Projeto de Caixa de Marcha para Veículos Leves

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PROJETO DE CAIXA DE MARCHA PARA VEÍCULOS LEVES 
 
 
Matheus Costa dos Santos 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de 
Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como 
parte dos requisitos necessários à obtenção do 
título de Engenheiro. 
 
Orientador: 
Prof. Sylvio José Ribeiro de Oliveira; Dr.Ing. 
 
 
 
Rio de Janeiro 
Setembro de 2018 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
DEM/POLITÉCNICA/UFRJ 
 
 
PROJETO DE CAIXA DE MARCHA PARA VEÍCULOS LEVES 
 
Matheus Costa dos Santos 
 
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE 
ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO. 
 
Aprovado por: 
 
________________________________________________ 
Prof. Sylvio José Ribeiro de Oliveira; Dr.Ing. 
 
________________________________________________ 
Prof. Fernando Pereira Duda; D.Sc. 
 
________________________________________________ 
Prof. Flávio de Marco Filho; D.Sc. 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL 
SETEMBRO DE 2018
i 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santos, Matheus Costa dos. 
Projeto de Caixa de Marcha para Veículos Leves / 
Matheus Costa dos Santos – Rio de Janeiro: UFRJ / 
ESCOLA POLITÉCNICA, 2018. 
XIII, 125 p.: il.; 29,7 cm 
Orientador: Sylvio José Ribeiro de Oliveira 
Projeto de Graduação – UFRJ / Escola Politécnica / 
Curso de Engenharia Mecânica, 2018. 
Referências Bibliográficas: p. 58-60. 
1. Introdução. 2. Componentes da Transmissão. 3. 
Sistema de Transmissão Proposto. 4. Memória de Cálculo 
para Projeto. 5. Design Construtivo. 6. Conclusões. I. 
Oliveira, Sylvio José Ribeiro de. II. Universidade Federal do 
Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia 
Mecânica. III. Projeto de Caixa de Marcha para Veículos 
Leves. 
ii 
AGRADECIMENTOS 
Agradeço aos meus pais, Angela e Carlos, e a minha irmã Brena por todo o 
suporte e ensinamentos passados todos os dias. Esta conquista é também de vocês. 
Agradeço a minha namorada Patricia, por ter me apoiado durante este processo 
e ter me guiado no caminho certo. Obrigado pela paciência. 
Aos integrantes da equipe Ícarus de Fórmula SAE, especialmente aos colegas 
Bruno Soares, Felipe Alves, Lucas Varella, Pedro Galvão e Valmir Braga, por 
proporcionarem experiências únicas de engenharia. 
Aos meus amigos, de Vitória e do Rio, que me ajudaram a construir esta jornada 
e me acolheram nestas novas cidades. 
Ao professor Sylvio Oliveira, por toda orientação durante este processo. Seus 
ensinamentos serão levados por toda a vida. 
Agradeço também a todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram para a 
minha formação, tanto pessoal quanto acadêmica. Muito obrigado. 
 
iii 
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como parte 
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. 
 
Projeto de Caixa de Marcha para Veículos Leves 
 
Matheus Costa dos Santos 
 
Setembro/2018 
 
Orientador: Sylvio José Ribeiro de Oliveira 
 
 Curso: Engenharia Mecânica 
 
Este trabalho busca abordar o projeto de uma caixa de redução para veículo de 
dois eixos com motorização e tração traseira. O objetivo geral é apresentar cada etapa de 
desenvolvimento e os cálculos associados. 
Os sistemas de transmissão têm papel fundamental no universo da engenharia, 
sobretudo na Mecânica. Meios de transporte, sejam estes motorizados ou não, fazem 
amplo uso deste mecanismo. Este sistema é empregado uma vez que há a necessidade de 
transformação de movimentos, seja em velocidade, direção ou sentido. 
Dentro deste sistema existem uma gama de componentes que podem ser 
empregados. No presente estudo, o projeto será feito com engrenagens helicoidais. 
 
 
 
 
 
 
Palavras-chave: Transmissão de Potência, Caixa de Marcha, Engrenagens Helicoidais, 
Tração Traseira, Torque e Potência. 
iv 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the 
requirements for the degree of Mechanical Engineer. 
 
Gearbox Transmission Project for Light Vehicles 
 
Matheus Costa dos Santos 
 
Setembro/2018 
 
Advisor: Sylvio José Ribeiro de Oliveira 
 
 Course: Mechanical Engineering 
 
This work aims to detail the gearbox transmission project for a two-axle vehicle 
with rear traction and motorization. The general goal is to present the fundamental points 
of design and conception, establishing a calculation memory to be used. 
The transmission systems have a fundamental role in engineering universe, 
especially in Mechanics. In general, mechanical transports have a vast application of this 
mechanism. This system is applied whenever movement transformation is needed. 
Many components make part of this mechanism. The present study makes use of 
helical gears. 
 
 
 
 
 
Keywords: Power Transmission, Gearbox, Helical Gears, Rear Wheel Drive, Power and 
Torque. 
 
 
v 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1 
1.1 Motivação .............................................................................................. 1 
1.2 Objetivo ................................................................................................. 1 
2. COMPONENTES DA TRANSMISSÃO ............................................................... 2 
2.1 Variadores de Velocidade ...................................................................... 2 
2.1.1 Variadores Contínuos de Velocidade ............................................... 2 
2.1.2 Variadores Escalonados de Velocidade ........................................... 2 
2.2 Engrenagens Helicoidais ........................................................................ 3 
2.2.1 Interferência de Pares Engrenados ................................................... 5 
2.3 Eixos e Mancais ..................................................................................... 6 
2.4 Seletores e Sincronizadores ................................................................... 7 
2.5 Diferencial ............................................................................................. 8 
3. SISTEMA DE TRANSMISSÃO PROPOSTO ...................................................... 9 
3.1 Premissas de Projeto .............................................................................. 9 
3.2 Design Construtivo Proposto ............................................................... 10 
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO PARA PROJETO ................................................... 12 
4.1 Seleção das relações de transmissão .................................................... 12 
4.1.1 Resistência ao Movimento da Roda ............................................... 12 
4.1.2 Resistência Aerodinâmica .............................................................. 14 
4.1.3 Gradiente de Rampa ....................................................................... 15 
4.1.4 Inércia à Aceleração ....................................................................... 16 
4.1.5 Cálculo da Relação de Quinta Marcha ........................................... 16 
4.1.6 Cálculo da Relação de Primeira Marcha ........................................ 18 
4.1.7 Cálculo das Relações Intermediárias ............................................. 18 
4.1.8 Parâmetros Finais das Relações de Transmissão ........................... 20 
vi 
4.2 Dimensionamento de Engrenagens ...................................................... 21 
4.2.1 Distância Entre Eixos ..................................................................... 22 
4.2.2 Módulo e Diâmetro Primitivo ........................................................ 22 
4.2.3 Seleção de Material e Cálculo de Extremo .................................... 244.2.4 Fadiga por Flexão........................................................................... 28 
4.2.5 Fadiga por Compressão superficial ................................................ 34 
4.2.6 Dimensões Finais dos Pares Engrenados ....................................... 36 
4.3 Cálculo dos Esforços nos Eixos ........................................................... 36 
4.3.1 Seleção dos Sincronizadores .......................................................... 36 
4.3.2 Eixo motor...................................................................................... 37 
4.3.2.1 Cálculo de Extremo ................................................................. 37 
4.3.2.2 Cálculo de Fadiga .................................................................... 43 
4.3.3 Eixo de Saída ................................................................................. 47 
4.3.3.1 Cálculo de Extremo ................................................................. 47 
4.3.3.2 Cálculo de Fadiga .................................................................... 48 
4.3.4 Cálculo de Estrias........................................................................... 48 
4.4 Seleção de Rolamentos ........................................................................ 49 
4.4.1 Eixo Motor ..................................................................................... 49 
4.4.2 Eixo de Saída ................................................................................. 53 
4.4.3 Eixo Reversor da Ré ...................................................................... 54 
4.5 Seleção de Retentores .......................................................................... 54 
4.6 Seleção de Lubrificação ....................................................................... 54 
5. DESIGN CONSTRUTIVO .................................................................................. 55 
6. CONCLUSÕES .................................................................................................... 57 
7. REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS .................................................................... 58 
APÊNDICE A – TABELAS UTILIZADAS .................................................................. 61 
vii 
APÊNDICE B – MEMÓRIA DE CÁLCULO ............................................................... 62 
APÊNDICE C – DESENHO DE CONJUNTO .............................................................. 70 
APÊNDICE D – ANÁLISE DE ELEMENTOS FINITOS ............................................ 71 
ANEXO A– DIAGRAMAS UTILIZADOS ................................................................ 104 
ANEXO B – CATÁLOGO DE PEÇAS ....................................................................... 105 
 
 
viii 
LISTA DE SÍMBOLOS 
𝑎𝑣 Aceleração do Veículo 𝐾𝑠 Fator de Tamanho 
𝑔 Aceleração Gravitacional 𝑌𝜃 Fator de Temperatura 
𝑎 Adendo da Engrenagem 𝐾𝑣 Fator de Velocidade 
𝛼𝑆𝑡 Ângulo de Aclive 𝐼 Fator Geométrico de Resistência 
ao Crateramento 
𝜓 Ângulo de Hélice da 
Engrenagem 
𝑌𝐽 Fator Geométrico para 
Resistência Flexional 
𝜙𝑛 Ângulo de Pressão Normal da 
Engrenagem 
𝑐 Folga Diametral da Engrenagem 
𝜙𝑡 Ângulo de Pressão Transversal 
da Engrenagem 
𝐹𝑎 Força Axial no Rolamento 
𝜃1 \ 𝜃2 Ângulos de Extremidade 𝐹𝐿 
Força de Resistência 
Aerodinâmica 
𝐴 Área 𝐹𝑇 
Força de Resistência ao 
Movimento 
𝐹𝑒 Carga Dinâmica Equivalente do 
Rolamento 
𝐹𝑅 Força de Resistência ao 
Movimento da Roda 
𝑃0 Carga Estática Equivalente do 
Rolamento 
𝐹𝑟 Força Radial no Rolamento 
𝑐𝑤 Coeficiente de Arrasto 
Aerodinâmico 
𝐹𝑆𝑡 Gradiente de Rampa 
𝑙 𝑘⁄ Coeficiente de Esbeltez 𝑞𝑚𝑎𝑥
′ Gradiente Máximo 
𝜈 Coeficiente de Poisson 𝐹𝑎 Inércia à aceleração 
𝑓𝑠 Coeficiente de Segurança 
Estático do Rolamento 
𝐹 Largura de Face 
𝐶𝑝 Coeficiente Elástico 𝑆𝑦 Limite de Escoamento 
𝐶 Constante de Extremidade 𝑆𝑢𝑡 Limite de Resistência a Tração 
𝐷 Dano Cumulativo 𝑆𝑒
′ Limite de Resistência do 
Material 
𝑏 Dedendo da Engrenagem 𝑚𝐹 Massa do Veículo 
𝑓𝑚 Deflexão Máxima 𝜌𝐿 Massa Específica do Fluido 
ix 
𝑑𝑏 
Diâmetro de Base da 
Engrenagem 
𝑚 Módulo da Engrenagem 
𝑑 Diâmetro do Círculo 𝐸 Módulo de Young 
𝑑𝑒 Diâmetro Externo da 
Engrenagem 
𝑚𝑛 Módulo Normal da Engrenagem 
𝑑𝑖 Diâmetro Interno da 
Engrenagem 
𝑚𝑡 Módulo Transversal da 
Engrenagem 
𝑑𝑝 Diâmetro Primitivo da 
Engrenagem 
𝐼𝐴 Momento de Inércia 
𝑑1 \ 𝑑2 Distância Engrenagem - Mancal 𝑀 Momento Fletor 
𝑑𝑐 Distância entre Centros 𝑍 Número de Dentes da 
Engrenagem 
ECDH Engrenagem Cilíndrica de 
Dentes Helicoidais 
𝑁𝑚 Número Mínimo de Dentes da 
Engrenagem 
ECDR Engrenagem Cilíndrica de 
Dentes Retos 
𝑝𝑥 Passo Axial da Engrenagem 
𝑊𝑎 Esforço Axial no Dente de 
Engrenagem 
𝑝 Passo Circular da Engrenagem 
𝑄 Esforço Cortante 𝑝𝑛 Passo Circular Normal da 
Engrenagem 
𝑊 Esforço no Dente de 
Engrenagem 
𝑝𝑡 
Passo Circular Transversal da 
Engrenagem 
𝑊𝑟 Esforço Radial no Dente de 
Engrenagem 
𝑃 Passo Diametral da Engrenagem 
𝑊𝑡 Esforço Tangencial no Dente de 
Engrenagem 
𝑟𝑑𝑦𝑛 Raio Dinâmico da Roda 
𝑌𝑁 \ 𝑍𝑁 Fator de Ciclagem de Tensão 𝑟 Raio do Círculo 
𝐾𝑓 \ 𝐾𝑓𝑠 Fator de Concentração de 
Tensão 
𝑖 Relação de Transmissão 
𝐶𝑓 Fator de Condição Superficial 𝑟𝑇 Relação de Transmissão 
Qualquer 𝑌𝑍 Fator de Confiabilidade 𝑖𝑑𝑖𝑓 Relação de Transmissão do 
Diferencial 
𝑘𝑒 Fator de Confiabilidade 𝑚𝑣 Relação de Velocidade Angular 
x 
𝐾𝑎 Fator de Distância entre Centros 𝜂𝑡𝑜𝑡 Rendimento Total da 
Transmissão 
𝐾𝐻 Fator de Distribuição de Carga 𝑛 Rotação 
𝑘𝑓 Fator de Efeitos Diversos 𝑆𝐶 Tensão Admissível de 
Compressão 
𝐾𝐵 Fator de Espessura de Aro 
𝜎𝐶
𝑎𝑑𝑚 
𝜎𝐹
𝑎𝑑𝑚 
Tensão Admissível de 
Compressão \ Flexão 
𝑌 Fator de Forma de Lewis 𝑆𝑎 Tensão Alternada 
𝜆 Fator de Inércia Rotacional 
𝜎𝐶 Tensão Atuante de Compressão 
𝑘𝑐 Fator de Modificação de Carga 
𝜎𝐹 Tensão Atuante de Flexão 
𝑘𝑏 Fator de Modificação de 
Tamanho 
𝜎𝑄 Tensão Cisalhante no Eixo 
𝑘𝑑 
Fator de Modificação de 
Temperatura 
𝜎′ Tensão Equivalente de Von 
Mises 
𝑍𝑊 Fator de Razão de Dureza 𝜎𝑀 Tensão Flexional no Eixo 
𝜑 Fator de Relação entre Marchas 𝑆𝑚 Tensão Média 
𝑓𝑅 Fator de Resistência a Rolagem 
𝑆𝑡 Tensão Pura de flexão 
admissível 
𝐹𝑆 Fator de Segurança 𝜎𝑇 Tensão Torcional no Eixo 
𝑆𝐹 Fator de Segurança de Flexão 𝑇𝑚 Torque do Motor 
𝐾0 Fator de Sobrecarga 𝜔 Velocidade Angular 
𝑘𝑎 Fator de Superfície 𝐿ℎ Vida do Rolamento 
 
