FI092-20162S-16-11-23-Aula-25

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Ondas 
• infrasônico 
– frequências < 20 Hz 
 
• ultrasônico 
– frequências > 20,000 Hz 
 
• intervalo de audição humano 
– frequências entre 20 Hz e 20.000 Hz 
 
Som 
Energia transportada pelas ondas 
• Ondas transportam 
energia. 
• Intensidade I de uma 
onda: 
– Potência transportada por 
unidade de área 
perpendicular ao fluxo de 
energia. 
 
Potencia energia/tempo
area area
I  
2I A
 Mas, como a energia 
é proporcional à 
amplitude ao 
quadrado: 
• No caso de ondas esféricas (a energia flui 
para todas as direções): 
 
 
 
 
– Por exemplo, quando a distância é duplicada, 
a intensidade é reduzida de ¼ do seu valor 
anterior! (e a amplitude também vai diminuir 
com a distância). 
22
0
2
1
UvI 
Energia transportada 
pelas ondas 
24
P
I
r
 U: amplitude de 
deslocamento da 
onda sonora, 
Intensidade 
A intensidade I de um som pode ser percebida com 
precisão, e está relacionada com a quantidade de 
energia sonora recebida por segundo a partir da fonte 
de som. Os seres humanos podem perceber um amplo 
intervalo de intensidade, de 10-12 Wm-2 até 100 Wm-2. 
O nível de intensidade (s) em deciBels (dB) é dado por 
 s = 10 x log da razão de Intensidades 
 s = 10 x log10(I/Io) 
 I – Intensidade medida em Wm-2 
 Io – Intensidade de Referência, normalmente 10
-12 Wm-2 
 
• Mudança na frequência da onda devida ao movimento 
relativo entre a fonte e observador. 
• A variação na frequência da onda é notada, pois a 
altura do som muda. 
Efeito Doppler 
Efeito Doppler 
• Movimento da fonte se 
aproximando ou afastando 
 
Em termos de frequências 







0
0
1
v
V
f
f

- aproximação 
+ afastamento 














0
0
0
1
1
v
V
v
u
ff

Caso geral 
Batimento 
• Batimentos – variação periódica da Intensidade de 
dois sons tocados juntos. 
 
• A frequência de batimento é igual à diferença na 
frequência dos dois sons. 
 
Batimento 
• 330 Hz senoidal (E na escala cromática igualmente temperada). 
• 330 Hz + 331 Hz. (resulta em uma freqüencia de batimento de 1 Hz.) 
• 330 Hz + 340 Hz. (resulta em uma freqüencia de batimento de 10 Hz.) 
Batimentos são geralmente usados para afinar instrumentos. A freqüência desejada é 
comparada com a freqüência do instrumento. Se um batimento é ouvido, significa 
que o instrumento está desafinado. Quanto maior a freqüência de batimento, mais 
desafinado está o instrumento. 
Onda 1 com frequência f1 Onda 2 com frequência f2 
A onda resultante é uma onda de 
freqüencia fmed = (f1 + f2)/2 , com um 
envelope com freqüência fb = |f1 - f2|. 
A freqüência do envelope é chamada 
freqüência de batimento (nome óbvio 
ao ouvir os sons). 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.c
o
rd
.e
d
u
/d
e
p
t/
p
h
y
s
ic
s
/p
1
2
8
/l
e
c
tu
re
9
9
_
3
3
.h
tm
l 
Batimento 
Onda 1 com frequência f1 Onda 2 com frequência f2 
A onda resultante é uma onda de 
freqüencia fmed = (f1 + f2)/2 , com um 
envelope com freqüência fb = |f1 - f2|. 
A freqüência do envelope é chamada 
freqüência de batimento (nome óbvio 
ao ouvir os sons). 
h
tt
p
:/
/w
w
w
.c
o
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.e
d
u
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p
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p
h
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/p
1
2
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c
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re
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9
_
3
3
.h
tm
l 
http://www.ifba.edu.br/fisica/nfl/fge2/batimento/batimento.html 
http://www.ifba.edu.br/fisica/nfl/fge2/batimento/batimento.html
Aula 25 - As ondas e os átomos 
are
a
/
2/30
1 


