02x0 
H(0) = 3x1 
H(0) = 3 milhões de habitantes 
Para calcularmos a população daqui a 10 anos, vamos fazer t=10 
H(10) = 3x2,720,02x10 
H(10) = 3x2,720,2 
H(10) = 3x1,221557 
H(10) = 3,664671 milhões de habitantes 
Em relação ao decaimento exponencial, temos uma função exponencial muito parecida 
com a função relativa à do crescimento exponencial, mas com o sinal negativo no 
expoente. 
Antes de apresentarmos um exemplo relacionado a uma aplicação do decaimento 
exponencial, vamos assistir a um vídeo sobre a meia vida do carbono 14. 
https://www.youtube.com/watch?v=9wR9CIDhTdU&index=95&list=PLf4asln_6hSeN86
8g8mXhAAQfQV6L1nsc 
A forma da função que descreve o decaimento exponencial é: 
  kteQtQ  0 
Onde k é uma constante positiva e Q0 é o valor inicial Q(0). 
Como exemplos, temos que a depreciação de um certo equipamento industrial é dado 
em função do tempo pela expressão D(t)=35000e-0,05t. Qual é o valor estimado desse 
equipamento para daqui a 5 anos? Considere e=2,72. 
Para encontrarmos o valor do equipamento daqui a 5 anos, vamos substituir a variável 
t por 5. 
 
 
20 
D(5) = 35000x2,72-0,05x5 
D(5) = 35000x2,72-0,25 
D(5) = 35000x0,778677766 
D(5) = 27.253,72 
Nesse caso, o valor do equipamento com 5 anos de uso, em virtude da depreciação, é 
igual a R$ 27.253,72. 
Considere que em uma população de bactérias em uma amostra, a equação que 
expressa o desenvolvimento é dada por 𝑓(𝑡) = 200 . 𝑒0,5𝑡 onde t é expresso em 
horas. 
a) Qual a população inicial de bactérias? 
b) Faça uma estimativa da população de bactérias a cada hora, para um período de 6 
horas. 
Resolução: 
 
a) A população inicial de bactérias na amostra é obtida fazendo t = 0 na equação 
de definição da função, resultando 𝑓(0) = 200 . 𝑒0,5 .0 = 200 . 𝑒0 = 200 . 1 =
200 bactérias. 
b) Para realizar a estimativa da população de bactérias, deve-se substituir o valor 
da variável t por 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , e 6 correspondente a cada hora após o início da 
observação, resultando na forma de tabela: 
Tempo 
(em horas) 
C ál Cálculo usado 
( (e ≅ 2,7182) 
 População de bactérias 
1 1 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟏 329,73 ≅ 330 
2 2 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟐 543,64 ≅ 544 
3 3 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟑 896,29 ≅ 896 
4 4 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟒 1477,72 ≅ 1478 
5 5 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟓 2436,31 ≅ 2436 
6 6 𝟐𝟎𝟎 . 𝒆𝟎,𝟓 . 𝟔 4016,74 ≅ 4017 
 
 
 
21 
Para entendermos melhor o que é o número e as respectivas aplicações, vamos assistir 
ao vídeo do professor Ricardo acessando o material on-line! 
TEMA 4 – FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
Vamos agora estudar as funções logarítmicas. A função logarítmica é o inverso da 
função exponencial. 
Antes e aprendermos mais sobre as funções logarítmicas, vamos assistir a três vídeos 
sobre logaritmos. 
O primeiro é um vídeo sobre decaimento exponencial e logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=mg_WijrTV8Q&index=97&list=PLf4asln_6hSeN868
g8mXhAAQfQV6L1nsc 
O segundo vídeo é muito interessante e nos mostra aspectos importantes dos 
logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=tQe4Jz3pBlk&index=2&list=PLf4asln_6hSeN868g8
mXhAAQfQV6L1nsc 
O terceiro vídeo relaciona as frequências das notas musicais com os logaritmos. 
https://www.youtube.com/watch?v=FhE2YScQbVY&index=74&list=PLf4asln_6hSeN8
68g8mXhAAQfQV6L1nsc 
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada 
função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo 
conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos reais. 
Podemos dizer também que o logaritmo é o expoente de uma potência. É possível 
afirmar que: 
logax=y se e somente se ay=x. 
Por exemplo, temos 
a) log39=2, pois 32=9 
b) log71=0, pois 70=1 
c) log1010=1, pois 101=10 
 