 
xi 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2-1: Esforços em engrenagens helicoidais – Adaptado [9] .................................... 5 
Figura 3-1: Indicação dos eixos considerados – Elaborada pelo autor............................. 9 
Figura 3-2: Posicionamento da transmissão após (esq.) e antes (dir.) do eixo traseiro – 
Adaptado [12] ................................................................................................................... 10 
Figura 3-3: Desenho esquemático da transmissão estudada ........................................... 11 
Figura 4-1: Forças e torques na roda em superfície nivelada e angulada - Adaptado [12]13 
Figura 4-2: Forças atuantes em um veículo em subida de rampa - Adaptado [12] .......... 15 
Figura 4-3: Exemplo de Step Geométrico (esq.) e Step Progressivo (dir.) - Adaptado [12]
 ........................................................................................................................................ 19 
Figura 4-4: Gráfico de velocidade por rotação e marcha ............................................... 21 
Figura 4-5: Gráfico de torque por rotação e marcha ...................................................... 21 
Figura 4-6: Exemplo de carregamento flutuante – Elaborada pelo autor ....................... 33 
Figura 4-7: Distância entre mancais – Eixo Motor.........................................................38 
Figura 4-8: Desenho esquemático dos esforços no eixo motor ...................................... 38 
Figura 4-9: Esforços nos planos yz e zx – Eixo Motor .................................................. 39 
Figura 4-10: Montagem face a face – Catálogo NSK .................................................... 51 
Figura 4-11: Catálogo de Vedações – TRELLEBORG ................................................. 54 
 
xii 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 2-1:Módulos de ferramenta padronizados – Adaptado [9]..................................... 4 
Tabela 3-1: Características gerais do veículo [1] ............................................................... 9 
Tabela 3-2: Características gerais do motor [10] .............................................................. 10 
Tabela 4-1: Gradiente máximo de rodovias na Europa [12] ............................................. 13 
Tabela 4-2: Fator de resistência ao rolamento para algumas superfícies [12] .................. 14 
Tabela 4-3: Resumo da seleção inicial de marchas ........................................................ 18 
Tabela 4-4: Relação Teórica da Caixa de Redução ........................................................ 20 
Tabela 4-5: Número mínimo de dentes dos pinhões ...................................................... 23 
Tabela 4-6: Propriedades básicas das engrenagens ........................................................ 23 
Tabela 4-7: Número de dentes e diâmetro das engrenagens .......................................... 24 
Tabela 4-8: Esforços máximos nas engrenagens ............................................................ 25 
Tabela 4-9: Fator de forma de Lewis – Adaptado [9] ...................................................... 26 
Tabela 4-10: Propriedades do Material [9] ...................................................................... 26 
Tabela 4-11: Estimativa de face por flexão – Análise de Extremo ................................ 27 
Tabela 4-12: Estimativa de face por compressão superficial – Análise de Extremo ..... 28 
Tabela 4-13: Ciclos de carga no pinhão – Adaptado [8] .................................................. 29 
Tabela 4-14: Relação de ciclos e torque por marcha ...................................................... 29 
Tabela 4-15: Fator 𝒀𝑵 e tensão admissível de flexão .................................................... 32 
Tabela 4-16: Estimativa de face por flexão – Análise de Fadiga ................................... 33 
Tabela 4-17: Estimativa de face por compressão superficial – Análise de Fadiga ........ 35 
Tabela 4-18: Dimensões finais das engrenagens ............................................................ 36 
Tabela 4-19: Esforço tangencial e torque máximo por marcha ...................................... 37 
xiii 
Tabela 4-20: Distância entre mancais e engrenagens – Eixo Motor .............................. 38 
Tabela 4-21: Esforços extremos no plano zx.................................................................. 41 
Tabela 4-22: Esforços extremos no plano yz.................................................................. 42 
Tabela 4-23: Cargas resultantes extremas – Eixo Motor ................................................ 42 
Tabela 4-24: Dimensionamento por extremo – Eixo Motor........................................... 43 
Tabela 4-25: Carregamentos de fadiga – Eixo Motor .................................................... 44 
Tabela 4-26: Tensão reversa equivalente – Eixo Motor ................................................. 45 
Tabela 4-27: Dimensionamento por fadiga – Eixo Motor .............................................. 47 
Tabela 4-28: Dimensionamento por extremo – Eixo de Saída ....................................... 47 
Tabela 4-29: Dimensionamento por fadiga – Eixo de Saída .......................................... 48 
Tabela 4-30: Cargas nos rolamentos – Eixo Motor ........................................................ 50 
Tabela 4-31: Formulação de rolamentos de rolos cônicos - NSK .................................. 50 
Tabela 4-32: Parâmetros de cálculo – Rolamento HR 32306J ....................................... 52 
Tabela 4-33: Parâmetros de cálculo – Rolamento NU 2306ET ..................................... 52 
Tabela 4-34: Dimensionamento dos rolamentos de agulha ............................................ 53 
 
1 
1. INTRODUÇÃO 
1.1 Motivação 
A busca pela transformação das diversas formas de energia existentes para a 
realização de trabalho é um dos pilares da engenharia mecânica. 
Os veículos automotivos se utilizam de um destes modos de conversão de 
energia, baseando-se no movimento rotativo do motor. Todo o processo de conversão 
energética se dá através do sistema de transmissão, tendo como um dos componentes 
cruciais um variador de velocidade, ou comumente conhecida, caixa de marchas. 
Veículos não comerciais, ou seja, veículos que não são inteiramente 
manufaturados por empresas do ramo automobilístico, permitem uma customização e 
manufatura própria dos sistemas veiculares, entre eles a transmissão. 
Alguns destes automóveis não comerciais são os chamados buggys [1], em geral 
veículos de pequeno porte com classificações diversas que variam de automotivos de 
arrancada aos de uso recreativo. 
1.2 Objetivo 
O presente trabalho tem como objetivo a apresentação de um fluxograma de 
projeto de caixa de marcha para veículos leves de dois eixos, tendo estes motorização e 
tração traseira. Para isso, uma memória de cálculo será apresentada, bem como os 
principais parâmetros que influenciam um projeto de caixa de marcha. 
Esta metodologia será aplicada a um estudo de caso, utilizando dados reais de 
um veículo buggy, retirados de SUPER BUGGY [1], tendo como objetivo a demonstração 
também da parte construtiva de um projeto de máquina, concedendo ao final do estudo 
um desenho de conjunto do mecanismo proposto. 
2 
2. COMPONENTES DA TRANSMISSÃO 
2.1 Variadores de Velocidade 
2.1.1 Variadores Contínuos de Velocidade 
A BOSCH [2] define variadores contínuos como mecanismos que tem a 
capacidade de converter cada ponto de operação do motor em uma outra curva 
operacional e cada curva operacional do motor em uma faixa de operação dentro do 
campo característico de tração. Isso significa uma melhor adequação a cada ponto de 
rotação e potência em relação a caixas de mudanças escalonadas. 
O mecanismo CVT (Transmissão Continuamente Variável, em inglês) é 
conhecidamente um mecanismo empregado em transmissões contínuas de velocidade. Há 
também o IVT (Transmissão Infinitamente Variável, em inglês), que se diferencia do 
CVT pelo simples fato de que a velocidade de saída do segundo mecanismo somente é 
nula se a velocidade de entrada também for nula, sendo que no IVT permite-se colocar o 
sistema na posição neutra, entregando velocidade de saída zero para qualquer rotação de 
entrada [3]. 
Grande parte destes mecanismos se baseia em elementos de fricção e tração. 
Segundo GOTT [4], apesar deste sistema ser muito empregado no início da era 
automobilística, algumas questões, como a durabilidade, fizeram com que sistemas 
baseados em engrenagens prevalecessem sobre os CVT’s. 
2.1.2 Variadores Escalonados de Velocidade 
A diferença crucial deste tipo de variador para o anteriormente apresentado é a 
entrega de um número finito de relações de transmissão fixas. Assim, cada relação é 
definida por um par de elementos, em geral engrenagens, mas também se utilizando de 
polias (caso comum em máquinas operatrizes [5]). 
 Variadores escalonados podem ser acionados tanto manualmente como 
automaticamente, neste último caso por intermédio de atuadores. A forma mais comum 
de transmissão manual é a chamada transmissão por engrenagens compostas reversíveis 
[6], onde são inseridos mecanismos sincronizadores e os pares engrenados estão em 
constante contato, porém sem transmitir potência a todo momento. 
3 
A seleção do par a serutilizado fica a cargo do mecanismo sincronizador, que 
trava a engrenagem desejada ao eixo, transmitindo assim carga de um eixo a outro. Outros 
modos de seleção podem ser empregados, inclusive a troca manual de correias, no caso 
de polias escalonadas. 
2.2 Engrenagens Helicoidais 
Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais se caracterizam pelo corte de seus 
dentes em uma direção angulada em relação ao eixo de rotação local, ângulo este 
denominado ângulo de hélice (𝜓), que possui valores típicos de 15º a 30º [7]. Cada 
engrenagem do par deve possuir o mesmo ângulo de hélice em módulo, variando sua 
direção entre hélice de mão direita e hélice de mão esquerda, para cada um dos elementos. 
O uso deste tipo de engrenagem, ao se comparar com as engrenagens de dentes 
retos se justifica por alguns pontos, ressaltados por CASTRO [8]: 
- Possuem maior área efetiva de contato entre dentes que as ECDR podendo, para 
uma mesma largura de face, transmitir mais torque. 
- Para engrenagens helicoidais, o número efetivo de dentes em contato é superior 
ao apresentado para ECDR. Isto gera uma melhor distribuição de cargas, 
entregando uma transmissão de potência mais suave, com menor nível de ruído e 
vibração. 
Para as ECDH, BUDYNAS e NISBETT [9] apresentam algumas formulações 
úteis, a serem utilizadas neste trabalho: 
- Diâmetro Primitivo (𝑑𝑝): Definido como a circunferência em que dois perfis 
evolventes são tangentes. No plano normal, define o ângulo de pressão 𝜙𝑛, que 
possui valor comum de 20º [7]. 
- Módulo (𝑚𝑛): Para engrenagens com diâmetro primitivo menores que um metro, 
CASTRO [8] afirma que projetistas tendem a especificar os parâmetros da 
engrenagem no plano normal. Este valor é definido pela ferramenta de corte 
utilizada na fabricação do dente de engrenagem, sendo padronizado, como 
mostrado na tabela abaixo. 
 
