O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil

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O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil
Professor(a): Bruno Henrique Oliveira Mulina (Doutorado)
1)
Sobre a Quadratura de Gauss, considere as seguintes afirmações:
( ) É um dos métodos de integração muito utilizado no método dos elementos finitos.
( ) Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição dos pontos utilizados na definição de valores da função.
( ) O intervalo [-1,1] corresponde a uma mudança da variável x para ɛ (adimensional).
( ) A sua metodologia possui a vantagem de ser facilmente incluído em um programa de computador destinado à análise de estruturas pelo método de elementos finitos.
( ) É um método que demonstra complexidade para integrais em duas e três dimensões.
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
V – V – V – V – F.checkCORRETO
F – V – F – V – V.
F – V – F – V – F.
F – V – V – V – V.
V – V – F – V – F.
Resolução comentada:
A quadratura de Gauss é um dos métodos de integração muito utilizado no método dos elementos finitos. Fornece maior precisão nos resultados e otimiza a posição dos pontos utilizados na definição de valores da função. O intervalo [-1,1] corresponde a uma mudança de variável x para ɛ (adimensional).
A metodologia da quadratura de Gauss apresenta a vantagem de ser facilmente incluído em um programa de computador destinado à análise de estruturas pelo método de elementos finitos.
E apresenta um método que demonstra facilidade para integrais em duas e três dimensionais.
Código da questão: 49763
2)
A discretização dos processos físicos permite que sejam resolvidos de forma mais simples, já que procuram expressar os diferentes comportamentos ao longo do domínio de interesse, não por uma única expressão complexa, mas por conjunto de expressões mais simples. Por isso, as operações são realizadas de forma matricial, para que possam representar o conjunto de expressões por meio de uma única variável, facilitando o desenvolvimento matemático das relações existentes.
Dentro dos conceitos envolvidos nos processos numéricos de solução dos problemas matemáticos, existem diferentes termos e expressões que são de grande valia. Com relação a eles, marque V ou F.
( ) A aproximação de Vandermonte é válida para expressar o comportamento de uma variável em uma expressão diferencial a partir de funções polinomiais.
( ) Dentro dos problemas de condição de contorno, a condição de Neumann destaca o valor numérico do problema na condição conhecida.
( ) A discretização do domínio deve sempre ser feita com elementos retangulares (ou tetraédricos), já que elementos triangulares causam problemas com relação à direção dos efeitos.
( ) As condições de contorno são pontos da função cujo valor é conhecido. Esses pontos são necessários para definir corretamente o comportamento do problema.
( ) Preferencialmente, os elementos discretizados devem possuir as propriedades físicas constantes. No caso de discretizações que resultem elementos com parâmetros variáveis, deve-se dividir este elemento conforme os parâmetros.
A sequência correta das afirmações é:
Alternativas:
V – V – V – F – F.
V – F – F – V – V.checkCORRETO
F – V – V – V – V.
F – V – F – V – F.
F – F – F – F – V.
Resolução comentada:
A primeira afirmação está correta, já que a aproximação de Vandermonte é também chamada formulação analítica, envolvendo a obtenção das expressões por meio de polinômios obtidos por meios exatos.
A segunda afirmação está errada, pois a condição de Neumann apresenta o valor da derivada da função no ponto (a condição de Dirichlet define o valor numérico da função).
A terceira afirmação está errada, uma vez que é possível usar qualquer elemento, sendo os elementos triangulares amplamente aplicados no método dos elementos finitos.
A quarta afirmação está correta, sendo essa a necessidade de conhecer as condições de contorno. Tais condições são importantes, independentemente do método usado para descrever o problema, para determinar os valores conhecidos do problema.
A quinta afirmação está correta ao dizer que os parâmetros físicos devem ser preferencialmente constantes, de modo a permitir uma matriz de rigidez composta apenas de valores numéricos.
Código da questão: 49743
3)
Para o desenvolvimento das funções de interpolação, existem algumas características importantes a serem levadas em consideração. Uma delas é que, devido às dimensões de cada elemento discretizado, que estas funções sejam aproximadas a polinômios de primeira ordem. Outra característica importante, caso o elemento seja isoparamétrico, é:
Alternativas:
A geometria do elemento, já que, conforme a geometria do elemento, o formato das funções de interpolação serão diferentes.