 
22 
Obs.: log10x = log x. Nesse caso podemos escrever, por exemplo, log10100 como log 
100, que é igual a 2, pois 102 é igual a 100. Temos também o logaritmo natural logex = 
ln x onde a base é o número e. 
Podemos observar facilmente o comportamento da função logarítmica em comparação 
com a função exponencial. 
 
Observe que as duas funções são simétricas em relação à reta y=x. 
O vídeo a seguir se refere aos logaritmos decimais. 
https://www.youtube.com/watch?v=1FBXDtMclR8&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCbapDQ 
Algumas propriedades dos logaritmos são importantes e podem ser muito úteis na 
resolução de problemas que envolvem logaritmos. 
 
PnP
QP
Q
P
QPPQ
a
n
a
aaa
aaa
loglog
logloglog
logloglog








 
Uma outra relação bastante útil é a mudança de base, dada por 
b
x
x
a
a
b
log
log
log  
A mudança de base possibilita escrevermos um dado logaritmo em uma base 
conveniente. Por exemplo, podemos escrever o logaritmo de 3 na base 2 como sendo 
o quociente dos logaritmos de 3 e de 2, ambos na base 10, ou seja 
 
 
23 
2log
3log
3log 2  . 
1. Reescreva as expressões dadas, utilizando as propriedades de logaritmos. 
a) 𝑙𝑜𝑔 4𝑥 
b) 𝑙𝑛 
𝑥
3
 
c) 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 
d) 𝑙𝑜𝑔 √𝑥 
e) 𝑙𝑜𝑔 √2𝑥
3
 
 
Resolução: 
a) Na expressão 𝑙𝑜𝑔 4𝑥 nota-se que ocorre um produto no logaritmando, ou seja, 
4 . x, podendo ser reescrito com emprego da propriedade relativa ao logaritmo de 
um produto ser igual à soma dos logaritmos de cada termo, resultando 
log 4𝑥 = log 4 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥. 
b) Na expressão 𝑙𝑛 
𝑥
3
 ocorre o logaritmo para uma divisão que pode ser reescrito 
como a subtração entre os logaritmos, resultando 𝑙𝑛 
𝑥
3
= 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛 3 
c) Na expressão 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 tem-se o logaritmo de uma potência que pode ser 
reescrito como o expoente multiplicando o logaritmo da base, resultando 𝑙𝑜𝑔 𝑥3 =
3 . 𝑙𝑜𝑔 𝑥 
d) Na expressão 𝑙𝑜𝑔 √𝑥 é possível reescrever o logaritmando utilizando uma 
potência tal como 𝑙𝑜𝑔 √𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥
1
2 que pode ser reescrito como 𝑙𝑜𝑔 √𝑥 =
𝑙𝑜𝑔 𝑥
1
2 =
1
2
𝑙𝑜𝑔 𝑥 
e) Para 𝑙𝑜𝑔 √2𝑥
3
 pode-se reescrever: 
𝑙𝑜𝑔 √2𝑥
3
= 𝑙𝑜𝑔 (2𝑥)
1
3 =
1
3
 . 𝑙𝑜𝑔 2𝑥 =
1
3
. (𝑙𝑜𝑔 2 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥) =
1
3
log 2 +
1
3
log 𝑥 
 