4 
Tabela 2-1:Módulos de ferramenta padronizados – Adaptado [9] 
Módulos 
Preferencialmente 1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50 
Próxima escolha 
1; 1,25; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11; 14; 18; 
22; 28; 36; 45 
 
- Módulo transversal (𝑚𝑡): Módulo no plano de rotação (transversal), calculado 
por: 
 
cos
pn
t
dm
m m
Z
   (2.1) 
- Adendo (𝑎) e dedendo (𝑏): São, respectivamente, as distâncias radias entre o 
topo do dente e sua circunferência primitiva e do fundo do dente até a 
circunferência primitiva. Ambos são medidos em milímetros. 
 
1,25
a m
b m


 (2.2) 
- Diâmetro externo (𝑑𝑒) e diâmetro interno (𝑑𝑖): Com as medidas de adendo e 
dedendo definidas, basta utilizá-las nas contas destes dois parâmetros, como 
mostrado na Equação (2.3). 
 
2 2 ( 2)
2 ( 2,5)
e p
i p
d d a mz m m z
d d b m z
     
   
 (2.3) 
- Circunferência de folga: Esta circunferência é geometricamente definida como 
o círculo tangente ao adendo da engrenagem par, sendo a folga (𝑐) definida pela 
quantidade que o dedendo de certa engrenagem excede o adendo de seu par 
engrenado. Este parâmetro será importante mais a frente, quando for citado a 
questão referente à interferência entre pares engrenados. 
Devido à angulação dos dentes, o ângulo de pressão na direção normal (𝜙𝑛) 
difere do ângulo de pressão na direção tangencial (𝜙𝑡) e se relacionam conforme: 
 
tan
cos
tan
n
t

 

 (2.4) 
5 
Em suma, estas propriedades supracitadas definem a forma geométrica da 
engrenagem, ligadas umas às outras por relações puramente algébricas. Cabe ao projetista 
a seleção dos parâmetros que satisfaçam seu projeto e o cálculo dos esforços no dente de 
engrenagem, para a definição da largura de face (𝐹). 
Os esforços em engrenagens helicoidais se apresentam como demonstrado na 
Figura 2-1 e são equacionados por (2.5). 
 
Figura 2-1: Esforços em engrenagens helicoidais – Adaptado [9] 
 cos cos
cos
r n
t n
a n
W W sen
W W
W W sen
 
  
  
 (2.5) 
2.2.1 Interferência de Pares Engrenados 
Apresentados os parâmetros geométricos referentes às engrenagens cilíndricas 
de dentes helicoidais, é importante ressaltar uma propriedade construtiva de projeto. 
BUDYNAS e NISBETT [9] definem a interferência como o contato entre regiões de perfis 
de dentes que não são conjugados. 
No caso de dentes de engrenagens fabricados por um processo de geração a 
interferência é automaticamente eliminada, pois a ferramenta de corte remove a porção 
6 
interferente do flanco. Esse efeito é denominado adelgaçamento, processo que enfraquece 
consideravelmente o dente. 
Determina-se então um número mínimo de dentes 𝑁𝑚 em um pinhão e coroa 
cilíndricos de dentes retos, com razão de engrenamento 1:1, para que não exista 
interferência. Para engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais: 
  22
2 cos
1 1 3
3
m t
t
k
N sen
sen

   

 (2.6) 
Em que 𝑘 = 1 para dentes de altura completa e 0,8 para dentes diminuídos. 
Quando a razão de transmissão (𝑟𝑇 ) não é igual a um, utiliza-se a seguinte 
equação para o cálculo do pinhão mínimo para atender aos parâmetros da transmissão: 
 
2 2
2
2 cos
(1 2 )
(1 2 )
m T T T t
T t
k
N r r r sen
r sen
      
  
 (2.7) 
Onde 𝑟𝑇 é a razão de transmissão, maior que a unidade. 
Finalmente, o maior número de dentes de uma coroa que opera com um pinhão 
é dado por: 
 
2 2 2 2
2
4 cos
4 cos
G m t
m
m t
N sen k
N
k N sen
  

   
 (2.8) 
2.3 Eixos e Mancais 
Define-se como eixo um elemento rotativo, usualmente possuindo seção 
transversal circular, usado na transmissão de potência e/ou movimento. Tal elemento 
entrega um eixo de rotação, ou oscilação, para elementos como engrenagens, polias, 
volantes, manivelas, entre outros, controlando a geometria de seus movimentos [9]. 
Para um projeto de máquinas, os seguintes parâmetros são analisados para o 
eixo, segundo BUDYNAS e NISBETT [9]: 
- Seleção de material. 
- Disposição geométrica. 
- Tensão e Resistência: 
7 
o Resistência Estática. 
o Resistência à fadiga. 
- Deflexão e rigidez: 
o Deflexão flexional. 
o Deflexão torcional. 
o Inclinação em mancais e em elementos suportados do eixo. 
o Deflexão de cisalhamento devido a carregamento transversal de eixos 
curtos. 
- Vibração devido à frequência natural. 
Já os mancais têm função de suporte ao eixo e às cargas atuantes neste elemento. 
São divididos entre mancais de rolamento e deslizamento. O primeiro tipo, possui como 
elemento transmissor de cargas principais um elemento em contato rolante. Por sua vez, 
os mancais de deslizamento possuem um contato deslizante atuando na interface eixo-
mancal. Neste tipo de suporte, a separação é feita por um filme lubrificante. 
Um bom projeto de mancal garante o funcionamento correto dos componentes 
durante a vida do mecanismo. A seleção deste elemento se baseia em: 
- Tipo de carga atuante (axial, radial). 
- Vida. 
- Confiabilidade. 
2.4 Seletores e Sincronizadores 
Como anteriormente apontado, no caso de variadores de velocidade escalonados, 
algum mecanismo seletor deve ser empregado, para exercer o papel de escolha da relação 
de transmissão pretendida. Os sincronizadores são mecanismos conhecidos que cumprem 
esta função. 
A função básica do sincronizador é se acoplar ao eixo de saída, por meio de 
chaveta ou estria, através do cubo do sincronizador e, em sua posição neutra, permitir que 
8 
as engrenagens girem sem transmitir potência. Estas engrenagens, em geral apoiadas em 
mancais de rolamentos de agulhas, são acopladas ao cone sincronizador que será a ligação 
entre o mecanismo e a engrenagem. Ao mover-se o seletor deslizante, o anel 
sincronizador entra em contato com o cone acoplado à engrenagem, dando início ao 
processo de sincronização. O processo se encerra quando as estrias internas do seletor se 
acoplam aos dentes do cone sincronizador. 
2.5 Diferencial 
O mecanismo diferencial é assim conhecido por permitir uma diferença de 
velocidade(e deslocamento) entre dois elementos [6]. Em automóveis, sua aplicação se 
deve para compensar a diferença de rotação entre as rodas externas e internas durante 
uma curva e adicionalmente entre eixos de tração, para casos de tração total [2]. 
Este elemento compõe a chamada relação final da transmissão de veículos, 
ligando a saída da transmissão às rodas do automóvel, sendo de suma importância para a 
seleção das relações de transmissão veiculares. 
A BOSCH [2] pontua que este elemento, excetuando casos especiais, se utiliza 
de engrenagens cônicas agindo como uma espécie de balança para equilibrar o torque 
entre as rodas direita e esquerda. 
Fica como sugestão de leitura o manual BOSCH [2] e NORTON [6] para um 
entendimento mais profundo deste mecanismo. 
 
9 
3. SISTEMA DE TRANSMISSÃO PROPOSTO 
3.1 Premissas de Projeto 
Um projeto de máquinas tem base na definição de uma necessidade e/ou 
problema a ser solucionado. Neste estudo, o ponto de partida é o veículo estudado, com 
algumas características a serem pontuadas que são cruciais para a definição inicial do 
projeto. 
As características pertinentes do automóvel foram retiradas de SUPER BUGGY 
[1]. Em relação ao motor, as informações foram retiradas de FORD [10] e AutoMobile 
Catalog [11]. Estas informações estão apresentadas na Tabela 3-1 e Tabela 3-2, 
respectivamente, juntamente com a curva de torque por rotação do APÊNDICE A. 
Tabela 3-1: Características gerais do veículo [1] 
Comprimento Total x (mm) 3340 
Largura Total y (mm) 1790 
Altura Total z (mm) 1370 
Distância entre Eixos (mm) 2090 
Massa sem Carga (kg) 820 
Roda Traseira 31/10.5/R15 (265/75/R15) 
Roda Dianteira 235/75/R15 
 
 
Figura 3-1: Indicação dos eixos considerados – Elaborada pelo autor 
 
10 
Tabela 3-2: Características gerais do motor [10] 
Motor Ford KA 1.5L Flex Fuel (1.5L N-VCT) 
Posição Original 
(Fabricante) 
Dianteiro/Transversal 
Potência Máxima Etanol 109,6 cv a 5500 rpm 
Potência Máxima Gasolina 104,8 cv a 6500 rpm 
Torque Máximo Etanol 146,4 Nm a 4250 rpm 
Torque Máximo Gasolina 143 Nm a 4250 rpm 
Rotação Máxima do Motor 6800 rpm 
 
3.2 Design Construtivo Proposto 
LECHNER et al. [12] demonstra que para veículos leves de dois eixos com 
motores transversais montados em sua parte traseira, existem dois tipos de design, 
diferenciados apenas pela montagem antes do eixo de rotação traseiro ou após este eixo. 
Pelas informações levantadas em SUPER BUGGY [1], a solução mais coerente é o 
posicionamento anterior ao eixo de rotação traseiro. 
 
Figura 3-2: Posicionamento da transmissão após (esq.) e antes (dir.) do 
eixo traseiro – Adaptado [12] 
 
11 
Com isso, a caixa de mudanças proposta consiste em um mecanismo de 6 
marchas, sendo 5 a frente e uma ré, ideal para o aproveitamento das faixas de torque e 
eficiência do motor [12]. 
A transmissão proposta será de dois eixos paralelos e utilizará engrenagens 
helicoidais. Existirá um eixo reversor para a ré. Tal design é compatível para veículos 
com motorização traseira [12]. O desenho esquemático da transmissão é mostrado na 
Figura 3-3. 
 
Figura 3-3: Desenho esquemático da transmissão estudada 
A seleção das relações será feita por sincronizadores comerciais da marca 
HOERBIGER, sendo projetado uma alavanca manual para o acionamento destes 
componentes. 
Para a carcaça, por se tratar de um veículo e projeto não comercial, o custo de 
manufatura de um molde de fundição seria alto, sendo a proposta de uma carcaça soldada 
mais adequada para projetos unitários em questão de custo e facilidade de manufatura [13]. 
 
