O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil

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PÓS - Engenharia de Estruturas e Fundações 
PROVA - O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil 
1) Dentre as etapas no desenvolvimento de modelos numéricos, algumas devem ser seguidas. A sequência 
das etapas a serem executadas permite distinguir cada relação importante, como as funções de 
interpolação, condições de contorno e matriz de rigidez. Com relação a esses elementos, podemos definir: 
I. As funções de interpolação definem como a variável a ser estudada se comporta dentro de cada 
elemento. 
II. As matrizes de rigidez definem as condições a serem aplicadas nas faces de cada elemento. 
III. O método de resíduos ponderados é uma técnica aplicada para solução dos problemas por meio dos 
métodos de elementos finitos. 
IV. A formulação analítica do problema considera que o comportamento a ser estudado é descrito por meio 
de uma sequência de subtrações. 
V. As matrizes elementares destacam o comportamento de cada elemento do problema discretizado. 
São verdadeiras apenas as asserções:
Alternativas: 
• Somente V. 
• I - III - V. CORRETO 
• Somente III. 
• I - II - IV. 
• III - IV. 
Resolução comentada: A asserção I está correta, já que as funções de interpolação permitem definir como 
as variáveis estudadas se comportam conforme aplicação de uma condição de contorno. 
A asserção II está incorreta, pois as matrizes de rigidez definem o comportamento global do problema, e 
não as condições de contorno (aplicadas às faces). 
A asserção III está correta, já que o método dos resíduos ponderados é um dos principais para solução do 
MEF. 
A asserção IV está incorreta, pois a formulação analítica prevê que a função original seja um polinômio de 
mesma ordem que a equação diferencial. Por exemplo, uma equação diferencial de segunda ordem é 
originada de um polinômio de segundo grau. 
A asserção V está correta, já que as matrizes elementares descrevem o comportamento físico e as respostas 
para cada elemento. Essa matriz depois será usada para construir a matriz de rigidez. 
2) I. No desenvolvimento de um projeto estrutural, o engenheiro não deve confiar plenamente no software, 
por mais completo e complexo que o software seja. 
PORQUE 
II. A responsabilidade civil é do engenheiro e não da empresa de software; além disso, se faz necessário 
conferir se a estrutura foi modelada corretamente, através de seu comportamento estrutural esperado. 
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas: 
 
Alternativas: 
• A primeira asserção está incorreta e a segunda justifica a primeira. 
• A primeira asserção está incorreta e justifica a segunda. 
• Ambas asserções estão incorretas. 
• A primeira asserção está correta e a segunda justifica a primeira. CORRETO 
• A primeira asserção está correta e a segunda está incorreta. 
Resolução comentada: A afirmação I é correta, um engenheiro não deve confiar plenamente no software, 
porque a responsabilidade recai sobre ele e não sobre o software. Ainda assim é necessário ter cautela ao 
se modelar estruturas no computador, pois na produção de um projeto, o engenheiro é o último capaz de 
perceber algum erro. 
A afirmação II é correta, pois é o engenheiro quem deve conferir se o modelo numérico do computador 
representa o comportamento real de uma estrutura, uma vez que a responsabilidade civil recai sobre ele. 
Estão, as duas estão corretas e a segunda justifica a primeira. 
3) No estudo dos elementos finitos, sempre houve a necessidade de definir se os elementos são 
isoparamétricos ou não. Esse detalhe é de suma importância para permitir o estudo do comportamento das 
deformações causadas nos elementos. De acordo com as expressões aplicadas para descrever o 
comportamento dos elementos, um elemento isoparamétrico é: 
 