2. Transforme as expressões dadas, para logaritmos na base 10. 
a) log4 3 
 
 
24 
b) log2 5 
c) ln 4 
d) log3 6𝑥 
 
Resolução: 
a) A expressão 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟑 pode ser transformada para 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟑 =
log 3
log 4
 cujos valores 
numéricos podem ser obtidos por uma calculadora como sendo log 3 =
0,477 121 254 719 …. e log 4 = 0,602 059 991 327 …. Realizando-se a divisão 
tem-se: 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝟑 =
log 3
log 4
=
0,477 121 254 719
0,602 059 991 327
= 0,792 481 250 360 para o resultado. 
b) Na expressão 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 mudando para a base 10 de logaritmos, tem-se 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 =
log 5
log 2
 e utilizando os valores log 5 = 0,698 970 004 336 e log 2 =
0,301 029 995 663 resulta 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝟓 =
log 5
log 2
 =
0,698 970 004 336
0,301 029 995 663
=
2,321 928 094 887 para o resultado. 
c) Na expressão 𝐥𝐧 𝟒 a base dos logaritmos é a base “e”, cujo valor é 2,718 281 
828 959 ... resultando para a transformação 𝐥𝐧 𝟒 =
log 4 
log 2,718 281 828 959 
=
 
0,602 059 991 327
0,434 294 481 983
= 1,386 294 
d) Na expressão 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟔𝒙 somente podemos empregar a propriedade de mudança 
de base. O resultando envolve a variável x, tal que 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟔𝒙 =
log 6𝑥
log 3
=
log 6𝑥
0,477 121 254 719
 
3. Transforme as expressões dadas para logaritmos na base natural (ln) 
a) log 6 
b) log3 8 
c) log3 16 
 
Resolução: 
a) Reescrevendo vem: log 6 =
𝑙𝑛 6
𝑙𝑛 10
 
 
 
25 
b) Reescrevendo tem-se log3 8 =
𝑙𝑛 8
𝑙𝑛 3
 
c) Reescrevendo log3 16 =
𝑙𝑛 16
𝑙𝑛3
 
 
4. Resolva as equações, determinando o valor das incógnitas. 
a) 27. (
1
3
)
𝑥
4
= 3 
b) 16. (
1
2
)
𝑥
3
= 1 
c) 3 . 43𝑥 = 96 
d) 5 . 3
𝑥
4 = 45 
e) 4 . 5
2𝑥
3 = 36 
f) 5 + 2 . 𝑒𝑥 = 9 
g) 4 − 3. 𝑒−𝑥 = 2 
h) 1,832𝑥−1 = 4,2 
i) 4 . ln(𝑥 − 2 ) = 1,2 
j) 3 − log(𝑥 + 4) = 1 
k) ln(𝑥 + 1) − ln(5) = 0 
l) ln(𝑥 + 1) + ln(5) = 0 
m) 2 . log(𝑥) − log(49) = 0 
 
Resolução: 
a) Para a equação 27. (
1
3
)
𝑥
4
= 3 deve-se isolar o valor da variável x, inicialmente 
passando o 27 que está no lado esquerdo (multiplicando), para o lado direito (dividindo), 
o que resulta (
1
3
)
𝑥
4
=
3
27
=
1
9
=
1
32
= (
1
3
)
2
 e comparando as bases no lado esquerdo 
e no lado direito da igualdade observa-se os mesmos valores (no caso 1/3). Se as bases 
são iguais, os expoentes também são iguais resultando 
𝑥
4
= 2 e isolando o x (mediante 
passar o 4 que está no lado esquerdo (dividindo) para o lado direito (multiplicando)) 
resulta 𝑥 = 4.2 = 8 para o valor da incógnita. 
 