12 
4. MEMÓRIA DE CÁLCULO PARA PROJETO 
Esta seção tem como objetivo sumarizar a memória de cálculo necessária a um 
projeto de caixa de redução escalonada, todo o fluxograma de projeto considerado e as 
conclusões numéricas que serviriam para a validação e construção teórica do mecanismo 
proposto. Planilhas de cálculo foram utilizadas para auxiliar nesta tarefa. 
4.1 Seleção das relações de transmissão 
A partir dos dados do veículo e do motor, o primeiro passo do projeto da caixa 
de redução deve ser a determinação dos limites a serem cumpridos pelo sistema. Tais 
limites se apresentam como a velocidade máxima a ser desenvolvida pelo veículo e o 
ângulo máximo de rampa a ser vencida. 
LECHNER et al. [12], BOSCH [2] e ECKERT et al. [14] formulam a resistência ao 
movimento apresentada por um veículo como a divisão em: 
- Resistência ao Movimento da Roda (𝐹𝑅) 
- Resistência Aerodinâmica (𝐹𝐿) 
- Gradiente de Rampa (𝐹𝑆𝑡) 
- Inércia à aceleração (𝐹𝑎) 
Cada componente será detalhada a seguir. 
4.1.1 Resistência ao Movimento da Roda 
A força de resistência da roda é composta pela força de resistência a rolagem, 
força de resistência do piso e resistência ao escorregamento [12]. Sua formulação é dada 
por: 
 cosR R F StF f m g  (4.1) 
A Figura 4-1 mostra as forças atuantes nas rodas tanto em uma superfície 
nivelada quanto em uma angulada, onde a força circunferencial (−𝐹𝑈) é equivalente à 
força 𝐹𝑅. 
13 
Da Equação (4.1), são facilmente conhecidos a massa total do veículo (𝑚𝐹), a 
gravidade e o ângulo de aclive da superfície angulada vai ser determinado como o ângulo 
máximo de rampa a ser vencida, o primeiro limitante de projeto apresentado. 
 
Figura 4-1: Forças e torques na roda em superfície nivelada e angulada - 
Adaptado [12] 
A Tabela 4-1 concede alguns valores máximos de gradiente 𝑞𝑚𝑎𝑥
′ , definido 
como a razão entre a projeção vertical e horizontal da rampa a ser vencida. 
Tabela 4-1: Gradiente máximo de rodovias na Europa [12] 
Rodovia 𝑞𝑚𝑎𝑥
′ (%) 
Alemanha: 
Achen pass 
Oberjoch 
 
14 
9 
França: 
Col de Braus 
Iseran 
 
15 
12 
Itália: 
Rodovia Brenner 
Stilfser-Joch 
 
12 
15 
Áustria: 
Groβglockner 
Timmelsjoch 
Turracher Höhe 
Wurzen pass 
 
12 
13 
26 
18 
Suíça: 
Simplon 
St. Bernardino 
St. Gotthard 
 
10 
12 
10 
 
14 
Portanto, selecionando o gradiente máximo de 26% localizado na Áustria 
(Turracher Höhe): 
 max
'
tan
100
St St
q
sen    (4.2) 
Assim, o valor de 𝛼𝑆𝑡 é 15,07°. 
O fator de resistência a rolagem 𝑓𝑅 é caracterizado por LECHNER et al. 
[12] 
como sendo constante em baixas velocidades e apresentado na Tabela 4-2. 
Tabela 4-2: Fator de resistência ao rolamento para algumas superfícies [12] 
Superfície Fator de Resistência ao Rolamento 𝒇𝑹 
Superfície de asfalto liso 0,010 
Superfície de concreto liso 0,011 
Superfície de asfalto bom, 
rugoso 
0,014 
Superfície de rocha 
pavimentada 
0,020 
Superfície ruim, desgastada 0,035 
 
Assim, selecionando uma superfície ruim e desgastada, o valor de 𝑓𝑅 = 0,035 
será utilizado neste estudo. 
Considerando agora a massa total do veículo como a massa do buggy 
adicionados quatro passageiros de 70 kg e 50 kg de carga útil, a aceleração da gravidade 
como 9,81 m/s²: 
Para o aclive - 𝐹𝑅 = 0,035 ∙ 1150 ∙ 9,81 ∙ cos(15,07) = 381,3 𝑁 
Para superfície nivelada - 𝐹𝑅 = 0,035 ∙ 1150 ∙ 9,81 ∙ 1 = 394,8 𝑁 
4.1.2 Resistência Aerodinâmica 
A resistência aerodinâmica em veículos é composta pela parte do fluido em 
contato com a superfície externa do automóvel também como pelo fluido que escoa pelos 
sistemas de arrefecimento e ventilação. A formulação desta componente é dada por: 
 
1
²
2
L L wF c Av  (4.3) 
15 
Para o cálculo desta força de resistência, BOSCH [2] apresenta 𝜌𝐿
𝐴𝑅 =
1,293 𝑘𝑔/𝑚³ . Para o coeficiente 𝑐𝑊 , o artigo publicado por DE SOUZA e 
GONÇALVES [15], apresenta diversos valores para carros populares. O presente estudo 
irá considerar 0,39 como aproximação de um buggy pela aerodinâmica de um modelo 
Ford KA®, carro a qual pertence o motor estudado. 
Para a determinação da área, AutoMobile Catalog [11] apresenta 0,714 m² como 
valor de área de arrasto, novamente para o Ford KA®, e este valor irá representar a 
estimativa para um veículo tipo buggy. 
Então, a resistência aerodinâmicairá depender ainda do fator velocidade. Entra 
aqui o segundo limitante do projeto, a velocidade máxima a ser alcançada pelo veículo. 
Determinando 𝑣𝑚𝑎𝑥 = 140
𝑘𝑚
ℎ
= 38,9
𝑚
𝑠
, usando a Equação (4.3): 
𝐹𝐿 =
1
2
∙ 1,293 ∙ 0,39 ∙ 0,714 ∙ 38,92 = 272,26 𝑁 
4.1.3 Gradiente de Rampa 
Nesta força de resistência, entram parâmetros já apresentados e são 
contabilizados os esforços devido à força gravitacional atuante em um aclive: 
 2933,2St F StF m g sen N   (4.4) 
 
Figura 4-2: Forças atuantes em um veículo em subida de rampa - 
Adaptado [12] 
16 
4.1.4 Inércia à Aceleração 
Além dos esforços atuantes durante um movimento no estado estacionário, ou 
seja, aceleração nula, existem forças inerciais atuantes nos movimentos de aceleração e 
frenagem que são importantes para o cálculo de uma caixa de redução. A formulação fica: 
 a F vF m a  (4.5) 
O fator 𝜆 é definido como um fator de inércia rotacional, um coeficiente que 
expressa a porção da massa total que é rotativa. ECKERT et al. [14] define esta variável 
como: 
 1 0,04 0,0025 ²Tr    (4.6) 
Sendo 𝑟𝑇 a relação de transmissão total (caixa + diferencial) da marcha na qual 
se calcula o coeficiente. 
Esta análise vale para a iminência do deslocamento partindo do repouso, 
considerando então uma aceleração igual a 0,6 m/s² e a relação de primeira marcha para 
o cálculo deste parâmetro. 
Este parâmetro ainda não será calculado, sendo necessário ainda a definição da 
relação de primeira marcha, demonstrada na seção 4.1.6, e como será visto é um cálculo 
iterativo. 
A força de resistência ao movimento se consolida como a soma dos fatores acima 
desenvolvidos: 
 T R L St aF F F F F    (4.7) 
4.1.5 Cálculo da Relação de Quinta Marcha 
Para a quinta marcha, os fatores considerados no cálculo são as forças 𝐹𝑅, em 
superfície nivelada, e 𝐹𝐿 , pois considera-se que não há aclive nem forças de inércias 
consideráveis. 
Assim, a Equação (4.7) se torna: 
𝐹𝑇 = 394,8 + 272,3 = 667,1 𝑁 
17 
Agora, com o valor calculado de todas as forças de resistência, utiliza-se os 
dados do motor juntamente com os dados do veículo, como equacionado por LECHNER 
et al. [12]: 
 
5
m tot
T tot
dyn
T i
F
r
  (4.8) 
O torque do motor será considerado da curva extraída de AutoMobile Catalog 
[11] (APÊNDICE A) no ponto de máxima potência, como sugerido por LECHNER et al. 
[12], declarado pelo fabricante como 6500 rpm. A curva considerada é com o motor a 
gasolina, já que o carro deve atender à demanda quando a entrada de torque é menor. O 
raio dinâmico da roda traseira, roda de tração deste veículo, será considerado 98% do raio 
nominal da roda (Tabela 3-1), valor considerado por MORELLO et al. [16] para pneus de 
construção radial. Seguindo a nomenclatura da roda, o raio dinâmico fica: 
 
0,98[(15 25,4) (2 0,75 265)]
381,5
2
dynr mm
   
  (4.9) 
 O rendimento total do sistema será contabilizado como o rendimento de pares 
engrenados e acoplamentos dado por NORTON [6] de 95%, considerando um 
acoplamento na entrada, o rendimento da transmissão da entrada para a saída, um 
acoplamento para a saída e a transmissão final do diferencial. 
 
5
4
3
113,3
667,1 (0,95)
381,5 10
toti


 

 (4.10) 
Resolvendo a Equação (4.10) para relação 𝑖𝑡𝑜𝑡
5 : 
 5 5 2,75tot difi i i   (4.11) 
Neste momento, a Equação (4.11) apresenta duas variáveis. Determina-se então 
um valor pretendido de relação de última marcha e é verificado se a relação diferencial 
mínima necessária é atendida por modelos existentes. Este processo é iterativo e pode ser 
ajustado para melhorar consumo de combustível ou o ponto de máxima velocidade 
pretendido [12]. Faz-se então 𝑖5 = 0,74, tendo como base também o manual do usuário 
FORD [10]. 
18 
Chega-se então a relação de diferencial mínima igual a 3,72:1. Checando o 
catálogo da SPICER® (ANEXO B), verifica-se que esta relação de diferencial é plausível, 
existindo peças que entregam relações de 3,73 a 5,38:1. Com isto em mente, pode-se 
prosseguir para o cálculo da relação de primeira marcha. 
4.1.6 Cálculo da Relação de Primeira Marcha 
Como ocorreu para a relação de quinta marcha, para o cálculo desta redução não 
se consideram todas as forças de resistência. A resistência aerodinâmica pode ser 
desprezada para baixas velocidades [12]. Assim, lembrando que a força 𝐹𝑎 depende da 
relação de transmissão total desta marcha, a primeira relação fica: 
𝐹𝑇 = 381,3 + 2933,2 + 717,6 + [1,725 ∙ (𝑖𝑡𝑜𝑡
1 )2] = 4032,1 + 1,725 ∙ (𝑖𝑡𝑜𝑡
1 )2 
Usando a Equação (4.8) e o torque do motor, agora no ponto de máximo torque, 
encontra-se a equação de segundo grau a seguir: 
143 ∙ 𝑖𝑡𝑜𝑡
1
381,5 ∙ 10−3
∙ (0,95)4 = 4032,1 + 1,725 ∙ (𝑖𝑡𝑜𝑡
1 )2 
Resolvendo a equação acima, calcula-se a relação 𝑖𝑡𝑜𝑡
1 = 14,4 . Agora, define-se 
uma relação diferencial adequada para que seja definida a relação de primeira marcha. A 
relação diferencial escolhida da SPICER® foi a de 3,73, modelo Dana 44-3 OT – T 
BA401378-X, resultando, então, em uma relação 𝑖1 = 3,86. 
Tabela 4-3: Resumo da seleção inicial de marchas 
Quinta Marcha (5ª) 0.74:1 
Diferencial 3.73:1 
Primeira Marcha (1ª) 3.86:1 
 
