Cálculo de Derivadas e Análise de Função

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFRJ
Matemática II - Turma ACD P1 — 08/05/2018
Nome:
Matŕıcula:
Todas as questões devem ser justificadas com clareza. Duração: 1h30min
É permitido o uso de calculadora simples. Não é permitido celular ou calculadora grafica.
Questão 1. • Calcular a derivada da função
fpxq “
lnpx2 ` xq ` 3
ex3 ´ x
• Calcule os limites
lim
xÑ`8
lnp 7
a
px` 3qq
lnp 3
?
7xq
, lim
xÑ0
x´ lnpx` 1q
e2x2`1 ´ e
Solution: Consideramos o primeiro limite. Quando x Ñ `8, o numerador tende a `8 e o denominador tende a `8. O
limite então é uma forma indeterminada 8{8. A derivada do denominador é Drlnp 3
a
p7xqq “ Dr 13 lnp7xqs “
1
3
1
7x ¨ 7 “
1
3x
é diferente de zero quando x é muito grande. As duas funções são diferenciaveis em p0,`8q. Podemos usar a regra de De
l’Hospital. Temos
lim
xÑ`8
lnp 7
a
px` 3qq
lnp 3
?
7xq
“ lim
xÑ`8
Dr 17 lnpx` 3qs
Dr 13 lnp7xqs
“ lim
xÑ`8
1
7
1
x`3
1
3
1
7x ¨ 7
“ lim
xÑ`8
3
7
x
x` 3
“
3
7
.
Consideramos agora o segundo limite. As funções são diferenciaveis em p´1,`8q, e então perto de 0 (tende a e2¨0`1 ´ e “
e´ e “ 0). A derivada do denominador é Dre2x
2
`1 ´ es “ e2x
2
`1 ¨ 4x, e então é diferente de zero por x perto de 0. Podemos
então aplicar a regra de De L’Hospital. Temos
lim
xÑ0
x´ lnpx` 1q
e2x2`1 ´ e
“ lim
xÑ0
1´ 1x`1
e2x2`1 ¨ 4x
“ lim
xÑ0
x
x`1
4x ¨ e2x2`1
“ lim
xÑ0
x
px` 1q4xe2x2`1
“ lim
xÑ0
1
4px` 1qe2x2`1
“
1
4e
Questão 2. Entre todos os prismas a base quadrada de superficie total fixada S ą 0, encontrar as dimensões (lado, altura)
do prisma com volume máximo.
Solution: Um prisma a base quadrada tem lado x e altura h. A sua area de base é AB “ x
2, a area lateral é AL “ 4xh e
então a superficie total S é
S “ 2AB `AL “ 2x
2 ` 4xh .
O S é fixado (constante) e então podemos deduzir que 4xh “ S ´ 2x2 e então que h “ S´2x
2
4x . O volume do prisma é
V “ x2h “ x2
S ´ 2x2
4x
“
xpS ´ 2x2q
4
.
Esta é a quantidade a maximizar. É claro que querendo h ě 0, isto limita que S ´ 2x2 ě 0 e x ě 0 e então 0 ď x ď
a
S{2.
Vai ser preciso então encontrar o maximo absoluto de V pxq no intervalo r0,
a
S{2s. Calculamos
V 1pxq “
1
4
pS ´ 6x2q
Pomos
V 1pxq ě 0 ðñ S ´ 6x2 ě 0 ðñ 0 ď x ď
a
S{6
Então V esta crescendo no intervalo p0,
a
S{6 e decrescendo no intervalo p
a
S{6,
a
S{2q. O máximo absoluto se encontra em
x “
a
S{6. Neste caso h “ S´2S{64x “
S{6?
S{6
“
a
S{6 “ x, ou seja o prisma é um cubo.
Questão 3. Estudar dominio, simetrias, sinal, limites, derivada e seu sinal, concavidade e convexidade da função:
fpxq “ xe1´x
2
.
Dica: para calcular limxÑ`8 fpxq, observar que xe
1´x2 “ e
x
ex2
“
e
x
x2
ex2
.
Dica: se decidir usar a simetria, estude em modo particular o que acontece, a ńıvel de derivadas e concavidade, no ponto 0 e
numa sua vizinhança.
Desenhar os pontos de máximos e de mı́nimos, pontos de flexos e tangentes inflexionais; usar todas as informações encontradas
para esboçar o grafico da função.
Solution:
• Dominio: R.
• Simetrias fp´xq “ ´xe1´p´xq2 “ ´xe1´x2 “ ´fpxq. A função é impar e presenta então simetria com respeito a origem.