O tipo de material presente no domínio estudado, representados pelo coeficiente de elasticidade e de Poisson.
O número de vértices dos elementos escolhidos para a discretização do domínio estudado.checkCORRETO
O número de elementos usados na discretização do domínio de interesse.
A aplicação do operador laplaciano para o cálculo das tensões em cada vértice.
Resolução comentada:
O comportamento das expressões de interpolação em um elemento isoparamétrico não é afetado pelas geometrias (varia apenas o fator de volume da expressão, mas o formato é o mesmo). As propriedades do material não afetam as funções de interpolação, sendo importante na matriz elementar. O número de elementos não afeta nas funções de interpolação, já que o tipo e número de funções depende no número de vértices do elemento. O operador laplaciano não tem relação nenhuma na obtenção das funções de interpolação.
Código da questão: 49751
4)
Ao estudar problemas reais tridimensionais envolvendo elementos estruturais, como vigas e colunas, o desenvolvimento dos problemas de formas tridimensionais, envolvendo todas as tensões e deformações, pode resultar em um modelo matemático complexo e de difícil solução. Por esse motivo, algumas aproximações podem ser adotadas. Uma delas permite que os problemas tridimensionais de elasticidade sejam estudados como problemas bidimensionais.
Com base nessas aproximações e o desenvolvimento desses problemas por meio de elementos finitos, é correto afirmar que:
Alternativas:
O estado plano de tensão é aplicado em elementos com espessura muito
fina, de modo que a aplicação de tensão sobre o eixo da espessura promova uma
deformação desprezível.checkCORRETO
A matriz de rigidez de um problema de estado plano de tensão é mais
simples de ser resolvida quando comparada ao plano de deformação, já que não
considera a deformação em um dos eixos.
A matriz de rigidez em problemas de estado plano de tensão não considera
o coeficiente de Poisson no cálculo de seus elementos, já que a deformação em
um dos eixos é desprezível.
Quando estudado o estado plano de deformação, os polinômios
interpoladores de cada elemento estão presentes nos três eixos de orientação
(x, y e z).
O estado plano de deformação é uma aproximação que desconsidera a tensão
sobre um dos eixos, normalmente o eixo z. Por esse motivo, não existe
deformação nesse eixo.
Resolução comentada:
O estado plano de deformação é uma condição na qual não existe deformação em um dos eixos, mesmo existindo tensão. Nesse caso, a deformação acaba sendo refletida nos outros eixos.
No plano de tensão a tensão pode ocorrer nos três eixos, porém a deformação causada em um dos eixos é desprezível por conta da espessura do elemento, por isso é um plano relacionado a chapas.
No plano de deformação a tensão em um dos eixos pode ser descrita como função das tensões nos outros eixos. Por esse motivo o problema acaba sendo bidimensional, o que resulta na necessidade de polinômios apenas em dois eixos.
Nos dois problemas de deformação as dimensões das matrizes são as mesmas, já que nos dois casos os problemas são 2D. Nesse caso, as matrizes somente seriam menores caso fossem utilizados elementos triangulares ao invés de retangulares.
O coeficiente de
Poisson está relacionado ao cisalhamento do elemento, existente
independentemente do tipo de estado plano considerado.Código da questão: 59350
5)
I. No desenvolvimento de um projeto estrutural, o engenheiro não deve confiar plenamente no software, por mais completo e complexo que o software seja.
PORQUE
II. A responsabilidade civil é do engenheiro e não da empresa de software; além disso, se faz necessário conferir se a estrutura foi modelada corretamente, através de seu comportamento estrutural esperado.
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas:
Alternativas:
A primeira asserção está incorreta e a segunda justifica a primeira.
A primeira asserção está correta e a segunda justifica a primeira.checkCORRETO
A primeira asserção está incorreta e justifica a segunda.
A primeira asserção está correta e a segunda está incorreta.
Ambas asserções estão incorretas.
Resolução comentada:
A afirmação I é correta, um engenheiro não deve confiar plenamente no software, porque a responsabilidade recai sobre ele e não sobre o software. Ainda assim é necessário ter cautela ao se modelar estruturas no computador, pois na produção de um projeto, o engenheiro é o último capaz de perceber algum erro.