4.1.7 Cálculo das Relações Intermediárias 
Tendo calculado a primeira e a última relação do variador escalonado, resta 
agora a seleção das relações intermediárias. LECHNER et al. [12] propõe duas 
metodologias de cálculo, o Step Geométrico de Marchas e o Step Progressivo de Marchas. 
Como o autor define que usualmente veículos leves de passageiros se utilizam do segundo 
modelo, tal método será apresentado para o cálculo de relações intermediárias. 
19 
 
Figura 4-3: Exemplo de Step Geométrico (esq.) e Step Progressivo (dir.) - 
Adaptado [12] 
Observa-se que para o método progressivo quanto mais alta a marcha, menor o 
step entre marchas. Isto acaba reduzindo os vazios entre as curvas de tração efetiva e 
tração disponível, observados no diagrama velocidade x tração. Adicionalmente, concede 
uma melhora na performance de aceleração. 
O fator 𝜑 é a relação entre duas marchas adjacentes e seu valor é limitado a: 
 1 max
max
6800
1,6
( ) 4250
n
n
i n
i n T
     (4.12) 
A relação total entre marchas 𝑖𝐺𝑡𝑜𝑡 é a razão entre a relação de primeira marcha 
com a relação de última marcha a frente. Logo, 𝑖𝐺𝑡𝑜𝑡 = 5,22, para este caso. 
Para a formulação da relação intermediária da marcha 𝑛 de um variador 
escalonado com um número 𝑧 de marchas, com 𝑖𝑧 = 𝑖
5 = 0,74: 
20 
 0,5( )( 1)
1 2
z n z n z n
n zi i
      (4.13) 
Onde: 𝜑1 = √
1
𝜑20.5
(𝑧−1)(𝑧−2) 𝑖𝐺𝑡𝑜𝑡
𝑧−1
 e 𝜑2 = 1,0 𝑎 1,2 
[12] 
Usando 𝜑2 = 1,1 → 𝜑1 = 1,31. LECHNER et al. 
[12] apresenta valores típicos 
de 𝜑1 entre 1,1 e 1,7, validando este cálculo inicial. 
Utilizando a Equação (4.13), as relações teóricas das marchas são apresentadas 
a seguir. 
Tabela 4-4: Relação Teórica da Caixa de Redução 
Marcha Relação 
1ª 3,86:1 
2ª 2,95:1 
3ª 1,53:1 
4ª 0,96:1 
5ª 0,74:1 
Ré 3,86:1*¹ 
Diferencial 3,73:1 
*1: A marcha Ré é, em um primeiro momento, considerada igual à 1ª marcha. 
4.1.8 Parâmetros Finais das Relações de Transmissão 
Apresentando, então, os gráficos teóricos de torque por rotação e velocidade por 
rotação para cada uma das relações, considerando a relação do diferencial. 
21 
 
Figura 4-4: Gráfico de velocidade por rotação e marcha 
 
Figura 4-5: Gráfico de torque por rotação e marcha 
4.2 Dimensionamento de Engrenagens 
A partir das relações teóricas calculadas na seção anterior, o projeto segue para 
o dimensionamento das engrenagens que farão parte da caixa de redução. O primeiro 
passo são as escolhas dos parâmetros geométricas, discutidos na seção 2.2. 
0
50
100
150
200
250
300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
v 
(k
m
/h
)
Rotação (rpm)
Velocidade por Marcha e Rotação
Velocidade 1ª Marcha Velocidade 2ª Marcha Velocidade 3ª Marcha
Velocidade4ª Marcha Velocidade 5ª Marcha Velocidade Máxima Teórica
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
T 
(N
m
)
Rotação (rpm)
Torque por Marcha e Rotação
Torque 1ª Marcha Torque 2ª Marcha Torque 3ª Marcha
Torque 4ª Marcha Torque 5ª Marcha
22 
4.2.1 Distância Entre Eixos 
LECHNER et al. [12] demonstra um método simples para uma estimativa inicial 
da distância entre centros para variadores escalonados de dois estágios, com eixos 
paralelos, como é o caso estudado. 
 0,44
260 2,08( )cd T  (4.14) 
A Equação (4.14) utiliza o torque máximo de saída 𝑇2 da primeira marcha, 
resultando em uma estimativa de 𝑑𝑐 ≈ 94 𝑚𝑚. Adicionalmente, o autor destaca valores 
típicos de distâncias entre eixos de veículos de passageiros entre 65 e 90 mm e 100 a 130 
mm para veículos comerciais de porte médio. 
Para uma estimativa mais refinada, o mesmo autor apresenta uma outra 
formulação baseada em DIN [17]: 
 
4
13
( 1)
C a
T u
d K
u

 (4.15) 
Utilizando agora o torque 𝑇1 do eixo de entrada em N.mm, 𝑢 como a relação da 
primeira marcha, maior que a unidade, e 𝐾𝑎 = 0,255, para veículos de passageiros 
[12], 
uma segunda estimativa é de 𝑑𝐶 ≈ 71𝑚𝑚. 
4.2.2 Módulo e Diâmetro Primitivo 
A seleção do módulo e do diâmetro primitivo está ligada diretamente aos 
equacionamentos mostrados em 2.2 e aos valores estimados de distância entre centros 
observados em 4.2.1. Fixando Ф𝑛 = 20° e 𝜓 = 30°, calcula-se o número mínimo de 
dentes no pinhão para cada relação de transmissão. A Tabela 4-5 mostra o resultado. 
 
 
 
 
23 
Tabela 4-5: Número mínimo de dentes dos pinhões 
Marcha Relação 𝑵𝑷 mínimo 
1ª 3,86:1 11 
2ª 2,95:1 11 
3ª 1,53:1 10 
4ª 0,96:1 9 
5ª 0,74:1 10 
Ré 3,86:1 11 
 
Tendo então o mínimo de dentes necessário ao pinhão e a distância entre centros 
estimada de 94mm, se inicia um processo iterativo, definindo-se um número de dentes 
acima do mínimo, estimando com este valor um módulo e número de dentes da coroa, 
checando se cumpre com os requisitos apresentados em 2.2.1 e se a distância entre centros 
é coerente, para cada par engrenado. Um resumo deste processo se encontra no 
APÊNDICE B. NORTON [6] sugere o ligeiro aumento da distância entre centros, para se 
garantir que não haja interferência entre os pares engrenados, dentre outras soluções 
apresentadas. 
Os parâmetros selecionados estão resumidos em Tabela 4-6 e Tabela 4-7. 
Tabela 4-6: Propriedades básicas das engrenagens 
Módulo Normal (𝑚𝑛) 3 
Ângulo de Pressão (Ф𝑛) 20° 
Ângulo de Hélice (𝜓) 30° 
Ângulo de Pressão Tangencial (Ф𝑡) 22.8° 
 
24 
Tabela 4-7: Número de dentes e diâmetro das engrenagens 
Marcha 𝑵𝑷 
𝑑𝑝
𝑷 
(𝑚𝑚) 
𝑵𝑮 
𝑑𝑝
𝑮 
(𝑚𝑚) 
Relação Final Distância Entre 
Centros 
1ª 13 45 47 163 3,62:1 104 
2ª 15 52 44 153 2,94:1 102,5 
3ª 23 80 36 125 1,56:1 102,5 
4ª 30 104 29 100,5 0,96:1 102,25 
5ª 34 117,8 25 86,7 0,73:1 102,25 
Ré 12 41.5 42 145,5 3,50:1 - 
 
Nota-se que as relações finais foram modificadas em relação às relações teóricas, 
devido ao alinhamento com os fatores interferência, relação de transmissão e distância 
entre centros. CASTRO [8] pontua que o valor de folga possível, para cada engrenagem 
do par, é de até um quarto do módulo (𝑚𝑡 = 𝑚) da engrenagem, fato plausível se 
estabelecida a distância entre eixos de 104 mm. Este fato ajuda a suavizar, caso exista, a 
interferência nos pares. 
Para a marcha ré, ainda há uma engrenagem de reversão, que será objeto de 
estudo na parte construtiva do projeto. 
4.2.3 Seleção de Material e Cálculo de Extremo 
Seguindo com o projeto de engrenagens, os parâmetros geométricos agora serão 
empregados para a solução do dimensionamento da largura de face. Este parâmetro passa 
por uma análise de extremo, fadiga por flexão no dente e fadiga por compressão 
superficial, sendo o último um dos pontos mais críticos de falha de pares engrenados [8]. 
Para o cálculo de extremo, o torque máximo do motor com etanol (Tabela 3-2) 
será considerado, tendo em vista seu maior valor com relação ao motor à gasolina. 
Os esforços presentes, para cada par engrenado, são calculados utilizando as 
Equações (2.5) e (4.16). 
 
2
P
p
m t
d
T W (4.16) 
25 
Tabela 4-8: Esforços máximos nas engrenagens 
Marcha 
𝑾𝒕 
(𝑘𝑁) 
𝑾𝒓 
(𝑘𝑁) 
𝑾𝒂 
(𝑘𝑁) 
1ª 6,5 2,7 3,8 
2ª 5,6 2,4 3,3 
3ª 3,7 1,5 2,1 
4ª 2,8 1,2 1,6 
5ª 2,7 1,1 1,4 
Ré 7,0 3,0 4,1 
 
BUDYNAS e NISBETT [9] apresentam as equações da AGMA [18] para o cálculo 
de capacidade de engrenagens, quando a vida e confiabilidade não são considerações 
importantes (caso do cálculo de extremo). A formulação é apresentada tanto para o 
cálculo de flexão quanto para o critério de compressão superficial. 
 v t
K W
F mY
  (4.17) 
Sendo: 
- Fator de Velocidade: 𝐾𝑣 = √
5,56+√𝑉
5,56
, onde 𝑉 =
𝜋 𝑑𝑝
𝑃 𝑛𝑚𝑎𝑥 
60
 a velocidade de 
rotação máxima em m/s do pinhão. Este fator é introduzido pela AGMA [18] para 
contabilizar os efeitos dinâmicos em dentes de engrenagem. 
- Largura de Face (𝐹): Parâmetro a ser estimado, primeiramente, pela Equação 
(4.17). BUDYNAS NISBETT [9] definem que 𝐹 deve se encontrar em um 
intervalo entre 3 e 5 vezes o passo circular dado por 𝑝𝑛 =
𝜋 𝑑𝑝
𝑃
𝑧′
, onde 𝑧′ =
𝑁𝑃
cos3 𝜓
. 
Medida em mm. 
- Fator de Forma de Lewis: 𝑌 tabelado conforme Tabela 4-9. 
 
26 
Tabela 4-9: Fator de forma de Lewis – Adaptado [9] 
Número de 
dentes 
Y 
Número de 
dentes 
Y 
12 0,245 28 0,353 
13 0,261 30 0,359 
14 0,277 34 0,371 
15 0,290 38 0,384 
16 0,296 43 0,397 
17 0,303 50 0,409 
18 0,309 60 0,422 
19 0,314 75 0,435 
20 0,322 100 0,447 
21 0,328 150 0,460 
22 0,331 300 0,472 
24 0,337 400 0,480 
26 0,346 Cremalheira 0,485 
 
Lembrando que este é um estudo de caso, o material escolhido foi o aço SAE 
4340 T&R @ 600 ºC [9], baseado nas suas propriedades, exibidas na Tabela 4-10. 
Tabela 4-10: Propriedades do Material [9] 
Material Aço SAE 4340 T&R @ 600 ºC 
Limite de Escoamento (𝑆𝑦) 1590 MPa 
Limite de Resistência a Tração (𝑆𝑢𝑡) 1720 MPa 
Dureza Brinnel 486 
Módulo de Young (E) 207 GPa 
 
Este material apresenta altos limites de resistência e alta dureza superficial, uma 
vez que é tratado termicamente. 
Com estes dados, iguala-se a tensão 𝜎 da Equação (4.17) ao limite de 
escoamento do material, dividido por um fator de segurança estático, escolhido como 4 
para o presente caso. 
27 
O APÊNDICE B resume os cálculos empregados para cada pinhão. Assim, a 
estimativa de face por flexão estática fica como apresentado na Tabela 4-11. 
Tabela 4-11: Estimativa de face por flexão – Análise de Extremo 
Marcha 
𝑭𝒎𝒊𝒏 (𝑚𝑚) 
Estimada 
1ª 23,8 
2ª 18,8 
3ª 10,9 
4ª 8,3 
5ª 7,2 
Ré 27,2 
 
Analogamente, para o cálculo de compressão, a seguinte equação é utilizada: 
 
1/2
1 2
1 1
cos
v t
C p
n
K W
C
F r r
  
     
   
 (4.18) 
Para a equação acima, os parâmetros ainda não apresentados são explicados a 
seguir: 
- Coeficiente elástico (𝐶𝑝): Pertinente à interface de materiais pinhão-coroa e à 
elasticidade do contato, é equacionado por (4.19) e tabelado pela AGMA [18] 
(APÊNDICE A). Medido em √𝑀𝑃𝑎. 
 