Em dezembro de 1900, Max Planck apresentou seu 
artigo sobre a “Teoria da Lei de distribuição de 
energia do Espectro Normal”, que versa sobre a 
radiação eletromagnética emitida por corpos em 
equilíbrio a uma temperatura T. Este trabalho de 
Planck marca o início da Física Quântica. Vamos 
estudar o que estava em questão. 
4TRT 
Lei de Stefan-Boltzmann. 
CTT  maxmax 
Lei de deslocamento de Wien 
 
Um pouco de história... - Radiação Térmica (RT) e o Postulado de Planck 
A Teoria Clássica da Radiação de Corpo Negro 
TR
De posse da densidade de energia, calculamos a radiância espectral e a Radiância 
total emitida por unidade de área e unidade de tempo por um corpo negro a uma dada 
temperatura: 
Resultado conhecido como catástrofe do ultra-violeta 
A Hipótese da quantização de Energia de Planck 
Vale comentar que, classicamente, a energia de uma onda 
eletromagnética é proporcional ao quadrado de sua amplitude e pode 
assumir qualquer valor, segundo o eletromagnetismo de Maxwell. 
O Postulado de Planck sobre a radiação do 
corpo negro consistia em afirmar que as 
oscilações eletromagnéticas na cavidade têm 
sua energia quantizada em “pacotes” de valor: 
onde  é a freqüência da oscilação eletromagnética é h é uma constante 
(h = 6.63 x 10-34 J/s), que hoje é conhecida como a constante de Planck. 
..0,1,2,3,.. n   nh
A Teoria de Planck 
De acordo com o modelo de Planck para a radiância espectral de corpo 
negro: 
Em perfeita concordância com os dados experimentais. 
h é a Constante de Plank 
e é a frequência do foton 
Fótons – Propriedades Corpusculares da Radiação 
Absorção de luz: Aniquilação dos 
fótons! 
hE 
Em 1905, Einstein propôs que a 
radiação eletromagnética era 
quantizada, e a quantidade elementar 
de energia luminosa é o que hoje 
chamamos de fóton. 
Emissão de luz: Criação de fótons. 
Intensidade da Luz: Número de 
fótons – Alta Intensidade luminosa – 
Teoria ondulatória clássica. 
Reflexão da luz: Reflexão dos 
fótons. 

O Efeito Fotoelétrico 
Entre 1886 e 1887, Heinrich Hertz realizou experimentos que pela primeira vez confirmaram 
a existências de ondas eletromagnéticas e a teoria de Maxwell. Paradoxalmente, Hertz foi o 
primeiro a notar que uma descarga elétrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente 
quando se faz incidir sobre um deles luz ultravioleta. Essa foi uma das primeiras evidências 
do efeito fotoelétrico que Einstein, mais tarde, usou para contradizer outros aspectos da 
Teoria Eletromagnética Clássica. 
Experimentos posteriores realizados por Lenard, Hallwachs and Millikan reveleram os 
detalhes do efeito fotoelétrico. 
Para V positivo, a corrente fotoelétrica aumenta 
com V e atinge uma saturação quando todos os 
fotoelétrons emitidos são coletados. 
Para V negativo, a corrente fotoelétrica não cai 
imediatamente para zero, o que sugere que os 
fotoelétrons emitidos possuem energia cinética. 
E V0 não depende da intensidade da luz 
O Efeito Fotoelétrico 
V0 é conhecido como potencial limite ou de corte, e não depende da 
intensidade da luz. A partir de V0 podemos obter: 
0max eVK 
que é a energia cinética máxima do fotoelétrons 
emitidos, que independe da intensidade da luz. 
Os experimentos de efeito fotoelétrico em função da frequência mostram que há um 
limiar de frequência ou frequência de corte abaixo do qual o efeito fotoelétrico deixa de 
ocorrer, independentemente da intensidade da luz. 
O Efeito Fotoelétrico X Teoria Ondulatória da Luz 
1. A Teoria ondulatória requer que a amplitude do campo elétrico oscilante E da onda 
luminosa cresça com o aumento da intensidade. Como a força aplicada ao um elétron 
é eE, isto sugere que a energia cinética do elétron emitido deveria crescer com o 
aumento da intensidade da luz incidente, contrariando o experimento. 
2. De acordo com A Teoria ondulatória, o efeito fotoelétrico deveria acontencer para 
qualquer frequência, desde que a luz incidente fosse intensa o suficiente para 
“arrancar” os elétrons. No entanto, para frequências menores que 0, o efeito 
fotoelétrico não ocorre, qualquer que seja a intensidade da luz incidente. 
3. Para a luz de baixa intensidade deveria existir um intervalo de tempo mensurável, 
entre o instante começa a incidir sobre a superfície e o instante da injeção do 
fotoelétron. Para uma placa de potássio colocada a 1 m da fonte de 1 W, pode-se 
estimar o tempo de 2 min para que o elétron adquiraa energia necessária de 2,1 eV 
para ser ejetado. 
 Elétrons e ondas de matéria 
“Se a luz é uma onda, mas transfere energia e momento através dos 
fótons, porque que os elétrons ou qualquer partícula não podem se 
comportar como ondas?” 
Comprimento de onda () de de Broglie. 
p
h

