Resumo de conjuntos

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CÁLCULO
pré-cálculo
CONJUNTOS
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS
um conjunto é a reunião de elementos que
têm características comuns.
● notação
○ nome do conjunto em letra
maiúscula.
○ elementos em letra minúscula.
■ exceto quando são
números ou palavras.
○ coloque entre chave os elementos,
separando cada elemento com
vírgulas.
● representação por extenso
𝐴 = {𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙 𝑑𝑜 𝑅𝐽}
● representação por enumeração
𝐴 = {𝐹𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑔𝑜, 𝐹𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑒𝑛𝑠𝑒, 𝑉𝑎𝑠𝑐𝑜, 𝐵𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑜𝑔𝑜}
● representação diagrama de venn
● conjuntos finitos
○ possuem uma quantidade finita de
elementos.
● conjuntos infinitos
○ possuem uma quantidade infinita
de elementos.
● conjuntos unitários
○ possuem apenas um elemento.
● conjuntos vazios
○ não possuem elementos e são
representados por ou .{} ∅
○ é subconjunto de qualquer
conjunto.
● : pertence∈
○ usamos para ver se um elemento
pertence a um conjunto.
● : está contido⊂
○ usamos para ver se um conjunto
está contido em outro conjunto, ou
seja, se é subconjunto de um
conjunto.
● : contém⊃
○ usamos para ver se um conjunto
contém um subconjunto.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
coloque apenas uma vez cada elemento,
mesmo que apareçam mais vezes.
● união∪:
○ quando falamos de ou, estamos
falando de união.
○ a região escura do diagrama
representa a união.
● interseção∩:
○ quando falamos de e, estamos
falando de interseção.
○ a região escura do diagrama
representa a interseção, ou seja, os
elementos em comum.
■ se não tiverem elementos
em comum, dizemos que
são disjuntos e
representamos como
conjunto vazio.
● diferença de conjuntos− 𝑜𝑢 \:
@raysantori 1
CÁLCULO
○ quando falamos de restrição,
temos uma diferença de conjuntos,
ou seja, eu pego tudo o que tem
em e tiro aquilo que está em𝐴 𝐵
também.
○ a região escura representa a
diferença dos conjuntos.
● complementar𝐴𝐶:
ou
○ quando falamos de diferença de
conjuntos também estamos
falando de complementar, ou seja,
tudo aquilo que não é o .𝐴
● número de elementos de um conjunto
● cardinalidade
○ são os números de elementos de
um conjunto.
○ representação:
.𝑛(𝐴) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = #𝐴
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
● propriedades de união e interseção
○ comutativa
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
○ associativa
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
○ distributiva
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
○ se está contido em𝐴 𝐵(𝐴 ⊂ 𝐶)
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
(𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐶) ⊂ (𝐵 ∩ 𝐶)
○ lei de morgan
(𝐴 ∪ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶
(𝐴 ∩ 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 ∪ 𝐵𝐶
CONJUNTOS NUMÉRICOS
● conjunto dos números naturaisℕ:
○ são os números maiores ou iguais
a zero.
○ são números inteiros.
● conjunto dos números inteirosℤ:
○ podem ser negativos, neutros ou
positivos.
● conjunto dos números racionaisℚ:
○ frações são números racionais.
○ a dízima periódica é racional, pois
podemos passar ela na forma de
fração.
● conjuntos dos números irracionais𝕀:
○ números infinitos e dízimas não
periódicas são irracionais.
○ a soma ou a diferença de dois
irracionais sempre vai resultar em
um número irracional, o mesmo
vale para a multiplicação de um
racional por um irracional.
● conjunto dos números reaisℝ:
○ é a união entre os racionais e os
irracionais, ou seja, todos os
conjuntos.
● notações
○ reais negativos.ℝ
−
:
○ reais não nulos.ℝ*:
○ reais positivos.ℝ
+
:
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CÁLCULO
● notações de conjuntos
{𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 | 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠
INTERVALOS
intervalos são conjuntos que podemos
representar em uma reta real, mesmo que todos
os números não apareçam na reta eles existem.
● intervalo fechado
○ quando aparece o sinal de igual ou
colchetes fechados.
■ ≤ 𝑜𝑢 ≥, [ 𝑜𝑢 ]
○ esse conjunto vai guardar todos os
números dentro do intervalo, ou
seja bolinha fechada, isto é,
estamos incluindo os dois
extremos.
● intervalo aberto
○ quando aparece o sinal de
desigualdade ou colchetes abertos.
■ < 𝑜𝑢 >, ] 𝑜𝑢 [
○ esse conjunto vai representar
todos os números que estão entre
eles, ou seja bolinha aberta, isto é,
não estamos incluindo os dois
extremos.
● lidando com nos intervalos± ∞
○ toda vez que lidamos com infinitos
no intervalos, o intervalo tem que
ser aberto neles.
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