 
26 
Na equação 16. (
1
2
)
𝑥
3
= 1 passamos o 16 para o lado direito da igualdade, resultando 
(
1
2
)
𝑥
3
=
1
16
=
1
24
= (
1
2
)
4
 e observamos que as bases são iguais de forma que os 
expoentes também devem ser iguais, resultando 
𝑥
3
= 4 e passando o 3 para o lado 
direito da igualdade temos 𝑥 = 3 . 4 = 12 como solução. 
b) Para a equação 3 . 43𝑥 = 96 deve-se passar o 3 do lado esquerdo para o 
lado direito da igualdade resultando: 43𝑥 =
96
3
= 32 = 25 . As bases são diferentes 
pois no lado esquerdo temos base 4 e no lado direito temos base 2. Reescrevendo 
como base 2 o lado esquerdo da igualdade vem: (4)3𝑥 = (22)3𝑥 = 26𝑥 e 
reescrevendo a equação tem-se 26𝑥 = 25. Observando as bases são iguais, e pode-
se igualar os expoentes de forma a ter 6𝑥 = 5 ou 𝑥 =
5
6
 para a solução. 
c) Na equação 5 . 3
𝑥
4 = 45 deixando somente a exponencial no lado esquerdo 
tem-se 3
𝑥
4 =
45
5
= 9 = 32 . Tem-se bases iguais e os expoentes devem ser iguais, 
resultando 
𝑥
4
= 2 ou 𝑥 = 4 . 2 = 8 para a solução. 
d) Na equação 4 . 5
2𝑥
3 = 36 emprega-se processo para isolar a variável x, de 
forma a obter 5
2𝑥
3 =
36
4
= 9 que não pode ser reescrito usando mesmas bases. Tem-
se a equação 5
2𝑥
3 = 9 para ser resolvida, e aplicando logaritmos nos dois lados da 
igualdade (usando a base natural, ou seja logaritmo neperiano) vem 
resultando ln( 5
2𝑥
3 ) = ln (9) com solução obtida pela aplicação da propriedade de 
logaritmos, ou seja log𝑎 𝑅
𝑏 = 𝑏 . log𝑎 𝑅 , resultando 
2𝑥
3
. ln(5) = ln (9). Passando 
o ln (5) para o lado direito vem 
2𝑥
3
=
ln(9)
ln(5)
=
2,197 224 577 336
1,609 437 912 434
= 1,365 212 388 971. 
Enfim o valor da incógnita é dado por: 
2𝑥
3
= 1,365 212 ou 𝑥 =
3 .1,365 212
2
 que resulta 
 𝑥 = 2,047 818 
e) Na equação 5 + 2 . 𝑒𝑥 = 9 isolando o termo com exponencial no lado esquerdo 
resulta 2. 𝑒𝑥 = 9 − 5 = 4 ou 𝑒𝑥 =
4
2
= 2 e aplicando logaritmo neperiano (base 
natural) em ambos os lados da igualdade vem: ln(𝑒𝑥) = ln (2) . No lado esquerdo 
 