A afirmação II é correta, pois é o engenheiro quem deve conferir se o modelo numérico do computador representa o comportamento real de uma estrutura, uma vez que a responsabilidade civil recai sobre ele.
Estão, as duas estão corretas e a segunda justifica a primeira.
Código da questão: 49774
6)
O uso da tecnologia BIM permitiu um grande avanço no desenvolvimento de projetos, embora muitos profissionais ainda se apresentem receosos ao usar esta tecnologia. Julgue as afirmações a seguir em Verdadeiro ou Falso.
( ) BIM é um acrônimo do inglês para building inteligence method, que corresponde à tradução de método de construção inteligente.
( ) Os softwares na metodologia BIM são muito usados para gerenciar diversos projetos e verificar eventuais interferências entre si.
( ) BIM é uma técnica que permite a construção de um modelo virtual com todas as informações da obra, permitindo até que a estrutura seja testada por simulações no computador.
( ) O BIM é um sinônimo de MEF, ambos são usados para solução numérica de problemas físicos.
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
F – V – V – V.
V – V – F – V.
F – V – V – F.checkCORRETO
V – F – F – V.
F – V – F – V.
Resolução comentada:
A primeira afirmação é falsa, pois BIM é um acrônimo para Building information Modeling, que em português refere-se a modelo de informações da construção.
A segunda afirmação é verdadeira, pois o uso de softwares na metodologia BIM permite a visualização de diversos sistemas integrados em um mesmo modelo.
A terceira afirmação é verdadeira, pois o BIM permite que o teste e simulações de diversas condições do modelo virtual da edificação.
A última afirmação é falsa, pois BIM e MEF são coisas diferentes; caso o aluno ainda tenha alguma dúvida, recomenda-se consultar o item assimile da leitura fundamental.
Código da questão: 49773
7)
O estudo sobre a convergência do erro passa pelo estudo de diferentes configurações de malha, variando o número, tipo e disposição dos elementos. Para iniciar o desenvolvimento do método dos elementos finitos (MEF) é comum depender da experiência do usuário, já que é a sensibilidade que definirá como as malhas iniciais devem ser construídas.
Quando não se tem noção sobre como desenvolver um problema por meio de MEF, é correto:
Alternativas:
Aplicar uma estimativa a priori do erro que permita uma análise qualitativa de como a malha afeta no erro.CORRETO
Iniciar com o maior número de elementos possíveis, já que desse modo o problema discretizado tende ao problema contínuo.
Aplicar funções de interpolação de grau maior, já que reduz os erros relativos à construção das matrizes elementares.checkINCORRETO
Usar a estimativa a posteriori do erro para definir a convergência do erro em função da malha escolhida.
Usar uma malha complexa, discretizando todo o domínio da mesma forma, com elementos irregulares e de dimensões pequenas.
Resolução comentada:
Ao iniciar o processo de MEF, deve-se iniciar a solução por meio de expressões simples e de rápida solução. Avaliando o erro dessas malhas “grosseiras” (poucos elementos e expressões lineares) é possível estimar a convergência do problema. Então, a aplicação da estimativa a priori permite saber quão grosseira essa malha inicial deve ser. Iniciar os problemas com expressões complexas ou malhas muito refinadas podem consumir um tempo elevado e desnecessário, inclusive podendo não fornecer dados corretos por conta dos erros de arredondamento.
Código da questão: 49766
8)
Diante do problema apresentado, são métodos eficientes de minimização do erro: I. Nos elementos com energia potencial pequena serem aplicados métodos de refinamento. II. Alterar a disposição dos nós dos elementos do contorno do domínio discretizado. III. Desenvolver uma nova malha com elementos menores para todo o domínio. IV. Alterar as funções de interpolação de todos os elementos do domínio. V. Desenvolver o mesmo problema em um computador com mais recursos. Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmação(ões):
Alternativas:
Apenas II.checkCORRETO
I - III - IV.
II - IV.
Apenas V.
II - III - V.