Louis de Broglie em 1924 
Ondas de Matéria ? 
h é a Constante de Plank 
e p é o momento linear da 
partícula. 
1) Para uma bola de beisebol (m= 0.5 kg) com v = 
10 m/s. 
O comprimento de onda de de Broglie: 
Louis de Broglie em 1924 
 O Postulado de de Broglie – Propriedades ondulatórias das 
partículas. 
Å103,3
105,0
106,6 25
34






mv
h
p
h

2) Para um elétron com energia cinética de 100 eV 
Å 2,1
)1060,1.100.1011,9.2(
106,6
2
2/11931
34






mK
h
p
h

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www1.uol.com.br/olimpiadas/2000/beisebol/images/boneco1.jpg&imgrefurl=http://www1.uol.com.br/olimpiadas/2000/beisebol/servicos.shl&h=218&w=150&sz=15&hl=pt-BR&start=40&um=1&tbnid=ABGAHFinNanuIM:&tbnh=107&tbnw=74&prev=/images?q=bola+de+beisebol&start=20&ndsp=20&svnum=10&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4SUNA_en___BR212&sa=N
Difração de raios-x 
Diagrama esquemático de um tubo 
gerador de raios-X. 
 ~ 1 Angstron 
 Lei de Bragg 
1) Para uma bola de beisebol (m= 0.5 kg) com v = 
10 m/s. 
O comprimento de onda de de Broglie: 
Louis de Broglie em 1924 
 O Postulado de de Broglie – Propriedades ondulatórias das 
partículas. 
Å103,3
105,0
106,6 25
34






mv
h
p
h

2) Para um elétron com energia cinética de 100 eV 
Å 2,1
)1060,1.100.1011,9.2(
106,6
2
2/11931
34






mK
h
p
h

Não são esperados efeitos ondulatórios para a bola de beisebol mas eles 
podem ocorrer para o elétron quando a  . 
http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www1.uol.com.br/olimpiadas/2000/beisebol/images/boneco1.jpg&imgrefurl=http://www1.uol.com.br/olimpiadas/2000/beisebol/servicos.shl&h=218&w=150&sz=15&hl=pt-BR&start=40&um=1&tbnid=ABGAHFinNanuIM:&tbnh=107&tbnw=74&prev=/images?q=bola+de+beisebol&start=20&ndsp=20&svnum=10&um=1&hl=pt-BR&rlz=1T4SUNA_en___BR212&sa=N
O Experimento de Davisson e Germer (1927) 
Elétrons emitidos por um filamento aquecido são 
acelerados através de uma diferença de 
potencial e emergem de um canhão de elétrons 
com energia cinética eV. 
Um pico de difração análogo às reflexões de Bragg para raios-x ocorrem 
para certos valores de V e . 
O feixe de elétrons incide segundo a normal 
sobre um monocristal de níquel. 
O detector D é colocado em um ângulo particular 
 e para vários valores de V são coletados a 
intensidade do feixe espalhado. 
O Experimento de Davisson e Germer. 
Å65,165Å91,02
652)2/5090(22
0
000


