Geometria Analítica: Elipses e Círculos

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MA141 - Prof. Stefano De Leo
[A03-9.1]
Elipse
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•
•
x2
25
+
y2
9
= 1 � C = 4
x2
25
+
y2
24
= 1 � C = 1
x2
25
+
y2
21
= 1 � C = 2
x2
25
+
y2
16
= 1 � C = 3
(x − x0)
2
A
2
+
(y − y0)
2
B
2
= 1 � C =
√
A
2
− B
2
y
x
[A03-9.2]
Reta Tangente
•
Para determinar a reta tangente temos que resolver o sistem
{
B
2
(x− x0)
2
+ A
2
(y − y0)
2
= A
2
B
2
y = a x + b
e impor que o discriminante da equação de segunda ordem obtida, B
2
(x− x0)
2
+ A
2
(a x + b− y0)
2
=
A
2
B
2
, seja nulo.
Elipse: a2A
2
+ B
2
= (a x0 + b− y0)
2
� Círculo: (a2 + 1)R
2
= (a x0 + b− y0)
2
1
Determinar a equação do círculo que, tendo seu centro sobre a reta 2 x + y = 0, é tangente às retas
4 x− 3 y + 10 = 0 e 4 x− 3 y − 30 = 0.
centro reta a b condição
y0 = −2 x0 4 x− 3 y + 10 = 0 4/3 10/3 25 R
2
= (4 x0 + 10 + 6 x0)
2
y0 = −2 x0 4 x− 3 y − 30 = 0 4/3 −10 25 R2 = (4 x0 − 30 + 6 x0)2
⇒ x0 + 1 = ± (x0 + 3)
(x0, y0) = (1,−2) , R = 4
y
x•
•
[A03-9.3]
2
Determinar as equações do círculos que, tendo seu centro sobre a reta 4 x−5 y− 3 = 0, são tangentes
às retas 2 x− 3 y − 10 = 0 e 3 x− 2 y + 5 = 0.
centro reta a b condição
y0 = (4 x0 − 3)/5 2 x− 3 y − 10 = 0 2/3 − 10/3 13 R2 = (2 x0 + 41)2/25
y0 = (4 x0 − 3)/5 3 x− 2 y + 5 = 0 3/2 5/2 13 R2 = (7 x0 + 31)2/25
2 x0 + 41 = ± ( 7 x0 + 31 ) ⇒ x0 = 2 e x0 = −8
(x0, y0) = (2, 1) , R = 9/
√
13 (x0, y0) = (−8,−7) , R = 5/
√
13
y
x•
•
•
MA141 Stefano De Leo