1/2
22
1
11
p
GP
P G
C
E E
 
 
 
   
   
   
 (4.19) 
- Raio de curvatura do dente no ponto primitivo (𝑟1 𝑒 𝑟2): Como os primeiros 
sinais de desgaste se dão próximo à linha primitiva, AGMA [18] introduz estes 
parâmetros, equacionados por (4.20). Medidos em mm. 
 1 2;
2 2
P G
p n p nd sen d sen
r r
 
  (4.20) 
28 
Para a estimativa de face mínima, a tensão de compressão (𝜎𝐶) será substituída 
pela tensão de compressão superficial admissível. Este parâmetro é calculado por 𝑆𝐶 =
2,41 𝐻𝐵 + 237 = 1408,2 𝑀𝑃𝑎. O parâmetro HB é a dureza Brinnel do material (Tabela 
4-10). 
Novamente, todo o resumo da memória de cálculo se apresenta no APÊNDICE 
B. A Tabela 4-12 mostraa estimativa da largura de face para o critério de extremo para 
compressão superficial. 
Tabela 4-12: Estimativa de face por compressão superficial – Análise de 
Extremo 
Marcha 
𝑭𝒎𝒊𝒏 (𝑚𝑚) 
Estimada 
1ª 27,7 
2ª 22,1 
3ª 12,1 
4ª 9,2 
5ª 8,4 
Ré 33,8 
 
4.2.4 Fadiga por Flexão 
As estimativas prévias servem de norte para os cálculos de fadiga, nos quais 
saem de cena os carregamentos extremos e entram os carregamentos mais frequentes 
vistos pelas engrenagens em vida. Tendo em mente os pontos anteriormente expostos, a 
primeira informação que se busca é a utilização média de cada marcha de um veículo de 
passeio. CASTRO [8] traz um estudo baseado em veículos europeus, ilustrado na Tabela 
4-13, com relação ao número de ciclos de carga com um acúmulo de quilometragem entre 
100.000 e 200.000 km. 
 
29 
Tabela 4-13: Ciclos de carga no pinhão – Adaptado [8] 
Marcha Nº Ciclos 
1ª 2,00E+06 
2ª 3,00E+07 
3ª 6,00E+07 
4ª 7,00E+07 
5ª 1,00E+08 
Ré 1,00E+05 
Tipo de veículo: Carro de passeio 
Acúmulo de quilometragem: 100.000 a 200.000 km 
 
Assim, para cada marcha haverá um número de ciclos, associado à uma faixa de 
rotação que por sua vez é associada à uma faixa de torque, que irá resultar numa força 
tangencial 𝑊𝑡. Foram estimados, então, estes limites inferiores e superiores de rotação, 
como mostra a Tabela 4-14. 
Tabela 4-14: Relação de ciclos e torque por marcha 
Marcha Nº Ciclos 
n mínima 
(rpm) 
n máxima 
(rpm) 
T mínimo 
(Nm) 
T máximo 
(Nm) 
1ª 2,00E+06 1000 2000 66,6 126,5 
2ª 3,00E+07 2000 4000 116,6 141,5 
3ª 6,00E+07 2000 4000 116,6 141,5 
4ª 7,00E+07 2000 4000 116,6 141,5 
5ª 1,00E+08 2000 4000 116,6 141,5 
Ré 1,00E+05 1000 2000 66,6 126,5 
 
Nota-se que para um dente de engrenagem, o ciclo de carga associado se dá com 
um carregamento que parte de um valor zero até o valor de 𝑊𝑡 associado a faixa de 
rotação na qual o motor se encontra. Em outras palavras, o carregamento é extremamente 
variável, sendo possível a implementação de métodos de contagem de ciclos e da teoria 
de dano cumulativo (recomenda-se a leitura do capítulo dedicado de BUDYNAS e 
NISBETT [9]) para suavizar o nível de carga ao qual as engrenagens são submetidas, uma 
vez que se tenha dados compatíveis para análise. CASTRO [8], em seu trabalho, apresenta 
30 
um modelo de análise interessante baseado em sensoriamento dos semieixos de saída e 
de torque nas rodas, transformando estes valores em esforços nas engrenagens do sistema. 
Para o presente estudo, a favor do conservadorismo, foi assumido que os ciclos 
apresentados na Tabela 4-14 foram realizados no patamar superior de torque, dada a faixa 
de rotação estimada de cada par engrenado. 
A seguir, serão apresentados os critérios utilizados pela AGMA [18] e resumidos 
por BUDYNAS e NISBETT [9] para o cálculo de fadiga à flexão. 
 0
1 H B
F v s
t J
K K
K K K
F m Y
  (4.21) 
- Fator de sobrecarga (𝐾0): Tabelado pela AGMA 
[18] de acordo com a máquina 
acionada e a fonte de potência. Escolhido 1,75 para o estudo de caso. 
- Fato de tamanho (𝐾𝑠): BUDYNAS e NISBETT 
[9] apontam que não havendo 
fator prejudicial de tamanho, utiliza-se a um como valor deste parâmetro. 
- Fator de distribuição de carga (𝐾𝐻): Este coeficiente traduz a não uniformidade 
da distribuição de carga ao longo da linha de contato dos pares engrenados. Este 
fator se decompõe como: 
 1 ( )H mc pf pm ma eK C C C C C   (4.22) 
Sendo: 
o 𝐶𝑚𝑐 = {
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
0,8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
 
Logo, 𝐶𝑚𝑐 = 1 
o 𝐶𝑝𝑓 = {
𝐹
10𝑑𝑝
𝑃 − 0,025 𝐹 ≤ 25 𝑚𝑚
𝐹
10𝑑𝑝
𝑃 − 0,0375 + 4,92(10
−4)𝐹 25 < 𝐹 < 425 𝑚𝑚
 
o 
𝐹
10𝑑𝑝
𝑃 = 0,05 ; 𝑠𝑒 
𝐹
10𝑑𝑝
𝑃 < 0,05. 
o 𝐶𝑝𝑚 = 1,1; assumindo intervalo entre mancais 
𝑆1
𝑆
≥ 0,175. 
31 
o 𝐶𝑚𝑎 = 𝐴 + 𝐵𝐹 + 𝐶𝐹
2. 
Onde para unidades fechadas, comerciais [9]: 
𝐴 = 0,127
𝐵 = 0,0158
𝐶 = −0,930(10−4)
 
o 𝐶𝑒 = 1. 
- Fator de espessura de aro (𝐾𝐵 = 1): Tal fator se aplica quando a espessura do 
aro da engrenagem não é suficiente para suportar por completo a carga na raiz do 
dente. 
- Fator geométrico para resistência flexional (𝑌𝐽): Para a determinação deste fator 
são utilizadas duas curvas da AGMA [18] indicadas no ANEXO A, variando para 
cada par engrenado. 
Tendo então todos estes coeficientes calculados para cada pinhão, calcula-se a 
tensão atuante no dente de engrenagem, variando-se a largura de face a partir do valor 
mínimo encontrado em 4.2.3. 
Para cada par engrenado, deve-se associar a tensão atuante à tensão de flexão 
admissível, apresentada como: 
 
adm t N
F
F Z
S Y
S Y Y
  (4.23) 
- Tensão pura de flexão admissível (𝑆𝑡): Proposta pela AGMA 
[18] e utilizada como 
𝑆𝑡 = 0,703𝐻𝐵 + 113 = 454,6 𝑀𝑃𝑎. 
- Fator de segurança AGMA [18] (𝑆𝐹): É uma razão de tensões e pode ser imposto 
como premissa de projeto. Neste estudo, será um parâmetro de conferência para o 
dimensionamento. 
- Fator de ciclagem de tensão (𝑌𝑁): Este fator é associado às vidas diferentes de 
107 ciclos de carga. Dados os ciclos da Tabela 4-14, utilizando 𝑌𝑁 =
1,6831 𝑁−0,0323, para ciclos acima de 107 e 𝑌𝑁 = 1, para ciclos abaixo de 10
7. 
32 
- Fator de temperatura (𝑌𝜃): Dado como a unidade para temperaturas abaixo de 
120ºC. 
- Fator de confiabilidade (𝑌𝑍): Utilizado confiabilidade 99%, 𝑌𝑍 é dado com 1. 
Nota-se que a tensão admissível, diferentemente da tensão atuante, é dependente somente 
de propriedades do material e do número de ciclos realizados. Calcula-se, então, a tensão 
admissível para cada par engrenado, desconsiderando o fator de segurança (igualando-o 
a um). 
Tabela 4-15: Fator 𝒀𝑵 e tensão admissível de flexão 
Marcha Nº Ciclos 𝒀𝑵 
𝜎𝐹
𝑎𝑑𝑚 
(MPa) 
1ª 2,00E+06 1 454,66 
2ª 3,00E+07 9,65E-01 438,82 
3ª 6,00E+07 9,44E-01 429,10 
4ª 7,00E+07 9,39E-01 426,97 
5ª 1,00E+08 9,28E-01 422,08 
Ré 1,00E+05 1 454,66 
 
Tendo agora a tensão atuante e a tensão admissível, foram associados 3 critérios 
de resistência a fadiga, além do proposto pela AGMA (4.24), sendo eles Soderbug (4.25), 
Goodman (4.26) e ASME-elíptica (4.27). O objetivo desta apresentação é demonstrar 
certo conservadorismo empregado nas equações da AGMA [18], dando ao projetista a 
possibilidade de escolha do melhor critério a ser adotado. 
 t NF
F Z
S Y
S
Y Y


 (4.24) 
 
1a m
e y F
S S
S S S
  (4.25) 
 
1a m
e ut F
S S
S S S
  (4.26) 
33 
 
22
2
1a m
e y F
S S
S S S
  
     
   
 (4.27) 
Onde 𝑆𝑎 e 𝑆𝑚 são as tensões alternada e média, respectivamente, de 
carregamentos flutuantes e 𝑆𝑒 = 𝜎𝐹
𝑎𝑑𝑚, para o dado caso. 
 