 
27 
usando a propriedade relativa a potência em logaritmos resulta: 𝑥. ln(𝑒) = 𝑥 . 1 = 𝑥. 
Então 𝑥 = ln(2) = 0,693 147 para a solução. 
f) Para a equação 4 − 3. 𝑒−𝑥 = 2 buscando isolar a exponencial vem −3. 𝑒−𝑥 =
2 − 4 = −2 ou simplesmente 3. 𝑒−𝑥 = 2 ou ainda 𝑒−𝑥 =
2
3
 . Aplicando logaritmo 
natural nos dois lados da igualdade resulta −𝑥 . ln(𝑒) = ln (
2
3
) ou −𝑥 =
 −0,405 461 …. E finalmente 𝑥 = 0,405 461 .. como solução. 
g) Aplicando logaritmo nos dois lados da igualdade 1,832𝑥−1 = 4,2 resulta ln( 
1,832𝑥−1) = ln (4,2). No lado esquerdo utiliza-se a propriedade relativa a potência em 
logaritmos resultando (2𝑥 − 1). ln(1,83) = ln(4,2). Deixando o fator (2𝑥 − 1) 
isolado no lado esquerdo da igualdade vem: 2𝑥 − 1 =
ln(4,2)
ln(1,83)
=
1,435 084…
0,604 315…
=
2,374 725 … e buscando isolar a incógnita x vem 2𝑥 = 1 + 2,374 725 … =
3,374 725 … e finalmente 𝑥 =
3,374 725…
2
= 1,687 362 … 
h) Na equação 4 . ln(𝑥 − 2 ) = 1,2 inicia-se a resolução passando o 4 para o lado 
direito em processo de divisão obtendo ln(𝑥 − 2) =
1,2
4
= 0,3. Aplicando exponencial 
nos dois lados da igualdade vem: 𝑒ln(𝑥−2) = 𝑒0,3 No lado esquerdo pode-se aplicar a 
propriedade relativa a exponencial 𝑒ln(𝑎) = 𝑎 e no lado direito da igualdade faz-se o 
cálculo 𝑒0,3 = 1,349858 … Tem-se 𝑥 − 2 = 1,349858 … e passando o 2 para o lado 
direito em processo de soma resulta 𝑥 = 3,349858 … para a incógnita. 
i) Isolando o termo que envolve logaritmo na expressão 3 − log(𝑥 + 4) = 1 
resulta − log(𝑥 + 4) = 1 − 3 = −2 Os sinais podem ser invertidosnos dois lados da 
igualdade (multiplicando por -1), resulta log(𝑥 + 4) = 2 e usando a transformação 
para exponencial vem: 𝑥 + 4 = 102 = 100 de forma que resulta 𝑥 = 100 − 4 =
96 para a solução. 
j) Neste caso os termos envolvem logaritmos de mesma base ln(𝑥 + 1) −
ln(5) = 0 e pode-se passar um deles para o lado direito do sinal de igualdade, 
resultando ln(𝑥 + 1) = ln(5) nesta situação como os logaritmos são iguais, os 
logaritmandos também são iguais, resultando 𝑥 + 1 = 5 ou 𝑥 = 5 − 1 ou ainda 𝑥 =
4 para a solução. 
 
 
28 
k) Para a solução de ln(𝑥 + 1) + ln(5) = 0 observa-se que todos os termos 
envolvem logaritmos de mesma base (base “e” ou natural). Passando um dos termos 
para o lado direito da igualdade, vem ln(𝑥 + 1) = −ln (5) No lado direito surge um 
sinal negativo que deve ser modificado utilizando a propriedade de logaritmo de 
potência 𝑎 . ln(𝑥) = ln(𝑥𝑎) resultando para o lado direito ln(5−1) = ln (
1
5
) Fazendo 
a substituição dos valores obtidos tem-se ln(𝑥 + 1) = ln (
1
5
) e igualando os 
logaritmandos vem: 𝑥 + 1 =
1
5
 e isolando x, resulta 𝑥 =
1
5
− 1 = −
4
5
 para o valor da 
incógnita. 
l) Para a equação 2 . log(𝑥) − log(49) = 0 passamos o segundo termo para o 
lado direito do sinal da igualdade resultando 2. log(𝑥) = log (49) . No lado esquerdo 
deve-se usar a propriedade relativa a potência de logaritmos resultando log(𝑥2) =
log (49) . Considerando que os logaritmandos sejam iguais tem-se 𝑥2 = 49 que 
resultaria dois valores para x, ou seja 𝑥 = 7 e 𝑥 = −7. Considerando que somente 
existem logaritmos de números positivos, deve-se excluir uma das respostas, restando 
apenas 𝑥 = 7 para a solução da equação. 
Para consolidarmos o que aprendemos até aqui, vamos assistir à aula do professor 
Ricardo no material on-line! 
APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
Diversos problemas do nosso cotidiano podem ser resolvidos com o uso de logaritmos. 
O vídeo a seguir nos mostra alguns casos. 
https://www.youtube.com/watch?v=S39UT49IP0Q&list=UUWhuro_dMp3wVDloVCbap
DQ 
Um exemplo da utilização dos logaritmos consiste em determinarmos o tempo referente 
a uma aplicação financeira ou o tempo necessário para que os preços de determinados 
produtos atinjam um certo valor. O exemplo a seguir nos mostra isso. 
Em uma época de inflação média de 6,5% ao ano, em quanto tempo os produtos 
dobram o preço? 
 
