gabama044-1P2010

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Gabarito da Primeira Prova
1. Encontre números reais x e y tais que 3x+ 2iy − ix+ 5y = 7 + 5i.
Solução: Rearrajando os termos acima: (3x+ 5y) + i(−x+ 2y) = 7 + 5i. Logo3x+ 5y = 7−x+ 2y = 5
cuja solução é x = −1 e y = 2.
2. Encontre as partes, real (Re) e imaginária (Im), do complexo
5 + 5i
3− 4i
+
20
4 + 3i
e depois coloque-o na forma polar.
Solução:
5 + 5i
3− 4i
+
20
4 + 3i
=
(5 + 5i)(3 + 4i)
25
+
20(4− 3i)
25
=
(−5 + 35i) + (80− 60i)
25
= 3− i.
Logo temos Re = 3 e Im = −1. Quanto a forma polar, temos que |z| =
√
10 e θ = arctan(−1/3).
Assim z =
√
10(cos θ + i sen θ).
3. Calcule o valor ∣∣∣∣3(i)30 − (i)192i− 1
∣∣∣∣ .
Solução: (i)30 = (i2)15 = −1; (i)19 = i(i2)9 = −i. Logo∣∣∣∣3(i)30 − (i)192i− 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ −3 + i−1 + 2i
∣∣∣∣ = | − 3 + i|| − 1 + 2i| =
√
10√
5
=
√
2.
4. Seja u(x, y) = 2x− x3 + 3xy2.
(a) Mostre que u(x, y) é harmônica.
(b) Encontre v(x, y) de forma que u(x, y) + iv(x, y) seja analítica.
Solução: (a) Temos que
∂u
∂x
= 2 − 3x2 + 3y2; ∂u
∂y
= 6xy;
∂2u
∂x2
= −6x; ∂
2u
∂y2
= 6x. Logo
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0 e u(x, y) é harmônica.
Pelas condições de Cauchy-Riemann queremos v(x, y) tal que
∂v
∂y
=
∂u
∂x
= 2 − 3x2 + 3y2.
Integrando-se em relação a y obtemos v(x, y) = 2y − 3x2y + y3 + ϕ(x), onde ϕ(x) é constante
em relação a y e acompanha a integral indefinida. Novamente as condições de Cauchy-Riemann
impõe que
∂v
∂x
= −∂u
∂y
. Portanto, −6xy + ϕ′(x) = −6xy; ϕ′(x) = 0 e ϕ(x) = k é constante. Logo
v(x, y) = 2y − 3x2y + y3 + k, ou v(x, y) = 2y − 3x2y + y3, escolhendo k = 0.
Não foi pedido, mas a função que obtemos é f(z) = (2x − x3 + 3xy2) + i(2y − 3x2y + y3) que é analítica
em todo o plano complexo, e tem como derivada f ′(z) = (2− 3x2 + 3y2) + i(−6xy).
5. Seja
f(z) = e
z3+1
z−1 .
Encontre a região do plano complexo onde f é analítica e calcule sua derivada nessa região.
Solução: A função g(z) =
z3 + 1
z − 1
não está definida no ponto z = 1. Esse ponto não anula o
numerador, logo não podemos simplificar a fração eliminando o ponto de indefinição. Em todos os
pontos do plano z3 + 1 e z − 1 são analíticas e em todos os pontos diferentes de z = 1, z − 1 não se
anula. Logo, como quociente de duas analíticas com denominador não nulo para todo z 6= 1, a função
racional g(z) é analítica em todos os pontos do plano complexo diferentes de z = 1. Como a função
exponencial é analítica em todos os pontos do plano complexo, a função composta, f(z) = eg(z)
é analítica em todos os pontos z 6= 1, isto é, á região do plano complexo onde f(z) é analítica é
Cr { 1 }.
Nessa região, calculamos a derivada de f
f ′(z) = e
z3+1
z−1
(
z3 + 1
z − 1
)′
= e
z3+1
z−1
(
2z3 − 3z2 − 1
(z − 1)2
)
= f(z)
(
2z3 − 3z2 − 1
(z − 1)2
)
,
pela “regra da cadeia.”
6. Calcule cos(i) + isen (i).
Solução: cos(i) =
eii + e−ii
2
=
e−1 + e
2
; sen (i) =
eii − e−ii
i2
=
e−1 − e
i2
.
Logo cos(i) + isen (i) = e−1.
2
7. Sabendo-se que
senh z =
ez − e−z
2
e cosh z =
ez + e−z
2
,
para todo número complexo z, mostre que senh z e cosh z são analíticas em todo C e calcule as
derivadas (senh z)′, (cosh z)′.
Solução: A função exponencial é analítica para todo z ∈ C, assim como a função constante 1/2.
Logo senh z e cosh z são soma e produto de funções analíticas em todo o plano complexo. Portanto
são também analíticas em todo z ∈ C.
O cálculo das derivadas é feito usando as regras de derivação:
(senh z)′ =
(
ez − e−z
2
)′
=
ez + e−z
2
= cosh z; (cosh z)′ =
(
ez + e−z
2
)′
=
ez − e−z
2
= senh z.
3