Figura 4-6: Exemplo de carregamento flutuante – Elaborada pelo autor 
Checa-se também o escoamento local pelo critério de Langer: 
 
y
a m
F
S
S S
S
  (4.28) 
Assim, para cada relação, a variação da largura de face 𝐹 resultará em uma 
alteração na tensão atuante, e um cálculo de fator de segurança associado a cada critério. 
Tomou-se como ponto de partida um fator AGMA maior que a unidade e fator de 
segurança ao escoamento no mínimo 4, o mesmo utilizado em 4.2.3. O APÊNDICE B 
traz a metodologia resumida para esta seção e os valores finais de cada coeficiente de 
segurança calculado. 
Tabela 4-16: Estimativa de face por flexão – Análise de Fadiga 
Marcha 
𝐹 
(mm) 
 𝜎𝐹mínima 
(MPa) 
𝜎𝐹 máxima 
(MPa) 
𝑺𝑭 
AGMA 
𝑺𝑭 
Goodman 
𝑺𝑭 
Langer 
1ª 35 0 290,4 1,57 2,48 5,48 
2ª 30 0 337,4 1,30 2,07 4,71 
3ª 20 0 316,2 1,36 2,17 5,03 
4ª 20 0 267,9 1,59 2,55 5,94 
5ª 20 0 239,9 1,76 2,83 6,63 
Ré 35 0 314,8 1,44 2,28 5,05 
34 
4.2.5 Fadiga por Compressão superficial 
Como já salientado, este carregamento está associado a maioria das falhas de 
dentes de engrenagem. Novamente, a AGMA [18] propõe: 
 0
fm
C p t v s P
p
CK
C W K K Kd F I
  (4.29) 
Os fatores 𝑊𝑡, 𝐾0, 𝐾𝑣, 𝐾𝑠, 𝐶𝑝, 𝑑𝑝
𝑃, 𝐹 𝑒 𝐾𝑚 = 𝐾𝐻 são os mesmos apresentados 
anteriormente. 
- Fator de condição superficial (𝐶𝑓 ): Dado com um, visto que não há efeito 
prejudicial ao acabamento superficial. 
- Fator geométrico para resistência ao crateramento (𝐼): Equacionado por 
 
cos
2 1
t t T
N T
sen r
I
m r
 


 (4.30) 
Sendo: 
 
cosN n n
N
l l
p m
m
Z Z
 
  (4.31) 
 (4.32) 
 
2
2
cos
cos
P
pP
G
pG
P
bP t
G
bG t
d
r
d
r
r r
r r


 
 
 (4.33) 
Ainda: 
𝑆𝑒 {
(𝐼) > (𝐼𝐼𝐼), 𝑍𝑙 = (𝐼𝐼)
(𝐼𝐼) > (𝐼𝐼𝐼), 𝑍𝑙 = (𝐼)
(𝐼) 𝑒 (𝐼𝐼) < (𝐼𝐼𝐼), 𝑍𝑙 = (𝐼) + (𝐼𝐼) − (𝐼𝐼𝐼)
 
35 
Novamente, para a tensão de compressão superficial admissível: 
 
adm C N W
C
H Z
S Z Z
S Y Y
  (4.44) 
Desta vez, 𝑌𝜃 𝑒 𝑌𝑍 são os mesmos coeficientes já discutidos e: 
- Tensão de contato pura admissível (𝑆𝐶): Definido por 𝑆𝑐 = 2,41𝐻𝐵 + 237 =
1408 𝑀𝑃𝑎. 
- Fator de segurança AGMA [18] (𝑆𝐻): Análogo a 𝑆𝐹, será calculado a cada iteração 
de dimensionamento. 
- Fator de ciclagem 𝑍𝑁: De maneira análoga a 𝑌𝑁, a favor do conservadorismo, 
𝑍𝑁 = 1,4488 𝑁
0,023 para ciclos acima de 107 e 𝑍𝑁 = 1, caso contrário. 
- Fator de razão de dureza (𝑍𝑊): Para o pinhão, 𝑍𝑊 = 1. 
 C N WH
C Z
S Z Z
S
Y Y


 (4.45) 
Agora, os critérios das Equações (4.24) a (4.27), substituindo 𝑆𝐹 por 𝑆𝐻 , e a 
Equação (4.45) serão utilizados para verificar ou alterar as escolhas de largura de face 
obtidas em 4.2.4. Nota-se que este critério é mais crítico ao dimensionamento, observando 
os fatores de segurança calculados. 
Tabela 4-17: Estimativa de face por compressão superficial – Análise de 
Fadiga 
Marcha 
𝐹 
(mm) 
 𝜎𝐶mínima 
(MPa) 
𝜎𝐶 máxima 
(MPa) 
𝑺𝑯 
AGMA 
1ª 35 0 1118,8 1,09 
2ª 30 0 1145,1 1,04 
3ª 20 0 1113,4 1,15 
4ª 20 0 864,4 1,35 
5ª 20 0 722,9 1,60 
Ré 35 0 1223,9 1,00 
 
36 
Vale relembrar o conservadorismo aplicado considerando-se todos os ciclos de 
carga sendo feitos no valor de torque máximo da faixa de rotações selecionada (Tabela 
4-14) e ao fato de se considerar os ciclos da primeira marcha e da ré como 107 para os 
cálculos de 𝑌𝑁 e 𝑍𝑁. 
4.2.6 Dimensões Finais dos Pares Engrenados 
As dimensões finais para cada par engrenado se apresentam na Tabela 4-18. 
Tabela 4-18: Dimensões finais das engrenagens 
Marcha Relação Final 𝑵𝑷 
𝒅𝒑
𝑷 
(𝒎𝒎) 
𝑵𝑮 
𝒅𝒑
𝑮 
(𝒎𝒎) 
𝑭 
(mm) 
1ª 3,62:1 13 45 47 163 35 
2ª 2,94:1 15 52 44 153 30 
3ª 1,56:1 23 80 36 125 20 
4ª 0,96:1 30 104 29 100,5 20 
5ª 0,73:1 34 117,8 25 86,7 20 
Ré 3,50:1 12 41.5 42 145,5 35 
 
4.3 Cálculo dos Esforços nos Eixos 
Uma vez possuindo os parâmetros geométricos das engrenagens, os esforços nos 
eixos podem ser computados. A transmissão possuirá três eixos, um motor e um de saída, 
com uma engrenagem reversa fabricada no terceiro eixo, o de reversão. 
4.3.1 Seleção dos Sincronizadores 
Com os dados da Tabela 4-8 é possível calcular o torque máximo transmitido 
por cada coroa, para a seleção dos sincronizadores a serem empregados, no eixo de saída, 
conforme Figura 3-3. 
 
 
 
 
37 
Tabela 4-19: Esforço tangencial e torque máximo por marcha 
Marcha 
𝑾𝒕 
(𝑘𝑁) 
𝑻𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 
(Nm) 
1ª 6,5 530,3 
2ª 5,6 430,7 
3ª 3,7 228,8 
4ª 2,8 141,5 
5ª 2,7 107,8 
Ré 7,0 513,3 
 
Utilizando o catálogo da HOERBIGER (ANEXO B), a escolha baseada na 
geometria proposta pela Figura 3-3 e a faixa de torque utilizada leva a dois modelos: o 
CompactLine M e o CompactLine L. Com isso, alguns parâmetros dos eixos são 
condicionados por esta escolha: 
- Esforço nominal de acoplamento igual a 60 N. 
- Largura de estria de acoplamento do sincronizador igual a 28 mm. 
- Diâmetro base de estrias de acoplamento próximos a 39 e 46,5 mm 
respectivamente. 
- Módulo de estria de acoplamento do sincronizador próximo a 1,4. 
- Distância entre faces de engrenagens subjacentes igual a 40 mm. 
Com estas medidas e com a largura de face estabelecida para cada engrenagem, 
pode-se esboçar os eixos para que sejam determinados os esforços inicialmente. 
4.3.2 Eixo motor 
4.3.2.1 Cálculo de Extremo 
A metodologia a ser apresentada é aplicada ao eixo em suas dimensões finais 
construtivas, porém se inicia com as dimensões limitantes acima apresentadas. As 
distâncias entre mancais e de cada engrenagem para os mancais é dada por: 
38 
Tabela 4-20: Distância entre mancais e engrenagens – Eixo Motor 
Marcha 
𝑑1 
(mm) 
𝑑2 
(mm 
1ª 365 92 
2ª 292 165 
3ª 242 215 
4ª 182 275 
5ª 139 318 
Ré 71,5 385,5 
Distância entre mancais 𝒍: 457 
mm 
 
 
Figura 4-7: Distância entre mancais – Eixo Motor 
Se tratando de engrenagens helicoidais, os esforços no eixo acontecem em três 
direções x,y e z. 
 
Figura 4-8: Desenho esquemático dos esforços no eixo motor 
39 
 
Figura 4-9: Esforços nos planos yz e zx – Eixo Motor 
No cálculo de extremo foi empregado um fator estático 𝐾0𝑒 = 1,5 considerado 
eventuais choques nos acoplamentos do sistema de transmissão e o valor de torque 
máximo utilizado na análise de 4.2.3. Em um primeiro momento, checa-se o critério de 
flambagem devido à carga axial 𝑊𝑎 = 𝑅2
𝑧 . BUDYNAS e NISBETT [9] apresentam a 
seguinte formulação para este critério: 
 
1
2 2
1
2
y
l C E
k S
  
        
 (4.46) 
- (
𝑙
𝑘
)
1
 é o valor de coeficiente de esbeltez acima do qual se utiliza a equação de 
Euler. 
- 𝑘 é o raio de giração dado por 𝑘 = (
𝐼𝐴
𝐴
)
1
2
, sendo 𝐼𝐴 o momento de inércia 
𝜋𝑑𝑒
4
64
 em 
𝑚𝑚4 e 𝐴 a área de seção do elemento em 𝑚𝑚2. 
- 𝐶 é uma constante dependente das condições de extremidades. No caso fixo -
livre 𝐶 = 0,25 [9]. 
Logo: (
𝑙
𝑘
)
1
=25,4. 
Tomando a fórmula de Euler [9] e checando o coeficiente acima exposto: 
 
2
0
2( / )
e aK W C E
A l k

 (4.47) 
Resolvendo (4.47) para o diâmetro mínimo de cada seção: 
40 
 
2
0
4
min 2
64 e al K Wd
C E


 (4.48) 
Resultando em um 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 15 𝑚𝑚 de maior valor, encontrado para a relação da 
Ré. 
 Para a configuração no plano zx o diagrama 3.1 do ANEXO A será utilizado, 
resultando em: 
 
0 1 2
max
0 1
2
0 2
1
e t
x e t
x e t
K W d d
M
l
K W d
R
l
K W d
R
l



 (4.49) 
O valor máximo de esforço cortante 𝑄𝑚𝑎𝑥 é igual ao maior valor entre 𝑅2
𝑥 e 𝑅1
𝑥. 
Com flecha máxima igual a: 
 
 
 
3/2
2 2
0 1 1
2 1
3/2
2 2
0 2 2
1 2
,
9 3
,
9 3
e t
A
m
e t
A
K W d l d
se d d
EI l
f
K W d l d
se d d
EI l
 
 

 
 


 (4.50) 
Deflexões nas extremidades, em módulo: 
 
2 2 2 2
0 2 0 1
1 2
( ) ( )
;
6 6
e t e t
A A
K W l d K W l d
EI l EI l
 
 
  (4.51) 
Utilizando o valor de 𝑊𝑡 por marcha, os esforços no plano zx: 
 
 
 
 
41 
Tabela 4-21: Esforços extremos no plano zx 
Marcha 
𝒅𝟏 
(mm) 
𝒅𝟐 
(mm 
𝑹𝟏
𝒙 
(kN) 
𝑹𝟐
𝒙 
(kN) 
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝒛𝒙 
(Nm) 
𝑸𝒎𝒂𝒙
𝒛𝒙 
(kN) 
𝑻𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
1ª 365 92 1,96 7,80 718,67 7,80 
146,4 
2ª 292 165 3,04 5,40 890,00 5,40 
3ª 242 215 2,57 2,91 625,14 2,91 
4ª 182 275 2,53 1,68 462,94 2,53 
5ª 139 318 2,59 1,13 360,66 2,59 
Ré 71,5 385,5 8,92 1,65 638,34 8,92 
 
Para o plano yz a sobreposição dos diagramas 3.1 e 3.2 (ANEXO A) foram 
utilizados, sendo o valor do momento do segundo diagrama dado por 𝑀𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 =
𝑊𝑎𝑑𝑝
𝑃
2
, 
aplicado ao mancal fixo. Para o primeiro diagrama, a força agora será substituída por 𝑊𝑟. 
Assim, adicionalmente à formulação já apresentada, em módulo: 
 
0
max
0
2 2
2
2
P
e a pM
P
e a pMx My
K W d
M
K W d
R R
l

 
 (4.52) 
Com flecha máxima e deflexões, em módulo, iguais a: 
 
2
max
max max
1 2
9 3
;
6 3
M
M
m
A
M M
M M
A A
M l
f
EI
M l M l
EI EI
 

 
 (4.53) 
A soma entre a parcela de esforços causada por 𝑊𝑟 e pelo momento 
𝑊𝑎𝑑𝑝
𝑃
2
 é feita 
da seguinte forma: 
- Para os esforços 𝑅1
𝑦
 e 𝑅2
𝑦
:1 1 1 2 2 2;
r rW y W yy My y MyR R R R R R    (4.54) 
- Para o momento 𝑀𝑚𝑎𝑥: 
42 
 max 1max max
r
M
W M d
M M
l
  (4.55) 
Novamente: 
Tabela 4-22: Esforços extremos no plano yz 
Marcha 
𝒅𝟏 
(mm) 
𝒅𝟐 
(mm 
𝑹𝟏
𝒚
 