 
29 
Inicialmente precisamos determinar qual é a expressão que relaciona o tempo com a 
taxa de juros compostos, o capital e o montante. A partir da fórmula  niCM  1 vamos 
isolar o n. Inicialmente vamos dividir ambos os membros por C. 
 ni
C
M
 1 
Como o objetivo é isolarmos a variável n, podemos aplicar o logaritmo decimal nos dois 
membros, 
 ni
C
M
 1loglog 
Aplicando agora a propriedade PnP a
n
a loglog  , temos 
 in
C
M






1loglog 
Vamos, agora, dividir os dois membros por  i1log . 
 
n
i
C
M








1log
log
 
Ou, equivalentemente, 
 i
C
M
n








1log
log
 
Essa é a fórmula que relaciona o tempo com a taxa de juros compostos, com o capital 
e com o montante. 
Como nesse problema não foi informado o valor de qualquer um dos produtos, 
podemos considerar um valor qualquer para o capital. Vamos considerar, então, C = 
R$ 100,00 e, é claro, M = R$ 200,00, pois o problema quer saber em quanto tempo, a 
uma taxa composta de 6,5% ao ano, os preços dobram de valor. 
Logo, os dados do problema são: 
C = R$ 100,00 
M = R$ 200,00 
 
 
30 
i = 6,5% a.a. = 0,065 
Substituindo os respectivos termos na fórmula: 
 i
C
M
n








1log
log
 
Temos: 
 065,01log
100
200
log







n 
 
 065,1log
2log
n 
70273496077,0
63010299956,0
n 
11n 
Nesse caso, em 11 anos, os preços dobram de valor. 
 
Uma fatura no valor de R$ 13.450,00 foi paga antecipadamente gerando um desconto. 
Em decorrência do desconto, o valor pago foi de R$ 12.927,72. Sabendo que a taxa 
mensal composta utilizada para o cálculo do desconto foi de 2%, qual foi o prazo de 
antecipação? 
 
Resolução: 
C = R$ 12.927,72 
M = R$ 13.450,00 
i = 2% a.m. = 0,02 
Substituindo os valores na fórmula 
 
 
31 
 i
C
M
n








1log
log
 
Temos: 
 02,01log
72,12927
13450
log







n 
 
 02,1log
040400009,1log
n 
008600172,0
017200347,0
n 
2n 
Portanto, o prazo de antecipação foi de 2 meses. 
Para mais explicações, assista ao vídeo do professor Ricardo acessando o material on-
line! 
NA PRÁTICA 
Demonstre que, se uma dívida inicial corresponde a R$ 1.500,00, após 12 meses a 
uma taxa de juros de 12% ao mês o montante (valor inicial mais juros cobrados) será 
de R$ 5.843,96. 
Para calcularmos o montante, vamos utilizar a fórmula M=C (1+i)n, onde: 
C = 1500, i = 0,12 (12%=12/100=0,12) e n=12. 
M=C(1+i)n 
M=1500(1+0,12)12 
M=1500(1,12)12 
M=1500(1+0,12)12 
M=1500(3,89597599) 
M=5843,96 
Logo, o total a ser pago é de R$ 5.843,96. 
 
 
 
32 
SÍNTESE 
Chegamos ao final da aula! 
Esperamos que você tenha aprendido bastante sobre os temas abordados aqui. Nessa 
aula falamos sobre funções exponenciais e sobre funções logarítmicas. Aprendemos 
também sobre o número “e” e sobre diversas aplicações incluindo crescimento e 
decrescimento exponencial. 
Para saber mais, é importante a leitura dos capítulos 11 e 12 da obra Pré-Cálculo dos 
autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a 
edição, editora Pearson. 
Até a próxima! 
 
 
 
 
33 
REFERÊNCIA 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2a Ed, São 
Paulo, Pearson, 2013.