• Sinal.
fpxq ě 0 ðñ xe1´x
2
ě 0 ðñ x ě 0
• Limites. A função não presenta pontos de discontinuidade no seu dominio. Os extremos do dominio são ˘8. A causa
da simetria consideraremos só o limite no `8. Seguindo a dica: Temos
lim
xÑ`8
xe1´x
2
“ lim
xÑ`8
e
x
x2
ex2
“ 0
porquê o fator e{x tende claramente a zero, e o fator x2{ex
2
tende a zero porque (foi provado em sala) o exponencial
tende a infinito mais rapidamente do que qualquer polinomio, ou se quiserem, pondo y “ x2,
lim
xÑ`8
x2
ex2
“ lim
yÑ`8
y
ey
“ 0 .
Por simetria deduzimos limxÑ´8 fpxq “ 0. Então temos assintota horizontal y “ 0 para x Ñ ˘8. Não ha outros
limites para considerar.
• Derivada. Temos f 1pxq “ e1´x2 ` xe1´x2p´2xq “ e1´x2p1´ 2x2q. Temos
f 1pxq ě 0 ðñ e1´x
2
p1´ 2x2q ðñ 1´ 2x2 ě 0 ðñ ´
1
?
2
ď x ď
1
?
2
.
Então f desce até x “ ´ 12 , depois cresce até x “
1?
2
, depois descresce. Considerando também o sinal podemos dizer que
o mı́nimo absoluto é em x “ ´ 1?
2
e o maximo absoluto é em x “ 1?
2
„ 0.7. Temos fp1{
?
2q “ 1?
2
e1´1{2 “
?
e
?
2
„ 1.166.
Temos f 1p0q “ e.
• Concavidade. Temos
f2pxq “ e1´x
2
p´2xqp1´ 2x2q ` e1´x
2
p´4xq “ 2xe1´x
2
p´1` 2x2 ´ 2q “ 2xe1´x
2
p2x2 ´ 3q .
Temos que
f2pxq ě 0 ðñ xp2x2 ´ 3q ě 0 ðñ xp
?
2x´
?
3qp
?
2x`
?
3q ě 0
Fazendo o grafico da disegualdade se encontra que f é concava em x ă ´
a
3{2, convexa em ´
a
3{2 ă x ă 0, e por
simetria, concava em 0 ă x ă
a
3{2, e convexa em x ą
a
3{2. Flexos: p´
a
3{2,´
a
3{2eq, p0, 0q, p
a
3{2,
a
3{2eq.
• Completamos as informações calculando a derivada nos flexos. f 1p0q “ e, f 1p
a
3{2q “ ´2{
?
e „ ´1.21, f 1p´
a
3{2q “
´2{
?
e „ ´1.21
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Pomos todas as informações no grafico:
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INSTITUTO DE MATEMÁTICA UFRJ
Matemática II - Turma ACA P1 — 08/05/2018
Nome:
Matŕıcula:
Todas as questões devem ser justificadas com clareza. Duração: 1h30min
É permitido o uso de calculadora simples. Não é permitido celular ou calculadora grafica.
Questão 1. • Calcular a derivada da função
fpxq “
e3x
2
x7 ´ 2 lnpxq
.
• Calcule os limites
lim
xÑ0
ex
2
´ 1
lnp
?
x2 ` 1q
, lim
xÑ´1
?
x` 10` 3 3
?
x
4x2 ` 3x´ 1
Solution: Consideramos o primeiro limite. As funções são diferenciaveis em tudo R. O numerador tende a e0 ´ 1 “ 0, por
x que tende a zero. O denominador tende a lnp1q “ 0 por x que tende a 0. A derivada do denominador é
Drlnp
a
x2 ` 1qs “
1
2
1
x2 ` 1
¨ 2x
é diferente de zero por x perto de 0. Então podemos aplicar a regra de De L’Hospital. Temos
lim
xÑ0
ex
2
´ 1
lnp
?
x2 ` 1q
“ lim
xÑ0
2xex
2
x
x2`1
“ lim
xÑ0
2ex
2
1
x2`1
“ 2 .
Consideramos agora o segundo limite. As funções são diferenciaveis em tudo x ě ´10, x ‰ ´1, x ‰ 1{4 e então perto
de x “ ´1. O numerador tende a 0 quando x tende a ´1, o denominador tende também a 0 quando x tende a ´1. Então
podemos aplicar a regra de De L’Hospital. Temos
lim
xÑ´1
?
x` 10` 3 3
?
x
4x2 ` 3x´ 1
“ lim
xÑ´1
1
2
?
x`10
` 3 1
3
3?
x2
8x` 3
“ lim
xÑ´1
1
6 ` 1
´8` 3
“
7
6p´5q
“ ´
7
30
.