(kN) 
𝑹𝟐
𝒚
 
(kN) 
𝑹𝟐
𝒛 
(kN) 
𝑴𝒎𝒂𝒙
𝒚𝒛
 
(Nm) 
𝑸𝒎𝒂𝒙
𝒚𝒛
 
(kN) 
𝑻𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
1ª 365 92 0,55 3,55 3,75 276,46 3,55 
146,4 
2ª 292 165 1,00 2,54 3,25 328,37 2,55 
3ª 242 215 0,80 1,50 2,11 203,17 1,50 
4ª 182 275 0,78 0,98 1,62 118,37 0,99 
5ª 139 318 0,81 0,75 1,43 63,34 0,81 
Ré 71,5 385,5 3,47 0,97 4,07 161,32 3,47 
 
Então soma-se vetorialmente os valores das tabelas Tabela 4-21 e Tabela 4-22 
para o dimensionamento final por extremo. 
Tabela 4-23: Cargas resultantes extremas – Eixo Motor 
Marcha 
𝒅𝟏 
(mm) 
𝒅𝟐 
(mm 
𝑹𝟏 
 (kN) 
𝑹𝟐 
(kN) 
𝑴𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
𝑸𝒎𝒂𝒙 
(kN) 
𝑻𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
1ª 365 92 2,04 9,35 770,01 8,56 
146,4 
2ª 292 165 3,20 6,80 948,67 5,97 
3ª 242 215 2,70 3,90 657,33 3,28 
4ª 182 275 2,66 2,54 477,84 2,66 
5ª 139 318 2,72 1,98 366,19 2,72 
Ré 71,5 385,5 9,58 4,50 658,41 9,58 
 
Assim, passando os esforços para o plano de tensões: 
 max max 0 max
3 2 3
32 4 16
; ; eM Q T
e e e
M Q K T
d d d  
      (4.56) 
Com estes dados, a teoria de Von Mises para tensões planas foi utilizada [9]. 
 
43 
 
1
2 2 2 2( 3 )x x y y xy        (4.57) 
Sendo: 
{
𝜎𝑥 = 𝜎𝑀 + 𝜎𝑄
𝜎𝑦 = 0
𝜏𝑥𝑦 = 𝜎𝑇
 
As seções mínimas requeridas por cada seção do eixo motor foram encontradas 
variando-se o diâmetro do eixo 𝑑𝑒 e novamente impondo uma tensão admissível 
de 𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑆𝑦
4
 do material apresentado na tabela Tabela 4-10. Foi também calculado a 
seção mínima da região sujeita a torção pura, relativo a estria de entrada do eixo motor. 
Tabela 4-24: Dimensionamento por extremo – Eixo Motor 
Marcha 
𝑑𝑒
𝑚𝑖𝑛
 
(mm) 
𝜎𝑀 
(MPa) 
𝜎𝑄 
(MPa) 
𝜎𝑇 
(MPa) 
𝜎′ 
(MPa) 
 𝜎𝑎𝑑𝑚 
(MPa) 
1ª 27,65 371,03 14,26 52,91 396,04 
397,5 
2ª 29,40 380,25 8,80 44,01 396,45 
3ª 26,10 376,58 6,12 62,90 397,91 
4ª 23,75 363,32 6,15 83,49 396,76 
5ª 22,07 346,97 7,11 104,04 397,30 
Ré 26,40 364,49 17,50 60,78 396,24 
Torção 
Pura 
16,96 - - - 397,09 
 
Uma seção mínima de 30 mm foi estabelecida para todas as seções do eixo, a 
favor do conservadorismo. 
4.3.2.2 Cálculo de Fadiga 
Para o cálculo de fadiga, analogamente ao que foi apresentado em 4.2.4, serão 
utilizados os dados da Tabela 4-14 e deste modo será implementada a teoria de dano 
cumulativo, tendo em vista os ciclos de carga que o eixo sofre para cada par engrenado. 
De forma conservadora, mais uma vez, os ciclos de carga foram considerados com a 
variação de momento reverso, com seu valor variando de −𝜎𝑀 a +𝜎𝑀 e o torque indo de 
um valor de torque mínimo até o patamar máximo dado pela Tabela 4-14, indo de 𝜎𝑇
𝑚𝑖𝑛 
44 
a 𝜎𝑇
𝑚𝑎𝑥, calculadas usando a metodologia da seção 4.3.2.1. Para a primeira marcha e a 
Ré, o patamar de torque mínimo é zero pois, em teoria, o mecanismo não está 
transmitindo potência até que estas relações sejam selecionadas. 
Os carregamentos de fadiga se apresentam como: 
Tabela 4-25: Carregamentos de fadiga – Eixo Motor 
Marcha Nº Ciclos 
𝑴𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
𝑻𝒎𝒊𝒏 
(Nm) 
𝑻𝒎𝒂𝒙 
(Nm) 
1ª 2,00E+06 408,85 0 126,5 
2ª 3,00E+07 611,28 116,6 141,5 
3ª 6,00E+07 423,55 116,6 141,5 
4ª 7,00E+07 307,90 116,6 141,5 
5ª 1,00E+08 235,95 116,6 141,5 
Ré 1,00E+05 349,60 0 126,5 
 
Aplicando a teoria demonstrada por BUDYNAS e NISBETT [9] para fadiga em 
eixos e combinação de modos de carregamento, as tensões atuantes são calculadas por: 
 
1
2 2
2
1
2 2
2
3
0,85
3
0,85
axial
flexão flexão axial torção torçãoa
a f a f fs a
axial
flexão flexão axial torção torçãom
m f m f fs m
K K K
K K K
   
           
   
   
           
   
 (4.58) 
Em que: 
- 𝜎𝑎 e 𝜎𝑚 são as tensões média e alternada, para cada carregamento: 
o 𝜎𝑎
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
= 𝜎𝑀 ; 𝜎𝑚
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
= 0 
o 𝜏𝑎
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
=
𝜎𝑇
𝑚𝑎𝑥−𝜎𝑇
𝑚𝑖𝑛
2
 ; 𝜏𝑚
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
=
𝜎𝑇
𝑚𝑎𝑥+𝜎𝑇
𝑚𝑖𝑛
2
 
o 𝜎𝑎
𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = 𝜎𝑚
𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = 0 
- 𝐾𝑓 é o fator de concentração de tensão para fadiga calculado como: 
45 
o 𝐾𝑓
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
= 1 + 𝑞(𝐾𝑡
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
− 1), 𝑞 e 𝐾𝑡
𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
 retirados dos diagramas 4 
e 6 do ANEXO A. 
o 𝐾𝑓𝑠
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
= 1 + 𝑞(𝐾𝑡𝑠
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
− 1) , 𝑞 e 𝐾𝑡𝑠
𝑡𝑜𝑟çã𝑜
 analogamente retirados 
dos diagramas 5 e 7 do ANEXO A. 
Uma última transformação, necessária para a aplicação da teoria de dano 
cumulativo, é a equivalência das tensões 𝜎𝑎
′ e 𝜎𝑚
′ para um carregamento puramente 
reverso, usando Goodman [9]. 
 
1 ( / )
Goodman a
rev
m utS

 
 
 (4.59) 
Deste modo, para a seção teórica de 30mm, os valores de tensão atuante 
calculados: 
Tabela 4-26: Tensão reversa equivalente – Eixo Motor 
Marcha Nº Ciclos 
𝜎𝑟𝑒𝑣
𝐺𝑜𝑜𝑑𝑚𝑎𝑛 
(MPa) 
1ª 2,00E+06 283,8 
2ª 3,00E+07 303,8 
3ª 6,00E+07 221,8 
4ª 7,00E+07 167,2 
5ª 1,00E+08 128,2 
Ré 1,00E+05 170,8 
 
Calcula-se a seguir a tensão admissível de fadiga para este elemento definido por 
BUDYNAS e NISBETT [9]: 
 e a b c d e f eS k k k k k k S  (4.60) 
- Limite de resistência do material dado por 𝑆𝑒
′ = 700𝑀𝑃𝑎 , para 𝑆𝑢𝑡 >
1400 𝑀𝑃𝑎. 
- Fator de superfície 𝑘𝑎 = 𝑎𝑆𝑢𝑡
𝑏 , em que 𝑎 = 1,58 e 𝑏 = −0,085, para superfície 
retificada resultando em 𝑘𝑎 = 0,838. 
46 
- Fator de modificação de tamanho 𝑘𝑏 = 1,24 𝑑𝑒
−0,107 = 0,861 , para 2,79 <
𝑑𝑒 < 51𝑚𝑚. 
- Fator de modificação de carga 𝑘𝑐 = 1, para carregamentos combinados. 
- Fator de modificação de temperatura 𝑘𝑑 = 1, para temperaturas abaixo de 250 
ºC. 
- Fator de confiabilidade 𝑘𝑒 = 0,814, com confiabilidade de 99% associada. 
- Fatores de efeitos diversos 𝑘𝑓 = 1. 
Logo 𝑆𝑒 = 411,8 𝑀𝑃𝑎 é o valor limite de tensão para esta geometria. 
Fazendo uso das formulações (4.24) a (4.27), calculam-se os fatores de 
segurança para cada critério. Adicionalmente, o método de dano acumulado necessita de 
mais algumas equações. 
Calcula-se o número de ciclos de carga possíveis, a um dado nível de tensão por: 
 
1/ fbGoodman
possíveis rev
ciclos
f
N
a
 
   
 
 (4.61) 
- Coeficientes do material 𝑎𝑓 = 2144,27 e 𝑏𝑓 = −0,095, retirados de efatigue 
[19], site recomendado para consulta e análises de fadiga. 
Assim, a teoria de Palmgren-Miner [9] diz que o somatório de razões entre ciclos 
realizados e ciclos possíveis, para cada nível de tensão, nos dá o dano acumulado, sendo 
se este valor se igualar a 1 a falha ocorrerá. 
 
realizados
ciclos
possíveis
ciclos
N
D
N
 (4.62) 
Novamente são apresentadas algumas maneiras de se analisar o critério de 
fadiga. Como anteriormente citado, a teoria de dano cumulativo permite uma melhor 
distribuição das cargas que um elemento mecânico vê em vida. Desta forma, a otimização 
do componente pode ser realizada da melhor maneira, quanto mais se conheça sobre as 
cargas atuantes, separando os níveis de carregamento por ocorrência. 
47 
Tabela 4-27: Dimensionamento por fadiga – Eixo Motor 
Marcha 𝑁𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠 
𝑭𝑺 
Goodman 
𝑭𝑺 
Langer 
Dano 
Acumulado 
(𝐷) 
1ª 2,00E+06 1,44 5,26 
0,039 
2ª 3,00E+07 1,34 4,57 
3ª 6,00E+07 1,81 6,07 
4ª 7,00E+07 2,36 7,61 
5ª 1,00E+08 3,01 9,29 
Ré 1,00E+05 1,68 6,06 
 
4.3.3 Eixo de Saída 
4.3.3.1 Cálculo de Extremo 
Utilizando toda a metodologia discutida em 4.3.2, o resultado do cálculo de 
extremo para o eixo de saída se apresenta na Tabela 4-28. A única diferença entre os dois 
dimensionamentos é no valor de torque, agora multiplicado pela relação de transmissão. 
Tabela 4-28: Dimensionamento por extremo – Eixo de Saída 
Marcha 
𝑑𝑒
𝑚𝑖𝑛
 
(mm) 
𝜎𝑀 
(MPa) 
𝜎𝑄 
(MPa) 
𝜎𝑇 
(MPa) 
𝜎′ 
(MPa) 
 𝜎𝑎𝑑𝑚 
(MPa) 
1ª 30,00 290,49 12,11 150,04 398,88 
397,5 
2ª 31,25 316,64 7,79 132,75