Alternativas: 
• Aquele que só pode ser descrito por meio de um sistema de coordenadas naturais, já que a análise 
não é válida no sistema geral. 
• Aquele que não possui sistema de coordenadas natural, já que depende de coordenadas relativas. 
• Aquele cujas funções de interpolação são lineares, o que reflete em funções semelhantes em 
qualquer sistema de coordenadas. 
• Aquele cuja relação de transformação entre os sistemas de coordenadas natural e geral é feito por 
um polinômio de segundo grau. 
• Aquele cujo comportamento pode ser descrito por funções de mesma ordem independente do 
sistema de coordenadas. CORRETO 
Resolução comentada: Um elemento isoparamétrico é aquele cujas funções que descrevem seu 
comportamento são polinômios que possuem a mesma ordem de grandeza independente do sistema de 
coordenadas, seja geral ou o natural. Essa transformação independe da geometria do elemento, podendo 
ser bidimensional ou tridimensional. Caso essa transformação seja função da geometria, ou a 
transformação adicionar ou reduzir a ordem do polinômio, então este elemento não será isoparamétrico. 
4) O uso da tecnologia BIM permitiu um grande avanço no desenvolvimento de projetos, embora muitos 
profissionais ainda se apresentem receosos ao usar esta tecnologia. Julgue as afirmações a seguir em 
Verdadeiro ou Falso. 
( ) BIM é um acrônimo do inglês para building inteligence method, que corresponde à tradução de método 
de construção inteligente. 
( ) Os softwares na metodologia BIM são muito usados para gerenciar diversos projetos e verificar eventuais 
interferências entre si. 
( ) BIM é uma técnica que permite a construção de um modelo virtual com todas as informações da obra, 
permitindo até que a estrutura seja testada por simulações no computador. 
( ) O BIM é um sinônimo de MEF, ambos são usados para solução numérica de problemas físicos. 
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta. 
 
Alternativas: 
• F – V – V – F. CORRETO 
• V – F – F – V. 
• F – V – F – V. 
• V – V – F – V. 
• F – V – V – V. 
Resolução comentada: A primeira afirmação é falsa, pois BIM é um acrônimo para Building information 
Modeling, que em português refere-se a modelo de informações da construção. 
A segunda afirmação é verdadeira, pois o uso de softwares na metodologia BIM permite a visualização de 
diversos sistemas integrados em um mesmo modelo. 
A terceira afirmação é verdadeira, pois o BIM permite que o teste e simulações de diversas condições do 
modelo virtual da edificação. 
A última afirmação é falsa, pois BIM e MEF são coisas diferentes; caso o aluno ainda tenha alguma dúvida, 
recomenda-se consultar o item assimile da leitura fundamental. 
5) Ao estudar a flexão em elementos de barras, é possível aplicar dois modelos de flexão: o modelo de 
Euler-Bernoulli e de Timoshenko. Dentro as condições aplicadas para a escolha do modelo a ser usado, 
avalie as sentenças: 
( ) O modelo de Euler-Bernoulli é aplicado quando a barra a ser estudada tem um comprimento reduzido. 
( ) o modelo de Euler-Bernoulli é chamado flexão pura pois não considera o cisalhamento da barra. 
( ) A espessura da barra deve ser considerada somente no modelo de Timoshenko, já que impacta no 
cisalhamento da barra. 
( ) Por não ser um modelo de flexão pura, o modelo de flexão de Timoshenko considera a deformação axial 
da barra. 
( ) Uma barra longa se comporta de modo semelhante ao modelo de Euler-Bernoulli. 
Avalie as afirmações anteriores em verdadeiro (V) ou falso (F).
Alternativas: 
• V - F - V - V - F. 
• V - F - V - F - F. 
• F - F - V - V - V. 
• V - V - F - F - F. 
• F - V - F - F - V. CORRETO 
Resolução comentada: A primeira afirmação está incorreta porque a aproximação de Euler-Bernoulli se 
aplica a barras longas, já que para esse tipo de barra a seção transversal se mantém quase constante ao 
longo da barra. A segunda afirmação é verdadeira justamente porque este modelo considera apenas a 
deformação longitudinal da barra, sem a deformação na área transversal. A terceira afirmação está 
incorreta, já que os dois modelos são dependentes da dimensão da área transversal em seus cálculos. A 
quartaafirmação está errada, pois nenhum dos modelos de flexão assumem a mudança no comprimento 
da barra. A quinta afirmação está correta, sendo exatamente a condição física que se aproxima do modelo 
de Euler-Bernoulli. 
6) Em estudo, Azevedo (2003) concluiu que a metodologia de integração numérica da quadratura de Gauss 
é vantajosa e apresenta facilidades no processo de análise de estruturas pelo método de elementos finitos. 
O autor também apresenta um desafio a ser superado na metodologia apresentada. 
AZEVEDO, A. F. M. Métodos dos Elementos Finitos. Portugal: Faculdade de Engenharia da Universidade do 
Porto Portugal, 2003. Disponível em: 
http://alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed/doc/Livro_MEF_AA.pdf. Acesso em: 16 set. 
2019. 
Sobre o desafio a ser enfrentado na metodologia de integração numérica da Quadratura de Gauss, assinale 
a alternativa correta: 
Alternativas: 
• É a escolha do número de pontos para que estejam adequados conforme a necessidade pretendida. 
CORRETO 
• Fornecer maior precisão nos resultados. 
• Possuem caráter polinomial. 
• Otimização da posição dos pontos utilizados na definição de valores da função. 
• Devem ser incluídos em um programa de computador destinado à análise de estruturas pelo MEF. 
Resolução comentada: A integração numérica tem como desafio a escolha do número de pontos que 
sejam adequados, conforme a necessidade pretendida. 
7) O estudo sobre a convergência do erro passa pelo estudo de diferentes configurações de malha, 
variando o número, tipo e disposição dos elementos. Para iniciar o desenvolvimento do método dos 
elementos finitos (MEF) é comum depender da experiência do usuário, já que é a sensibilidade que definirá 
como as malhas iniciais devem ser construídas. 
Quando não se tem noção sobre como desenvolver um problema por meio de MEF, é correto: 
 
