Ce731Aula9_DefasagensDistribuidas

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Modelos de Defasagens Distribuídas
CE 731 – Econometria II
Prof. Alexandre Gori Maia
Instituto de Economia - UNICAMP
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Ementa
Defasagens no Regressor e Regressando
Modelos de Defasagens Distribuídas - Estimação Ad-hoc
Modelos de Defasagens Geométricas – Transformação de Koyck
Bibliografia
Gujarati, D. Econometria Básica, 2006, pp. 529-541 (Cap. 17 – 17.5). 
Hill, R. C.; Griffiths, W. E.; Judge, G. G. Econometria, 2003, pp. 369-381 
(Cap. 15 - 15.4.1).
Pindyck, R. S.; Rubinfeld, D. L. Econometria, 2004, p. 263-271 (Cap. 9 –
9.1.1).
Modelos com Defasagens
2
Exemplos modelos com variáveis defasada:
Imagine um indivíduo receba um aumento R de renda igual a 1.000 reais no ano t.
21 2,03,04,0   tttt RRRcteC
Quando há variáveis independentes 
defasadas no modelo, este é chamado 
modelo de defasagens distribuídas.
É razoável supor que este não decida aumentar seus gastos na mesma proporção 
imediatamente. Pode, por exemplo, aumentar seus gastos (C) em 400 no ano t, mais 
300 reais no próximo ano e mais 200 reais no outro ano.
Em outras palavras, teremos:
134,015,0  ttt EstForncteEst
Se um modelo inclui valores defasados da 
variável dependente entre os regressores, 
este é chamado de modelo autorregressivo.
A variação mensal no valor em estoque de uma empresa irá depender não somente do 
do fornecimento de materiais do mês t, mas também da variação defasada do estoque 
no mês t1.
Poderíamos ter, por exemplo:
Ou seja, caso um mês apresente variação mensal no estoque positiva, é de se esperar 
que no próximo mês haja uma redução em termos relativos na variação do estoque.
Modelos com Defasagens
Modelos com variáveis defasadas podem ter utilizações diversas, já que 
uma mudança no nível de uma variável explanatória costuma ter 
implicações comportamentais para além do período de tempo em que 
ocorreram.
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• Modelos de Defasagens Distribuídas:
• Quando um modelo de regressão inclui não somente valores atuais, mas 
também valores defasados das variáveis independentes, dizemos que se 
tratam de modelos de defasagens distribuídas.
• Modelos Autorregressivos:
• Se o modelo inclui uma ou mais defasagens da variável dependente entre 
as variáveis explanatórias, este é chamado modelo autoregressivo, ou 
modelo dinâmico, já que representa valores atuais da variável dependente 
como função de seus valores passados.
t
k
j
d
s stjjt
eXY j     1 1
t
d
s sts
k
j tjjt
eYXY     11 
Tempo
C
o
n
su
m
o
 $
consumo final
t0
$400
$300
$200
consumo anterior
t1 t2
Supondo o exemplo para a variação no 
consumo (C) dada uma variação na 
renda (R), teríamos:
21 2,03,04,0   tttt RRRC 
22110   tttt RRRC 
Dados, no exemplo, por:
Dada uma variação de 1.000 reais na renda
Ao final, teremos uma 
variação de 900 reais 
no consumo.
$900
Em outras palavras, significa que dada 
uma variação da renda no período t, uma 
proporção (0=0,4) terá efeito imediato 
(t0) na variação do consumo. Outra 
menor proporção (1=0,3) terá efeito no 
próximo período (t1), e assim 
sucessivamente. 
Ao final, teremos uma variação total no 
consumo dada por:
9,02,03,04,0210
2
0



t
t
Variação total:
Enquanto cada coeficiente i de um
modelo com defasagem distribuída é
chamado de impacto no tempo t, a variação
total, ou impacto total de uma variação
unitária de X em Y, será dada por:
 

k
k
t
t ...0
0
Defasagem Temporal - Conceito
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Seja o seguinte exemplo para a relação entre preços e oferta monetária:
Os monetaristas afirmam que crescimentos contínuos nos níveis de preços são
conseqüência da expansão da oferta monetária além da demanda da economia.
Podemos também supor que o impacto do aumento da oferta monetária nos preços não é
imediato, com influência defasada entre 3 a 20 trimestres, segundo alguns estudos. Ou
seja, pode ser representado pelo modelo:
t
i
iit eMP  

20
0

Onde P é a variação no índice de preços e M é a variação no índice oferta monetária.
Ajustando o modelo a uma série temporal de 1955 a 1969 dos EUA, obteve-se:
tttttttt eMMMMMMP ˆ022,0...030,0029,0030,0034,0041,0146,0 204321  
031,1
20
0
 
i
i
De onde tem-se:
A elasticidade total será de 1,031. Ou seja,
uma variação de 1% na oferta monetária,
tende a gerar, em longo prazo, uma variação
de 1,03% nos preços. 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tempo
V
a
r 
P
re
c
o
1,03% 5
Defasagens Distribuídas - Exemplo
Defasagens Distribuídas - Exemplo
Sejam os dados trimestrais para consumo e renda bruta no 
Brasil;
Para ajustar um modelo de defasagens distribuídas para a 
variação no consumo com função da renda, teremos:
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Primeiramente, calculamos as defasagens dos 
logaritmos da renda com a função LAG. O 
dataset precisa estar ordenado sequencialmente. 
A primeira observação da série conterá valor nulo 
para o valor defasado anterior. 
Adicionalmente, podemos testar defasagens adicionais, até os 
resultados se mostrarem insignificantes ou inconsistentes:
Os resultados indicarão que o consumo depende 
tanto da renda presente como da renda no 
trimestre anterior.
Os resultados indicarão que não relação 
significativa entre o consumo presente e a 
renda de dois trimestres anteriores.
Estimação Ad Hoc
• É uma solução simples para a solução de equações com defasagens 
distribuídas. São realizadas simulações sequenciais, incluindo-se em 
cada simulação uma defasagem adicional, até que o coeficiente da 
última inserida torne-se insignificante (teste t), ou haja inversão no 
sinal dos parâmetros, o que pode ser um sinal de inconsistência;
• O grande problema da estimação Ad Hoc é que as sucessivas 
defasagens temporais tendem a apresentar uma forte colinearidade, 
tornando as estatísticas pouco confiáveis, já que a multicolinearidade 
tende a inflacionar a variância dos parâmetros;
• No exemplo anterior, poderia ocorrer do efeito defasado ir além de 
apenas 1 período anterior, mas a multicolinearidade existente no 
modelo, associado ao pequeno número de observações, impede que 
efeitos anteriores sejam estimados com precisão.
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Estabelecendo uma relação entre o impacto i e o tempo:
Tempo

k
1 2 3
Vamos supor que a variação para o período 0 
seja dada por 0.k
0k λββ 
0

0

1

2

3
Supondo que os parâmetros i, que definem 
o impacto de X em cada tempo i, sejam 
todos do mesmo sinal, Koyck (1954) definiu 
uma técnica para estimá-los, pressupondo 
que eles decaiam geometricamente ao longo 
do tempo. 
Cada valor de 0 irá, portanto, depender do impacto inicial no período t (0) e da taxa 
de decaimento .
Por exemplo, supondo que o variação unitária de X cause um impacto imediato igual a 
0,8 unidades de Y, com uma taxa de decaimento de 0,5, teremos:
O impacto irá reduzir-se 
geometricamente ao longo 
do tempo, de tal forma que 
no período 10 o impacto 
será praticamente nulo 
(0
10=0,001)
onde 0<<1
impacato de 
curto prazo
0 1 2 ... k
 0 0 0
2 ... 0
k
0,5 0 0*0,5 0*0,5
2 ... 0*0,5
k
Defasagens Geométricas - Conceito
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Transformação de Koyck
• Seja o modelo de defasagens distribuídas com infinitas defasagens:
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ttttt eXXXY   ...22110 
k
k λββ 0
ttttt eXXXY   ...2
2
0100 
• A transformação de Koyck pressupõe que as defasagens temporais 
dadas por ’s tenham um decaimento geométrico, segundo a 
função:
• Ou seja, o modelo de defasagem geométrica será dado por: 
• Pelo fato do modelo possuir infinitas defasagens, é impossível 
estimá-lo pelo MQO tradicional. Entretanto, através de 
desenvolvimento algébrico, chegaremos ao seguinte modelo, que 
nos permite estimar os coeficientes ,  e  :
tttt vYXY  10)1( 
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Transformação de Koyck - Exemplo
Sejam os dados trimestrais para consumo e renda bruta no Brasil.
Se assumirmos um modelo com infinitas defasagens:
ttttt eRRRC  ...22110 
Pressupondo agora que essas defasagens apresentem decaimento 
geométrico segundo uma taxa :
Sendo que os coeficientes podem ser obtidos pela equação:
tttt vCRC  10)1( 
ttttt eRRRC   ...2
2
0100 
Ajustando por MQO:
Ou seja, a taxa de decaimento será dada por:
k
kβ 357,0596,0 
tttt vCRC ˆln357,0ln596,0524,0ln 1  
O que nos daria a seguinte função de regressão:
ttttt vRRRC ˆ...ln045,0ln355,0ln596,0815,0ln 21  
Exercício
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1) O arquivo Dados_InvestimentoPrivado.XLS contém informações 
sobre investimento privado, vendas totais de produtos 
manufaturados e taxa de juros nos EUA entre 1960 e 1999.
a) Verifique a relação entre os logaritmos do investimento
privado (regressor) e vendas (regressando), controlando pela 
taxa de juros;
b) Aplique a estimação Ad Hoc para verificar a existência de 
relação com as defasagens do investimento;
c) Aplique a transformação de Koyck para verificar a existência 
de decaimento geométrico na relação;
Exercício
12
2) Obtenha no site do World Data Bank informações sobre o 
investimento direto estrangeiro no Brasil, consumo de energia e 
PIB.
a) Verifique a relação entre os logaritmos do investimento
direto (regressor) e PIB (regressando), controlando pelo 
consumo de energia;
b) Aplique a estimação Ad Hoc para verificar a existência de 
relação com as defasagens do investimento;
c) Aplique a transformação de Koyck para verificar a existência 
de decaimento geométrico na relação;