sen
dsendsendsen


Para termos interferência construtiva: Pelo postulado de de Broglie: 
Å 65,1
)1060,1.54.1011,9.2(
106,6
2
2/11931
34









mK
h
p
h
O Experimento de G. P. Thomson (1927) 
G. P. Thomson utilizou elétrons de alta energia 
para conseguir a contribuição de centenas de 
planos atômicos da na onda difratada. 
J. J. Thomson (pai), em 1897, descobriu o elétron como uma partícula de razão q/m 
definida. Em 1927, G. P. Thomson (filho), descobriu experimentalmente a difração de 
elétrons que revela o comportamento ondulatório do elétrons. 
G. P. Thomson mediu a difração de elétrons em 
filmes finos. 
Difração de raios-x de policristais 
de óxido de zircônio. 
Difração de elétrons por policristais 
de ouro. 
Posteriormente foram realizados experimentos de difração com feixes de 
nêutrons, feixes moleculares de hidrogênio e feixes atômicos de hélio. 
O Postulado de de Broglie – Propriedades ondulatórias das 
partículas. 
Figura de Laue de Difração de 
raios-x para um monocristal 
de cloreto de sódio. 
Figura de Laue de Difração de 
nêutrons para um monocristal 
de cloreto de sódio. 
Função de onda de matéria 
)(E :luminosa Onda 0 tkxsen 
)( :matéria de Onda 0 tkxsen  
A probabilidade (por unidade de tempo) de que uma partícula seja 
detectada em um pequeno volume com centro em um dado ponto em um 
dado t é proporcional ao valor de 0
2. 
Onde N é um número médio que reflete a 
probabilidade de que um fóton atravesse 
uma unidade de área em uma unidade de 
tempo. 


NhE
c
I  2
0
)
1
(
Interpretação probabilística da Mecânica Quântica 
Uma ilustração clara da interpretação probabilística de (x,t) é dada por uma 
análise dos experimentos d Tonomura et al. (1989): 
Quando o número de elétrons N no 
experimento vai aumentando (painéis 
inferiores da figura) o padrão de 
interferência vai se formando, onde as 
regiões claras e escuras representam, 
respectivamente, pontos do anteparo com 
maior e menor probabilidade de se detectar 
um elétron. 
2*222 42),( AAAAAtx 
),(),(2 2
*
1 txtx 
02),( *
222
 AAAAtx
maior probabilidade de se encontrar um elétron. 
menor probabilidade de se encontrar um elétron. 
Função de onda de matéria 
tiezyx   ),,(0
Equação de Schrödinger 
Equação de Schrödinger independente do 
tempo, onde E é a energia total e Epot (U) é a 
energia potencial. 
A equação de Schrödinger 
foi proposta em 1926 pelo 
físico austríaco Erwin 
Schrödinger 
A Estrutura atômica e quantização 
Um partícula livre pode possuir 
qualquer valor de energia. 
O confinamento da partícula leva à quantização de sua energia, ou seja, 
a existência de estados com valores discretos de energia. A partícula só 
pode possuir algum destes valores discretos de energia. 
Elétrons confinados em uma dimensão 
yn(x) descreve o deslocamento transversal em um ponto x da corda. 
Poço de potencial infinito. 
Soluções possíveis para as ondas 
estacionárias em uma corda. 
Elétrons confinados em uma dimensão 
n
L
mE
h 2
2

22
2 2
4 n
mE
L
h

....3,2,1 para )
8
( 2
2
2
 nn
mL
h
E
Transições Quânticas 
if EEE   
if EEhf 
Excitação eletrônica por absorção de 
fótons. 
 
Emissão de fótons por transição 
eletrônica. 
hfEE if 