Alternativas: 
• Aplicar uma estimativa a priori do erro que permita uma análise qualitativa de como a malha afeta 
no erro. CORRETO 
• Usar a estimativa a posteriori do erro para definir a convergência do erro em função da malha 
escolhida. 
• Aplicar funções de interpolação de grau maior, já que reduz os erros relativos à construção das 
matrizes elementares. 
• Iniciar com o maior número de elementos possíveis, já que desse modo o problema discretizado 
tende ao problema contínuo. 
• Usar uma malha complexa, discretizando todo o domínio da mesma forma, com elementos 
irregulares e de dimensões pequenas. 
Resolução comentada: Ao iniciar o processo de MEF, deve-se iniciar a solução por meio de expressões 
simples e de rápida solução. Avaliando o erro dessas malhas “grosseiras” (poucos elementos e expressões 
lineares) é possível estimar a convergência do problema. Então, a aplicação da estimativa a priori permite 
saber quão grosseira essa malha inicial deve ser. Iniciar os problemas com expressões complexas ou malhas 
muito refinadas podem consumir um tempo elevado e desnecessário, inclusive podendo não fornecer 
dados corretos por conta dos erros de arredondamento. 
8) Cada elemento dentro de um domínio discretizado possui uma matriz elementar, que descreve seu 
comportamento físico. Por exemplo, em um problema de elasticidade tridimensional, a matriz elementar 
relaciona como ocorre a deformação por conta das tensões aplicadas. Em um espaço tridimensional, são 
possíveis a existência de três forças normais e três de cisalhamento. Conforme ocorre a relação entre essas 
forças, diante das constantes de elasticidade e de Poisson, é obtida a matriz elementar. 
Em um problema de elasticidade tridimensional, cujos coeficientes são constante de elasticidade vale E e v 
= 0, o elemento presente na coordenada 2x2 da matriz elementar vale, aproximadamente: 
 
Alternativas: 
• 3*E 
• 2*E 
• 0 
• 0,5*E 
• E CORRETO 
Resolução comentada: 
9) Usando a quadratura de Gauss de um ponto, calcule: 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de I.
Alternativas: 
• 2 
• CORRETO 
• 0 
• 
• 1 
Resolução comentada: 
 
10) Em um problema de elasticidade plana, é importante saber calcular os elementos das matrizes 
elementares D e de rigidez K de diferentes modos. Isso é válido uma vez que o software a ser usado pode 
não conter função de operações matriciais. Então, para um problema de elasticidade plana, cuja constante 
de elasticidade vale E = 3 MPa, a espessura vale 2, e a constante de Poisson vale v = 0, a soma dos 
elementos da terceira linha da matriz elementar D vale, aproximadamente: 
 
Alternativas: 
• 4,50 
• 0,00 
• 6,00 
• 3,00 
• 1,50 CORRETO 
Resolução comentada: A matriz elementar possui na última linha os elementos (3,1) e (3,2) nulos. Então, 
resta-nos calcular apenas o elemento (3,3). Este elemento vale: