Probabilidades - Sol

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Segurança Informática Página 1/4 
Joaquim M. da Cunha Viana 
Estruturas Discretas da Computação 
Exercícios 
Probabilidades 
Soluções 
 
1) X e Y são variáveis aleatórias tomando os valores {0, 1, 2, 3} e {0, 1}, respectivamente. 
Temos a seguinte tabela de distribuições conjuntas: 
 
 X 
 𝑝𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) 0 1 2 3 
Y 
0 1/20 3/20 1/10 3/20 
1 1/10 1/4 3/20 1/20 
Calcule 
a) As distribuições marginais de X e Y; 
b) A distribuição condicional de X dado Y. 
R.: 
a) 𝑝𝑥(0) = 3/20, 𝑝𝑥(1) = 2/5, 𝑝𝑥(2) = 1/4, 𝑝𝑥(3) = 1/5, 
𝑝𝑦(0) = 9/20, 𝑝𝑦(1) = 11/20 
b) 𝑝𝑋|𝑌(0|0) = 1/9, 𝑝𝑋|𝑌(1|0) = 1/3, 𝑝𝑋|𝑌(2|0) = 2/9, 𝑝𝑋|𝑌(3|0) = 1/3. 
𝑝𝑋|𝑌(0|1) = 2/11, 𝑝𝑋|𝑌(1|1) = 5/11, 𝑝𝑋|𝑌(2|1) = 3/11, 𝑝𝑋|𝑌(3|1) = 1/11. 
 
2) Na resposta a um teste de escolha múltipla, um estudante, ou sabe a resposta ou adivinha. 
Seja p a probabilidade de que conheça a resposta e 1-p a probabilidade de que adivinhe. 
Assuma que o estudante que adivinha estará correcto com probabilidade 1/m, em que m é 
o número de hipóteses de resposta. Qual será a probabilidade condicional de que o 
estudante soubesse a resposta a uma pergunta a que respondeu correctamente? Calcule 
esta probabilidade com m = 5 e p = 1/2. 
 
R.: Represente C a situação em que a resposta é correcta e S o facto de que o 
estudante efectivamente sabe a resposta. Pela regra de Bayes, 
𝑃(𝑆|𝐶) =
𝑃(𝐶|𝑆)𝑃(𝑆)
𝑃(𝐶)
=
𝑃(𝐶|𝑆)𝑃(𝑆)
𝑃(𝐶|𝑆)𝑃(𝑆) + 𝑃(𝐶|¬𝑆)𝑃(¬𝑆)
= 
=
𝑝
𝑝 + (
1
𝑚)
(1 − 𝑝)
=
𝑚𝑝
1 + (𝑚 − 1)𝑝
= 
5 × (1 2⁄ )
1 + (5 − 1) × (1 2⁄ )
=
5
6
 
 
 
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3) Três cartas com as mesmas dimensões e forma são colocadas dentro de um chapéu. Uma é 
encarnada nos dois lados, uma preta dos dois lados e a última tem um dos lados encarnado 
e o outro preto. Uma das cartas é seleccionada aleatoriamente e um dos lados é exposto: 
verifica-se que é encarnado. Qual é a probabilidade de que o outro lado seja também 
encarnado? 
 
R.: Seja 𝑬 = Lado Encarnado e 𝑺 = Outro Lado é Encarnado. Pretendemos calcular 
𝑃(𝑆|𝐸) = 𝑃(𝑆 ∧ 𝐸)/𝑃(𝐸). Sabemos que 𝑺 ∧ 𝑬 = Ambos os lados Encarnados terá 
probabilidade 1/3 e, facilmente concluímos que 𝑃(𝐸) = 1/2, logo, 
𝑃(𝑆|𝐸) =
𝑃(𝑆 ∧ 𝐸)
𝑃(𝐸)
=
1/3
1/2
= 2/3 
4) 
a) A caixa registadora de um restaurante tem 30 notas de 20 € e 20 notas de 10 €. Há 
uma disputa sobre que valor o Duarte entregou para pagar a sua conta; assuma que 
todas as 50 notas têm a mesma probabilidade de ter sido usadas. A Gina diz que ele 
usou uma nota de 10 €. Tanto o Duarte como a Gina são honestos, mas… podem 
cometer erros. A Gina identifica notas correctamente 95% das vezes. Mostre que a 
probabilidade de que tenha sido usada uma nota de 10 € é 38/41. 
b) O Duarte que afirma ter usado uma nota de 20 € identifica correctamente estas notas 
em 80% das vezes e as notas de 10 € em 90 % das vezes. Use o resultado da alínea 
anterior para calcular a nova probabilidade de que a nota usada fosse de 10 €. 
R.: 
a) Assumamos que 𝟏𝟎 = Era uma nota de 10 €. Então, 𝑃(10) = 2/5 desde que 
não tenhamos qualquer informação adicional. Seja, 
 