Resolução comentada:
Como o enunciado apresenta, um método eficiente é aquele que promove o mínimo de mudanças no problema já existente. Então, avaliando cada afirmação em separado, temos que a afirmação I está incorreta, já que a discretização deve ser aplicada nos elementos com maior energia, a fim de reduzi-la (mínima energia potencial) ao contrário do dito na afirmação. A afirmação II está correta, já que a mudança na disposição dos nós dos elementos do contorno permite que o domínio discretizado se aproxime mais do problema real. A afirmação III está errada no sentido de que o desenvolvimento de uma malha nova resulta em todo o trabalho da geração de uma nova malha, inclusive em regiões que já haviam atingido um resultado satisfatório (baixa energia potencial). A afirmação IV está errada, já que existem regiões que possuem resultados com baixa energia, sendo necessário manipular apenas as funções das regiões de alta energia potencial. A afirmação V está incorreta ao propor que o uso de um computador com maiores capacidades resultaria numa solução melhor, já que ele afeta apenas nos erros de arredondamento.
Código da questão: 49767
9)
Ao estudar a flexão em elementos de barras, é possível aplicar dois modelos de flexão: o modelo de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. Dentro as condições aplicadas para a escolha do modelo a ser usado, avalie as sentenças:
( ) O modelo de Euler-Bernoulli é aplicado quando a barra a ser estudada tem um comprimento reduzido.
( ) o modelo de Euler-Bernoulli é chamado flexão pura pois não considera o cisalhamento da barra.
( ) A espessura da barra deve ser considerada somente no modelo de Timoshenko, já que impacta no cisalhamento da barra.
( ) Por não ser um modelo de flexão pura, o modelo de flexão de Timoshenko considera a deformação axial da barra.
( ) Uma barra longa se comporta de modo semelhante ao modelo de Euler-Bernoulli.
Avalie as afirmações anteriores em verdadeiro (V) ou falso (F).
Alternativas:
F - V - F - F - V.checkCORRETO
V - V - F - F - F.
F - F - V - V - V.
V - F - V - V - F.
V - F - V - F - F.
Resolução comentada:
A primeira afirmação está incorreta porque a aproximação de Euler-Bernoulli se aplica a barras longas, já que para esse tipo de barra a seção transversal se mantém quase constante ao longo da barra. A segunda afirmação é verdadeira justamente porque este modelo considera apenas a deformação longitudinal da barra, sem a deformação na área transversal. A terceira afirmação está incorreta, já que os dois modelos são dependentes da dimensão da área transversal em seus cálculos. A quarta afirmação está errada, pois nenhum dos modelos de flexão assumem a mudança no comprimento da barra. A quinta afirmação está correta, sendo exatamente a condição física que se aproxima do modelo de Euler-Bernoulli.
Códigoda questão: 49758
10)
Dentro das fontes de erro, algumas podem ser manipuladas de modo a reduzir o erro do método dos elementos finitos (MEF), enquanto outras estão aquém das escolhas do usuário. Com relação às medidas de erro, avalie as afirmações dadas a seguir:
( ) Os erros elementares são caracterizados a partir das matrizes elementares, já que este erro é medido ao nível dos nós.
( ) A norma de máximo é obtida por meio do produto entre a matriz de erros elementares e sua transposta.
( ) A medida de erro de von Mises define o erro em cada direção do domínio. Essa medida indica a relação entre o erro e a geometria do domínio.
( ) A obtenção da norma energética depende de uma função de ajuste para fornecer um valor diferente da norma quadrática.
( ) As medidas de erro elementar são obtidas usando apenas o deslocamento do nó em cada elemento.
Avalie as afirmações anteriores em verdadeiro (V) ou falso (F):
Alternativas:
F - F - V - V - F.checkCORRETO
V - V - F - F - F.
F - V - F - F - V.
V - F - V - F - F.
V - F - V - F - F.
Resolução comentada:
A primeira afirmação está errada, pois, ao mensurar os erros elementares, são usados os campos de variáveis calculadas. Isso não inclui a matriz elementar, uma vez que esta matriz é uma constante no desenvolvimento do problema. A segunda afirmação está errada, já que a norma de máximo é obtida por meio do maior erro elementar, e não pelo produto das matrizes (esse produto define a norma quadrática). A terceira afirmação está correta, já que a norma de erro von Mises é calculada para cada direção do domínio. A quarta afirmação está correta, já que a diferença entre a norma quadrática e a energética está na presença da função de ajuste no produto das matrizes. A quinta afirmação está errada, já que a medição de erro pode ser realizada com qualquer variável possível de cálculo, como, por exemplo, o deslocamento, a energia potência, ou as tensões calculadas em cada elemento.
Código da questão: 49768