Questão 2. Um determinado produto é produzido e vendido a um preço unitario p. O preço unitario p em reais da venda
não é constante, mas varia em função da quantidade q de unidades produzidas de acordo com a equação
p “ 51´
q2
36
.
Admitimos que para produzir e vender uma unidade do produto a empresa gasta 3 reais. Que quantidade q deverá ser
produzida para que o lucro seja maximo?
Solution: O lucro total, quando se produzem q unidades, é dado por a receita total menos o custo total; a receita total é
dada por ppqqq, e o custo total é dado por 3q.
Lpqq “ ppqq ¨ q ´ 3q “ 51q ´
q3
36
´ 3q .
Aqui q é naturalmente limitado por q ě 0 e por o fato que o preço unitario não pode ser negativo: então 51´ q2{36 ě 0, ou
seja
51 ¨ 36´ q2 ě 0 ,
o que da 0 ď q ď 6
?
51 „ 42.8. Temos então que maximizar o lucro Lpqq neste intervalo de q. A derivada L1pqq é dada por
L1pqq “ 51´
3q2
36
´ 3 “ 48´
q2
12
“
576´ q2
12
.
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Agora temos
L1pqq ě 0 ðñ 576´ q2 ě 0
e isto, nas limitações, q ě 0 implica 0 ď q ď 24. Então a função L cresce até q “ 24 e depois decresce. O máximo absoluto
de L se encontra então em q “ 24.
Questão 3. Estudar dominio, simetrias, sinal, limites, derivada e seu sinal, concavidade e convexidade da função.
fpxq “
3x
x2 ` 1
.
Dica: se decidir usar a simetria, estude em modo particular o que acontece, a ńıvel de derivadas e concavidade, no ponto 0 e
numa sua vizinhança.
Desenhar os pontos de máximos e de mı́nimos, pontos de flexos e tangentes inflexionais; usar todas as informações encontradas
para esboçar o grafico da função.
Solution:
• Dominio: R.
• Simetrias: fp´xq “ ´3x1`p´xq2 “ ´
3x
1`x2 “ ´fpxq. A função é impar, e então presenta simetria com respeito à origem.
• Sinal. Temos
fpxq ě 0 ðñ3x
1` x2
ě 0 ðñ x ě 0
porque o fator 1` x2 ą 0 em tudo R.
• A função é continua no seu dominio (em tudo R). O único limite para considerar, dada a simetria, é o limite em
xÑ `8. Temos
lim
xÑ`8
3x
1` x2
“ lim
xÑ`8
x
x
3
1
x ` x
“ lim
xÑ`8
3
1
x ` x
“ 0
porque o denominador tende a 0`8 “ `8 e o numerador tende a 3. Por simetria temos que
lim
xÑ´8
fpxq “ 0 .
Temos então assintota horizontal y “ 0 por xÑ ˘8.
• Derivada. Temos
f 1pxq “
3p1` x2q ´ 3xp2xq
p1` x2q2
“
3´ 3x2
p1` x2q2
.
Então
f 1pxq ě 0 ðñ 3
1´ x2
p1` x2q2
ě 0 ðñ 1´ x2 ě 0 ðñ ´1 ď x ď 1 .
Então f é decrescente em p´8,´1q, crescente em p´1, 1q, decrescente em p1,`8q. Tendo em conta o sinal, temos
então um mı́nimo absoluto em x “ ´1, e um máximo absoluto em x “ 1. Minimo: p´1,´3{2q. Máximo: p1, 3.2q.
• Concavidade e convexidade. Temos
f2pxq “ 3
p´2xqp1` x2q2 ´ p1´ x2q ¨ 2 ¨ p1` x2q ¨ 2x
p1` x2q4
“ 3
2xp´1´ x2 ´ 2` 2x2q
p1` x2q3
“ 6
xpx2 ´ 3q
p1` x2q3
.
Temos que
f2pxq ě 0 ðñ 6
xpx2 ´ 3q
p1` x2q3
ě 0 ðñ xpx2 ´ 3q ě 0 ðñ xpx´
?
3qpx`
?
3q ě 0 .
Fazendo o grafico de cada fator, encontramos que f é concava em p´8,´
?
3q,, e em p0,
?
3q e convexa em p´
?
3, 0q,
p
?
3,`8q. Os pontos de flexos são x “ ˘
?
3, x “ 0. Flexos: p´
?
3,´ 3
?
3
4 q, p
?
3, 3
?
3
4 q, p0, 0q.
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• Para completar as informações calculamos a derivada nos pontos de flexo. Temos f 1p0q “ 3, f 1p˘
?
3q “ ´3{8. Pomos
todas as informações no grafico:
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