𝑮 = Gina diz que era uma nota de 10 € 
Então, 𝑃(𝐺|10) = 0,95 e 𝑃(𝐺|¬10) = 0,05. Daqui sai que, 
𝑃(𝐺) = 𝑃(𝐺|10)𝑃(10) + 𝑃(𝐺|¬10)𝑃(¬10) = 0,95 ×
2
5
+ 0,05 ×
3
5
=
4,1
10
 
Daqui sai que, 
𝑃(10|𝐺) =
𝑃(𝐺|10)𝑃(10)
𝑃(𝐺)
=
0,95 × (2/5)
4,1/10
=
0,38
4,1/10
= 38/41 
 
b) Seja 𝑫 = Duarte diz que usou uma nota de 20 €. Sabemos que 𝑃(𝐷|10) = 0,1 
e que 𝑃(𝐷|¬10) = 0,8, logo, 
 
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷|10)𝑃(10) + 𝑃(𝐷|¬10)𝑃(¬10) = 0,1 × (38/41) + 0,8 × (3/41)
=
3,8
41
+
2,4
41
= 6,2/41 
 
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Logo, a probabilidade de a nota ser de 10 € quando o Duarte afirmou que era de 
20 € será de 10%, uma vez que ele só detecta as de 10 € 90% das vezes. Assim, 
𝑃(10|𝐷) =
𝑃(𝐷|10)𝑃(10)
𝑃(𝐷)
=
3,8/41
6,2/41
≈ 0,61 
 
5) No seu bolso, um jogador tem uma moeda normal e uma outra com duas caras. Ele 
selecciona uma dessas moedas aleatoriamente e lança-a ao ar. Qual é a probabilidade de 
que a moeda seleccionada seja a normal se, 
a) Sair Cara no primeiro lançamento? 
b) Sair Cara, de novo, no segundo lançamento? 
c) Sair Coroa no terceiro lançamento? 
 
R.: Seja N o evento que corresponde ao lançamento da moeda normal, F o evento 
que representa o lançamento da moeda falsa. Pelo teorema de Bayes, 
a) 𝑃(𝑁|𝐶𝑎𝑟𝑎) =
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)+𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝐹)𝑃(𝐹)
=
1
2
×
1
2
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)+1×
1
2
=
1
3
 
b) 𝑃(𝑁|𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎)=
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)+𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎|𝐹)𝑃(𝐹)
 
Como os dois lançamentos são independentes, 
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁) = 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎|𝑁)𝑃(𝑁) 
Assim, teremos, 𝑃(𝑁|𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎) =
1
4
×
1
2
1
4
×
1
2
+1×
1
2
=
1
5
 
c) Neste caso teremos, 
𝑃(𝑁|𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎) =
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑁)𝑃(𝑁) + 𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|𝐹)𝑃(𝐹)
 
Como se sair Coroa no terceiro lançamento a moeda terá mesmo de ser normal, então, 
a expressão acima resume-se a, 
𝑃(𝑁|𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎) =
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)
𝑃(𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑎𝑟𝑎𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎|𝑁)𝑃(𝑁)
= 1 
 
 
 
 
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6) Uma “mão” de bridge, formada por 13 cartas é distribuída a partir de um baralho bem 
baralhado. Calcule as probabilidades de que, 
a) Não contenha Ases; 
b) Contenha exactamente um Ás; 
c) Contenha pelo menos dois Ases, sendo que tem, pelo menos, um Ás. 
R.: Todas as (52
13
) são equiprováveis. Assim, como temos 4 Ases no baralho, (48
13
) 
daquelas não conterão nenhum Ás. Contendo um Ás teremos (4
1
) × (48
12
), logo, 
a) “Mãos” sem Ases serão: (48
13
)/(52
13
) ≈ 0,3038; 
b) Contendo exactamente um Ás: (4
1
) × (48
13
)/(52
13
) ≈ 0,4388; 
c) 𝑃(Pelo menos 2 Ases|Pelo menos 1 Ás) = 
=
(1 − 𝑃(0) − 𝑃(1))
(1 − 𝑃(0))
=
1 − 0,3038 − 0,4388
1 − 0,3038
≈ 0,3697 ≈ (37%)